modelo de regresion lineal simple

REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
CAPITULO
5
METODOS ESTADISTICOS PARA
ANALISIS BIVARIADO
El análisis bivariado permite examinar si existe relación (asociación) entre
dos variables. Las variables pueden ser ambas numéricas, una numérica y
la otra categórica o ambas categóricas
En el área de la Higiene y Seguridad Industrial el análisis bivariado permite
examinar si existe asociación estadística entre exposición y efecto.
La estadística proporciona los métodos (Pruebas de significancia) para
determinar si la asociación o diferencia observada entre los grupos es o no
estadísticamente significante.
Estadísticamente
significante
quiere
decir “es poco
probable
o
improbable que la diferencia observada entre los grupos pueda ser
explicada por efectos del azar”. Por consiguiente, existe asociación
estadística entre exposición y efecto.
Si se demuestra que el estudio tiene validez interna (control de sesgos) y
precisión, es posible concluir que la asociación observada es real, o que los
hallazgos obtenidos con el estudio son verdaderos.
La aplicación de pruebas de significancia estadística requiere el
conocimiento de los siguientes conceptos:
93
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
5.1.
DECISIONES ESTADÍSTICAS
Son aquellas que se toman a partir de la información obtenida en el estudio
(información muestral).
5.2.
HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS
Son enunciados de relación entre variables (exposición – efecto) que
pueden ser verdaderos o falsos.
5.3.
HIPÓTESIS NULA
Se nota por Ho. y puede ser verdadera o falsa.
La Hipótesis nula consiste en una proposición de no diferencia. Se
establece con el ánimo de rechazarla con base con los resultados del
estudio.
Rechazar una Hipótesis nula significa que es muy poco probable que la
Hipótesis nula sea cierta y que los resultados obtenidos en el estudio se
deban a simple azar.
La Ho se rechaza o no se rechaza pero nunca se debe hablar de
aceptarla
5.4.
HIPÓTESIS ALTERNA
Se nota por Ha. y puede ser verdadera o falsa.
Cuando se rechaza la Hipótesis nula, el investigador por descarte acepta la
hipótesis alterna (Ha.)
Aceptar una Hipótesis alterna significa que existe una verdadera asociación
entre exposición – efecto o que las diferencias obtenidas en el estudio
son reales.
94
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
El contraste de la Ho., se basa en distribuciones de probabilidad por lo cual
siempre se llega a conclusiones con márgenes pequeños de probabilidad
de error. (nivel de significancia )
5.5.
PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA ESTADÍSTICA
Son procedimientos que facilitan decidir si una Hipótesis nula se rechaza o
no se rechaza.
La aplicación de estas pruebas parte del supuesto de que se ha utilizado un
diseño de muestreo probabilístico (al azar, sistemático, estratificado o
conglomerados) para obtener la información muestral que permita tomar
decisiones estadísticas.
5.6.
Errores en la Prueba de Hipótesis
En el contraste de la Ho., se puede cometer dos tipos de error:
Error Tipo I (). Consiste en rechazar una Hipótesis nula verdadera.
Este error se conoce como nivel de significancia estadística a partir del
cual se toma la decisión de rechazar o no rechazar la Hipótesis nula.
Generalmente se considera un nivel de significancia igual o menor a 5%
(= 0.05, =0.01, etc.).
Error Tipo II (). Consiste en no rechazar una Hipótesis nula falsa.
El cuadro siguiente resume los dos tipos de error.
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Estado Real de la Ho.
Verdadera
Conclusión con
Rechazar
Ho.
Poder del
Error 
estadística
Estudio
(1- )
base en la prueba
de significancia
Falsa
No rechazar
Decisión
Ho.
Correcta
Error 
(1-)
5.7.
PODER ESTADÍSTICO DE UN ESTUDIO (POTENCIA)
 Capacidad que tiene el estudio para rechazar una Hipótesis nula falsa.
 Capacidad que tiene el estudio de detectar diferencias cuando
realmente las hay
 Probabilidad de que los resultados del estudio sean verdaderos
Usualmente en el diseño de una muestra, se establecen apriori valores de
poder iguales o mayores a 80%.
Los errores  y  son inversamente proporcionales y su punto de equilibrio
sucede cuando = 0.05 (confianza del 95%) y = 0.20 (poder del 80%).
