Matemáticas II - Ciencia Matemática

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MATEMÁTICAS II
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas
Enero de 1998
Este libro es la continuación del texto Matemáticas I y ha contado con la colaboración de
muchos profesores en las distintas etapas del mismo. Esta es una reedición de la Guía de MA1112 (1997). Se hicieron algunas correcciones y se agregaron ejercicios. Se agregó el capítulo
de Integrales Impropias el cual estuvo a cargo del profesor Alberto Mendoza. Los redactores
de otros capítulos desde la primera edición son: María R. Brito, Julio Cano, Luis Mata, Reinaldo
Giudici, Enrique Planchart y Lázaro Recht.
Los ejercicios agregados se tomaron de otras guías publicadas en el Departamento. Los
preparadores Yolanda Perdomo y Sebastian García colaboraron en el montaje de los ejercicios.
El arte final estuvo a cargo de los profesores Alberto Mendoza y Luis Mata.
Índice General
15 Primitivas
15.1 Definición, primitivas de una función
15.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1 Respuestas a los ejercicios .
15.3 El cálculo de primitivas . . . . . . . .
15.4 Propiedades de las primitivas . . . .
15.4.1 Linealidad de las primitivas .
15.4.2 Cambio de variables . . . . .
15.4.3 Primitivas por partes . . . . .
15.5 Algunos ejercicios . . . . . . . . . .
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16 Integración
16.1 La Definición de Darboux de la Integral de Riemman . . . . . . . . . . .
16.1.1 Preliminares acerca de particiones . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1 Propiedades básicas de las sumas de Darboux . . . . . . . . . .
16.3 La integral superior y la integral inferior de Darboux . . . . . . . . . . .
16.4 Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.1 Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.2 Subaditividad y aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.3 Homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.4 Propiedad aditiva de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.1 La Definición de Riemann de la Integral . . . . . . . . . . . . . .
16.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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282
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17 La Función Logaritmo
17.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Propiedades de la función Logaritmo Natural
17.3 La gráfica del f (x) = ln(x) . . . . . . . . . .
17.4 El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.5 Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . .
17.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . .
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301
ii
ÍNDICE GENERAL
18 La Función Exponencial
18.1 La Función Exponencial Natural . . . . . . . .
18.2 Propiedades de la función Exponencial Natural
18.3 La gráfica de ex : . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4 Otra definición del número e: . . . . . . . . . .
18.5 Funciones exponenciales generales . . . . . .
18.6 Funciones logarítmicas generales . . . . . . .
18.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.8 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . .
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19 La Funciones Hiperbólicas
19.1 El Seno Hiperbólico y el Coseno Hiperbólico . . . .
19.2 Otras funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . .
19.3 Idéntidades hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4 Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas
19.5 Las funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . .
19.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20 Métodos de Integración
20.1 Integración por partes . . . . . . . .
20.2 Integración por sustitución . . . . . .
20.3 Sustituciones Trigonométricas . . . .
20.4 Integración de funciones racionales
20.5 Integrales Trigonométricas . . . . . .
20.6 Ejercicios adicionales . . . . . . . .
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21 Aplicaciones de la Integral
21.1 Areas . . . . . . . . . .
21.2 Volúmenes . . . . . . .
21.3 Trabajo . . . . . . . . .
21.4 Ejercicios adicionales .
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22 Integrales Impropias
22.1 Integrales sobre intervalos infinitos . . . . . . . . . . . . . . .
22.1.1 Criterio de convergencia sobre intervalos infinitos . .
22.2 Integrales de funciones no acotadas . . . . . . . . . . . . . .
22.2.1 Criterio de convergencia para funciones no acotadas
22.3 La función Gama de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.4.1 Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Capítulo 15
Primitivas
Los importantes conceptos que ahora comenzamos a estudiar forman una muy poderosa herramienta en el cálculo. Queda a todos usarlo para el provecho de la humanidad.
El primero, la primitiva, es lo «opuesto» de la derivada y se dice que: Dada una
función f , toda función g tal que g 0 = f se llama una primitiva de f .
Sólo con esa presentación usted puede, a manera de ejercicio, encontrar una
primitiva (también llamada antiderivada) para cada una de las siguientes funciones:
(verificar si sus resultados son o no correctos es muy fácil pues basta derivar lo obtenido y compararlo con la función de partida)
1.
2.
3.
4.
5.
f (x) = 4x3 + 2x
f (x) = 2 cos x
x(t) = t3 + 5t2 1
f (x) = x2=3
x(t) = cos 3t
15.1
6.
7.
8.
9.
f (x) = 2x cos(x2 )
f (x) = cos xsen3 x
2x
f (x) = sen2 x = 1 cos
2
f (x) = cos3 x
Definición, primitivas de una función
Ahora, más formalmente, comenzamos recordando que una función f es derivable si
tiene derivada en cada punto de su dominio y que, para hablar de la derivada de una
función en un punto, requerimos que la función esté definida en un intervalo abierto
alrededor del punto. Por ello, adoptaremos la siguiente convención:
Mientras no se especifique lo contrario, todas las funciones consideradas en este
capítulo tienen por dominio un intervalo abierto o una unión de intervalos abiertos.
Por supuesto, R = ( 1; +1); (a; +1) y ( 1; a) se consideran intervalos abiertos.
Definición: Dada una función f , se llama primitiva de f a toda función
derivable g tal que g 0 = f , es decir, tal que g 0 (x) = f (x) para todo x del
dominio de f y g .
254
Primitivas
Ejemplos
1. La función x ! 2x3 + 3x es una primitiva de la función x ! 6x2 + 3.
2. La función t ! sent es una primitiva de t ! cos t.
3. La función t ! (sent) + 7, es también una primitiva de t ! cos t.
4. Una primitiva de la función
x 7! p 1
1 x2
j x j< 1
es la función x 7! arcsenx; también lo son todas las funciones
, con C constante.
x 7! arcsenx + C
Como habrá notado en los ejemplos, una función puede tener más de una primitiva.
En realidad, si una función tiene una primitiva, tiene una infinidad de ellas.
En efecto, si g 0 = f , entonces, para toda constante c, se tiene:
(g + c)0 = f:
Por tanto, si uno conoce una primitiva de f , puede calcular una infinidad de ellas,
sumándole constantes.
Lo interesante es que de esa manera se obtienen todas.
Si g es una primitiva de f y el dominio de f es un intervalo, todas las primitivas de
f son de la forma g + c, con c constante.
Este hecho es consecuencia del teorema siguiente:
Teorema 1 Sea f una función derivable cuyo dominio es un intervalo. Si la derivada
de f se anula en todo punto del intervalo, la función es constante.
Prueba: Es una consecuencia inmediata del teorema de Lagrange. Tómelo como
ejercicio. Puede ver los detalles en la guía de Matemáticas I.
2
Observación: Es importante la hipótesis de que el dominio de
un intervalo como lo muestra el ejemplo 3 que se da más adelante.
f sea
Corolario 2 Si f y g son dos funciones derivables y f 0 (x) = g 0 (x) para todo x de un
intervalo I , entonces f y g difieren en I por una constante, es decir, existe c 2 R tal
que f (x) = g (x) + c para todo x 2 I .
Prueba: En efecto, (f g )0 = f 0 g 0 = 0 en el intervalo I ; eso, por el teorema 1,
2 Como consecuencia
significa que f g = c con c 2 R. Por tanto f = g + c en I .
inmediata tenemos ahora nuestra afirmación de antes:
Corolario 3 Si el dominio de f es un intervalo y F es una primitiva de f , toda primitiva
de f es la forma F + c, con c 2 R.
De nuevo se pide que el dominio de una función sea un intervalo; vea el ejemplo 4.
15.1 Definición, primitivas de una función
255
Ejemplo: 1.
Supongamos que la velocidad de una partícula está dada por la función
v(t) = 4t2 5 y que en el instante t = 3 la partícula se encuentra en el
punto de abscisa 6. Entonces, la función x(t) que da la posición de la
partícula en cada instante t, debe satisfacer
x0 (t) = 4t2 5 y x(3) = 6:
Desde el punto de vista físico, esas dos condiciones deben determinar
completamente el movimiento de la partícula. Veamos que ocurre lo mismo matemáticamente.
4
Como x(t) debe ser una primitiva de t ! 4t2 5 y la función t ! t3 5t
es una primitiva (verifíquelo) x(t) tiene que ser de la forma:
con C
3
x(t) = 43 t3 5t + C
2 R (por el Corolario 3). Sabemos además que x(3) = 6, es decir:
4 33 5:3 + C = 6
3
De allí resulta que C = 15.
Y, por lo tanto, la función que describe el
movimiento de esa partícula tiene que ser
x(t) = 43 t3 5t 15:
Ejemplo: 2.
Supongamos ahora que tenemos una partícula que se mueve en línea
recta de manera que su aceleración en cada instante t es
a(t) = 6t + 4
y trataremos de determinar su movimiento. De x00 (t) = a(t) = 6t + 4, se
deduce que x0 (t) = 3t2 + 4t + C1 con C1 una constante. De la última
igualdad se obtiene
x(t) = t3 + 2t2 + C1 t + C2
con C2 constante.
Cualesquiera que sean las constantes C1 y C2 , la función x(t) así obtenida satisface x00 (t) = 6t +4, y por tanto, sirve para describir el movimiento
de una partícula cuya aceleración sea t ! 6t + 4.
Desde el punto de vista físico, conocida la aceleración en cada instante
junto con la posición y velocidad en un instante determinado, el movimiento de la partícula debe estar determinado.
Supongamos por ejemplo, que se sabe que la partícula se encuentra
en el punto de abscisa 0 en el instante t = 1 y que su velocidad en ese
instante es 2.
Entonces
2 = x0 (1) = 3:12 + 4:1 + C1
0 = x(1) = 13 + 2:12 + C1 :1 + C2
es decir,
2 = 7 + C1
0 = 3 + C1 + C2
256
Primitivas
De allí resulta C1 = 5 y C2 = 2; quedando unívocamente determinada la función que describe el movimiento de la partícula. Ella es:
x(t) = t3 + 2t2 5t + 2
En las secciones siguientes diremos algo sobre cómo calcular primitivas.
Antes quisiéramos presentarle algunos ejemplos más, que ayudan a aclarar los resultados de esta sección.
Ejemplo: 3.
Sea f la función definida por
f (x) = arctan x + arctan x1 :
Entonces:
2
f 0 (x) = 1 +1 x2 + 1 +11=x=x2
= 1 +1 x2 + 1 +1x2 = 0
para todo x 6= 0
Sin embargo,
f (1) = arctan(1) + arctan(1) = 2
f ( 1) = arctan( 1) + arctan( 1) = 2
así que f no es constante. Justifique usted. ¿Por qué este ejemplo no
contradice el teorema 1?
Ejemplo: 4.
La función H definida por
H (x) =
1
1
si x 0
si x < 0
no tiene primitiva. Ver la gráfica en la figura 15.1.
gráfica de la función H (x)
Figura 15.1
Esto es una consecuencia inmediata del teorema de Darboux, la propiedad del valor intermedio de la derivada (Matemáticas I) ya que H (x)
15.2 Ejercicios
257
presenta una discontinuidad de salto. También podemos contestar por
reducción al absurdo, suponiendo que H tiene una primitiva.
Supongamos pues, que existe una función g : R ! R tal que g 0 (x) =
H . Entonces, g0 (x) = 1 en el intervalo (0; +1), lo cual implica que g(x) =
x + C para todo x > 0. De la misma manera, g0 (x) = 1 en ( 1; 0) lo que
implica que g (x) = x + K para todo x < 0.
Pero, si g es derivable en R, tiene que ser continua; en particular tiene
que ser continua en 0. Como
lim g(x) = C
x!0+
y
lim g(x) = K ,
x!0
para que g sea continua en 0, es necesario que C
= K = g(0). Por tanto
x + C si x 0
x + C si x < 0
Es decir, g (x) =j x j +C para todo x 2 R.
Pero ya sabemos que x !j x j +C no es derivable en 0. Como hemos
llegado a algo falso, concluimos que nuestra suposición de que H tiene
una primitiva tiene que ser falsa. Por tanto H no tiene primitiva.
g(x) =
Más generalmente, en virtud del teorema de Darboux referido antes,
no tienen primitiva aquellas que presentan un salto en su dominio, es decir, aquellas funciones para las cuales existan los dos límites laterales en
un punto de su dominio, sin que sean iguales. El hecho notable es esa
propiedad del valor intermedio para las funciones derivadas (Matemáticas
I).
Sin embargo, eso no quiere decir que todas las funciones con primitiva
tengan que ser continuas; hay funciones discontinuas que tienen primitiva
(sus discontinuidades no pueden ser «saltos»).
15.2
Ejercicios
1. Halle una primitiva de las funciones definidas por las expresiones siguientes:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
x2
2x
senx
cos 3x
4x3
4x3 + 2 cos x
2. Determine todas las funciones cuya derivada segunda sea:
x ! 3x2 + 4sen2x
3. Determine todas las funciones cuya derivada tercera sea
x ! 2x
258
Primitivas
4. Determine la función que describe el movimiento rectilíneo de una partícula si
se sabe que:
(a) Su velocidad en cada instante t es t4 + 2t y x(0) = 5.
(b) Su velocidad en cada instante t es sent + cos t y x(1) = 0.
(c) Su aceleración en cada instante t es t2 + 2t y x(1) = 1 y v (1) = x0 (1) = 3.
(d) Su aceleración en cada instante t es sen2t y x(0) = 1 y v (0) = 2.
(e) Su masa es 3 y sobre ella actúa una fuerza igual a 3t3 +12 en cada instante
t; además x(0) = 4 y v(0) = 15.
5. De una función f se sabe que
(a)
f (2) = 3.
(b) En cada punto (x; f (x)) de su gráfico, la recta tangente existe y tiene pendiente 3x + 2. Determine f .
6. Pruebe que
8
<
arctan x + arctan x1 = :
si x > 0
2
si x < 0
2
(Sugerencia: use el teorema 1).
7. Sean g y f las funciones definidas por
g(x) =
f (x) =
x2 sen x1
0
si x 6= 0
si x = 0
2xsen x1 cos x1
0
si x 6= 0
si x = 0
(a) Pruebe que g es una primitiva de f .
(b) Pruebe que f no es continua.
8. Sea F una primitiva de f y supongamos que f tiene inversa, que denotamos
por f 1 . Pruebe que la función G definida por:
9.
G(x) = x:f 1 (x) F (f 1 (x))
es una primitiva de f 1 . (Suponga que f y f
Sea f la función definida por
0
f (x) = 25xx + 23 sisi xx <0
Pruebe que f no tiene primitiva.
1 son derivables).
(Sugerencia: Teorema de Darboux, o alternativamente analice como tendría
que ser la primitiva en los intervalos ( 1; 0) y (0; +1)).
15.2.1
1.
Respuestas a los ejercicios
15.2 Ejercicios
259
(a)
x3
(d)
(b)
x2
(e)
3
cos x
(c)
(f)
1 sen3x
3
x4
x4 + 2senx
2. Si f 00 (x) = 3x2 + 4sen2x, entonces f 0 (x) = x3
4
f (x) = x4
2 cos 2x + C y, por tanto,
sen2x + Cx + D
con C y D constantes arbitrarias.
3. Si f 00
3
0 (x) = 2x, entonces f 00 (x) = x2 + C:f 0 (x) = x + Cx + D, y, por tanto,
3
1 x4 + C x2 + Dx + E;
f (x) = 12
2
con C; D; E constantes arbitrarias.
4. (a)
(b)
5
x(t) = t5 + t2 + C
Si x0 (t) = sent + cos t, entonces,
x(t) = 1 ( cos t) + 1 sent + C
como x(1) = 0, se tiene
1
( 1 + 0) + C = 0
C = 1
Por tanto,
(c)
(d)
(e)
x(t) = 1 ( cos t + sent 1)
3
4
x(t) = t + t + 5 t 13
12 3 3 12
x(t) = 14 sen2t + 52 t + 1:
Como F (t) = m:a(t) = 3t3 + 12, se tiene x00 (t) = t3 + 4.
x(0) = 4 y v(0) = 15, implica
t5 + 2t2 + 15t + 4:
x(t) = 20
Eso, junto con
5. La pendiente de la tangente al gráfico de f en el punto (x; f (x)) es f 0 (x). Por la
hipótesis se sabe que esa pendiente vale 3x + 2, es decir
f 0 (x) = 3x + 2
para todo x
De allí resulta,
f (x) = 32 x2 + 2x + C:
260
Primitivas
Como f (2) = 3, se obtiene finalmente,
f (x) = 23 x2 + 2x 7
6. Sea f (x) = arctan x + arctan x1 ; entonces,
2
f 0 (x) = 1 +1 x2 + 1 +11=x=x2
= 1 +1 x2
para todo
x 6= 0.
1
1 + x2 = 0
f tiene que ser constante en ( 1; 0) pues
Por el teorema 1,
f 0 (x) = 0 en ese intervalo. Como f ( 1) = , se tiene
2
f (x) = 2
para todo x < 0.
Análogamente, f tiene que ser constante en
f (x) = =2 para todo x > 0.
7. (a) Si x 6= 0, se tiene
g0 (x) = 2xsen 1 + x2 cos 1
En x = 0, se tiene
x
(0; +1) y f (1) = =2.
x
Por tanto
1
1
1
x2 = 2xsen x cos x = f (x):
g(h) g(0) = h2 sen(1=h) = hsen 1
h
h
h
Como
1 =0
lim
h
sen
h!0
h
(por ser j sen
se tiene g 0 (0) = 0. Por tanto,
primitiva de f .
1 j< 1)
h
g0(x) = f (x) para todo x 2 R y g es una
(b)
1
1
lim f (x) = xlim
!0(2xsen x cos x )
x!0
no existe y, por tanto, f no es continua en 0.
8. Recordando la fórmula para la derivada de
f , se tiene,
f
1 en términos de la derivada de
G0 (x) = f 1(x) + x f 0 (f 11 (x)) f (f 1(x)) f 0 (f 11 (x))
= f 1 (x) + f 0 (f x1 (x)) f 0 (f x1 (x))
= f 1 (x)
para todo x.
15.3 El cálculo de primitivas
261
9. Supongamos que f tuviera una primitiva, digamos g . Como
(0; +1), g tiene que satisfacer
g(x) = x2 + 3x + C
f (x) = 2x + 3 en
para todo x 2 (0; +1)
Análogamente,
g(x) = 52 x2 2x + K
En realidad,
tanto,
para todo x 2 (
1; 0)
C = K = g(0) pues g es continua en 0 (por ser derivable).
8
>
<
x2 + 3x + C
g(x) = > 5
: x2 2x + c
2
Por
si x 0
si x 0
Las derivadas a la derecha y a la izquierda de esa función en el punto 0 valen,
respectivamente, 3 y 2 y, por tanto ella no es derivable en 0; eso contradice
nuestra suposición de que g 0 (x) = f (x) para todo x. Por tanto f no tiene primitiva.
15.3
El cálculo de primitivas
La ideas que aquí se presentan serán de utilidad, tanto para este curso, como para
cursos de Física y cómo no ¡para toda las ciencias!.
Sea f una función que sabemos tiene primitivas y preguntémonos cómo obtener
una de ellas.
Puede ocurrir que la función f aparezca en la parte derecha de una tabla de
derivadas «inmediatas» en ese caso ya está: la función que aparece a la izquierda
de f en la tabla es una de sus primitivas, las otras se obtienen de ésa agregando
constantes arbitrarias en cada intervalo máximo del dominio de f . Véase por ejemplo
la tabla 15.1
Ejemplos
1. Una primitiva de x 7! cos x es la función x 7!
de la forma x 7! senx + C , con C constante.
senx; toda otra primitiva de cos es
x 7! p 1 2 (jxj < 1) es la función x 7! arcsenx; todas sus
1 x
primitivas son de la forma x 7! arcsenx + C .
Consideremos la función x 7! x5 .
2. Una primitiva de
3.
Esta no aparece en la columna de la derecha de la tabla, sin embargo, aparece
la expresión 6x5 como derivada de x 7! x6 (caso = 6 de la derivada de
x 7! x6 ). De
d 6
5
dx (x ) = 6x
262
Primitivas
f 0 (x)
f (x)
constante
xp
x
x
0
p 1
1=(2 x) (x > 0)
x
senx
cos x
tan x
arcsenx
arccos x
arctan x
1
cos x
senx
1 +ptan2 x = 1= cos2 x
1= p1 x2 (jxj < 1)
1= 1 x2 (jxj < 1)
1=(1 + x2 )
Tabla 15.1 Una tabla de derivadas
deducimos fácilmente que
d 1 6
5
dx ( 6 x ) = x :
Por tanto, las primitivas de x 7! x5 son las funciones de la forma
x 7! 16 x6 + C:
De la misma forma se pueden obtener las primitivas de cualquier función de la
forma x 7! x con real (x > 0 si no es entero). escríbalas Ud. Las primitivas
de x 7! x son las funciones de la forma x 7!
+C . (Complete usted el
espacio en blanco).
Ahora pregúntese si tiene sentido esa fórmula en el caso en que =
ocurre en ese caso. Esto lo veremos más adelante en el capítulo 16.
Definición: Si
mos por:
Z
f es una función que admite primitivas, denotare-
f (x) dx
a cualquiera de ellas e inclusive a todas ellas simultáneamente.
Este símbolo se lee «integral de efe de equis de equis».
4. Con esa notación, los ejemplos vistos hasta ahora se escriben:
(a)
Z
Z
1 y qué
cos x dx = senx
y
cos x dx = senx + C
15.4 Propiedades de las primitivas
(b)
Z
Z
(c)
p 1
263
dx
1 Z x2
= p dx 2
1 x
= arcsenx + C (jxj < 1)
x5 dx = 16 x6 + C
Y, lo que usted debe haber completado, como
Z
+1
x dx = x + 1 + C
si 6=
1
Dicho esto, sigamos averiguando cómo se calculan primitivas.
(d) Busquemos ahora una primitiva de la función x 7! 1=(1 + 4x2 ).
En la tabla de derivadas encontramos que
d
1
dx (arctan x) = 1 + x2
fórmula que implica que,
d
2
dx (arctan 2x) = 1 + (2x)2
De esta última se deduce que
d ( 1 arctan(2x)) = 1
dx 2
1 + 4x2
Por tanto,
Z
dx
1 + 4x2
15.4
= 12 arctan(2x) + C:
Propiedades de las primitivas
Aquí queremos resumir importantes propiedades de las primitivas que nos ayudarán
en la solución de problemas y que también simplificarán su cálculo.
15.4.1
Linealidad de las primitivas
La linealidad de la operación tomar derivada trae como consecuencia la linealidad de
la operación buscar primitiva. Lo resumimos en el siguiente teorema:
Teorema 4 Sean f y g funciones con primitivas
Z
Z
f (x) dx
y
g(x) dx
respectivamente. Sea una contante arbitraria. Entonces
264
Primitivas
Z
1.
Z
2.
f (x) dx = Z
f (x) dx
(f (x) g(x)) dx =
Z
Z
f (x) dx g(x) dx
2
Prueba: Queda como ejercicio para el lector.
15.4.2
Cambio de variables
La regla de la cadena para derivadas tiene consecuencias inmediatas para las primitivas:
Teorema 5 Sean f y g funciones derivables tal que existe la composición
algún intervalo abierto (a; b). Sea F una primitiva de f , entonces la función
f g en
F (g(x)) = (F g) (x)
es una primitiva de f (g (x)):g 0 (x). Lo cual también escribimos como
Z
F (g(x)) = f (g(x)):g0 (x) dx
Prueba: Inmediato recordando la Regla de la Cadena y calculando la derivada
d F (g(x)) = F 0 (g(x)):g0 (x) = f (g(x)):g0 (x)
dx
2
El caso de las potencias
A manera de observación, podemos pensar en el teorema anterior para el caso donde
n+1
f (x) = xn con n 2 N . En ese caso una primitiva de f (x) es nx + 1 . Así para toda
función derivable g (x) podemos escribir la fórmula:
Z
n+1
(g(x))n :g0 (x) dx = (g(nx+)) 1
Esta fórmula se puede extender para otros casos del exponente n 6= 1.
15.4.3
Primitivas por partes
Por último mencionaremos que la regla de Leibniz para la derivada de un producto
también nos ayuda en el cálculo de las primitivas:
Teorema 6 Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a; b). Entonces:
Z
f (x):g0 (x) dx = f (x):g(x)
Z
f 0 (x):g(x) dx:
Es decir, asumiendo que existen primitivas para f (x):g 0 (x) y f 0 (x):g (x) respectivamente, entonces una (y toda) primitiva de f (x):g 0 (x) se obtiene como f (x):g (x) «menos» una primitiva de f 0 (x):g (x).
15.5 Algunos ejercicios
265
Prueba: Estamos asumiendo que existen las primitivas referidas. La regla de
Leibniz nos afirma que:
d
dx (f (x):g(x) ) =
f (x):g0 (x) + f 0 (x):g(x)
por lo tanto
Z
d
dx (f (x):g(x) ) dx = f (x):g(x)
es una primitiva de
f (x):g0 (x) + f 0 (x):g(x)
pero por linealidad tenemos,
Z
=
Z
[f (x):g0 (x) + f 0 (x):g(x)] dx
f (x):g0 (x) dx +
Z
f 0 (x):g(x) dx
así llegamos inmediatamente a la expresión buscada.
15.5
Algunos ejercicios
1. Calcule una primitiva de las funciones definidas por las siguientes fórmulas
(a)
(b)
(c)
p
x2 (x 6= 0) es un caso especial de x
senx; sen3x; 4senx; bsen(ax) (a; b 2 R):
cos( 2x); 5 cos(3x).
5
2. Complete
Z
(a)
Z
(b)
Z
(1 + tan2 x) dx = ? ( 2 < x < 2 )
3x5 dx = ?
(c)
Z
(d)
p
2 x dx = ?
(x > 0)
p dx 2 = ?
(j x j< 1)
1 x
3. Halle una primitiva de las funciones definidas por las expresiones siguientes:
1
(j 3x j< 1)
1 (3x)2
1
1 + 5x2
p 1 2
1 + 3x
cos(x + 1)
(a) p
(b)
(c)
(d)
2
266
Primitivas
(e)
2sen(2x + 3)
4. Obtenga una función que cumpla con lo requerido: (fijarse en las constantes)
(a)
(b)
(c)
(d)
f 0 (x) = (x 1 3)2 para todo x > 3;
f (4) = 5
f 00 (x) = x2 para todo x;
f 0 (1) = 1, f (1) = 21
f 00 0 (x) = 3 para todo x;
f 00 (2) = 0 , f 0(2) = 0 , f (2) = 5.
f 00 (t) = t13 para todo t 6= 0;
f 0 ( 1) = 0 f ( 1) = 0.
Capítulo 16
Integración
Para el mejor aprovechamiento de este capítulo, se recomienda un repaso de las
nociones de supremo e ínfimo.
16.1
La Definición de Darboux de la Integral de Riemman
16.1.1
Preliminares acerca de particiones
Sea [a; b] = I un intervalo cerrado de números reales. Una partición P de I consiste
de una sucesión de números x0 ; x1 ; : : : ; xn ; donde
a = x0 x1 : : : xn = b
Muchas veces pondremos
P : a = x0 x1 : : : xn = b
Observe que entre los números x0 ; x1 ; : : : ; xn ; puede haber repeticiones. Podemos
hacer un dibujo de una partición de I , como en la figura 16.1. en donde n = 6, y
un dibujo de una
partición de I
Figura 16.1
donde se repiten x1 y x2 y x5 y x6 :
Podemos decir que una partición
de puntos entre a y b» .
Si
P
de
I consiste en «una distribución ordenada
P : a = x0 x1 : : : xn = b
es una partición de [a; b], llamaremos los puntos de P
conjunto (finito):
puntos(P ) = fxk j k
= 0; 1; : : : ; ng
y escribiremos puntos
(P ) al
268
Integración
Observe que puntos(P ) es un conjunto de números reales, mientras que la partición
P misma, es una numeración creciente de estos puntos con posibles repeticiones.
Conviene cuidarse para no confundir ambos conceptos. Por ejemplo, en la partición
P esquematizada en la figura 16.1, aunque n = 6, tenemos que el conjunto puntos(P )
tiene exactamente cinco elementos.
Cuando sea necesario, indicaremos con P (I ) o P simplemente, al conjunto de
todas las posible particiones de I:
Ahora introducimos en el conjunto P de todas las posible particiones de I , una
relación de orden, que será fundamental para el desarrollo del concepto de integral.
Definición: Dadas las particiones P y P 0 de I , diremos que P es
menos fina que P 0 o que P 0 es más fina que P y escribiremos P P 0
o bien P 0 P si el conjunto de los puntos de P está contenido en el
conjunto de los puntos de P 0 :
puntos(P ) puntos(P 0 )
Para aclarar el significado de esta definición pongamos los siguientes nombres:
Si P : a = x0 x1 : : : xn = b es una partición de I , pongamos
I1 = [x0 ; x1 ];
I2 = [x1 ; x1 ];
..
.
In = [xn 1 ; xn ]
y llamaremos a cada uno de estos intervalos cerrados un intervalo de la partición P:
Podríamos decir que una partición como P subdivide a I en los intervalos I1 ; I2 ; : : : ; In :
En la figura 16.1 están marcados los intervalos I1 ; I2 ; : : : ; I6 : Observe que algunos de
estos intervalos «degeneran» a un solo punto.
Volviendo a nuestra definición, podemos decir que si P es menos fina que P 0 ,
entonces P 0 subdivide a cada intervalo de P en subintervalos, salvo por los posibles
intervalos reducidos a un solo punto de P: (Analice esta afirmación). Observe que
también uno podría tener P P 0 con
P : a = x0 x1 : : : xn = b
P 0 : a = x00 x01 : : : x0n0 = b
pero podría ser n > n0 (porque podrían haber repeticiones). ¿Podría poner un ejem-
plo?
Ahora pasamos a describir algunas propiedades fundamentales de la relación P
P 0 : Las numeramos:
1.
2.
P P para cada P 2 P : (Propiedad reflexiva). Esto es obvio
Si P P 0 y P 0 P 00 , entonces P P 00 : Esta es la propiedad transitiva y es
evidente.
3. Si P P 0 y P 0 P ; no podemos concluir que
conclusión correcta es que
puntos(P ) = puntos(P 0 );
lo cual es claro a partir de la definición.
P y P 0 sean iguales, pero una
16.1 La Definición de Darboux de la Integral de Riemman
Así entonces, dos particiones «igualmente finas» (cada una es menos fina que
la otra), pueden no ser iguales (¡haga un ejemplo!), pero son «esencialmente
iguales» : tienen los mismos puntos. La única diferencia sólo puede estar en la
numeración de estos puntos.
Observación: La relación de orden en P de particiones de
varias diferencias importantes con, por ejemplo, el
orden de los números reales. Una de ellas es que el orden de P
no es lineal: Existen particiones P y P 0 tales que ni P P 0 ni P 0 P
(decimos: P y P 0 no son comparables). Por ejemplo vea la figura 16.2.
I = [a; b] tiene
P y P 0 no son
comparables
Figura 16.2
4. La siguiente propiedad del orden en
es más débil y dice así:
P , tiene que ver con la linealidad, aunque
Si P y P 0 son particiones de I , entonces existe P 00
2 P tal que
P P 00 y P 0 P 00 :
Es decir, dadas dos particiones P y P 0 , pueden no ser comparables, pero hay
alguna que «sigue» a ambas (es más fina que ambas).
En cuanto a la demostración es claro que si consideramos el conjunto
A = puntos(P ) [ puntos(P 0 )
de los puntos de ambas particiones P y P 0 y las numeramos en forma creciente,
obtenemos la partición P 00 buscada.
Con esta lista de propiedades del orden en
a la construcción de la integral.
P , concluimos la sección y pasamos
Ejemplos
1.
f 2; 1; 0; 21 ; 1; 3g es una partición de [ 2; 3] en donde
x0 = 2; x1 = 1; x2 = 0; x3 = 12 ; x4 = 1; x5 = 3
y es claro que
2 < 1 < 0 < 12 < 1 < 3
x0 < x1 < x3 < x3 < x4 < x5
269
270
Integración
Obsérvese que la partición aquí presentada consta de 6 puntos, los cuales subdividen al intervalo dado [ 2; 3] en 5 subintervalos, a saber:
[ 2; 1]; [ 1; 0]; [0; 21 ]; [ 21 ; 1]; [1; 3]
La longitud del intervalo dado es 3 ( 2) = 5 y las longitudes de los subintervalos correspondientes a la partición son respectivamente:
1 ( 2) = 1; 0 ( 1) = 1; 21 0 = 12 ; 1 ( 12 ) = 12 ; 3 ( 1) = 2
-2
-1
0
| {z } | {z }
1
|
1
1 1
2
|{z} |{z} |
1
2
{z
1
2
3
{z }
2
}
5
Ejercicios
1. Sea
D = 12 ; 1; 32 ; 2; 4
una partición de [ 12 ;
4]. Explique las razones por las
cuales podemos hacer tal afirmación. Indique cuántos puntos tiene la partición
y cuáles son los subintervalos en que queda subdividido [ 21 ; 4]. Calcúlense
además las longitudes del intervalo dado y la de los subintervalos.
2. (a) Demostrar que si un conjunto A tiene máximo, entonces máx(A) =Sup(A).
(b) Demostrar que si para un conjunto A no vacío acotado superiormente,
Sup(A) 2 A, entonces Sup(A) =máx(A).
(c) Demostrar las propiedades análogas a las de (a) y (b) para mínA e ínfA.
(d) Demuestre que si A es un conjunto acotado y B es un subconjunto no
vacío de A, entonces B es acotado y se cumple que:
ínf(A) ínf(B ) y Sup(B ) Sup(A).
3. Sean P1 ;
P2 particiones
delintervalo [0; 1],con
1
1
P1 = 0; 7 ; 3 ; 1 ; P2 = 0; 17 ; 14 ; 34 ; 1
(a) Construya P (b)
(c)
= P1 [ P2
¿Es P un refinamiento de P1 ó de P2 ? Justifique su respuesta.
Calcular la norma de P1 ; P2 y P respectivamente.
(Norma P
=máx(xi xi 1 ); i = 1; 2; : : : ; n)
16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux
16.2
271
Sumas superiores e inferiores de Darboux
En esta sección fijamos un intervalo I
= [a; b] y en él fijamos una partición
P : a = x0 x1 : : : xn = b
con sus intervalos
I1 = [x0 ; x1 ];
I2 = [x1 ; x1 ];
..
.
In = [xn 1 ; xn ]
Además fijamos una función f (x) definida en I , de la que suponemos que es acotada.
Esto significa que existen números m y M tales que m f (x) M para todo x 2 I:
Estos datos se observan en la figura 16.3. Con estos datos, introducimos los números
un dibujo de una
partición de I
Figura 16.3
mk = inf ff (x) j x 2 Ik g
Mk = supff (x) j x 2 Ik g
que se ilustran en la figura 16.3.
Definimos ahora dos números básicos asociados con los datos: Ponemos
S (f; P ) = m1 jI1 j + + mn jIn j
= m1 (x1 x0 ) + + mn (xn xn 1 )
S (f; P ) = M1 jI1 j + + Mn jIn j
= M1 (x1 x0 ) + + Mn (xn xn 1 )
Estos números se llaman así: El primero es la suma inferior de Darboux de la función
f para la partición P y el segundo es la suma superior de Darboux de la función
f para la partición P: Hemos usado la notación jIk j para la longitud del intervalo
Ik = [xk 1 ; xk ], que es xk xk 1 y que a veces también se escribe xk xk 1 = xk :
Podríamos haber escrito entonces,
S (f; P ) =
n
X
k=1
mk xk
272
Integración
S (f; P ) =
n
X
k=1
Mk xk
La siguiente observación, tiene demostración muy sencilla (a cargo del lector) y
es importante.
Observación: Si
P 0 P , entonces
P y P 0 son igualmente finas, es decir, si P P 0 y
S (f; P ) = S (f; P 0 )
y
S (f; P ) = S (f; P 0 )
«Las sumas inferiores y superiores de Darboux no cambian, si se sustituye
una partición por otra igualmente fina» .
Como ayuda para probarlo observe que los únicos términos que pueden aparecer
por ejemplo en S (f; P ) y no en S (f; P 0 ) tienen xk = 0, y viceversa. (¿Por qué?).
Análogamente para las sumas superiores.
Observe que cada uno de los términos de las sumas anteriores, se pueden considerar como el producto de una longitud en el eje x por un número, que si lo medimos,
con su signo, sobre el eje y , produce como resultado el área con signo, de un rectángulo. Esto se ilustra en las figuras 16.4 y 16.5. En el caso de la figura 16.4, S (f; P )
S (f; P ) resta las
áreas sobre el
eje x menos las
áreas bajo el eje
Figura 16.4
consiste de la suma de las áreas de los rectángulos que están sobre el eje x menos la
suma de las áreas de los que están por debajo. También en el caso de la figura 16.5,
S (f; P ) consiste de la suma de las áreas de los rectángulos que están sobre el eje x
menos la suma de las áreas de los que están por debajo.
El lector diligente, observará que si f (x) es 0, y
R = f(x; y)jx 2 [a; b]; 0 y f (x)g
= «región bajo la gráfica de» f
entonces S (f; P ) «calcula el área de R por exceso» y que S (f; P ) «calcula el área
de R por defecto» en el sentido que los rectángulos que sirven para calcular S (f; P )
«cubren R» mientras que aquellos que sirven para calcular S (f; P ) «cubren una región contenida en R» , como ilustran las figuras 16.6 y 16.7. Claro que la afirmación
anterior es vacía porque no sabemos aún qué cosa es el área de R:
16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux
273
S (f; P ) resta las
áreas sobre el
eje x menos las
áreas bajo el eje
Figura 16.5
S (f; P )
"<calcula el
área de R por
exceso">
Figura 16.6
S (f; P ) "<calcula el área de R
por defecto">
Figura 16.7
274
Integración
Ejemplos
1. Podemos usar la noción de límite para calcular un área. Como un primer problema calculamos un área A rayada de la figura 16.8, es decir, el área bajo la
parábola de la ecuación y = x2 , acotada por el eje x y la recta de la ecuación
x = b.
Podemos usar la noción de límite
para calcular un área
Figura 16.8
A tal efecto se divide el segmento [0; b] en n partes iguales y se considera el
área An obtenida al sumar las áreas de los rectángulos «inscritos», construidos
sobre los subintervalos
b ; 2 b ; 2 b ; 3 b ; : : : ; (n 1) b ; b b n n
n n
n n
(ver figura 16.9).
Finalmente se llega a:
3
An = nb 3 12 + 22 + : : : + (n 1)2
para todo n 2 N y se concluyó que
3
b
lim
A
=
n
n!1
3
Por tanto, el área buscada se «aproxima bastante» a
b3
3
2. Continuemos explotando la idea de calcular un área, consideremos de nuevo la
figura 16.8, repitamos la subdivisión de [0; b] en n partes iguales pero construyamos ahora los rectángulos «circunscritos», como sugiere la figura 16.10.
16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux
las áreas de los rectángulos "<inscritos">
Figura 16.9
las áreas de los rectángulos
"<circunscritos">
Figura 16.10
De modo que
2
2
2
Bn = nb nb 2 + nb 22 nb 2 + : : : + n2 nb nb 2
3
= nb 3 (12 + 22 + : : : + n2 )
n
3X
= nb 3 k2 para todo n 2 N
k=1
Al crecer n, las áreas Bn se aproximan al área buscada, por tanto,
n
3
b3 X
2 = lim n(n + 1)(2n + 1) = b
A nlim
B
=
lim
k
n
!1
n!1 n3
n!1
6
3
k=1
3
luego el área A b3
Ejercicios
1. Representar gráficamente la función real de valores reales, f , cuya ley de correspondencia es:
8
3
>
>
>
<
x
f (x) = > 1 + x2
>
>
:
3
si x 2 [
1; 0)
si x 2 [0; 1)
si x 2 [1; 2]
275
276
Integración
Sea P =
1; 43 ; 0; 12 ; 1; 32 ; 2 una partición del intervalo [ 1; 2]. Demuestre que f es acotada en [ 1; 2] y calcule s(f; P ) y S (f; P ).
2. Sea f una función real de valores reales, acotada en [a; b], esto es, existen
números reale m y M tales que m f (x) M para todo x 2 [a; b]. Demuestre
la desigualdad siguiente:
m(b a) s(f; P ) S (f; P ) M (b a)
para cualquier partición P de [a; b].
3. Si P1 y P2 son particiones de [a; b] y P1 P2 se dice que P2 es un refinamiento
de P1 . Bajo las hipótesis del ejercicio anterior demuestre que:
s(f; P1 ) s(f; P2 )
S (f; P1 ) S (f; P2 )
Estas desigualdades se acostumbra leerlas en la forma siguiente: «La suma
inferior para una partición P1 es siempre menor o igual que la suma inferior para un refinamiento P2 » y «la suma superior para P1 es siempre mayor o igual
que la suma superior para el refinamiento P2 », o también: «A medida que refinamos las particiones, las suma inferiores aumentan y las sumas superiores
diminuyen».
4. Sea f tal que f (x) =
8
>
>
>
<
x+2
si x 2 [
>
>
>
:
x
p
si x 2 (0; 1)
1; 0]
1 + x si x 2 [1; 4]
Para [ 1; 4], sea P = f 1; 0; 1; 3; 4g 2 P ([ 1; 4]).
(a) Demuestre que f es acotada en [1; 4].
(b) Calcúlese
(c)
m1 (f; P ); m2 (f; P ); m3 (f; P ); m4 (f; P ); y
M1(f; P ); M2(f; P ); M3(f; P ); M4(f; P )
¿Se cumple que 0 mi (f; P ) Mi (f; P ) 3; 8 i = 1; 2; 3; 4?
8
3 x si x 2 [ 1; 0)
>
>
5. Sea f dada por f (x) =
yP
16.2.1
= f 1;
>
<
>
>
>
:
1 + x2
si x 2 [0; 1)
3
si x 2 [1; 2]
1 1 3
2 ; 0; 2 ; 2 ; 2g. Halle s(f; P ) y S (f; P ).
Propiedades básicas de las sumas de Darboux
Las siguientes son algunas de las propiedades más importantes que tienen las sumas
de Darboux y que nos serán indispensables en la construcción de la integral.
16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux
1. Si f es acotada en I
= [a; b] y P
277
es una partición de I , entonces
S (f; P ) S (f; P ):
Esta afirmación es evidente y su prueba queda a cargo del lector.
2. Si f es acotada en I y si P , P 0 son particiones de I tales que P
P 0 , entonces
S (f; P ) S (f; P 0 )
S (f; P ) S (f; P 0 )
(16.1)
(16.2)
Es decir, «cuando afinamos la partición, las sumas superiores bajan mientras
que las sumas inferiores suben» .
Prueba: Para demostrar esto basta verlo en el caso en que P 0 tiene un solo
punto de partición más que P , porque el caso general consiste en una sucesión
de aplicaciones de este caso (el lector debe convencerse de esto). Consideremos entonces este caso. La figura 16.11, ilustra la situación: Consideremos el
el caso en que
P 0 tiene un solo
punto de partición más que P
Figura 16.11
caso de la desigualdad 16.1. En las dos sumas S (f; P ) y S (f; P 0 ) aparecen los
mismos términos no nulos. La única diferencia es la siguiente:
En S (f; P ) aparece el término mk (xk
En S (f; P 0 ) aparece en cambio la suma de dos términos:
mk = inf ff (x)jx 2 [xk 1 ; xk ]g
xk 1 ) donde
j (tj tj 1 ) + j+1 (tj+1 tj )
donde
j = inf ff (x)jx 2 [tj 1 ; tj ]g
j+1 = inf ff (x)jx 2 [tj ; tj+1 ]g
El lector podrá mostrar sin dificultad que el número mk es a la vez, menor o
igual que ambos j y j +1 (ya que «el ínfimo de un conjunto de números sólo
puede decrecer si al dado conjunto se agregan más números» ).
Pero entonces
mk (xk xk 1 ) = mk (tj tj 1 ) + mk (tj+1 tj )
j (tj tj 1 ) + j+1 (tj+1 tj )
lo que prueba que
S (f; P ) S (f; P 0 )
278
Integración
porque, como dijimos, los demás términos son iguales en ambas sumas. La
2
prueba de la desigualdad 16.2 es análoga y queda a cargo del lector.