96
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
5.8.
PASOS PARA APLICAR UNA PRUEBA DE SIGNIFICANCIA
ESTADÍSTICA.
Primero :
Establecer la Hipótesis nula (Ho.) y alterna (Ha.)
Segundo:
Definir el nivel de significancia  (usualmente del 5%).
Tercero :
Definir y aplicar la estadística de prueba para obtener el valor
de probabilidad (valor-p).
La correcta aplicación de la estadística de prueba (fórmula
estadística) depende de el nivel de medición de las variables
(nominal, ordinal, numérico), de los supuestos que se deben
cumplir y del tamaño de muestra o cantidad de datos para
analizar.
 Se recomienda asesorarse de un buen estadístico.
Cuarto
:
Comparar el valor-p con el nivel de significancia :
 Si valor-p menor o igual que  entonces rechazar la Ho.
Esto significa que “es poco probable o improbable que el azar explique
las diferencias observadas. Por consiguiente existe asociación
estadística entre las variables que se están comparando
 Si valor-p mayor que  entonces No rechazar la Ho. Esto
significa que “es probable o muy probable que el azar explique las
diferencias observadas. Por consiguiente no existe asociación
estadística entre las variables que se están comparando
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REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
5.9.
METODOS ESTADISTICOS PARA EXAMINAR ASOCIACION
ENTRE UNA VARIABLE CATEGORICA (INDEPENDIENTE) Y
OTRA NUMERICA (DEPENDIENTE)
Exposición
Efecto
Categorías
Valores Numéricos
Grupos
1.
MAS DE DOS GRUPOS
2.
Análisis de varianza de una via (One Way): Estadística F
3.
Métodos de comparaciones múltiples:
 Scheffe
 Tukey
 Duncan
 Student- Newman- Keuls
2. SOLAMENTE DOS GRUPOS
1.
Análisis de varianza de una vía (One way): Estadística F
2.
Prueba t de Student: En este caso t =  F
3.
Pruebas No Paramétricas cuando los supuestos de normalidad
estadística y homogeneidad de varianza no se cumplen: Prueba U
de Mann Whitney, Wilcoxon Matched- Pairs Signed – rank test
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REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
Ejemplo 1:
Se desea estudiar si existe relación entre ingesta de alcohol etílico y tiempo
de reacción (seg) a un estímulo auditivo.
Tiempo de reacción (seg.) a un estímulo auditivo
por grupo de estudio.
GRUPO
A
1
2
3
4
5
GRUPO
B
4
5
6
7
8
GRUPO
C
7
8
9
10
11
Los resultados del análisis estadístico univariado se muestran a
continuación:
Promedio Aritmético
Varianza
Desviación estándar
Total Datos
A
3.0
2.5
1.581
5
GRUPO
B
6.0
2.5
1.581
5
C
9.0
2.5
1.581
5
Bajo la Hipótesis Nula (Ho) se esperaría de que si no existe asociación
entre ingesta de alcohol etílico y tiempo de reacción (seg) a un estímulo
auditivo, se esperaría igual promedio de tiempo de reacción en cada uno
de los grupos.
Ho: A= B = C
La hipótesis alterna sería
Ha: A  B   C Ensayo bilateral
Ha: A   B   c Ensayo unilateral
99
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
 Aplicando los pasos para la prueba de Significancia Estadística se
tiene:
Primero: Establecer la hipótesis nula (Ho) y alterna (Ha)
Ho: No existe asociación entre ingesta de alcohol etílico y tiempo
de reacción (seg.) a un estímulo auditivo.
Ha: Si existe asociación entre ingesta de alchohol etílico y tiempo de
reacción (seg) a un estímulo auditivo.
Segundo: Definir el nivel de significancia  = 0.05
Tercero: Seleccionar y aplicar la Estadística de Prueba: F
Partiendo del supuesto de que las muestras provienen de
distribuciones normales y como las varianzas obtenidas son
homogéneas se puede utilizar análisis de varianza de una vía
ANOVA, (One Way):
FUENTE
SUMA DE
GRADOS DE
CUADRADOS
DE VARIACION
CUADRADOS
LIBERTAD
MEDIOS
Entre grupos
90
2
45
Dentro de grupos
30
12
2.5
120
14
Total
ESTADISTICA F
VALOR-p
18.0
0.000435
Cuarto: Como el valor–p es menor que  = 0.005 se rechaza la Hipótesis Nula y se
acepta la hipótesis alterna.
Análisis: Los resultados obtenidos muestran que es muy poco probable (valor-p=
0.000435) que las diferencias observadas en los tiempos promedios de
reacción (seg) para los grupos A, B, C se puedan explicar por simple azar.
Por consiguiente, hay diferencias estadísticamente significantes a nivel  =
0.05
Conclusión: Existe asociación entre ingesta de alcohol etílico y tiempo de