3. Si f es acotada en I
= [a; b] y P , P 0 son particiones de I , entonces
S (f; P ) S (f; P 0 ):
Observe que lo que aquí decimos supera en mucho lo que se afirma en 1.
En efecto, aquí decimos que toda suma inferior de f es inferior a toda suma
superior independientemente de las particiones que se usen en cada caso.
Prueba: La prueba es así: Elegimos una partición P 00 , más fina que ambas P y
P 0 (recordando las propiedades del orden de las particiones en la página 268).
Entonces
S (f; P ) S (f; P 00 )
S (f; P 00 ) S (f; P 00 )
S (f; P 00 ) S (f; P 0 )
prop. 2 P P 00
prop. 1
prop. 2 P P 0
2
y de las tres desigualdades anteriores, sigue lo dicho.
16.3
La integral superior y la integral inferior de Darboux
Dada la función acotada f en I = [a; b], queremos considerar que las sumas superiores S (f; P ) producen «estimaciones por exceso» y que las sumas inferiores S (f; P )
producen «estimaciones por defecto» de un número que, en caso de existir, será la
integral de f en I:
Ya hemos visto que para cada P 2 P (P = conjunto de todas las particiones de I )
y cada P 0 2 P ;
S (f; P ) S (f; P 0 ):
Como además, a medida que afinamos la partición P , las sumas inferiores de f suben
mientras que las sumas superiores bajan, parece natural introducir los siguientes dos
números:
b
Z
a
f (x) dx = sup fS (f; P ) j P 2 Pg
y
b
Z
a
f (x) dx = inf S (f; P ) j P 2 P
b
Z
Definición: El número
a
f (x) dx se llama la integral inferior de Dar-
boux de f sobre el intervalo I , mientras que el número
la integral superior de Darboux sobre I:
b
Z
a
f (x) dx se llama
16.3 La integral superior y la integral inferior de Darboux
279
Observemos que
b
Z
a
b
Z
f (x) dx y
a
f (x) dx
son algo así como «la mejor (igual a la mayor) suma inferior» de f y «la mejor (igual
a la menor) suma superior» de f (la que corresponde a «la partición más fina de I »).
Lamentablemente no existe «la partición más fina de I » ni por consiguiente la mejor
suma inferior, ni la mejor suma superior.
Observemos que
fS (f; P ) j P 2 Pg y
S (f; P ) j P 2 P
son conjuntos de números, de los cuales el primero está superiormente acotado (por
cualquier S (f; P ) con P 2 P ) y el segundo está inferiormente acotado (por cualquier
S (f; P ) con P 2 P ). Es por esto que los números
b
Z
a
b
Z
f (x) dx y
a
f (x) dx;
existen. Además la desigualdad
b
Z
a
f (x) dx b
Z
a
f (x) dx
debería ser evidente. A pesar de ello, damos a continuación una prueba.
Prueba: Sea > 0: Existe entonces una partición P de I tal que
1.
Z b
S (f; P ) + 2 > f (x) dx
2.
Z b
S (f; P ) 2 < f (x) dx
a
a
¿Por qué? (¡Es importante que el lector se convenza de que lo anterior es consecuencia de la definición de ínfimo y supremo!).
Entonces
b
Z
f (x) dx < S (f; P ) + 2
a
S (f; P ) + <
b
Z
a
2
f (x) dx + ( 2 + 2 ):
Entonces, para cualquier número positivo los números
plen con:
b
Z
a
f (x) dx <
b
Z
a
f (x) dx + :
b
Z
a
f (x) dx y
b
Z
a
f (x) dx cum-
280
Integración
Queda como ejercicio importante para el lector, que entonces necesariamente
b
Z
a
f (x) dx b
Z
f (x) dx;
a
2
como se quería.
Ahora damos finalmente la definición más importante del capítulo.
Diremos que la función f , acotada en el intervalo
Definición:
[a; b], es integrable en I si
b
Z
a
f (x) dx =
b
Z
a
I=
f (x) dx
En este caso, diremos que el número
b
Z
a
f (x) dx o
b
Z
a
f (x) dx
es la integral de f en el intervalo I y pondremos simplemente
este número.
En símbolos, cuando f es integrable en I ,
b
Z
a
Z
a
b
f (x) dx =
f (x) dx =
b
Z
a
y
b
Z
a
b
Z
a
f (x) dx para indicar
f (x) dx
f (x) dx =
b
Z
a
f (x) dx:
Veamos primero, una caracterización útil de la noción de función integrable:
Proposición 7 Sea f (x) una función acotada en I = [a; b]: Entonces f es integrable
en I si y sólo si se verifica la siguiente condición:
«Para cada > 0, existe una partición P tal que S (f; P ) S (f; P ) < :"
Demostración: Esta prueba tiene, como siempre, dos partes. Supongamos primero
que f es integrable. Sea > 0: Entonces, existe una partición P 0 tal que
b
Z
a
f (x) dx + 2 > S (f; P 0 )
(¿Por qué? Se trata de la definición misma de ínfimo. Recuerde que
de S (f; P 0 )).
También existe P 00 tal que
b
Z
a
R
es un ínfimo
f (x) dx 2 < S (f; P 00 )
(¿Por qué? Nuevamente se trata de la definición de supremo. Recuerde que
supremo de S (f; P 0 )).
R
es un
16.3 La integral superior y la integral inferior de Darboux
Ahora elegimos P
281
P 0 y P P 00 , así tenemos que
Rb
> S (f; P 0 ) > S (f; P );
a f (x) dx + 2
Rb
a f (x) dx + 2
y
> S (f; P 00 ) > S (f; P )
Sumando, S (f; P ) S (f; P ) < ; como queríamos.
Ahora, recíprocamente, supongamos que se cumple la condición del enunciado
de la proposición y probemos que f es integrable. Sea > 0 y sea P una partición de
I tal que S (f; P ) S (f; P ) < : Entonces
b
Z
a
f (x) dx
a
(En efecto, se sustituyó
Luego, la diferencia
b
Z
a
f (x) dx
b
Z
R
por S que es más pequeña).
b
Z
f (x) dx S (f; P ) S (f; P ) < :
a
f (x) dx
es un número mayor o igual a cero, que es menor que cualquier número positivo
Entonces, necesariamente
b
Z
a
f (x) dx =
b
Z
a
f (x) dx
2
como queríamos.
Ejemplos
1. Sea f
:
: [a; b] ! R tal que f (x) = C = constante.
Demostraremos que f es integrable en [a; b] y que
b
Z
a
f=
En efecto, sea P
b
Z
a
C dx = C
b
Z
a
dx = C (b a)
= fxi ji = 0; 1; : : :; ng 2 P ([a; b]), es evidente que
mj = Mj = C ; j = 1; 2; : : :; n;
luego:
s(f; P ) =
n
X
j =1
C (xj xj 1 ) = C
n
X
j =1
(xj xj 1 ) = C (b a)
y
S (f; P ) =
n
X
j =1
C (xj xj 1 ) = C
n
X
j =1
(xj xj 1 ) = C (b a)
282
Integración
f (x) = C =constante, es integrable
en [a; b]
Figura 16.12
Entonces,
de donde
inf fS (f; P )jP 2 P ([a; b])g = supfs(f; P )jP 2 P ([a; b])g = C (b a),
Z
b
a
f=
b
Z
a
f=
b
Z
a
C = C (b a)
Ejercicios
1. Sea f
: [0; 1] ! R tal que f (x) =
(
0
si x es racional
1 si x es irracional
Demuestre que f no es integrable en [0; 1].
2. ¿Es cierta la siguiente afirmación? Toda función acotada en [a; b] es integrable
en [a; b]. Razone su respuesta.
3. Sea f
: [0; 1] ! R tal que f (x) =
¿Es integrable
16.4
(
x
si x es racional
1 x si x es irracional
f en [0; 1]? Razone su respuesta.
Propiedades de la integral
Ahora pasamos a analizar las propiedades generales básicas de la integral inferior y
superior de Darboux, así como aquéllas de la integral.
16.4.1
Monotonía
Las siguientes afirmaciones son sencillas y sus demostraciones quedan a cargo del
lector. Sean f y g acotadas en I: Supongamos que f (x) g (x) para todo x 2 I:
Entonces
16.4 Propiedades de la integral
b
Z
1.
b
Z
2.
a
a
f (x) dx f (x) dx b
Z
a
Z
a
b
283
g(x) dx
g(x) dx
3. Si f y g son integrables, entonces
b
Z
a
16.4.2
f (x) dx Z
a
b
g(x) dx:
Subaditividad y aditividad
Aquí probamos la siguiente
Proposición 8 Sean f (x) y g (x), acotadas en I
Z
(i)
b
(f (x) + g(x)) dx Za b
Z
(f (x) + g(x)) dx b
f (x) +
Za b
Z
= [a; b]: Entonces
g(x) dx
Za b
g(x) dx
(iii) Si ambas f y g son integrables en I , entonces f + g también es integrable en
(ii)
a
I y se tiene
Z
b
a
a
(f (x) + g(x)) dx =
f (x) +
b
b
Z
a
a
f (x) +
b
Z
a
g(x)
Demostración: Probaremos solamente (i) y (iii). La prueba de (ii) es semejante a la
de (i). «mutatis mutandis» . Sea P una partición de [a; b]: Afirmo que
S (f + g; P ) S (f; P ) + S (g; P ):
En efecto, esta desigualdad es consecuencia de que
Mk (f + g) Mk (f ) + Mk (g)
«El supremo de la suma f + g en Ik es menor o igual que el supremo de f en Ik más
el supremo de g en Ik ".
Esto es claro puesto que
supff (x)jx 2 Ik g f (x) y supfg(x)jx 2 Ik g g(x)
para cualquier x 2 Ik , así que
Mk (f ) + Mk (g) f (x) + g(x)
para todo x 2 Ik y así
Mk (f ) + Mk (g) Mk (f + g):
Pero entonces,
b
Z
a
(16.3)
(f + g) dx
= inf fS (f + g; P )jP 2 Pg
S (f + g; P )
S (f; P ) + S (g; P )
284
Integración
cualquiera que sea la partición P de P :
Ahora, sea > 0 y sea P 2 P tal que
b
Z
a
b
Z
f (x) dx + 2 > S (f; P ) y
a
g(x) dx + 2 > S (g; P )
(¿Por qué hay una tal partición P ?). Entonces usando la ecuación 16.3, tenemos que
para cada > 0,
b
Z
a
(f (x) + g(x)) dx
S (f; P ) + S (g; P )
<
b
Z
a
f (x) dx +
b
Z
a
g(x) dx + En consecuencia, tenemos (i) (El lector debe demostrar que si dados los números y , se tiene para todo > 0, que + , entonces necesariamente, ).
En cuanto a la demostración de (iii) tenemos el elegante argumento que damos
acontinuación:
Rb
9
>
=
Rb
>
;
Rb
Rb
a (f + g ) dx a f (x) dx + a g (x) dx
(16.4)
Rb
Rb
a (f + g ) dx a f (x) dx + a g (x) dx
Pero los dos miembros de estas dos desigualdades son iguales si suponemos que f
y g son integrables. Entonces resulta que
b
Z
a
(f + g) dx b
Z
a
(f + g) dx;
con lo que deben ser iguales y esto prueba la integrabilidad de
b
Z
en la ecuación 16.4 la integral
b
Z
a
b
(f + g) dx debe ser a la vez, mayor o igual, y menor
g dx, así que debe coincidir con esta suma y así concluye la
2
prueba de (iii) y de la proposición.
o igual que
16.4.3
a
fdx +
Z
f + g: Pero entonces
a
Homogeneidad
Aquí probamos la siguiente
Proposición 9 Sea f (x) acotado en I
i) Si 0;
b
Z
a
Z
b
a
ii) Si ( f (x)) dx = ( f (x)) dx = b
Z
Z
a
b
a
f (x) dx
f (x) dx
< 0,
b
Z
a
( f (x)) dx = b
Z
a
f (x) dx
= [a; b]: Entoces:
16.4 Propiedades de la integral
b
Z
a
iii) Si
tiene
( f (x)) dx = b
Z
a
285
f (x) dx
f es integrable en I y 2 R, entonces f también es integrable en I y se
b
Z
a
f (x) dx = b
Z
f (x) dx:
a
Demostración: La prueba de esta proposición se basa en las siguientes propiedades
sencillas del supremo e ínfimos cuya demostración dejamos a cargo del lector.
Si A es un conjunto acotado de números (y no vacío) y si 2 R, entonces
supA = sup( A)
inf A = inf( A)
supA = inf( A)
inf A = sup( A)
si 0
si < 0
donde hemos denotado A para el conjunto
A = f aja 2 Ag:
Entonces, por ejemplo para la prueba de (i) razonamos así: Supongamos cada partición P de I ,
0, para
Mk ( f ) = supf f (x)jx 2 Ik = [xk 1 ; xk ]g = sup A;
donde A = ff (x)jx 2 Ik g: Luego
Mk ( f ) = sup A = supA = Mk (f ):
Entonces,
S ( f; P ) =
=
n
X
Mk ( f )xk
k=1
n
X
=
k=1
Mk (f )xk
= S (f; P )
para cada partición P de I: Entonces, tomando el ínfimo sobre las particiones P :
inf fS ( f; P )jP 2 Pg
b
Z
f (x) dx
= inf f S (f; P )jP 2 Pg
= inf fS (f; P )jP 2 Pg
=
a
=
b
Z
a
f (x) dx:
La segunda parte de (i) es análoga.
286
Integración
La prueba de (ii) se hace de manera parecida: supongamos
partición de [a; b]: Tenemos
< 0: Sea P
una
Mk ( f ) = supf f (x)jx 2 Ik g
= inf ff (x)jx 2 Ik g = mk (f ):
Entonces,
S ( f; P ) =
=
n
X
k=1
n
X
k=1
Mk ( f )xk
mk (f )xk
= S (f; P ):
Luego, tomando ínfimos
b
Z
a
f (x) dx = inf fS ( f; P )jP 2 Pg
= inf f S (f; P )jP 2 Pg
= inf fS (f; P )jP 2 Pg
=
Z
b
a
f (x) dx:
La segunda de (ii) es análoga.
Finalmente (iii) sigue de (i) y (ii). En efecto, sea
integrable, tenemos
b
Z
a
f (x) dx = =
b
Z
a
b
Z
a
0, por ejemplo y si f
f (x) dx
f (x) dx =
b
Z
a
f (x) dx:
Rb
Esto muestra que f (x) es integrable (pues a f (x) dx
b
Z
a
f (x) dx = b
Z
a
es
R
= ab f (x) dx) y que
f (x) dx;
como queríamos. El caso < 0 se trata análogamente y esto concluye la prueba de
2
esta larga, aunque no difícil, proposición.
16.4.4
Propiedad aditiva de intervalo
Aquí consideramos una función f (x), acotada en I =
c < b: La propiedad que nos interesa es la siguiente:
Proposición 10 En la notación precedente, tenemos
b
Z
1.
2.
Zab
a
f (x) dx =
f (x) dx =
c
Z
Zac
a
f (x) dx +
f (x) dx +
b
Z
Zc b
c
f (x) dx
f (x) dx
y
[a; b] y un punto c talque a <
16.4 Propiedades de la integral
287
Propiedad aditiva de intervalo
Figura 16.13
yk
Además, f (x) es integrable en I si, y sólo si, lo es simultáneamente en J
= [c; b] y en este caso
b
Z
3.
a
f (x) dx =
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
= [a; c]
f (x) dx:
Demostración: El dibujo pertinente es la figura 16.13. Veamos primero la propiedad
indicada de la integral superior. Si P 0 y P 00 son particiones de [a; c] y [c; b] respectivamente y si reunimos en P los puntos de P 0 y P 00 , para crear una partición de [a; b], es
claro que
b
Z
a
f (x) dx S (f; P ) = S (f; P 0 ) + S (f; P 00 )
Reunidos en P
los puntos de P 0
y P 00
Figura 16.14
(¿Por qué?). El dibujo correspondiente es la figura 16.14. Entonces, para cada P 0
P (J ) y P 00 2 P (k);
b
Z
a
f (x) dx S (f; P 0 ) + S (f; P 00 )
y luego,
b
Z
(16.5)
a
f (x) dx c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx
(¿Por qué?). Sugerimos aproximar, dado > 0
S (f; P 0 ) <
c
Z
a
Z b
f (x) dx + 2 ; S (f; P 00 ) < f (x) dx + 2 :
c
2
288
Integración
y luego aplicar un argumento ya usado antes acerca de que es arbitrario). Ahora,
para probar la desigualdad opuesta a la ecuación 16.5 y terminar de demostrar la
primera parte de la proposición, sea > 0 y sea P una partición de I tal que
b
Z
a
f (x) dx + > S (f; P )
Suponemos que c es uno de los puntos de P: Si no lo es, lo agregamos y S (f; P ) es
aún menor en este caso. Entonces es claro que P da origen a particiones P 0 de J y
P 00 de K tales que la reunión de ambas tiene los puntos de la partición P: Entonces
b
Z
a
f (x) dx + > S (f; P 0 ) + S (f; P 00 )
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx
y como es arbitrario... (ya vimos visto varias veces antes), queda
b
Z
a
c
Z
f (x) dx a
b
Z
f (x) dx +
c
f (x) dx
y esto complementa la prueba de primera proposición. La prueba de la segunda, es
enteramente análoga.
Pasemos ahora a la última parte de la proposición. Si f es integrable en I , entonces f es integrable en J y K: Pues si, por ejemplo se tuviese
c
Z
a
c
Z
f (x) dx >
a
f (x) dx;
se tendría que
b
Z
a
c
Z
f (x) dx =
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx
sería mayor que y no igual a
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx
que por otra parte es
b
Z
a
f (x) dx =
b
Z
a
f (x) dx;
lo cual es una contradicción.
Recíprocamente, si f (x) es integrable en J y K tenemos
b
Z
a
Z
a
b
f (x) dx =
f (x) dx =
c
Z
f (x) dx +
b
Z
| a {z
}
|c
z
Z
{
z
Z
c
a
k
k
}|
f (x) dx +
b
c
f (x) dx
{z
}
}|
{
k
k
f (x) dx
16.4 Propiedades de la integral
289
y como tenemos que las dos «igualdades verticales» indicadas, sigue la integrabilidad
2
de f en I: Con esto termina la prueba de esta larga, pero sencilla proposición.
Observación: Dado los números a y b, en donde no suponemos que a < b, es
conveniente definir, aun en este caso, los números
b
Z
a
f (x) dx;
b
Z
a
b
Z
f (x) dx y
a
f (x) dx
como sigue:
Si b a, ponemos
b
Z
a
para una función
a
Z
f (x) dx =
b
b
Z
f (x) dx y
a
a
Z
f (x) dx =
b
f (x) dx
f (x) acotada en [a; b]: La figura 16.15 pretende ilustrar la situación
6
uf (x0 ) + vf (x1 )
XXXz x0
Figura 16.15 Notar
R
que ab f (x) dx =
f (ux0 + vx1 )
ux0 + vx1
x1
-
Ra
b f (x) dx
que describimos. También, si f (x) es integrable en [b; a], ponemos
b
Z
a
Z
f (x) dx =
b
a
f (x) dx:
Entonces, queda como un ejercicio de aplicación de la proposición anterior y de la
aplicación de cambios de signo, probar las siguientes afirmaciones:
Dados los números a; b; c en cualquier posición relativa (no necesariamente a b c), se tiene:
b
Z
a
Z
a
b
f (x) dx =
f (x) dx =
c
Z
a
c
Z
a
f (x) dx +
f (x) dx +
b
Z
c
b
Z
c
f (x) dx
f (x) dx
290
Integración
y, cuando f es integrable,
b
Z
a
16.5
f (x) dx =
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx:
La integral como función del extremo superior
(del intervalo de integración)
Aquí consideramos una función acotada f (x) definida en I
definimos los números F (x) y F (x), como:
F (x) =
x
Z
a
f (t)dt y F (x) =
x
Z
a
= [a; b] y, para cada x 2 I ,
f (t)dt
Observe que, como x indica un número fijo en I , la variable de f , que se mueve en
[a; x] se indicó, dentro de la integral con otra letra. La letra t:
Además, si f es integrable en I , entonces lo es cada [a; x] y también ponemos
F (x) =
x
Z
a
f (t)dt:
El primer resultado aquí, es
Proposición 11
1. Las funciones F (x) y F (x) son continuas en [a; b]:
2. Supongamos que f (t) es integrable en cada intervalo de la forma [a; x] para
cada x tal que a x < b: Entonces f es integrable en todo [a; b] y F (x) que está
entonces definida en [a; b], es continua.
Antes de pasar a la prueba de la proposición enunciamos y probamos el siguiente
útil.
Lema 12 Si h(t) está definida en el intervalo [c; d] y verifica allí
m h(t) M; t 2 [c; d]
entonces
m(d c) m(d c) d
Z
c
d
Z
c
h(t) dt M (d c)
h(t) dt M (d c)
Además, si h es integrable en [c; d], entonces
m(d c) d
Z
c
h(t) dt M (d c)
16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración)
Prueba: El lector probará sin dificultad, que una función constante k es integrable
en [c; d] y que su integral vale k (d c): Entonces, las propiedades de monotonía de
R R R
, y (ver 2.1) prueban este lema ya que las desigualdades
m h(t) M; t 2 [c; d]
se aplican a la funciones m y M (constantes) y h(t), y dan, por ejemplo:
m(d c) =
Z
d
c
Z
d
c
m dt Z
d
c
h(t) dt
M dt = M (d c)
2
Análogamente se procede con las otras dos.
Ahora pasamos a la prueba de la proposición:
Prueba: (De la proposición).
2 [a; b] y mostremos, por ejemplo, que F (x) es continua en x0 :
Por la propiedad aditiva de intervalo de F (x), tenemos para cada x 2 [a; b],
1. Sea x0
F (x) F (x0 ) =
x
Z
x0
f (t) dt
(Observe que esta igualdad es cierta independientemente de que x se encuentre a la derecha o a la izquierda de x0 ). Ahora, como f es acotada en [a; b],
elijamos constantes m < M tales que
m f (x) M para x 2 [a; b]
Rx
Entonces, aplicando el lema y la definición de x0 cuando
desigualdades
x < x0 , tenemos las
m(x x0 ) F (x) F (x0 ) M (x x0 )
o bien
M (x x0 ) F (x) F (x0 ) m(x x0 )
según que x x0 o x < x0 : Luego, en todos los casos
j F (x) F (x0 ) j (M m) j x x0 j
(El lector debe dar un argumento para justificar esta conclusión). Entonces,
, sigue que si j x x j< , entonces
dado que > 0, si ponemos =
0
2(M m)
j F (x) F (x0 ) j< , lo que prueba la continuidad de F: Para ver la de F , se
procede de manera análoga, «mutatis mutandis".
291
292
Integración
2. Aquí se trata de ver que si F (x) = F (x) para cada x < b, entonces tambien
F (b) = F (b),según la definición de integrabilidad. Pero es claro que
lim F (x) y lim F (x) existen ya que F y F son continuas en x = b y coinciden
x!b
pues F (x) = F (x) para x < b: Esto comprueba 2 y concluye la proposición, ya
que la continuidad de F en [a; b] sigue de la de F , por ejemplo, en [a; b]:
x!b
2
Observación:
1. En la proposición anterior la parte 2 tiene una versión análoga como
sigue: 2’. Supongamos que f es integrable en [x; b] para cada x > a:
Entonces, f es integrable en [a; b] y F (x) (que esta entonces definida
en todo el intervalo [a; b]), es continua en [a; b]:
Esta versión se prueba de manera análoga a la de la proposición.
2. Esto nos permite concluir que:
Sea f (x) una función acotada en [a; b] y sea (a =)u0 u1 ur (= b) puntos en [a; b]:
Supongamos que f (x) es integrable en cada intervalo [; ] < [a; b]
que no contega a ninguno de los puntos uk , entonces f (x) es integrable en [a; b]:
La prueba de esta afirmación queda a cargo del lector al cual le sugerimos la siguiente idea: Considere primero el caso de la figura 16.16
en que se trata solamente de:
a = u0 u1 u2 = b
a = u0 u1 u2 = b
Figura 16.16
En este caso, aplique la proposición anterior y la proposición de 2.4
(propiedad aditiva de intervalo). Después observe que el caso general no es sino una sucesiva e inteligente aplicación de este caso
sencillo. ( «Agregar un punto nuevo en cada paso").
Y llegamos así al teorema más importante de este capítulo. La proposición anterior nos muestra que las funciones F (x) y F (x) son siempre continuas (en realidad
las desigualdades que sirven para probar esto, afirman que F (x) y F (x) son más
que continuas. Los matemáticos dicen que esas desigualdades muestran que F (x)
y F (x) cumplen con la propiedad de Lipschitz, que a su vez, implica la continuidad).
La pregunta que interesa es aquella que se refiere a la derivabilidad de la integral
superior de F (x) y la de F (x), el teorema es el que sigue:
Teorema 13 Sea x0
2 [a; b] y supongamos que f es continua en x0 : Entonces:
16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración)
1. Ambas F (x) y F (x) son derivables en x0
2. Las derivadas
d F (x) y d F (x) en x = x ,
0
dx
dx
valen ambas f (x0 ):
Prueba: Haremos la prueba para el caso de F (x): La del caso F (x) es análoga.
También supondremos que x0 2 (a; b) (en un punto interior del segmento [a; b]). El
caso x0 = a o x0 = b sigue las mismas ideas, es más simple y queda a cargo del
lector interesado.
Sea entonces > 0 arbitrario y sea > 0 tal que si x 2 (x0 ; x0 + ), entonces
f (x0 ) < f (x) < f (x0 ) + El hecho que dado > 0, existe un tal > 0 no es mas que la expresión de la
continuidad de f (x) en x = x0 :
(16.6)
El lector debe convencerse de esto. Entonces,
(16.7)
F (x) F (x0 ) =
Z
x
x0
f (t) dt
según hemos visto, por la propiedad aditiva de intervalos de F (x): Ahora supondremos que x se elije a la derecha de x0 y tal que x < x0 + : Entonces,
(f (x0 ) )(x x0 ) <
< F (x) F (x0 )
< (f (x0 ) + )(x x0 )
gracias a 16.6 y al lema del comienzo de 3, ya que tenemos la igualdad 16.7. Así
entonces,
f (x0 ) <
(16.9)
< F (xx) Fx (x0 )
0
< f (x0 ) + si x 2 [x0 ; x0 + ]:
(16.8)
Con los mismos argumentos el lector se convencerá de que si x 2 (x0 ; x0 )
(x está a la izquierda de x0 ), se cumple la misma doble desigualdad 16.8 (¡Hay dos
cambios de signos!).
Luego dado > 0, existe > 0 tal que si
x 2 (x0 ; x0 + ), x 6= x0 ,
se tiene
< F (xx) Fx (x0 ) f (x0 ) < 0
Esto significa precisamente, que
lim F (xx) xF (x0 ) = F 0 (x0 )
0
0
existe y que F (x0 ) = f (x0 ), como queríamos probar.
x!x0
2
293
294
Integración
Corolario 14 (Cauchy) Si
[a; b]
f (x) es continua en [a; b], entonces f (x) es integrable en
Prueba: En efecto, ambas F (x) y F (x) son continuas en [a; b] y derivables en
(a; b): Luego la función G(x) = F (x) F (x) tiene las mismas propiedades. Pero si
x 2 (a; b),
d G(x) = F 0 (x) F 0 (x) = f (x) f (x) = 0
dx
Así que G(x) debe ser constante en [a; b](£por qué?). Pero G(a) = 0: Luego G(x)
es idénticamente nula en [a; b]: Así G(b) = F (b) F (b) = 0: Pero esto significa que
b
Z
a
f (x) dx =
Z
b
a
f (x) dx
2
y por ello, f (x) es integrable como queríamos.
Corolario 15 (La Regla de Barrow) Si f (x) es continua en [a; b] entonces f (x) tiene
primitivas en [a; b]: Si Q(x) es cualquier primitiva de f (x) en [a; b], entonces
b
Z
a
f (x) dx = Q(b) Q(a)
La segunda parte de este corolario es conocido como el Teorema Fundamental del
Cálculo.
Prueba: Por lo que acabamos de ver,
F (x) =
Z
x
a
f (t) dt,que coincide con F (x),
es una primitiva de f (x) en [a; b]: También hemos visto que
b
Z
a
f (x) dx = F (b) F (a):
Entonces, el corolario es cierto para esta primitiva particular (Q)x) = F (x)): Pero
sabemos (£sabemos?) que toda primitiva Q(x) = F (x) + c, donde c es constante.
Luego:
Q(b) = F (x) + c;
donde c es constante. Luego
Q(b) = F (b) + c; Q(a) = F (a) + c
y así
Q(b) Q(a) = F (b) F (a);
como queríamos. Finalizamos esta sección con el siguiente útil corolario.
2
Corolario 16 Si f (x) es una función acotada en [a; b] que es continua en todos los
puntos de [a; b], salvo en una cantidad finita de ellos, entonces f (x) es integrable en
[a; b]:
Prueba: En efecto, si llamamos u0 ; u1 ; ; ur a los puntos de [a; b] donde f (x)
no es continua, entonces en todo intervalo [; ] [a; b] que no contenga a ninguno
de ellos, f (x) es continua y entonces, integrable. Luego, podemos aplicar la observación 16.5 en la página 292 de esta sección y concluir que f (x) es integrable en [a; b],
como queríamos.
2
16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración)
Observación: La pregunta acerca de qué condiciones debe cumplir
una función para ser integrable, es sin duda, central para una teoría de la
integral. El corolario que precede a este comentario muestra que aunque
f (x) no sea continua, pueda aún ser integrable. Por otra parte, hemos
visto que funciones muy discontinuas no resultan integrables.
Debemos al matemático francés H. Lebesque, un teorema que especifica con precisión la «cantidad» de discontinuidades que pueda tener
una función para ser o dejar de ser integrable. El lector interesado puede
consultar (por ejemplo el libro de Rogozinski)
Ejemplos
1. Sea f una función real de valores reales con ley de correspondencia:
8
<
x si x 2 [ 2; 1]
f (x) = : x + 1 si x 2 ( 1; 0)
2
si x 2 [0; 2]
Su representación gráfica se muestra en la figura 16.17.
f una función real dada por trozos
Figura 16.17
Sea P = f 2; 1; 0; 1; 2g una partición de [
que 0 f (x) 2 para todo x 2 [ 2; 2].
Aquí m = 0 y M = 2.
Ahora, para [ 2; 1] es
m1 (f; p) = 1 y
M1 (f; p) = 2
para (
1; 0) es
m2 (f; p) = 0 y
M2 (f; p) = 2
2; 2], f es acotada en [ 2; 2] puesto
295
296
Integración
para [0; 1] es
m3 (f; p) = 2 y
M3 (f; p) = 2
para [1; 2] es
m4 (f; p) = 2 y
M4 (f; p) = 2
Además, es fácil comprobar que
m m1 (f; p) M1 (f; p) M ; i = 1; 2; 3; 4
Ejercicios
1. Sea f una función real de valores reales que no es itegrable en
continua en [a; b]? Razone su respuesta.
[a; b].
¿Es
f
2. Sea f una función monótona sobre [a; b]. Demuestre que
f (a)(a b) b
Z
f f (b)(b a)
a
ó que
f (b)(b a) b
Z
a
f f (a)(b a)
Rb
3. Demuestre que existe a x3 dx y que su valor es
4. Conociendo que
n
X
k=1
f
integrable en
3
p+1
kp puede escribirse en la forma pn + 1 + C0 np + C1 np 1 + ,
b
Z
demostrar que existe
5. Sea
que
b3 a3
0
p+1
xp dx = pb + 1 .
[a; b], utilizando las desigualdades estudiadas, demuestre
1 [s(f; P ) S (f; P )]
2Z
b
f 12 [s(f; P ) + S (f; P )] 12 [S (f; P ) s(f; P )]
a
y habrá usted probado que
Z
b
a
f
1 [S (f; P ) + s(f; P )] 1 [S (f; P ) s(f; P )]
2
2
o sea que el número 12 [S (f; P ) s(f; P )] es una cota superior del error cometido
Rb
al aproximar a f por 12 [S (f; P ) + s(f; P )].
16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración)
: [1; 4] ! R tal que f (x) = x1 . Supongamos que f es integrable en [1; 4].
Tómese la partición P = f1; 23 ; 2; 52 ; 3; 72 ; 4g 2 P ([1; 4]) y obtega un valor
Z
6. Sea f
4
dx .
1 x
Ayuda: Observa que f es estrictamente decreciente y por tanto
aproximado de
mi (f ) = f (xi ); Mi (f ) = f (xi 1 ):
dx 1; 395 = 1 (S + s) y j R 4 dx 1; 395 j< 0; 1895
1 x
x
2
Sea f : [0; 1] ! R tal que f (x) = x2 + 1. Supóngase que f es integrable en
Z 1
[0; 1]. Tomar P = f0; 0; 2; 0; 5; 0; 7; 1g. Obtener una aproximación de f y
R4
Solución: 1
7.
0
una cota superior del error cometido
8. Supongamos que f es diferenciable sobre [a; b] y que jf 0 (x)j k 8x 2 [a; b].
Aplíquese el teorema del valor medio para el cálculo diferencial y conclúyase
que:
(a) Para toda P
(b)
2 P ([a; b]); S (f; P ) s(f; P ) kkP k(b a).
f es integrable en [a; b].
Z
b
(c) a
f
1 [S (f; P ) + s(f; P )] 1 kkP k(b a).
2
2
9. ¿Cuán pequeño deberá hacerse kP k para estar seguros que el error en la aproximación de
Z
2
(a)
1
Z
(b)
por
0
5
du ,
u
sen(2 )d,
1 [S (f; P ) + s(f; P )] no sea mayor que 0,0005?
2
10. Expresar
da.
2
2
2
n + n + + n
lim
n!1 n3 + 13 n3 + 23
n3 + n3
, como una integral defini-
R1
dx 3 .
Solución: 0 1+
x
11. Demuestre la propiedad siguiente: si f y g son integrables sobre [a; b], entonces
el producto f g es también integrable en [a; b].
12. Hallar el valor medio f (c) de f (x) = 2x2 + 3x + 3 en [1; 4] y calcule c.
13. Hallar la altura promedio sobre el eje
x); x 2 [0; 2].
x para la curva de ecuación y = x2 (2
297
298
Integración
16.6
Apéndice
16.6.1
La Definición de Riemann de la Integral
La definición de Riemann de la Integral que hoy lleva su nombre, se basa en la noción de suma de Riemann asociada a una partición y a una selección subordinada.
Pasamos a explicar este concepto.
Sumas de Riemann
Sea P : a = x0 x1 ::: xn = b una partición del intervalo
asociada a la partición P es una sucesión de puntos.
[a; b]. Una selección S
S : 1 ; 2 ; :::; n ;
tales que
1 2 I1 = [x0 ; x1 ]; 2 2 I2 = [x1 ; x2 ]; : : : ; n 2 In = [xn 1 ; xn ]:
Es decir, que una selección S asociada a la partición P , «selecciona» en efecto, un
punto k en cada intervalo Ik = [xk 1 ; xk ] de la partición P . En la figura 16.18, se
ilustra esta situación.
Los puntos de la partición aparecen indicados
por segmentos verticales y
los de la selección S aparecen representados por
puntos gruesos
Figura 16.18
Ahora, consideremos la situación habitual en este capítulo: Una función acotada
f (x) definida en el intervalo I = [a; b].
Definición: Sea P una partición de I y sea S una selección asociada
a P . Entonces definimos la suma de Riemann S (f; P; S ) correspondiente
a la función f (acotada en I ), la partición P y la selección S como:
S (f; P; S ) = f (1 )(x1 x0 ) + f (2 )(x2 x1 ) + :::: + f (n )(xn xn 1 )
Observe que cada término de esta suma está asociado (como en el caso de las
sumas de Darboux) con un intervalo Ik = [xk 1 ; xk ] de la partición P . Pero mientras
que estos términos en el caso de las sumas de Darboux, tenían la forma
mk (xk xk 1 ) y Mk (xk xk 1 )
donde
mk = inf ff (x) j x 2 Ik g ;
Mk = supff (x) j x 2 Ik g;
aquí se trata el número
f (k )(xk xk 1 );
Así que, claramente, la siguiente relación vale para los tres números aquí considerados:
mk (xk xx 1 ) f (k ) (xk xk 1 ) Mk (xk xk 1 )
16.6 Apéndice
299
También hay una interpretación geométrica de las sumas de Riemann, para el
caso de funciones positivas f (x); como sumas de áreas de rectángulos. En la figura 16.19, se ilustra esta situación.
La suma de
Riemann
correspondiente
a esta partición
P y esta
selección S , es
igual a la suma
de las áreas de
los rectángulos
sombreados
Figura 16.19
Es claro que si la función f (x) es 0 en todo x, entonces el término f (k )(xk
xk 1 ) de la suma de Riemann S (f; P; S ) es el área del rectángulo Rk , con base Ik =
[xx 1 ; xk ] y altura f (k ).
El otro concepto central en la definición de la integral de Riemann es la noción de
norma de una partición.
Definición: Sea P una partición de I
= [a; b],
P : x = x0 x; :::: xn = b:
Llamaremos la norma de P, que indicaremos con jP j al número:
jP j = maxfxk xk 1 j k = 1; : : : ; ng
Así que jP j indica la longitud del intervalo más largo que contiene la partición
Por ejemplo, decir que jP j < " equivale a decir que todo intervalo Ik de P tiene
longitud menor que ".
La idea de la construcción de Riemann de la integral es la siguiente:
Para que una función f (x) sea integrable, «las sumas de Riemann deben acercarse tanto como se quiera a un número —la integral de f — con tal que las normas de
las particiones sean suficientemente pequeñas».
Es claro que la frase anterior debe ser precisada para que afirmaciones tales como
«tanto como se quiera» o «sean suficientemente pequeñas» adquieran un contenido
no ambiguo. Estas precisiones las haremos un poco más abajo. Ahora, sin embargo,
queremos detenernos para señalar las diferencias principales que se aprecian entre
las definiciones de Darboux y de Riemann de la integral.
Si el lector lo piensa un momento, verá que la definición de la integral que hemos
dado al comienzo de este capítulo, que se debe a Darboux, se podría formular en los
siguientes términos:
Para que la función f (x) sea integrable, «las sumas superiores y las sumas inferiores deberían estar simultáneamente tan cerca como se quiera de un número —la
integral de f — con tal que las particiones que se usan, sean suficientemente finas».
Observamos que ambas definiciones presentan diferencias que se pueden resumir así:
P.
300
Integración
Por una parte, los números que «aproximan a la integral» se construyen de manera diferente (sumas de Darboux versus sumas de Riemann), aunque hay una relación
clara entre ellos. Ya vimos que
mk xk f (k ) xk Mk xk
y luego, sumando:
S (f; P ) S (f; P; S ) S(f; P )
para toda partición P de I y toda selección S asociada con P .
Pero las divergencias más sustanciales se presentan cuando se considera que
las maneras de aproximarse a la integral dependen de «afinar» las particiones que
se usan, en dos sentidos muy diferentes. En efecto, si P es una «partición mucho
más fina P 0 » será una que tiene todos los puntos de P y «muchos más». Pero bien
podría suceder que, a pesar de esto, P 0 y P tuviesen la misma norma. El lector
emprendedor debería dar un ejemplo de esto. Por otra parte, dada la partición P ,
podríamos fácilmente crear una P 0 con norma mucho más pequeña P 0 pero de tal
manera que ni P P 0 ni P 0 P: ¿Puede el lector dar un ejemplo de esto?.
Luego de haber establecido estas observaciones de carácter informal, pasamos
las definiciones precisas.
Definición: (La definición de Riemann de la integral): Dada la
función f (x), acotada en el intervalo I = [a; b], diremos que f es integrable
en el sentido de Riemann en I con integral si se verifica la siguiente
condición:
Para cada " > 0 existe > 0 tal que para cada partición P con norma
jP j < y cada selección S asociada a P , se verifica que
jS (f; P; S ) j < "
Cuando esto suceda, diremos que f es integrable
=R
b
Z
a
R en I y pondremos
f (x) dx
Además, para distinguir, diremos que f (x) es integrable D si f (x) es integrable
en el sentido de Darboux, según la definición que hemos dado al comienzo de este
capítulo. Si es su integral, pondremos
=D
Z
a
b
f (x) dx
y diremos que es la integral de f en el sentido de Darboux.
El lector sagaz, habrá observado que la definición de la integral de Riemann tiene en su forma un parecido con la definición de límite de una función, aunque los
ingredientes, aparte del " y el , son bien diferentes.
Después de lo que hemos dicho en cuanto a las diferencias que señalamos entre
ambas definiciones de la integral, el siguiente importante teorema tiene sin duda un
carácter básico.
Teorema 17 (Darboux) Dada f (x) acotada en I; f es integrable en el sentido de
Riemann si y sólo si f es integrable en el sentido de Darboux.
Además, si f es integrable (en cualquiera de los dos sentidos), tenemos
R
b
Z
a
f (x)dx = D
b
Z
a
f (x) dx:
16.7 Ejercicios adicionales
En otras palabras, a pesar de las aparentes diferencias entre los dos conceptos de
integral, éstos son en realidad el mismo.
Adelantemos que la prueba de este teorema tiene cierta complejidad y el lector la
puede encontrar por ejemplo en «A course of Mathematical Analysis», Vol. 1, de S.M.
Nokolsky, (MIR publishers, Moscow).
16.7
Ejercicios adicionales
En las últimas páginas de este capítulo presentamos una lista de ejercicios de un
problemario usado desde 1984.
301
302
Integración
16.7 Ejercicios adicionales
303
304
Integración
16.7 Ejercicios adicionales
305
306
Integración
16.7 Ejercicios adicionales
307
308
Integración
16.7 Ejercicios adicionales
309
310
Integración
Capítulo 17
La Función Logaritmo
17.1
Definición
1
La función g (t) = es continua en el intervalo (0; 1), por lo tanto es integrable. Sin
t
embargo, ninguna de las funciones que conocemos (algebraicas o trigonométricas)
tiene como derivada a la función g (t): El Teorema Fundamental del Cálculo nos
permite definir una función continua en (0; 1) y cuya derivada es g (x): la función
logaritmo natural:
Definición: La función logaritmo natural, ln(x), se define por:
ln(x) =
Z
1
x1
t dt;
para x 2 (0; 1):
Esta función también se le llama función logaritmo neperiano en honor al matemático escocés John Napier (1550-1617) quien introdujo, aunque de manera diferente, las funciones logarítmicas.
17.2
Propiedades de la función Logaritmo Natural
Basta con la definición de la función logaritmo natural para probar algunas de su
propiedades importantes.
Teorema 18 Sea f (x) =
1.
ln(x), entonces:
Dom(f ) = (0; 1)
2. f(x) es continua en su dominio.
3. f(x) es estrictamente creciente, y por lo tanto, inyectiva.
4. f(x) es cóncava hacia abajo.
5.
f (x) 0 si x 2 [1; 1) y f (x) < 0 si x 2 (0; 1):
312
La Función Logaritmo
Prueba: Como
ln(x) =
Z
1
x1
t dt;
para x 2 (0; 1);
el Teorema Fundamental de Cálculo (ver la regla de Barrow en la página 15) nos
dice que f (x) = ln(x) es una función con Dom(f ) = (0; 1), con1 +tinua y cuya
derivada es f 0 (x) = x1 : Como f 0 (x) > 0 y f 00 > (x) = x12 < 0, para todo x 2 (0; 1),
f (x) = ln(x) es estrictamente creciente y cóncava hacia abajo en su dominio.
Consideremos el plano coordenado con eje horizontal t y eje vertical y: Si x 2
[1; 1) podemos interpretar
x1
Z
t dt = ln(x);
1
como el área de la región del plano acotada por las gráficas y = 1=t, t = 1, t = x y el
eje t (ver fig 17.1). Por lo tanto, f (x) = ln(x) es mayor o igual que 0 en este intervalo.