reacción (seg) a un estímulo auditivo.
100
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
Si en lugar de haber comparado tres grupos se hubiesen comparado dos,
para contrastar los promedios se puede utilizar la estadística t de student o
la estadística F, siempre y cuando se cumplan los supuestos de normalidad
estadística y homogeneidad de varianzas. En estos casos siempre t =  F
El esquema de la página siguiente ilustra diferentes métodos para
aplicación de la estadística t.
5.10. METODOS ESTADISTICOS PARA EXAMINAR ASOCIACION
ENTRE DOS VARIABLES CATEGORICAS.
Ambas Nominales
Ambas Ordinales
RH
SEXO
+
EXPOSICIÓN
-
TOTAL
GRAVEDAD
H
Leve
M
Moderada
TOTAL
Severa
0
1
2
TOTAL
TOTAL
 Coeficientes de asociación
. Coeficientes de correlación no
-
Contingencia de Cramer
paramétricos
-
Chi-cuadrado
. Prueba de la mediana
-
Probabilidad exacta de Fisher
. Prueba U de Mann-Withney
-
Prueba Q de Cochran
. Anova de dos clasificaciones de
-
Coeficiente PHI
Friedman
 Coeficientes de Concordancia
101
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
-
Kappa de Cohen
-
Prueba de McNemar
Ejemplo:
La tabla siguiente corresponde a los hallazgos en un estudio
de Investigación Operativa. Se desea probar si hubo un cambio
estadísticamente
significante
después
de
aplicada
la
intervención.
CONSULTA DEMORADA (%) EN CONSULTA EXTERNA ANTES
Y DESPUES DE LA INTERVENCION
SITUACION
Antes
Después
CONSULTA EXTERNA
SI
NO
63
37
16
84
TOTAL
100
100
% CONSULTA
DEMORADA
63.0
16.0
En este ejemplo ambas variables son categóricas nominales. Por haber
utilizado muestras diferentes de usuarios antes y después de la
intervención se consideran muestras independientes. Además, como el
tamaño de las muestras es suficientemente grande (100) cumple los
supuestos de normalidad estadística y pueden utilizarse para el análisis
pruebas aproximadas como la estadística Z, la estadística chi-cuadrado
corriente y chi-cuadrado de Mantel y Haenzel, en lugar de pruebas exactas
como la Dos binomial o la Hipergeométrica. Como medida de fuerza de
asociación se puede utilizar el riesgo relativo porque la consulta demorada
se puede considerar “Incidencia Acumulada”
102
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
 Aplicando los pasos de una prueba de significancia estadistica
tenemos:
Primero: Establecer la Hipótesis nula (Ho) y alterna (Ha).
Ho:
No existen diferencias en los porcentajes de consulta demorada antes y
después de aplicada la intervención.
Ha: Existen diferencias significantes en los porcentajes de consulta demorada
antes y después de aplicada la intervención.
Segundo: Definir el nivel de significancia  = 0.05
Tercero: Seleccionar y aplicar la estadística de prueba para obtener el
valor de probabilidad. (valor-p).
-
La estadística Z para diferencia de proporciones arroja un valor-p igual a
0.0000
-
La estadística chi-cuadrado corriente da un valor–p igual a 0.0000
¡ Siempre estas dos estadísticas dan resultados iguales en una tabla de
cuatro casillas!
Cuarto: Comparar el valor-p con el nivel de significancia :
Como el valor-p de la prueba de significancia es menor que el nivel de
significancia , se rechaza la Hipótesis Nula.
Análisis: El porcentaje de consulta demorada después de la intervención
cambió dramáticamente de 63% (antes) a 16% (después). Estas
diferencias pueden deberse al efecto de la intervención aplicada
y no a simple azar.
103
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
5.11. METODOS ESTADISTICOS PARA EXAMINAR ASOCIACION
ENTRE DOS VARIABLES NUMERICAS
Cuando se tienen dos variables numéricas el mejor análisis estadístico es
el de correlación y regresión.
En Epidemiología clínica este modelo se utiliza mucho en estudios
farmacológicos de dosis
5.11.1.
respuesta.
Dosis
Respuesta
Variable numérica
Variable numérica
Introducción al análisis de regresión
Nomenclatura y conceptos básicos
1. Regresión.
Este término se debe al biólogo Galton quién, estudiando la estatura de
hijos y padres, quería ver en que medida la estatura de los hijos
señalaba un regreso, “una regresión” hacia la estatura media de la
raza, cuando la de sus padres se separaba de ella.
Esta técnica estadística busca analizar la relación existente entre una
variable aleatoria dependiente Y y una o más variables aleatorias
independientes X1, X2,............Xk.
La relación o ecuación de regresión de Y en función de X1, X2,............Xk
se denota
por
Y =f(X1, X2,............Xk); puede ser lineal, curvilínea,
diagonal, ortogonal, polinomica, etc.
104
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
Con base en un análisis de regresión se puede cuantificar en que
medida uno o más variables independientes Xi explican (o predicen) el
comportamiento o variabilidad de una variable dependiente Y.
5.11.2. Análisis de regresión lineal simple
 Definir variables: independiente y dependiente
 Definir tipo de regresión: Lineal o no Lineal
 Verificar supuestos estadísticos
 Si supuestos no se cumplen utilizar métodos No Paramétricos
 Anexar análisis de varianza y coeficiente de determinación
 Para análisis utilizar las tablas siguientes:
a)
Análisis de Correlación
Estadístico
Valor
Coeficiente de Correlación
Intervalo de confianza (95%)
Coeficiente de determinación
 Coeficiente de correlación lineal r de Pearson
Indica el grado de asociación lineal entre dos variables. Se obtiene
sacando la raíz cuadrada al coeficiente de determinación.
 Coeficiente de determinación :  2
Es una medida de la bondad de ajuste del modelo. Resulta del cociente
de dividir la suma de cuadrados debida a la regresión (SCR) entre la
suma total de cuadrados (SCT).
105
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
El coeficiente de determinación varía entre cero y uno e indica que tanto la
variabilidad de la variable dependiente es explicada por la variable
independiente. Se puede expresar en porcentaje.
Si en una regresión lineal
 2 = 0, significa no asociación lineal entre las
variables. Pero, puede existir otro tipo de asociación entre ellas.
b)
Análisis de Varianza para Regresión
Se utiliza para probar la bondad del modelo de regresión. Esto es, que tan
útil es la variable independiente para explicar el comportamiento de la
variable dependiente Y.
Fuente de
Grados de
Suma de
Cuadrados
Estadística
variación
libertad
cuadrados
Medios
F
Regresión
Valor-p
1
Error (Residual)
n –2
Total
n-1
 Expresión fundamental del análisis de varianza para regresión.
SCT =
SCR +
SCE
SUMA TOTAL
SUMA CUADRADOS
SUMA CUADRADOS DEL
CUADRADOS
DE LA REGRESION
ERROR (RESIDUALES)
 Recordar que
2 =
SCR / SCT
106
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
La variabilidad observada en la variable dependiente (suma de
cuadrados totales = SCT) se subdivide en dos partes; la variabilidad
debida al modelo de regresión (SCR) y variabilidad debida al error en la
estimación (Residuales = SCE).
La suma de los cuadrados debida al modelo de regresión (SCR) tiene
p-1 grados de libertad, donde p es el número de parámetros ( i) en el
modelo, con i = 1, 2, 3,.......k.
Es un modelo de regresión lineal simple la SCR siempre tiene un grado
de libertad.
La SCE (Residuales) tiene n-p grados de libertad donde n es el total
de casos en el estudio.
Al dividir cada una de estas sumas de cuadrados por sus
correspondientes grados de libertad se obtiene los denominados MEAN
SQUARE (Cuadrados medios) que son las varianzas de la regresión y
de los residuales.
El valor del estadístico
F
resulta de dividir el cuadrado medio de
regresión entre el cuadrado medio residual.
El estadístico F se utiliza para probar la hipótesis de que la variable
independiente no contribuye con ninguna información para predecir la
variable dependiente. Esto equivale a probar estadísticamente que :
Ho =  1 = 0 en Regresión Lineal Simple
107
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
c)
Ecuación de Regresión
Ecuación de regresión lineal simple utilizada para estimar el valor medio de
Y ó predecir un valor particular de Y con base en un valor específico de X
obtenido de la información muestral.
y = 0 + 1 X
donde:
y = E( y /X ) = valor esperado promedio para un valor
particular de la variable independiente X.
0 = Intercepto con eje y
1 = Pendiente
y = Valor esperado promedio de la variable dependiente
x = Valor particular de la variable independiente
E(Y / X) = o +  1 + 
d)
Modelo probabilistico de regresión lineal simple. Esta ecuación indica lo
siguiente: para cualquier X, los valores de Y varían de manera aleatoria
alrededor de su media E(Y / X) en forma de distribución normal de media
cero y varianza 2.