área acotada por las gráficas y = 1=t, t = 1, t = x y
el eje t
Figura 17.1
Si x 2 (0; 1), el área de la región del plano acotada por las gráficas y = 1=t, t = x,
t = 1 y el eje t es:
Z
1
x
1 dt =
t
es decir, f (x) =
ln(x);
ln(x) es menor que 0 en este intervalo.
2
Otras propiedades importantes de la función logaritmo natural son las siguientes:
Teorema 19 Sean x; a 2 (0; 1) y n 2 Q , entonces:
1.
2.
3.
4.
ln(1) = 0:
ln(ax) = ln(a) + ln(x):
ln(xn ) = n ln(x):
ln( ax ) = ln(a) ln(x):
17.3 La gráfica del f (x) =
ln(x)
313
Prueba:
1.
2.
ln(1) =
Z
1
1 dt = 0:
t
Sean g (x) = ln(ax) y h(x) = ln(a) + ln(x): Sabemos que, para todo x 2 (0; 1),
1
a =1
g0 (x) = ax
x
y
h0 (x) = 0 + x1 = x1 :
Como
decir,
g0(x) = h0 (x), se tiene que g(x) = h(x) + C , para todo x 2 (0; 1): Es
ln(ax) = ln(a) + ln(x) + C:
Evaluando en x = 1, se obtiene C
3.
4.
= 0 y completamos la prueba.
La prueba es similar a la anterior, haciendo g (x) = ln(xn ) y h(x) = n ln(x):
Usando las propiedades 2 y 3, se obtiene:
ln( xa ) = ln(ax 1 )
= ln(a) + ln(x 1 ) = ln(a)
ln(x):
2
17.3
La gráfica del f (x) =
Para dibujar la gráfica de f (x) =
Teorema 20 Si f (x) =
ln(x) nos falta encontrar Img(f ):
ln(x) para x 2 (0; 1), entonces Img(f ) = R:
Prueba: Como f (x)
R, basta verificar que
ln(x)
= ln(x) es una función continua, para probar que Img(f ) =
xlim
!1 ln(x) = 1:
y que
lim ln(x) = 1:
x!0+
Observe que el área bajo la curva de y = 1=t entre t = 1 y t = 4 es mayor que la
suma de las áreas de los rectángulos sombreados de la figura 17.2.
Entonces,
ln(4) > 1=2 + 1=3 + 1=4 = 13=12 > 1:
314
La Función Logaritmo
El área bajo la curva es mayor que la
suma de las áreas de los
rectángulos sombreados
Figura 17.2
Por lo tanto, si M
> 0 se tiene que,
M ln(4) > M:
Es decir:
ln(4M ) > M:
Como la función logaritmo natural es una función estrictamente creciente, si x > 4M :
ln(x) > ln(4M ) > M:
Hemos probado que dado M
> 0, para todo x > 4M
ln(x) > M:
Esto demuestra que
xlim
!1 ln(x) = 1:
Ahora,
ln( x1 ) = ln(x)
por lo tanto
lim ln(x) = lim
x!0
+
x!0
+
ln( x1 ) :
Cuando x tiende a 0 por la derecha, 1=x tiende a +1: Por lo tanto,
a 1, es decir
ln( x1 ) tiende
lim ln(x) = 1:
x!0+
2
Observe,
lim ln(x) = 1
x!0+
implica que x = 0 es una asíntota vertical de f (x):
Ahora sí estamos en capacidad de bosquejar la gráfica de f (x) =
ln(x):
17.4 El número e
315
Bosquejo de la gráfica de
f (x) = ln(x)
Figura 17.3
17.4
El número e
En la demostración del teorema 20 se ve que y = 1 está entre ln(1) = 0 y ln(4):
Como la función f (x) = ln(x) es continua, el teorema del valor intermedio nos dice
que existe un número real en (1; 4) tal que su imagen según la función f (x) = ln(x) es
1: Además, como la función f (x) = ln(x) es inyectiva, este número es único. Existe
un símbolo especial para este número.
Definición: Denotamos como e al número tal que
ln(e) =
e1
Z
1
t dt = 1:
Se denota por e en honor al matemático Leonard Euler (1707-1783) quien fue uno
de los primeros matemáticos en estudiar sus propiedades. Véase también la página
148 del texto de Matemáticas I donde se definió el numero e como el límite de una
sucesión, e 2;718281828459045.
17.5
Derivación logarítmica
El proceso conocido como derivación logarítmica, utiliza las propiedades de la función logaritmo natural estudiadas en el Teorema 18 para hallar, con relativa facilidad,
las derivadas de funciones con productos, cocientes o potencias complicadas. El
proceso se resume como sigue (para los valores de x donde h(x) > 0):
1. Sea y
= h(x)
2. Por lo tanto, ln(y ) = ln h(x): Utilizamos las propiedades del Teorema 18 para
simplificar el lado derecho de la igualdad.
3. Derivamos implícitamente y nos queda que
1 dy = d [ ln h(x)]:
y dx dx
4. Entonces
dy = h(x) d [ ln h(x)]:
h0 (x) = dx
dx
316
La Función Logaritmo
Como
d [ ln juj] = u0 ;
dx
u
el resultado también es válido para los valores de x donde h(x) < 0: Sin embargo,
esta fórmula no se puede aplicar para calcular el valor de h0 (x) en los puntos donde
h(x) = 0, pues ln(x) no está definida en x = 0:
Ejemplo: Sea h(x) =
3
x 21 : Apliquemos derivación logarítmica:
x
x 1
x2
r
ln(y) = ln x x2 1 : Simplificando, obtenemos:
ln(y) = 13 ln x x2 1
1. Sea y
2.
r
q
=
3
3
= 13 [ ln (x 1) ln x2 ]
= 31 [ ln (x 1) 2 ln x]:
3. Derivamos implícitamente y nos queda que
1 dy = 1 [ 1
y dx 3 x 1
4. Entonces
h0 (x) =
17.6
r
3
2] = 2 x :
x 3(x2 x)
x 1 2 x :
x2 3(x2 x)
Ejercicios
1. Desarrolle cada una de las siguientes expresiones usando las propiedades de
los logaritmos
(a)
(b)
(c)
ln( 4xyz )
4 5
log a52 10 1
p
p
ln 3e4 2
3
2. Expresar, como un logaritmo único, cada una de las siguientes funciones
(a)
(b)
(c)
(d)
log2 x + 5 log2 (x + 1) + 12 log2 (x 1)
1 [2 ln(x + 3) + ln(p2x) ln(x2 1)]
3
1 ln p3x 4 ln(2x + 3)
5
3 [ ln(x2 + 1) ln(x + 1) ln(x 1)]
2
3
17.6 Ejercicios
(e)
317
ln x + a ln y b ln z
3. Resuelva las siguientes ecuaciones
(a)
(b)
(c)
p
ln(2x 1) = 3 2
ln x2 = 2 ln 4 4 ln 2
ln(x + 6) + ln(x 3) = ln 5 + ln 2
4. Calcule
(a)
(b)
(c)
lim ln(x 6)
lim [ ln(3 + x) ln(x + 1)]
x!1
2 ln x
lim
x!1 1 + 3 ln x
x!6+
5. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
p
3 ln x 2+x 1
1 ln p6x + 7
6
p
ln( ln( x))
p
ln(x + x2 + 1)
p p
ln( x + 4 + x2 )
3
6. Calcule las siguientes integrales
e x2 + x + 1
Z
(a)
1
Z
(b)
Z
(c)
p
2x
dx
( ln x)2 dx
x
2x + 1
x2 + 2x dx
Z e
3 dx
2
x
ln x
e
Z p
( 2 + ln x)3 dx
2
(d)
(e)
x
7. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
en el punto sobre la gráfica cuya abscisa es 3
8. ¿ Cuál es la diferencia entre las gráficas de y
9. Calcular dy=dx usando derivación logarítmica
s
(a)
(b)
3
y = xx2 + 11
q
p
y = (5x2 + 3) 7x 5
5
3
y = x2 + ln(2x 5)
= ln(x2 ) y y = 2 ln x?
318
La Función Logaritmo
17.7
Ejercicios adicionales
En las últimas páginas de este capítulo presentamos una lista de ejercicios de un
problemario usado desde 1984.
17.7 Ejercicios adicionales
319
320
La Función Logaritmo
17.7 Ejercicios adicionales
321
322
La Función Logaritmo
Capítulo 18
La Función Exponencial
18.1
La Función Exponencial Natural
En el capítulo anterior vimos que la función f (x) = ln(x), es una función biyectiva
definida en (0; 1) y cuya imagen es R: Por lo tanto, la función f (x) = ln(x) tiene una
función inversa f 1 (x) : R ! (0; 1): Ahora, para todo x 2 Q , ln(ex )(= x ln(e) ) = x,
es decir, f 1 (x) = ex si x 2 Q : Por lo tanto, tiene sentido la siguiente definición:
Definición: La función exponencial natural, ex
por:
: R ! (0; 1), se define
ex = y , ln(y) = x:
Es decir, la función exponencial natural es la inversa de la función logaritmo natural.
Notación: La función exponencial por conveniencia también se denota por
exp(x) = ex ;
en particular en las figuras de este capítulo.
18.2
Propiedades de la función Exponencial Natural
Las propiedades más importantes de la función exponencial natural se listan en el
siguiente teorema.
Teorema 21 Sean x; y
1. e1
2.
3.
4.
2 R entonces:
= e:
ex+y = ex: ey , x; y 2 R:
ex y = eexy , x; y 2 R:
(ex )y = exy , x 2 R, y 2 Q :
Prueba:
324
La Función Exponencial
ln(e) = 1 y f 1(x) = ex entonces e1 = e:
Sean a = ex y b = ey : Entonces x = ln(a) y y = ln(b): Ahora:
1. Como f (e) =
2.
x + y = ln(a) + ln(b) = ln(ab):
Por lo tanto:
ex+y = ab = ex: ey :
3. Es similar a la anterior, se deja como ejercicio.
4. Como la función inversa de la función logaritmo natural es la función exponencial
natural, ln exy = xy y ln ex = x: Por lo tanto:
ln exy = xy = y ln ex:
Como y
2Q
y ln ex = ln(ex )y :
Queda que
ln exy = ln(ex)y :
Como f (x) =
ln(x) es inyectiva, concluimos que:
(ex )y = exy :
2
Sin embargo, la característica más interesante de la función ex es que ella es su
propia derivada.
d x x
dx [e ] = e :
Prueba: Supongamos que y = ex : Entonces
ln(y) = x:
Teorema 22
Derivando implícitamente
d [ ln(y)] = d [x]
dx
dx
es decir,
1 dy
y dx = 1:
Queda que
dy
dx = y:
2
18.3 La gráfica de ex :
325
ex es la función inversa de
f (x) = ln(x)
Figura 18.1
18.3
La gráfica de ex :
Como ex es la función inversa de f (x) = ln(x), su gráfica se obtiene reflejando la
gráfica de y = ln(x) con respecto a la recta y = x (ver figura 18.1).
Las principales características de la gráfica de y = ex se listan a continuación.
1.
2.
Dom(ex ) = R
Img(ex ) = (0; 1)
3. Es continua en su dominio.
4. Es estrictamente creciente, y por lo tanto, inyectiva.
5. Es cóncava hacia arriba.
6.
y = 0 es una asíntota horizontal de ex :
18.4
Otra definición del número e:
El siguiente teorema da otra definición del número e que es consistente con la dada
en el capítulo anterior (comparar también con capítulo 9 de la guía de MA–1111).
Teorema 23
x
e = xlim
!0(1 + x) :
1
ln(x): Sabemos que f 0 (1) = 1, por lo tanto:
1 = f 0 (1) = lim f (1 + x) f (1) :
Prueba: Sea f (x) =
x!0
x
Es decir:
ln(1 + x)
1 = xlim
!0
x
ln(1) :
326
La Función Exponencial
Usando las propiedades del logaritmo natural se obtiene que:
1 ln(1 + x) = lim ln(1 + x) x :
1 = xlim
!0 x
x!0
1
Como ex es una función continua:
e1 = elimx!
0
ln(1+x) x1
x
= xlim
!0(1 + x)
1
ln(1+x) x
= xlim
!0 e
1
Nos queda entonces
x
e = xlim
!0(1 + x)
1
18.5
2
Funciones exponenciales generales
Sea a > 0 y x 2 Q : Como a = e ln(a) , se tiene que:
ax = e ln(a) x = ex ln(a) :
Por lo tanto tiene sentido definir la función ax como sigue.
Definición: Sea a
(0; 1), se define por:
> 0: La función exponencial con base a, ax : R !
ax = ex ln(a) :
Estas funciones tienen las mismas propiedades que ex como veremos a continuación.
Teorema 24 Sean a; b > 0 y x; y
1.
2.
3.
4.
2 R entonces:
ax+y = ax: ay :
ax y = aaxy :
(ax )y = axy :
(ab)x = ax : bx
Prueba:
1. Se deja como ejercicio.
2. Se deja como ejercicio.
3.
(ax )y = ey ln(a ) = ey
= eyx ln(a) = axy
x
ln(ex
ln(a)
)
18.5 Funciones exponenciales generales
327
4.
(ab)x = ex ln(ab) = ex [ ln(a)+ ln(b)]
= ex ln(a)+x ln(b) = ex ln(a) : ex
Con respecto a la derivada de ax se tiene que:
ln(b) = ax : bx
2
Teorema 25 Si a > 0, entonces
d [ax ] = ax ln(a):
dx
Prueba:
d x d x ln(a) ]:
dx [a ] = dx [e
d [ex ] = ex ;
Como dx
d [ex ln(a) ] = ex ln(a) ln(a):
dx
Por lo tanto
d x x ln(a) ln(a) = ax ln(a):
dx [a ] = e
2
d [ax ] depende del signo del ln(a):Tenemos entonces
Observe que el signo de dx
dos tipos de gráficas:
1. Si y = ax y a 2 (0; 1), entonces ax es una función estrictamente decreciente y
cóncava hacia arriba como se observa en la figura 18.2
ax con a 2 (0; 1), es
estrictamente decreciente
y cóncava hacia arriba
Figura 18.2
2. Si y = ax y a 2 (1; 1), entonces ax es una función estrictamente creciente y
cóncava hacia arriba como se observa en la figura 18.3
328
La Función Exponencial
ax con a 2 (1; 1) es estric-
tamente creciente y cóncava hacia arriba
Figura 18.3
18.6
Funciones logarítmicas generales
Sea a > 0: Como ax : R ! (0; 1), es una función inyectiva tiene una función inversa.
Su función inversa se llama función logaritmo en base a y se denota por loga (x):
Como ln(1a) ln(ax ) = ln(1a) x ln(a) = x, tiene sentido la siguiente definición:
Definición:
Sea
a > 0: La función logaritmo en base a, loga (x) :
(0; 1) ! R, se define por:
y = loga (x) = ln(1a) ln(x) , x = ay :
Estas funciones tienen las mismas propiedades que
nuación.
ln(x) como veremos a conti-
Teorema 26 Sean a; x; y
1.
2.
3.
> 0 entonces:
loga (xy) = loga (x) + loga (y):
loga ( xy ) = loga (x) loga (y):
loga (xy ) = y loga (x):
La prueba de este teorema se deja como ejercicio. Con respecto a la derivada de
loga (x) se tiene que:
Teorema 27 Si a > 0, entonces
d
1
dx [ loga (x)] = x ln(a) :
Prueba:
d [ log (x)] = d [ 1 ln(x)]:
dx a
dx ln(a)
18.7 Ejercicios
329
d [ ln(x)] = 1 ;
Como dx
x
d 1
1 1
dx [ ln(a) ln(x)] = ln(a) x
Por lo tanto
d [ log (x)] = 1 :
dx a
x ln(a)
2
Como loga (x) es la función inversa de ax , su gráfica se obtiene reflejando la gráfica de y = ax con respecto a la recta y = x: Tenemos entonces dos tipos de gráficas:
1. Si y = loga (x) y a 2 (0; 1), entonces
decreciente y cóncava hacia arriba.
loga (x)
2. Si y = loga (x) y a 2 (1; 1), entonces
creciente y cóncava hacia abajo.
loga (x) es una función estrictamente
18.7
es una función estrictamente
Ejercicios
1. Dibuje la gráfica de cada una de las siguientes funciones
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
y=3 x
y = 3x 1
y = 5 3x
y = e x=2
y = 5x 3
2. Calcule
lim x
(a)
x! 1
(b)
xlim
!1(2
(c)
lim
1
2
x! (=2)
x + 2)
x
tan
3 x
3. Calcular dy=dx usando derivación logarítmica
(a)
(b)
y = (tan xp)x
y = sen(x x )
4. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
p
f (x) = 32 x
x
g(x) = ln( 11 + eex )
h() = e2 cos(3)
f (x) = ln log px
p
f (x) = e tan( 3x)
h(x) = sec(etan x )
2
330
La Función Exponencial
(g)
p
g(x) = x x
3
5. Calcule las siguientes integrales
Z
(a)
Z
(b)
Z
(c)
Z
(d)
sec2 (x)etan x dx
0
2
p
53 (3 2)2 dx
3
(52x + 3)2 dx
52x
3x dx
5ex
e2x + 2ex + 1 dx
2
Z
(e)
Z
(f)
Z
(g)
Z
(h)
x
p e
2 dx
x log x
exsen(ex ) dx
e x tan(e x ) dx
6. Encuentre un punto sobre la gráfica de
punto pase por el origen.
7. Encuentre una función
f 0 (0) = 2:
y = e2x tal que la tangente en dicho
p
f (x) tal que f 00 > (x) = 3ex + 2 cos(x), f (0) = 1 y
8. Calcule el área de la regiónplimitada por las gráficas de las ecuaciones
xe (x =2) ; y = 0; x = 0; x = 2
2
18.8
y=
Ejercicios adicionales
En las últimas páginas de este capítulo presentamos una lista de ejercicios de un
problemario usado desde 1984.
18.8 Ejercicios adicionales
331
332
La Función Exponencial
18.8 Ejercicios adicionales
333
334
La Función Exponencial
Capítulo 19
La Funciones Hiperbólicas
19.1
El Seno Hiperbólico y el Coseno Hiperbólico
En el capítulo anterior vimos que Dom(ex ) = R: Como Dom(ex ) es simétrico con
respecto al origen de coordenada, ex se puede descomponer en la suma de una
función impar fi y otra par fp :
(19.1)
x
ex = fi + fp = e 2e
x
x
x
+ e +2 e :
Definición: A la función impar fi de la descomposición (19.1) de ex
se le llama función seno hiperbólico, es decir:
x
x
senh(x) = e 2 e :
Definición: A la función par fp de la descomposición (19.1) de ex se
le llama función coseno hiperbólico, es decir:
x
x
cosh(x) = e +2e :
Es claro que Dom(senh(x)) = Dom(cosh(x))
gen de cada una de estas funciones.
Teorema 28
= R: Ahora veremos cual es la ima-
Img(senh(x)) = R:
Prueba: Sea c 2 Img(senh(x)): Entonces existe x 2 Dom(senh(x)) con
x
x
2x
c = e +2e = e 2ex 1 :
Es decir
e2x 2cex 1 = 0:
336
La Funciones Hiperbólicas
Tomemos y = ex , nos queda
y2 2cy 1 = 0:
p
Las p
posibles soluciones de esta ecuación cuadrática son y = c
c2 + 1 y y =
x
2
c + c + 1: Como y = e > 0, la primera de ellas no es solución. Sin embargo,
podemos despejar x de la segunda
p
x = ln(c + c2 + 1):
Es decir, para todo c 2 R encontramos un x 2 R
= Dom(senh(x)) con
senh(x) = c:
Por lo tanto
Img(senh(x)) = R:
2
Teorema 29
Img(cosh(x)) = [1; 1):
Prueba: Es similar a la anterior y se deja como ejercicio.
2
La gráfica del senh(x) (cosh(x)) puede encontrarse a partir de las gráficas de 12 ex y
1 e x , de la manera siguiente: las ordenadas de los puntos sobre las gráficas senh(
x)
2
(cosh(x)) se obtienen sumando (restando) las ordenadas de los puntos de las otras
dos gráficas. Ver las figuras 19.1 y 19.2.
La gráfica de senh(x)
Figura 19.1
19.2 Otras funciones hiperbólicas
337
La gráfica de cosh(x)
Figura 19.2
19.2
Otras funciones hiperbólicas
Existen muchas analogías entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas. Entre ellas se destaca la siguiente: las ecuaciones x = sen(t) y y = cos(t)
describen el círculo unitario, mientras que las ecuaciones x = senh(t) y y = cosh(t)
describen la rama derecha de la hipérbola x2 y 2 = 1 (ver Teorema 30). Es más, el
área de la región sombreada tanto en la figura 19.3 como en la figura 19.4 es t=2 (la
demostración la dejamos para que la investigue el lector).
El área de la región sombreada es t=2
Figura 19.3
Resulta natural entonces definir funciones hiperbólicas que correspondan a las
restantes funciones trigonométricas.
338
La Funciones Hiperbólicas
El área de la región
sombreada es t=2
Figura 19.4
Definición:
x
x
x
x
x) e e
tanh(x) = senh(
cosh(x) = ex + e x :
cosh(x) = e + e ; x 6= 0:
coth(x) = senh(
x) ex e x
1 = 2 :
sech(x) = cosh(
x) ex + e x
1 = 2 ; x 6= 0:
csch(x) = senh(
x) ex e x
Las gráficas de estas funciones se muestran en las figuras 19.5, 19.6, 19.7 y 19.8.
19.3
Idéntidades hiperbólicas
Existen muchas identidades que involucran funciones hiperbólicas y que son similares
a la identidades trigonométricas.
Teorema 30
1.
senh(x) + cosh(x) = ex:
2.
cosh2 (x) senh2 (x) = 1:
3.
1 tanh2 (x) = sech2 (x):
Prueba:
1. Es consecuencia inmediata de las definiciones de senh(x) y cosh(x):
19.3 Idéntidades hiperbólicas
339
La gráfica de tanh(x)
Figura 19.5
La gráfica de coth(x)
Figura 19.6
340
La Funciones Hiperbólicas
La gráfica de sech(x)
Figura 19.7
La gráfica de csch(x)
Figura 19.8
19.4 Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas
341
2.
cosh2 (x) senh2 (x)
x
x
x
x
= e +2e 2 e 2e 2
2x
x x
2x
= (e + 2e e4 + e )
(e2x 2exe x + e 2x)
4
xe x
4
e
= 4 = 1:
3. Basta con dividir los dos miembros de la igualdad anterior por cosh2 (x):
2
Las identidades hiperbólicas más importantes se encuentra en la sección de ejercicios que aparecen al final del capítulo.
19.4
Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas
Es fácil encontrar las fórmulas para las derivadas de las funciones hiperbólicas.
Teorema 31
d [senh(x)] = cosh(x):
1. dx
d [cosh(x)] = senh(x):
2. dx
d [tanh(x)] = sech2 (x):
3. dx
d [coth(x)] =
4. dx
d [sech(x)] =
5. dx
d [csch(x)] =
6. dx
csch2 (x):
sech(x)tanh(x):
csch(x)coth(x):
Prueba:
1.
d [senh(x)] = d [ ex e x ]
dx
dx
2
x+e x
e
=
2
= cosh(x):
2. Se deja como ejercicio.
342
La Funciones Hiperbólicas
3.
d [tanh(x)] = d [ senh(x) ]
dx
dx cosh(x)
2
2
= cosh (x) 2 senh (x)
cosh (x)
1
cosh2 (x)
= sech2 (x):
=
4. Se deja como ejercicio.
5.
d sech(x) = d [ 1 ]
dx
dx cosh(x)
x)
= senh(
2
cosh (x)
= sech(x)tanh(x):
6. Se deja como ejercicio.
2
Las fórmulas de integración correspondientes son:
2.
3.
4.
5.
6.
R
R
R
R
senh(u)du = cosh(u) + C:
cosh(u)du = senh(u) + C:
Corolario 32
1.
sech2 (u)du = tanh(u) + C:
csch2 (u)du = coth(u) + C:
R
sech(u)tanh(u)du = sech(u) + C:
R
csch(u)coth(u)du = csch(u) + C:
19.5
Las funciones hiperbólicas inversas
Si observa las gráficas de las funciones hiperbólicas, notará que las funciones senh(x),
tanh(x), coth(x) y csch(x) son inyectivas en sus dominios, y que las funciones cosh(x)
y sech(x) son inyectivas en [0; 1): Por lo tanto, podemos definir las funciones hiperbólicas inversas.
Teorema 33
1.
2.
3.
p
senh 1 (x) = ln(x + x2 + 1); x 2 R:
p
cosh 1 (x) = ln(x + x2 1); x 2 [1; 1):
x
tanh 1 (x) = 12 ln( 1+
1 x ); x 2 ( 1; 1):
19.5 Las funciones hiperbólicas inversas
4.
5.
6.
coth 1 (x) = 21 ln( xx+11 ); x 2 ( 1; 1) [ (1; 1):
p
sech 1 (x) = ln( 1+ x1 x ); x 2 (0; 1]:
p
csch 1 (x) = ln( 1+ jx1+j x ); x 2 R f0g:
2
2
Prueba:
1. Se deja como ejercicio.
2. Sea y
= cosh(x), x 2 [0; 1): Entonces:
x
x
y = e +2 e :
Multiplicando esta ecuación por 2ex , nos queda:
2yex = e2x + e xex ;
es decir
e2x 2yex + 1 = 0:
Esta es una ecuación cuadrática en ex : Por lo tanto:
p
ex = y y2 1:
Aplicando logaritmo natural se obtiene
p
x = ln(y y2 1):
Como x 0, debemos tomar el signo +. Entonces:
p
x = cosh 1 (y) = ln(y + y2 1):
3. Sea y
= tanh(x): Entonces:
x
x
y = eex + ee x :
Multiplicando esta ecuación por ex (ex + e x ) = e2x + 1, nos queda:
y(e2x + 1) = e2x 1;
es decir
(1 y)e2x = 1 + y:
Por lo tanto:
e2x = 11 + yy :
343
344
La Funciones Hiperbólicas
Aplicando logaritmo natural se obtiene
2x = ln( 11 + yy ):
Entonces:
x = tanh 1 (y) = 12 ln( 11 + yy ):
Observe que 11+yy
> 0 , y 2 ( 1; 1):
4. Se deja como ejercicio.
5. Se deja como ejercicio.
6. Se deja como ejercicio.
2
Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas se listan a continuación.
Teorema 34
d [senh 1 (x)] =
1. dx
d [cosh 1 (x)] =
2. dx
px12 +1 :
px12 1 :
d [tanh 1 (x)] = 1 2 ;
3. dx
1 x
d [coth 1 (x)] = 1 2
4. dx
1 x
jx j < 1:
; jx j > 1:
d [sech 1 (x)] = p 1 :
5. dx
x 1 x2
d [csch 1 (x)] = p 1 :
6. dx
jx j 1+x2
Prueba: Queda como ejercicio.
2
La gráfica de cada una de las funciones hiperbólicas inversas se obtiene reflejando
la gráfica de la función hiperbólica correspondiente con respecto a la recta y = x:
En las figuras 19.9 y 19.10 se muestran las gráficas de las funciones senh 1 (x) y
cosh 1 (x):
19.6
Ejercicios
1. Demuestre las siguientes identidades hiperbólicas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
senh(x)senh(y) = 21 [cosh(x + y) cosh(x y)]:
senh(x)cosh(y) = 12 [senh(x + y) + senh(x y)]:
cosh(x)cosh(y) = 21 [cosh(x + y) + cosh(x y)]:
cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y):
cosh(x y) = cosh(x)cosh(y) senh(x)senh(y):
senh(x + y) = senh(x)cosh(y) + cosh(x)senh(y):
19.6 Ejercicios
345
La gráfica de senh 1 (x)
Figura 19.9
La gráfica de cosh 1 (x)
Figura 19.10
346
La Funciones Hiperbólicas
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
senh(x y) = senh(x)cosh(y) cosh(x)senh(y):
senh(2x) = 2senh(x)cosh(x):
cosh(2x) = cosh2 (x) + senh2 (x):
senh2 ( x2 ) = cosh(2x) 1 :
cosh2 ( x2 ) = cosh(2x)+1 :
tanh(x)+tanh(y) :
tanh(x + y) = 1+tanh(
x)tanh(y)
tanh(
x
)
tanh(y) :
tanh(x y) = 1 tanh(x)tanh(
y)
2tanh(
x
)
tanh(2x) = 1+tanh (x) :
x) 1
tanh2 ( x2 ) = cosh(
cosh(x)+1 :
2
dy :
2. Dado y , encuentre dx
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
y = senh(x4 + 2):
y = cosh(9x)senh(8x):
y = 2x3 cosh(x):
y = 2x cosh2 (x):
y = ln(sech(x)):
y = ln(cosh 1 (x)):
y = cosh(tan(x)):
y = senh 1 (extan(x)):
3. Calcule las siguientes integrales.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
R
R
p
senh(
p x) dx:
x
cosh(x + 2)senh2 (x + 2) dx:
R
tanh(x) dx:
R
cosh2 (x) dx:
R
csch2 (4x + 1) dx:
R
csch3 (x)coth(x) dx:
R
1
1 4x 2x2 dx:
R
(h) p1 14x2 dx:
(g)
4. Dibuje la gráfica de la función f (x) = x
5.
tanh(x):
dy derivando implícitamente ln(y ) = x2 tanh(y ):
Encuentre dx
19.7
Ejercicios adicionales
En las últimas páginas de este capítulo presentamos una lista de ejercicios de un
problemario usado desde 1984.
19.7 Ejercicios adicionales
347
348
La Funciones Hiperbólicas
Capítulo 20
Métodos de Integración
20.1
Integración por partes
El primer método que estudiaremos es el método de integración por partes, que
es particularmente útil cuando el integrando puede escribirse como producto de dos
funciones, una de las cuales tiene una primitiva fácil de calcular.
Teorema 35 Sean f (x) y g (x) dos funciones continuas y con derivadas continuas en
[a; b]: Entonces:
Z
1.
b
Z
2.
Z
f (x)g0 (x) dx = f (x)g(x)
a
f (x)g0 (x) dx = f (x)g(x
b
)
a
f 0 (x)g(x) dx:
b
Z
a
f 0 (x)g(x) dx:
Prueba:
1. Sabemos que
d
0
0
dx [f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x):
Despejando f (x)g 0 (x) nos queda
d [f (x)g(x)] f 0 (x)g(x):
f (x)g0 (x) = dx
d [f (x)g (x)] y f 0 (x)g (x) son integrables, se tiene
Como f (x)g 0 (x), dx
Z
Z
d [f (x)g(x)] dx Z f 0 (x)g(x) dx;
f (x)g0 (x) dx = dx
Z
d
y como
dx [f (x)g(x)] = f (x)g(x), obtenemos
Z
f (x)g0 (x) dx = f (x)g(x)
Z
f 0 (x)g(x) dx:
350
Métodos de Integración
2. Es consecuencia inmediata de lo anterior.
2
Si tomamos u = f (x) y dv = g (x) dx, la fórmula de integración por partes se puede
rescribir de la siguiente manera:
Z
u dv = uv
Z
v du:
Ejemplos
1. Consideremos
Z
x cos(x) dx:
Tomemos u = x y dv
= cos(x) dx, entonces
Z
du = dx
v = cos(x) dx = sen(x):
y
Aplicando la fórmula de integración por partes, nos queda
Z
Z
x cos(x) dx = x sen(x)
sen(x) dx
= x sen(x) [ cos(x)] + C
= x sen(x) + cos(x) + C:
2. Consideremos
Z
(x + 1) ln(x) dx:
Tomemos u =
ln(x) y dv = (x + 1) dx: Por lo tanto
du = x1 dx
Z
y
2
v = (x + 1) dx = x2 + x:
Entonces
Z
(x + 1) ln(x) dx =
2
Z
2
( x2 + x) x1 dx
Z
2
= ( x2 + x) ln(x) ( x2 + 1) dx
= ( x2 + x) ln(x)
2
2
= ( x2 + x) ln(x) ( x4 + x) + C
2
2
= ( x2 + x) ln(x) x4 x + C:
20.2 Integración por sustitución
351
3. Consideremos
Z
1
0
arcsen(x) dx:
Tomemos u = arcsen(x) y dv
du = p 1
1 x
= dx, entonces
Z
2 dx
v = dx = x:
y
y:
Z
1
0
arcsen(x) dx
Z
)1
= x arcsen(x
= ( 2
Z
0)
0
0
1
1
0
xp 1
1 x2
dx
x(1 x2 ) 1=2 dx
Z 1
= 2 + 12 ( 2x)(1 x2 ) 1=2 dx
0
= 2 + (1 x2 )1=2 10 = 2 1:
20.2
Integración por sustitución
Teorema 36 Sean f (x) y g (x) dos funciones continuas en su dominio. Supongamos
que f g (x) está definida en [a; b] y que g (x) tiene en [a; b] primera derivada continua.
Entonces:
1.
Z
Z
f (g(x))g0 (x) dx = f (u) du = F (u) + C = F (g(x)) + C:
(20.1)
2.
b
Z
(20.2)
Prueba:
1. Ejercicio
a
f (g(x))g0 (x) dx =
g(b)
Z
g(a)
f (u) du:
352
Métodos de Integración
2. Si F (x) es una primitiva de f (x), entonces
g(b)
Z
g(a)
f (u) du = F (g(b)) F (g(a)):
Por otra parte:
(F g)0 (x) = f 0 (g(x))g0 (x) = f (g(x))g0 (x);
g es una primitiva de f (g(x))g0 (x): Entonces:
es decir, F
b
Z
a
f (g(x))g0 (x) dx = (F g)(b) (F g)(a)
= F (g(b)) F (g(a)):
Por lo tanto los dos miembros de (20.1) son iguales.
2
Llamaremos Método de Sustitución al método de hallar integrales indefinidas (definidas) usando (20.1) ((20.2)).
Ejemplos
Z
1.
1 Z (3x4 + 2)5 12x3 dx:
12
Si tomamos u = 3x4 + 2, se tiene que du = 12x3 dx: Haciendo esta sustitución
(3x4 + 2)5 x3 dx =
resulta:
Z
1 Z u5 du = 1 1 u6 + K 12
12 6
1
4
6
= 72 (3x + 2) + C:
(3x4 + 2)5 x3 dx =
Z
2.
e tan(x) dx = Z e tan(x) sec2 (x) dx:
cos2 (x)
Haciendo u = tan (x), se tiene que du = sec2 (x) dx y nos queda que:
Z
e tan(x) dx = Z e tan(x) sec2 (x) dx
cos2 Z(x)
= eu du = eu + C = e tan(x) + C:
Z 3.
2
0
sen(x) dx:
9 + cos2 (x)
20.3 Sustituciones Trigonométricas
353
Haciendo u = cos(x), se tiene que du = sen(x) dx: Además, para
x = 2 se tiene que u = 1 y u = 0, respectivamente. Entonces:
Z 2
0
sen(x)
9 + cos2 (x) dx =
=
Z
0
du
9 + u2
1
Z
x=0y
1
0
du
9 + u2
Z 1
du
= 91
2
0 1+ u
9
u
1
Si tomamos t = , dt = du: Además, t =
3
3
respectivamente. Por lo tanto, tenemos que:
Z 2
0
0 y t = 13
para
u = 0 y u = 1,
sen(x)
8 + cos2 (x) dx =
Z 1
1
du
=9
2
0 1+ u
9
Z
3dt
1
+ t2
0
= 13 arctan ( 13 ) arctan (0)
= 13 arctan ( 13 ):
= 19
20.3
1
3
Sustituciones Trigonométricas
p
a2 x2 , con a > 0:
En este caso se utiliza la sustitución x = asen(t): Al hacer esta sustitución, o
cualquiera de las otras dadas en esta sección, supondremos que t está en el
rango de la función trigonométrica correspondiente.
En este caso, t 2 [ =2; =2]
p
p
y por lo tanto, cos (t) 0: De aquí que, a2 x2 = a2
a2 sen2 (t) = a cos(t):
(I) Integrales que contienen la expresión
Ejemplo:
Z
px
2
4 x2
dx:
Hacemos la sustitución x = 2sen(t): Entonces dx = 2
cos(t) dt:
354
Métodos de Integración
Z
2
px
dx =
4 Z x2
2
= p 4 sen (t)2 2 cos (t) dt
4 4 sen (t)
Z
2 (t)
= 42 sen
cos(t) 2 cos(t) dt
Z
= 4 sen2 (t) dt
Z
t) dt
= 4 1 cos(2
2
Z
= 2 dt
=2t
Z
2 cos(2t) dt
sen(2t) + C
=2t
2 sen(t) cos(t) + C:
Observe que si x = asen(t) y t 2 [0; =2]; podemos interpretar t
como un ángulo de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa
es a,
p
el cateto opuesto a t es x y el cateto adyacente a t es a2 x2 : Ver
figura 20.1. Entonces, para escribir el resultado de la integral en fun-
la hipotenusa es a, el cateto opuesto a t es x y
el cateto adyacente a t es la raiz cuadrada de
a2 x2
Figura 20.1
p
x
4 x2 =
ción de x, usando el triángulo obtenemos que = sen(t) y
2
2
cos(t) (note que estas fórmulas son ciertas para t 2 [ =2; 0]). Nos
queda que:
Z
2
px
4 x2
dx =
= 2 arcsen ( x2 )
p
x 4 x2 + C:
2
20.3 Sustituciones Trigonométricas
355
p
a2 + x2 , con a > 0:
En este caso se utiliza la sustitución
p x = aptan(t), con t 2 [ =2; =2]: Por lo
tanto, sec(t) 0: De aquí que, a2 + x2 = a2 + a2 tan2 (t) = asec (t):
(II) Integrales que contienen la expresión
Ejemplo:
Z
p1
x 9 + x2
dx:
Hacemos la sustitución x = 3
Z
p1
x 9Z+ x2
=
=
=
=
tan(t): Entonces dx = 3sec2 (t) dt:
dx =
3 sec2 (t)
dt
3 tan(t) 9 + 9 tan2 (t)
3 sec2 (t) dt
3 tan(t) 3 sec(t)
sec(t)
3 tan(t) dt
1 1 dt
3 sen(t)
p
Z
Z
Z
= 13
Z
csec (t) dt
Z
(t) + ctan (t) dt
csec (t) csec
csec (t) + ctan (t)
Z
csec (t) ctan (t) + csec2 (t) = 13
dt:
csec (t) + ctan (t)
Ahora hacemos la sustitución u = csec (t)+ctan (t), du = [csec2 (t)+
csec (t) ctan (t)] dt: Nos queda:
= 13
Z
p1
dx =
= 13 du
u
x 9 + xZ2
= 31 ln juj + C
= 13 ln jcsec (t) + ctan (t)j + C:
Observe que si x = a tan(t) y t 2 [0; =2]; podemos interpretar t
como
p 2 un2 ángulo de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es
a + x , el cateto opuesto a t es x y el cateto adyacente a t es a:
Ver figura 20.2. Entonces, para escribir el resultado
p de la integral en
función de x, usando el triángulo obtenemos que
9 + x2 = csec (t) y
x
356
Métodos de Integración
la hipotenusa es la raiz cuadrada de a2 + x2 , el
cateto opuesto a t es x y el cateto adyacente a
t es a
Figura 20.2
3 = ctan (t) (note que estas fórmulas son ciertas para t 2 [ =2; 0]).
x
Nos queda que:
Z
p 1 dx =
x 9 + x2 p
2
= 13 ln j 9 x+ x + x3 j + C
p
2
= 13 ln j 9 +xx + 3 j + C:
p
x2 a2 , con a > 0:
En este caso se utiliza la sustitución
p x = a sec(pt) con t 2 [0; =2) [ [; 3=2): Por
lo tanto, tan(t) 0: De aquí que, x2 a2 = a2 sec2 (t) a2 = a tan(t):
(III) Integrales que contienen la expresión
Ejemplo:
Z
p
x2 16 dx:
x
Hacemos la sustitución x = 4 sec(t): Entonces dx = 4 sec(t) tan(t) dt:
Z p 2
x 16 dx =
x p
Z
16sec2 (t) 16
4 sec(t) tan(t) dt
=
4 sec(t)
Z
t)
= 44 tan(
sec(t) 4 sec(t) tan(t) dt
Z
= 4 tan2 (t) dt
Z
= 4 [sec2 (t) 1] dt
= 4 [ tan(t)
t] + C:
20.4 Integración de funciones racionales
357
Observe que si x = a sec(t) y t 2 [0; =2), podemos interpretar t
como un ángulo de un triángulo
p rectángulo donde la hipotenusa es
x; el cateto opuesto a t es x2 a2 y el cateto adyacente a t es a:
Ver figura 20.2. Entonces, para escribir el resultado de la integral en
la hipotenusa es x; el cateto opuesto a t es la
raiz cuadrada de x2 a2 y el cateto adyacente
a t es a
Figura 20.3
p
x2 16 = tan(t)
4
(note que estas fórmulas son ciertas para t 2 [; 3=2)). Nos queda
función de x, usando el triángulo obtenemos que
que:
Z
20.4
p
x2 16 dx =
xp
= x2 16 4 arcsec ( x4 ) + C:
Integración de funciones racionales
En esta sección estudiaremos un método para integrar funciones racionales, es decir,
funciones de la forma
f (x) = hg((xx)) ;
en donde g (x) y h(x) son polinomios con coeficientes reales.
Si el grado de g (x) es menor o igual al grado de h(x), entonces
f (x) = F1 + F2 + ::: + Fn ;
donde cada Fi , i = 1; :::; n es también una función racional tal que
+B ;
Fi = (x Ar)k o Fi = (ax2Cx
+ bx + c)l
donde k; l 2 N y ax2 + bx + c es un polinomio irreducible en R: A esta descomposición
de f (x) la llamaremos descomposición en fracciones simples.
Consideraremos funciones racionales
grado
h(x):
f (x) = hg((xx))
con grado
g(x) menor que
h(x): Este método presenta varios casos según la naturaleza del polinomio
358
Métodos de Integración
(I) Si h(x) tiene solo raíces reales r1 ; r2 ; :::; rp : Es decir,
r1 con orden de multiplicidad M1
r2 con orden de multiplicidad M2
.
..
rp con orden de multiplicidad
Mp
Se puede mostrar en este caso que cada raíz ri con orden Mi da origen a una
suma de la forma:
A1
A2
AM
(x ri )Mi + (x ri )Mi + + (x ri )
1
1
siendo los Aj constantes reales a determinar.
Ejemplos
(a) Calcular
Z
x+1
x3 7x + 6 dx:
x+1
x+1
=
3
x 7x + 6
(x 1)(x 2)(x + 3)
= xA1 1 + xA2 2 + xA+3 3
Multiplicando a ambos miembros por x3 7x + 6 = (x 1)(x 2)(x + 3);
se obtiene
(20.3)
x + 1 = A1 (x 2)(x + 3)+
+A2 (x 1)(x + 3)
+A3 (x 1)(x 2)
En este caso, podemos hallar A1 , A2 y A3 sustituyendo x en (20.3) por las
raíces de h(x):
para x =? se obtiene
Entonces:
Z
)
) A2 = 3=5;
x=2
3 = 5A2
x= 3
2 = 20A3 ) A3 = 1=10
x=1
2 = 4A1 ) A1 = 1=2
x+1
x3 7x Z+ 6 dx = Z
1 Z dx
= 12 xdx 1 + 35 xdx 2 10
x+3
20.4 Integración de funciones racionales
359
= 12 ln j x 1 j + 35 ln j x 2 j
1
10 ln j x + 3 j +C
jx 2j
= ln
+C
jx 1j jx+3j
3
5
1
2
(b) Calcular
Z
1
10
x dx
(x 1)2 (x 2)2 :
Tenemos que
(x
x
1)2 (x
2)2
= (x A11)2 + xA2 1 + (x A32)2 + xA4 2
Multiplicando a ambos miembros de la igualdad por
tiene
(20.4)
x = A1 (x
+A2 (x
+A3 (x
+A4 (x
(x 1)2 (x 2)2 , se
2)2 +
1)(x 2)2 +
1)2 +
1)2 (x 2):
Podemos hallar A1 y A3 sustituyendo x en (20.4) por las raíces de h(x):
para x = 2 se obtiene 2 = A3
para x = 1 se obtiene 1 = A1
Además, obtenemos A4 = 3 y A2 = 3, sustituyendo
(20.4) e igualando coeficientes. Entonces
Z
A1 = 1 y A3 = 2 en
x dx
(x Z1)2 (x 2)2 = Z
Z
Z
= (x dx1)2 + 3 (xdx 1) + 2 (x dx2)2 3 (xdx 2)
= x 1 1 + 3 ln j x 1 j 2 x 1 2 3 ln j x 2 j +C
3
= (x 1) 1 2(x 2) 1 + ln jj xx 21 jj3 + C
(II) Consideremos ahora el caso en que h(x) tiene raíces imaginarias. Si h(x) admite una raíz imaginaria r = i con multiplicidad m, se sabe que también
admite la raíz r = i con la misma multiplicidad. Por lo tanto, el polinomio
ax2 + bx + c con raíces imaginarias r, r, aparece elevado a la m en la descomposición de h(x): Se puede demostrar en este caso que cada raíz imaginaria r
360
Métodos de Integración
con orden m da origen a una suma de la forma:
p1 x + q1
(ax2 + bx + c)m +
p2 x + q2
+ (ax2 +
bx + c)m
1
.
..
x + qm
+ axpm
2 + bx + c
Ejemplo:
Calcular
Z
x dx
(1 + x3 ) :
Tenemos que
1 + x3 = (1 + x)(x2 x + 1):
Pero x2 x + 1 tiene raíces imaginarias y 1 + x tiene la raíz real
1: Entonces
x
1 + x3 =
= (1 + x)(xx2 x + 1)
A + px + q
= 1+
x x2 x + 1
Multiplicando a ambos miembros de la igualdad por
x)(x2 x + 1); se tiene:
(20.5)
x = A(x2 x + 1)+
+(px + q)(1 + x)
En este caso, podemos hallar A sustituyendo x =
x = 1 ) 1 = 3A ) A = 1=3
Además,
para
) 0 = A + q ) q = 1=3
x=0
para
x = 1 ) 1 = A + 2(p + q) ) p = 1=3:
Entonces
Z
x dx =
1 + x3
1 dx + Z 31 x + 13 dx
3(1 + x)
x2 x + 1
Z
= 13 ln j 1 + x j + 13 x2 x +x 1+ 1 dx
=
Z
1 + x3 = (1 +
1 en (20.5).
20.4 Integración de funciones racionales
Ahora,
Z
361
x + 1 dx =
x+1
Z 1
(2x 1) + 1 + 1
= 2 x2 x + 1 2 dx
Z
Z
= 12 x22x x +1 1 dx + 32 x2 dxx + 1
Z
= 12 ln j x2 x + 1 j + 23 x2 dxx + 1
x2
Para la última integral se hace:
x2 x +
1=
1
1
2
= (x 2 ) + 1 4 =
= (x 12 )2 + 34
Z
dx = Z
dx
2
1
x x+1
(x 2 )2 + 34
r
r
1 = 3 t, dx =
2
4
y con la sustitución x
Z
x2
3 dt se llega a
4
dx =
x+1
r
3 Z dt
4 34 t2 + 34
p
2
= 3 3 arctan 2xp 1 + C:
3
=
Finalmente,
Z
x
1 + x3 dx =
= ln j x
2
x+1j
pj x + 1 j
1
6
1
9
+ 33 arctan 2xp 1 + C:
3
f (x) = hg((xx)) con grado de g(x) mayor o igual al
grado de h(x), dividimos g (x) entre h(x) para obtener:
f (x) = p(x) + hr((xx)) ;
Observación:
Si
362
Métodos de Integración
donde p(x) y r(x) son polinomios y el grado de r(x) es menor que el grado
de h(x): Por lo tanto,
Z
Z
Z
f (x) dx = p(x) dx + hr((xx)) dx;
y la última integral se resuelve usando el método que acabamos de describir.
20.5
Integrales Trigonométricas
(I) Integrales de la forma
Z
(a)
senm (x)cos n (x) dx:
m = 2k + 1, k entero no negativo (m impar y no negativos).
Z
senm (x) cosn (x) dx =
Z
= sen2k+1 (x) cosn (x) dx
Z
= (sen2 (x))k cosn (x)sen(x) dx
Z
= (1
cos2 (x))k cosn (x)sen(x) dx
Esta última expresión es fácil de integrar.
Ejemplo
Z
sen5 (x)cos2 (x) dx =
Z
= sen4 (x)cos2 (x)sen(x) dx
Z
= (sen2 (x))2 cos2 (x)sen(x) dx
Z
= (1 cos2 (x))2 cos2 (x)sen(x) dx
Z
= (1 2cos2 (x) + cos4 (x))cos2 (x)sen(x) dx
Z
= (cos2 (x) 2cos4 (x) + cos6 (x))sen(x) dx:
20.5 Integrales Trigonométricas
Hacemos la sustitución u =
Z
363
cos(x), du = sen(x) dx y nos queda:
sen5 (x) cos2 (x) dx =
Z
=
(u2 2u4 + u6) du
= 13 u3 + 25 u5 17 u7 + C
= 13 cos3 (x) + 25 cos5 (x) 17 cos7 (x) + C:
(b)
n = 2l + 1, l entero no negativo (n impar y no negativo).
Z
senm (x) cosn (x) dx =
Z
= senm (x) cos2l+1 (x) dx
Z
= senm (x)( cos2 (x))l cos(x) dx
Z
= senm (x)(1 sen2 (x))l cos(x) dx:
Ejemplo:
Z
sen(x) cos3 (x) dx =
Z
= sen(x) cos2 (x) cos(x) dx
Z
= sen(x)(1 sen2 (x)) cos(x) dx
Z
= (sen(x) sen3 (x)) cos(x) dx:
Hacemos la sustitución
da:
Z
u = sen(x), du = cos(x) dx y nos que-
sen(x) cos3 (x) dx =
Z
= (u u3) du
= 12 u2
1 u4 + C
4
= 12 cos2 (x) 14 cos4 (x) + C:
(c)
m = 2k y n = 2l, k y l enteros no negativo (m y n pares, no negativos).
364
Métodos de Integración
Se usa repetidas veces las identidades trigonométricas:
x)
cos2 (x) = 1 + cos(2
2
y
sen 2 (x) = 1
cos(2x) ;
2
hasta simplificar el integrando.
Ejemplo:
Z
Z
Z
x) )2 dx
sen4 (x) dx = (sen2 (x))2 dx = ( 1 cos(2
2
Z
2
= 1 2 cos(2x)4+ ( cos (2x)) dx
Z
x) + 1 1 + cos(4x) dx
= 14 cos(2
2
4
2
Z
Z
Z
cos(2x) dx + 1 dx + Z cos(4x) dx
= 14 dx
2
8
8
3
sen(2
x
)
sen(4
x
)
= 8x
4 + 32 + C:
(II) Integrales de la forma
Z
(a)
tanm (x)sec n (x) dx:
n = 2l, l entero no negativo (n par y no negativo).
Z
=
=
=
tanm (x) secn (x) dx =
Z
Z
Z
Ejemplo:
tanm (x) sec2l (x) dx
tanm (x)( sec2 (x))l
1
sec2 (x) dx
tanm (x)(1 + tan2 (x))l 1 sec 2 (x) dx:
Z
=
=
tan3 (x) sec4 (x) dx =
Z
Z
tan3 (x) sec2 (x) sec2 (x) dx
tan3 (x)(1 + tan2 (x)) sec2 (x) dx
Z
= ( tan3 (x) + tan5 (x)) sec2 (x) dx:
Hacemos la sustitución
queda:
u = tan(x), du = sec2 (x) dx
y nos
20.5 Integrales Trigonométricas
Z
tan3 (x) sec4 (x) dx =
Z
= (u3 + u5 ) du
= 14 u4 + 16 u6 + C
= 14 tan4 (x) + 16 tan6 (x) + C:
(b)
m = 2k + 1, k entero no negativo (m impar y no negativo).
Z
tanm (x) secn (x) dx =
Z
= tan2k+1 (x) secn (x) dx
Z
= (tan2 (x))k tan(x) secn 1 (x)sec(x) dx
Z
= ( sec2 (x) 1)k secn 1 (x)sec (x)tan(x) dx:
Ejemplo:
Z
tan3 (x) sec5 (x) dx =
Z
= (tan2 (x))tan(x) sec4 (x) sec(x) dx
Z
= ( sec2 (x) 1) sec4 (x) sec(x)tan(x) dx
Z
= ( sec6 (x)
sec4 (x)) sec(x)tan(x) dx:
Hacemos la sustitución u = sec(x), du = sec(x)tan (x) dx y nos
queda:
Z
tan3 (x) sec5 (x) dx =
Z
= (u6 u4 ) du
= 17 u7
1 u5 + C
5
= 17 sec7 (x) 15 sec5 (x) + C:
(c)
n = 0 y m = 2k, k entero no negativo (m par y no negativo).
Z
tanm (x) dx =
365
366
Métodos de Integración
Z
= tanm 2 (x)(tan2 (x)) dx
Z
= tanm 2 (x)( sec2 (x) 1) dx
Z
= tanm 2 (x) sec2 (x) dx
Z
tanm 2 (x) dx:
La primera es del tipo (II.a) y la segunda es del tipo (II.c) pero de menor
exponente.
Ejemplo: Z
tan4 (x) dx =
Z
= ( tan2 (x))( tan2 (x)) dx
=
=
=
=
Z
Z
tan2 (x)( sec2 (x) 1) dx
tan2 (x) sec2 (x) dx
Z
Z
tan2 (x) sec2 (x) dx
Z
Z
(tan 2 (x)) dx
(sec 2 (x) 1) dx
tan2 (x) sec2 (x) dx
Z
Z
sec 2 (x) dx + dx:
Hacemos la sustitución u = tan(x), du = sec2 (x) dx en la pri-
mera integral integrales y nos queda:
Z
tan4 (x) dx =
Z
= u2 du
= 13 u3
tan(x) + x + C
= 13 tan3 (x)
(d)
tan(x) + x + K
tan(x) + x + C:
m = 0 y n = 2l + 1, l entero no negativo (n impar y no negativo).
Z
secn (x) dx =
20.5 Integrales Trigonométricas
=
Tomamos u =
Z
367
secn 2 (x) sec2 (x) dx:
secn 2 (x) y dv = sec2 (x) e integramos por partes.
Ejemplo:
Z
sec3 (x)(x) dx =
Tomamos u =
Z
sec(x)sec 2 (x) dx:
sec(x) y dv = sec2 (x) e integramos por partes.
Z
sec3 (x)(x) dx =
=
Z
sec(x) sec2 (x) dx
= sec(
x) tan(x)
Z
sec(x)tan (x) tan(x) dx
= sec(
x) tan(x)
Z
sec(x)(tan 2 (x)) dx
= sec(
x) tan(x)
Z
sec(x)(sec 2 (x) 1) dx
= sec(
x) tan(x)
Z
sec3 (x) dx
Z
+ sec(x) dx:
Z
Despejando
sec3 (x) dx de la ecuación, nos queda:
Z
2 sec3 (x)(x) dx =
Z
sec(x) tan(x) + sec(x) dx
Z
= sec(x) tan(x) + sec(x) dx:
Por lo tanto:
Z
sec3 (x)(x) dx =
= 12 sec(x) tan(x)
+ 12 ln j sec(x) + tan(x)j + C:
368
Métodos de Integración
20.6
Ejercicios adicionales
En las últimas páginas de este capítulo presentamos una lista de ejercicios de un
problemario usado desde 1984.
20.6 Ejercicios adicionales
369
370
Métodos de Integración
20.6 Ejercicios adicionales
371
372
Métodos de Integración
20.6 Ejercicios adicionales
373
374
Métodos de Integración
20.6 Ejercicios adicionales
375
376
Métodos de Integración
20.6 Ejercicios adicionales
377
378
Métodos de Integración
20.6 Ejercicios adicionales
379
380
Métodos de Integración
Capítulo 21
Aplicaciones de la Integral
Como la derivada, la integral tiene muchas interesantes aplicaciones a problemas
físicos y geométricos. Algunas de estas aplicaciones serán dadas en este capítulo.
21.1
Areas
Si f es una función continua con valores no negativos en el intervalo cerrado [a; b],
entonces las líneas x = a, x = b, el eje x y el gráfico de la función definen una región
R del plano (figura 21.1).
Región bajo el gráfico
Figura 21.1
Nosotros estamos interesados en hallar el área de la región R: Si tomamos una
partición P : [x0 = a; x1 ; : : : ; xn = b] del intervalo [a; b] y hacemos una suma de
Riemann correspondiente a esta partición, tenemos:
RP =
0
n
X
i=1
f (x0i )(xi xi 1 )
donde xi xi xi 1 :
0
Ahora, f (xi )(xi xi 1 ) representa el área del rectángulo señalado en figura 21.2.
Cuando tomamos particiones con longitud cada vez más pequeña, RP debe acercarse al área bajo la curva. Asimismo, como f es integrable sabemos limkP k!0 RP =
Rb
a f (x) dx: Esto sugiere la definición de área de la región R, A(R), como:
Z b
A(R) =
a
f (x) dx:
382
Aplicaciones de la Integral
area de cada rectángulo de la
partición
Figura 21.2
Ejemplo: Sea h(x)
y el eje x entre 1 y 8.
p
= x: Halle el área bajo el gráfico de la función h
3
Area de región bajo el gráfico de la
raiz cúbica de x
Figura 21.3
Solución: La región R, figura 21.3, tiene área
A(R) =
8p
Z
3
1
x dx = 34 x4=3 j81 = 38 (84=3 14=3 ) = 45
4:
Rb
Si f es continua, con valores no positivos en el intervalo [a; b], entonces a f (x) dx 0 y el área de la región acotadaR por el gráfico de la función, el eje x y las líneas x = a
b
y x = b está dada por A(R) = a f (x) dx:
Ahora suponga que tenemos dos funciones continuas h y k en el intervalo [a; b] y
h(x) k(x) (Ver figura 21.4). Entonces p(x) = h(x) k(x) 0:
Area de región entre dos funciones
Figura 21.4
Es claro que el área de R está dada por
A(R) = A(R1 ) + A(R2 ):
21.1 Areas
383
Usando integrales es:
A(R) =
=
b
Z
a
b
Z
a
p(x) dx =
f (x) dx
b
Z
a
b
Z
a
(f (x) g(x)) dx
g(x) dx
Ejemplo: Halle el área de la región R entre las gráficas de las funciones f (x) = 2x x2 y g (x) = x 2 (Ver figura 21.5)
Región R entre las gráficas de las
funciones f (x) = 2x x2 y g (x) =
x 2
Figura 21.5
Solución: Igualando las dos ecuaciones, obtenemos los puntos de intersección de
los gráficos:
2x x2 = x 2 ) x + 2 x2 = 0 ) x = 2 ó x = 1:
Como f (x) g (x) entre -1 y 2, tenemos
A(R) =
=
Z
Z
2
2
1
1
[(2x x2 ) (x 2)] dx
( x2 + x + 2) dx
2
= ( 13 x3 + x2 + 2x)j2 1 = 92
Ejemplo: Halle el área de la región acotada por el gráfico de la ecuación y 2 = 4x2 x4
Solución: Usaremos que el gráfico de la función es simétrico respecto al eje x
y al eje p
y: La ecuación y2 =p4x2 x4 se puede descomponer en dos funciones:
f (x) = x 4 x2 y g(x) = x 4 x2 (Ver figura 21.6).
Es claro que el área total es 4 A(R):
Como los puntos de intersección del gráfico de la ecuación con el eje x es
4x2 x4 = 0 ) x = 2; 0; 2
R2
R2
p
tenemos A(total) = 4 0 f (x) dx = 4 0 x 4 x2 dx:
SiRtomamos
u = 4 x2 , tenemos du R=0 2x dx:
2 p
4 0 x 4 x2 dx se convierte en 2 4 u1=2 du =
2 32 u3=2 j04 = 323 :
384
Aplicaciones de la Integral
El área total es 4 A(R)
Figura 21.6
Ejercicios
I. Halle el área de la región acotada por los gráficos de las siguientes ecuaciones.
Haga un gráfico aproximado de la región.
(a)
y = 9 x2 , y = 0; x = 2; x = 1:
Resp: 88/3
(b)
(c)
p
y = x + 4; y = 0; x = 0:
y = x2 4; y = 4 x2 :
Resp: 64/3
(d)
(e)
4y = x2 ; x 4y + 2 = 0:
x2 y = 4; 3x + y 7 = 0:
Resp: 1/2
(f)
(g)
y = x3 x; y = 0 en el cuarto cuadrante.
y2 = 4x; x = 1:
Resp: 8/3
(h)
y = x2 + 4x 3 y las tangentes a esta parábola en los puntos (0; 3) y
(4; 3):
Resp: 16/3
(i)
(j)
y2 = a2 x6 x8 :
Resp: a4
y = x3 y y = 2x x2 :
Resp: 37/12
(k)
y2 = 4x + 8 y la recta que une (2; 4) y (4; 8):
Resp: 9
II. Determínese la recta que pasa por el origen y biseca el área limitada por
6x x2 y el eje x:
Resp: Pendiente de la recta = 3(2
22=3 )
y=
21.2 Volúmenes
21.2
385
Volúmenes
En esta sección vamos a usar la integral para calcular el volumen de ciertos sólidos
en el espacio tridimensional.
Llamaremos sólido C a un cilindro acotado por dos regiones congruentes R1 y R2
ubicados en dos planos paralelos y por una superficie lateral compuesta de segmentos de líneas que conectan puntos correspondientes de las fronteras y son perpendiculares a los planos de R1 y R2 (Ver figura 21.7). Cada una de las regiones R1 y
R2 es llamada una base del cilindro C ; la distancia entre los planos de R1 y R2 es
llamada la altura de C:
Las regiones R1 y R2 es llamada una
base del cilindro
Figura 21.7
El común cilindro circular recto es un cilindro con base un círculo.
Ahora supongamos que conocemos el área de la base A(B ) y su altura h: Entonces el volumen de C , V (C ), está dado por V (C ) = A(B )h:
En el caso de que el sólido S esté compuesto de cilindros C1 ; : : : ; Ck entonces el
volumen de S; V (S ), es V (S ) = V (C1 ) + + V (Ck ):
Pasemos ahora a definir el volumen de un sólido S que no está compuesto de
cilindros. Asumiremos que un plano que intercepta a S , la corta en una región plana,
que llamaremos una sección de S: Nosotros definimos el volumen de S bajo la condición de que las áreas de todas las secciones de S perpendiculares a una línea fija
son conocidas y cambia continuamente. Es decir, existe una línea L tal que el sólido
S está comprendido entre los planos perpendiculares a L en los puntos a y b y la
sección de S en el plano perpendicular a L en el punto x de [a; b] tiene área conocida
A(x) tal que A(x) es continua en [a; b] (Ver figura 21.8).
La sección de S en el punto x de
[a; b] tiene área conocida A(x)
Figura 21.8
Ahora si tomamos una partición
P : [x0 = a; x1 ; : : : ; xn = b]
de [a; b] y puntos zi 2 [xP
i 1 ; xi ] con sus respectivas secciones A(zi ), entonces la
suma de Riemann RP = ni=1 A(zi )xi es una aproximación del volumen de S:
386
Aplicaciones de la Integral
Rb
Ahora podemos definir V (S ) = limkP k!0 RP : Este límite existe y es igual a a A(x) dx:
Por lo tanto podemos definir el volumen de S , con las condiciones estipuladas
Rb
arriba, como V (S ) = a A(x) dx:
Ejemplos
1. Encuentre el volumen del sólido cuya base es la región comprendida entre el
gráfico de la función f (x) = 1 x2 y el eje x en el primer cuadrante. Cada
sección perpendicular al eje x es un triángulo equilátero apoyado sobre su base.
Solución: Vemos que la gráfica de
x = 1 y x = 1 (Ver figura 21.9).
f
es una parábola que corta al eje
x en
El área de la sección para x está dada por el área del triángulo
Figura 21.9
El área de la sección para esta x está dada por:
p
A(x) = área del triángulo = 12 (1 x2 ) 23 (1 x2 )
por
el volumen del sólido en x y x + x es, aproximadamente, V =
p3 lo que
2 )2 x:
(1
x
4
Usando la simetría de la región, tenemos que el volumen del sólido es
V =2
Z
1
p0
p
3
22
4 (1 x ) dx
Z 1
3
= 2
(1 2x2 + x4 ) dx
0
p
p
3
2
1
4
3
5
1
= 2 (x 3 x + 5 x )j0 = 153
2. Halle el volumen del sólido S formado por la intersección de dos cilindros circulares rectos de radio r, cuyos ejes se interceptan en ángulos rectos.
Solución: (Ver figura 21.10)
Cada sección del sólido S en un plano paralelo a ambos ejes es un cuadrado. Un cuarto de este cuadrado y un octavo del sólido S está dibujado en la
figura 21.10. Este cuarto de cuadrado dibujado en la figura 21.10, tiene área
A(x) = y2 = yz = z 2:
21.2 Volúmenes
387
El cuarto de cuadrado dibujado,
tiene área A(x) = y 2 = yz = z 2
Figura 21.10
Como las ecuaciones de los cilindros son x2 + y 2 = r2 y z arbitrario y z 2 + x2
y y arbitrario, tenemos que A(x) = y 2 = xy = z 2 = r2 x2 :
Por lo tanto, una sección de todo el sólido es
[ r; r]: Así pues,
V (S ) =
Z
= r2
A0 (x) = 4A(x) para cada x en
r
3
4(r2 x2 ) dx = 4(r2 x x3 )jr r = 16
r3 :
3
r
Hay sólidos, los llamados sólidos de rotación, cuyo volumen se puede hallar
usando un razonamiento similar al expuesto. Este tipo de sólido consiste en
rotar una región del plano alrededor de una línea L (aunque se podría rotar esta
región respecto a una curva, nosotros no vamos a considerar estos casos).
Veamos algunos ejemplos.
3. Halle el volumen del sólido S generado por la región limitada por la curva y 2
entre 0 y 4 (Ver figura 21.11).
=x
Solución: El área de la sección A(x) = y 2 , ya que es un círculo.
La sección es un círculo
Figura 21.11
Por lo tanto, el volumen de S , V (S ), es
Z
4
2
x dx = x2 j40
0
= 8 (recuerde que y2 = x)
V (S ) =
4. Ahora suponga que queremos hallar el volumen del sólido generado por la misma región al rotar esta alrededor del eje y:
388
Aplicaciones de la Integral
Solución: Basta, por simetría, hallar el volumen generado por la región con y no
negativa (La figura 21.12 contiene solamente la mitad superior del sólido).
La mitad superior del sólido
Figura 21.12
Haciendo una partición de [0; 4] y tomando [x; x + x] como un subintervalito
genérico, vemos que el volumen V de esta franja completa es, aproximadamente,
V (x + x)2 y x2 y
= y((x + x)2 x2 )
= y(x + x + x)(x + x x)
= 2y( 2x +2 x )x 2yx x
x
( 2x+
2 la podemos aproximar por x)
V 2yxx = 2xf (x)x:
Por lo tanto, el volumen total es:
V =2
Z
4
0
Z
2f (x)x dx
4
p
2 xx dx = 4
0
= 42=5x5=2 j40 = 256
5 =2
Z
4
0
x3=2 dx
5. Supongamos que queremos hallar este mismo volumen pero ahora particionamos el eje y en vez del eje x (Ver figura 21.13).
Solución: Ahora al rotar la banda rayada en la figura 21.13, obtenemos un volumen V:
Al rotar la banda, obtenemos un volumen V:
Figura 21.13
21.2 Volúmenes
389
Este V es, aproximadamente,
V 12 (42 y x2 y) = 21 (16y y4 y)
donde y está en [0; 2]:
Ahora si tomamos la vuelta completa alrededor de
el volumen es 2V:
y entre 0 y 2, tenemos que
Por lo tanto, el volumen total para y en [0; 2] es:
V =
Z
2
0
(16 y4 )dy =
5
= (16y y5 )j20
= (32 32=5) = 128
5 :
Si queremos el volumen total de la parábola para x entre 0 y 4, entonces este
volumen es 2V , que es 256
5 , que concuerda con el valor obtenido en el ejemplo
4.
Está claro que uno escoge el método más fácil para resolver ejercicios como el
4 y 5 de esta sección.
Veamos otros ejemplos.
6. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del
eje y: R está limitada por el gráfico de la ecuación xy = 2, eje y y las rectas
y = 1; y = 6:
R está limitada por el gráfico de la
ecuación xy = 2, eje y y las rectas
y = 1; y = 6:
Figura 21.14
Solución: El volumen generado por la región genérica
aproximadamente,
R entre y y y + y es,
V x2 y = y42 y
donde y está entre 1 y 6. Por lo tanto, el volumen del sólido es
V = 4
Z
1
6
y 2 dy = 4( y1 )j61 = 32 + 4 = 103 :
390
Aplicaciones de la Integral
7. Halle el volumen de la región R comprendida entre
girar esta región alrededor del eje y
px + py = 1 y x + y = 1 al
Solución: Vamos a usar bandas verticales (Ver figura 21.15).
El volumen aproximado V generado al girar R alrededor del eje y es
V 2(x + x)(1 x)x 2x(1
px)2 x
Bandas verticales
Figura 21.15
La primera parte nos da como volumen
V1 =
Z
1
0
2x(1 x) dx = =3
y la segunda nos da como volumen
V2 =
Z
1
0
2x(1
El volumen total, V , es V1
px)2 dx = =15:
V2 : Por lo tanto, V = =3 =15 = 415 :
Ejercicios
1. La base de un sólido es un círculo de radio r: Las secciones del sólido perpendicular a un diámetro fijo de la base son cuadradas. Halle el volumen del
sólido.
3
Resp: 163r :
2. Una esfera de radio r es cortada por un plano formando un segmento de la
esfera de altura r: Pruebe que el volumen del segmento es h2 (r h3 ):
3. Demuestre que el volumen del elipsoide xa2 + yb2 + zc2 = 1;
veces más que el volumen de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1:
2
2
2
a; b; c positivos es abc
4. La región limitada por y = 4x2 y y = 2x se hace girar alrededor de las rectas
dadas abajo. Encuéntrese en cada caso el volumen del sólido generado
(a) eje x
(b) eje y
21.3 Trabajo
391
(c) y=2
(d) x=2
5. Un agujero cilíndrico de radio a se taladra pasando por el centro de una esfera
de radio 2a: ¿Cuál es el volumen del material quitado?
Resp: 23 a3 (16
p
6 3):
6. Hallar el volumen generado al girar la región dada alrededor del eje x
f (x) = x2 ; x en [0; 1]
Resp: =5:
f (x) = 1=x; x en [1; 2]
Resp: =2:
g(x) = px; x en [0; 1] y g(x) = x2 ; x en [0; 1]
3 :
Resp: 10
(a)
(b)
(c)
7. Hallar el volumen generado al girar cada una de las regiones dadas en el ejercicio anterior alrededor del eje y
21.3
Trabajo
Si una fuerza constante F es aplicada a un objeto moviéndolo una distancia d, entonces el trabajo W realizado sobre el objeto es definido como: W = F d
Las unidades de W serán metro - kilogramo - fuerza o m-kgf. Otras unidades
podrían ser pies - libras - fuerza o f-lbf, etc. . .
Ejemplos
1. Un objeto de peso 110 kgf. se sube con velocidad constante a una altura de 23
metros. Halle el trabajo realizado.
Solución: Como la fuerza necesaria para subir el objeto es 110 kgf, el trabajo
realizado es: W = 110 23 = 2530 m-kgf.
El problema se complica si la fuerza varía con la posición del objeto. Nosotros
vamos a asumir que el objeto O se mueve a lo largo de una recta L, con una
fuerza F (x) que es aplicada a O cuando esté en la posición x de L figura 21.16
. También asumimos que el objeto se mueve desde a hasta b y F (x) es una
fuerza continua en el intervalo [a; b]:
Una fuerza F (x) que es aplicada a O
cuando esté en la posición x
Figura 21.16
Para calcular el trabajo que realiza F (x) cuando se mueve a O desde a hasta b, tomamos una partición P = [x0 ; x1 ; : : : ; xn ] de [a; b]: En cada subintervalo
[xi 1 ; xi ] de P , sea x0i un punto en [xi 1 ; xi ]: El trabajo realizado es aproximadamente:
Wi xi F (x0i )
392
Aplicaciones de la Integral
El trabajo total para mover a O desde a hasta b es aproximadamente:
n
X
W i=1
F (x0i )xi
Como F es continua, sabemos que la suma
n
X
i=1
F (x0i )xi !
b
Z
a
f (x) dx; cuandojjP jj ! 0
Por lo tanto, es lógico definir el trabajo W realizado en un objeto
hasta b por una fuerza f (x) continua como
W=
b
Z
a
O desde a
f (x) dx
2. Halle el trabajo que se realiza al vaciar un tanque de forma cilíndrica, desde
arriba, suponiendo que éste está lleno y sus medidas son 2m. de radio por 6 m.
de altura.
Solución: El trabajo del disco:
W = fuerza distancia. Y esto es, aproximadamente,
W = 22 kx0 (6 x)
donde k es el peso de un metro cúbico de agua.
Un tanque de forma cilíndrica
Figura 21.17
Por lo tanto:
W=
Z
6
0
2 6
x
4(6 x)k dx = 4k 6x 2 = 72k
0
21.3 Trabajo
393
3. Halle el trabajo realizado al estirar un resorte desde su posición de equilibrio de
6 pulgadas hasta 12 pulgadas si se necesita una fuerza de 20 gramos - fuerza
para mantener el resorte con ese estiramiento.
Solución: La fuerza f (x) requerida es: f (x) = k x (k constante, depende del
material del resorte). Esta es la ley de Hooke.
10
Como f (6) = 20 ) 20 = 6k ) k = 10
3 Así se tiene que f (x) = 3 x: Por lo tanto
el trabajo W realizado al alongar el resorte de la posición cero hasta seis es:
W=
Z
6
0
10 x dx = 60
3
pulgadas - gramos - fuerza.
4. Un depósito con forma de cono circular recto, está lleno de un líquido de peso k
por metro cúbico del líquido. La altura es de 20 metros y el radio en la cúspide
es de 4 metros. Halle el trabajo en bombear el líquido hasta una altura de 10
Un depósito con forma de cono
circular recto
Figura 21.18
metros por encima del borde superior del depósito (ver figura 21.18).
Solución: El trabajo realizado en llenar el disco hasta 30 metros, sería aproxima4 y,
damente: W = fuerza distancia. Luego, la fuerza = kr2 y donde r = 20
4
r
ya que 20 = y :
Ahora la distancia es desde
Por lo tanto el trabajo W es
W=
Z
20
0
y hasta 30: Así pues, W k( 51 )y)2 (30 y)y:
k( 15 )y)2 (30 y)dy = 1600 k:
Ejercicios
1. Halle el trabajo que se realiza al estirar un resorte desde el equilibrio (de 12
pulgadas) a una longitud de 18 pulgadas, si para mantener el resorte extendido
394
Aplicaciones de la Integral
una pulgada es necesario 4 libras - fuerza de fuerza.
2. Un tanque vertical cilíndrico de 6 metros de diámetro y 10 metros está lleno a la
mitad. Halle el trabajo que se realiza al pasar todo el líquido por la parte superior del tanque. Asuma el peso de un metro cúbico del líquido 20 kgf.
3. Dos electrones se repelen con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Supongamos que tenemos dos electrones en los
puntos 10 y 10 en el eje x: Halle el trabajo necesario para mover un tercer
electrón desde el punto (8; 0) hasta el ( 2; 0) a lo largo del eje x:
4. Se vacía un depósito semiesférico que contiene un líquido que pesa 2 kgf por
metro úbico. El radio del depósito es 10 metros. Hallar el trabajo cuando el nivel
del líquido desciende desde su cúspide hasta 4 metros.
21.4
Ejercicios adicionales
En las últimas páginas de este capítulo presentamos una lista de ejercicios de un
problemario usado desde 1984.
21.4 Ejercicios adicionales
395
396
Aplicaciones de la Integral
21.4 Ejercicios adicionales
397
398
Aplicaciones de la Integral
21.4 Ejercicios adicionales
399
400
Aplicaciones de la Integral
21.4 Ejercicios adicionales
401
402
Aplicaciones de la Integral
21.4 Ejercicios adicionales
403
404
Aplicaciones de la Integral
21.4 Ejercicios adicionales
405
406
Aplicaciones de la Integral
21.4 Ejercicios adicionales
407
408
Aplicaciones de la Integral
21.4 Ejercicios adicionales
409
410
Aplicaciones de la Integral
Capítulo 22
Integrales Impropias
Hemos visto la definción de la integral para funciones f definidas en un intervalo
cerrado [a; b] y acotadas en ese intervalo. En este capítulo queremos generalizar el
concepto de integración.
Rb
Para comenzar podemos considerar el comportamiento de a f (x)dx cuando b
tiende a infinito. Esto nos conduce al concepto de integración sobre intervalos infinitos. Por otra parte podemos considerar la integral de funciones no acotadas en el
intervalo (a; b). A continuación vamos a formalizar estas ideas.
22.1
Integrales sobre intervalos infinitos
Definición: Sea f una función definida en [a; 1). Supongamos que
Rb
para cada b 2 R la integral a f (x)dx existe. Definimos
1
Z
a
f (x)dx = blim
!1
b
Z
a
f (x)dx:
A esta expresión la llamaremos la integral impropia de f en [a; 1). Si el
límite existe diremos que la integral impropia converge y en caso contrario
diremos que la integral impropia diverge.
Ejemplos
1. Sea f (x) = e x y tomemos a = 0. Para cada b 2 R tenemos
b
Z
0
Por tanto,
1
Z
0
e xdx = e xjb0 = 1 e b :
Z b
e x dx = blim
e xdx = blim
1 e b=1
!1 0
!1
y la integral impropia converge.
Rb
2. Sea f (x) = cos(x) y a = 0. En este caso 0 cos(x)dx = sin(x)jb0 = sin(b). Como
R1
el limb!1 sin(b) no existe, entonces la integral impropia 0 cos(x)dx diverge.
412
Integrales Impropias
Rb
3. Sea f (x) = x. Entonces a xdx = (b2 a2 )=2. Igual que en el ejemplo anterior,
R
limb!1 (b2 a2 )=2 no existe y la integral impropia a1 xdx diverge.
Definición: Sea f una función definida en ( 1; b]. Supongamos que
Rb
para cada a 2 R la integral a f (x)dx existe. Definimos
Z
b
1
f (x)dx = a!lim1
b
Z
a
f (x)dx:
A esta expresión la llamaremos la integral impropia de f en ( 1; b]. Igual
que antes, si el límite existe diremos que la integral impropia converge y
en caso contrario diremos que la integral impropia diverge.
Observe que
Rb
x
1 e dx diverge (verifíquelo).
Ejemplo: Sea f (x) = ex . Para cada a 2 R tenemos
b
Z
a
ex dx = exjba = eb ea :
Por tanto,
Z
b
1
exdx = a!lim1
b
Z
a
e xdx = a!lim1 eb ea = eb
y la integral impropia converge. En este ejemplo hemos encontrado la
curiosa relación
Z b
eb =
1
ex dx:
Finalmente damos la siguiente definición:
Definición: Sea f una función definida en ( 1; 1). Sea c un número
real
R a arbitrario
R c y supongamos que para a 2 R y cada b 2 R las integrales
f
(
x
)
dx
c
b f (x)dx existen. Definimos
Z
1
1
f (x)dx = a!lim1
c
Z
a
f (x)dx + blim
!1
b
Z
c
f (x)dx
A esta expresión la llamaremos la integral impropia de f en ( 1; 1). Si
los límites existen diremos que la integral impropia converge y en caso
contrario diremos que la integral impropia diverge.
R1
Observación: El que la integral
1 f (x)dx converja o dirverja no
depende de la elección del número c. Si la integral converge, el valor
numérico de la misma no depende de c. Esto lo dejamos como ejercicio
al lector.
22.2 Integrales de funciones no acotadas
413
Ejemplo: Sea f (x) = 1=(1 + x2 ). Tomando c = 0 tenemos
Z
1
Z 0
Z b
dx
f (x)dx = a!lim1 1 +dxx2 + blim
!1 0 1 + x2
1
a
= a!lim1 arctan(x)j0a + blim
arctan(x)jb0 =
!1
= a!lim1 arctan(a) + blim
arctan(b)
!1
= ( ) + = 2
22.1.1
2
Criterio de convergencia sobre intervalos infinitos
Muchas veces ocurre que uno está interesado en saber si una integral impropia converge y no tanto en el valor numérico de la misma. Para determinar la convergencia
de una integral impropia tenemos el siguiente
Teorema 37 Sea g una funciónR definida en el intervalo [a; 1) tal que 8x en ese in1
tervalo ocurre que g (x) 0 y a g (x)dx converge.
Sea f : [a; 1) ! R tal que 8x
R
0 f (x) g(x). Entonces la integral impropia a1 f (x)dx converge y
0
Z
a
1
f (x)dx 1
Z
a
g(x)dx
La demostración de este teorema es un sencillo ejercicio sobre límites y se deja
como ejercicio.
Este criterio de convergencia se extiende sin dificultad a intervalos de la forma
( 1; b] y ( 1; 1).
R1
Ejemplo: Estudiar la convergencia de 1 1=(1 + x4 )dx. La función
g(x) = 1=(1 + x2 ) cumple con g(x) R018x 2 R y si x 1 tenemos que
0R < 1=(1+ x4) g(x) Como la integral 1 1=(1+ x2)dx converge entonces
1
4
1 1=(1 + x )dx también converge.
22.2
Integrales de funciones no acotadas
Sea f : [a; b) ! R una función tal que f no es una función acotada en cualquier
intervalo de la forma [b ; b) (para 0 < < b a). Si f es integrable en cualquier
subintervalo [a; b ] entonces definimos
b
Z
a
f (x)dx = !
lim
0
+
b Z
a
f (x)dx
A esta expresión la llamaremos la integral impropia de f en [a; b]. Si el límite existe,
diremos que la integral impropia de f en [a; b] converge y en caso contrario diremos
que la integral diverge.
Haciendo el cambio de variable x = z obtenemos la definición de integral impropia en el caso que f es una función definida en (a; b], integrable en cualquier intervalo
[a + ; b] (para 0 < < b a) y no acotada a la derecha de a. Análogamente
b
Z
a
f (x)dx = !
lim
0
+
Z
b
a+
f (x)dx
414
Integrales Impropias
px. f no es acotada en el intervalo (0; 1]. La
Ejemplo: Sea f (x) = 1=
integral impropia de f arroja
Z
1
0
22.2.1
p1x dx = !
lim
0
+
Z
1
0+
p
p
p1x dx = !
lim 2 xj1 = lim 2 2 = 2
0
!0
+
+
Criterio de convergencia para funciones no acotadas
Para este tipo de integrales impropias, existe un criterio de convergencia análogo al
criterio de convergencia para integrales impropias sobre intervalos infinitos.
Teorema 38 Sea g : [a; b) ! R una función no acotada, tal que para todo x 2 [a; b)
R
g(x) 0 y ab g(x)dx converge. Si f : [a; b) ! R es una función no acotada en [a; b) y
Rb
para todo x en este intervalo 0 f (x) g (x) entonces la integral impropia a
converge y
b
Z
a
f (x)dx b
Z
a
f (x)dx
g(x)dx
Un teorema similar se puede enunciar para el caso de funciones definidas sobre
intervalos de la forma (a; b], no acotadas en este intervalo. Esto lo dejamos como
ejercicio.
22.3
La función Gama de Euler
La función Gama de Euler se define así: dado x 2 R el valor de la función
(x) =
1
Z
0
en x es
tx 1 e tdt
dado que la integral converja. Esta función aparece en contextos muy distintos incluyendo teoría de probabilidades, teoría de números, electrodinámica clásica y teoría
cuantica de campos. Para establecer la convergencia de estas integrales vamos a estudiar brevemente el crecimiento de expresiones de la forma xa ecx cuando x tiende
a infinito. Para esto vamos a establecer el siguiente
Teorema
Si a > 0 y b > 0 se tiene que
(22.1)
b
(log x) = 0
lim
x!1 xa
y
(22.2)
b
x =0
lim
x!1 eax
Demostración Primero demostraremos (22.1) y luego usaremos este resultado por
demostrar (22.2). Si c > 1 y 1 t entonces 1 tc y t 1 tc 1 , de manera que si
x 1, entonces
Z
Z
0
x
1
t 1 dt c
c
0 log(x) x c 1 < xc
x
1
tc 1 dt
para todo c > 0
22.3 La función Gama de Euler
415
por consiguiente
b
bc a
0 < log(xax) < x cb
Si elegimos c = a=(2b), entonces xbc a = x a=2 que tiende a cero cuando x tiende a
infinito. Esto demuestra (22.1). Para demostrar (22.2) hacemos el cambio de variable
t = ex . Entonces x = log(t), y por tanto xb =eax = log(t)b =ta . Pero t ! 1 cuando
x ! 1 con lo cual (22.2) es consecuencia de (22.1).
Volvamos a nuestra definición de la función . La función está definida en términos
de una integral impropia. Queremos demostrar que el intervalo [1; 1) está en el
dominio de definición de . Observemos que
(1) =
1
Z
0
e t dt = 1;
integral que ya habiamos evaluado. Podemos usar el principio de inducción para
mostrar que la función está bien definida para todo entero positivo. Sea m un
entero positivo. Supongamos que la integral que define a [n] converge para todo n
positivo menor o igual que m. Entonces
(m + 1) =
1
Z
0
tm e t dt
Z
a
tm e t dt
0
Z a
d (tm e t ) + mtm 1 e t dt
= alim
!1 0 dt
Z a
m e t )ja + m
= alim
(
t
tm 1 e t dt
0
!1
= alim
!1
Z
0
1
m a
m 1 t
= alim
!1(a e ) + m 0 t e dt
= 0 + m (m) = m (m)
El principio de inducción nos dice entonces que (x) existe cuando x es un entero
positivo. De paso hemos demostrado que en este caso,
(m + 1) = m (m):
Puesto que (1) = 1 se sigue que para m entero positivo (m) = (m
de m).
Si x 2 [1; 1) y x no es entero podemos argumentar lo siguiente:
1
Z
0
tx 1 e t dx =
Z
1
0
tx 1 e t dx +
1
Z
1
1)! (factorial
tx 1 e t dx:
La primera integral del lado derecho converge porque es la integral de una función
acotada en el intervalo [0; 1]. Para la segunda integral podemos usar el criterio de
comparación para mostrar su convergencia. Sea m un entero positivo menor que
x 1. Entonces para t 1 tenemos
tx 1
x
t 1e t
Así
tm ;
tm e t :
1
Z
1
Z 1
tx 1 e t dx tm e t dx;
1
416
Integrales Impropias
y la integral que define a (x) converge. Como esto vale para todo x > 1 hemos
demostrado que el intervalo [1; 1) está contenido en el dominio de definición de la
función . En la figura 22.1 presentamos el gráfico de la función en un entorno del
La función
del orígen
en un entorno
Figura 22.1
orígen.
A modo de comentario final podemos decir que la función Gama de Euler es una
extensión a los reales no negativos del conocido factorial sólo definido para los enteros no negativos.
22.4
Ejercicios
1. Calcule
(a)
1
Z
e2
(b)
Z
dx
x log3 x
1
dx
Z
1 dx
1 x2 + 2x + 5
(c)
1
(d)
1
Z
0
x + x3
e x sen(x)dx
R1
2. Demuestre que si f; g : [a; 1) ! R con g (x) 0 y a
R
g(x) para todo x 2 R entonces, a1 f (x)dx diverge.
g(x)dx diverge y f (x) 22.4 Ejercicios
417
R1
3. Sea a > 0. Demuestre que la integral a
4.
5.
1=x dx converge si > 1 y diverge si
1
Ra
Sea a > 0. Demuestre que la integral 0 1=x dx diverge si 1 y converge si
<1
Sean a 1 y b > 0. Calcule, en términos de la función Gama, la integral
1
Z
a
ta 1 e bt dt
6. Estudie la convergencia de las siguientes integrales
(a)
Z
1
dx
p
1x x
3
(b)
Z
1
0
22.4.1
1. (a)
(b)
(c)
(d)
5.
Respuestas
1=8
=2
(log 2)=2
1=2
(a)=ba
6. (a) diverge
(b) diverge
p
ex dx
1 cos(x)