E ( Y / X1 )
X1

E ( Y / X2 )
X2
108
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
La letra  indica el error aleatorio (medición) y se supone con
distribución
normal
de
media
cero
y con
igual
varianza
2
(homocedasticidad).
Este modelo supone también, los valores Yi
medidas de distribución de la variable
independientes y las
Y condicionadas a los Xi,
situadas en una recta denominada línea de regresión verdadera
(linealidad).
e)
Supuestos para análisis de regresión lineal
SUPUESTO 1
Debe existir linealidad
entre X, Y. Esta se puede comprobar con el
Coeficiente r de Pearson.
SUPUESTO 2
En el análisis residual el error debe :
 Distribuirse Normal
Esto se debe comprobar utilizando un test para bondad de ajuste o
también mediante el test de Shapiro - Wilk que evalúa la correlación
entre los residuales y los valores esperados.
Gráficamente se debe obtener lo siguiente:

yi – yi

X ó Y
109
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
Cuando existe heterocedasticidad (no homogeneidad de varianzas) el
gráfico dará :

yi – yi

X ó Y
Si el gráfico de residuales muestra una tendencia lineal, se debe añadir otra
variable independiente al modelo :

yi - yi

X ó Y
Si se observa una tendencia parabólica, se opta por añadir un termino
cuadratico o lineal al modelo :

yi - yi

X ó Y
110
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
 Los errores deben ser independientes
Esto se puede probar con el test de DURBIN–WATSON.
 Los errores deben tener varianza costante.
5.12. Ejemplo:
Análisis de Regresión entre Dosis (grm) de alcohol etílico ingerida y
tiempo de reacción (seg) a un estímulo auditivo.
a)
Tabla de Datos
Dosis (grms)
500
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
b)
1000
7
8
9
10
11
Análisis de Correlación
Estadístico
Coeficiente correlación
Intervalo Confianza (95%9
Coeficiente Determinación (%)
c)
0.87
0.64 – 0.95
75%
Análisis de Varianza
Fuente de
Variación
Regresión
Error
Total
d)
Valor
Grados de
libertad
1
13
14
Suma de
cuadrados
90
30
120
Cuadrados
Medios
90
2.3077
Estadística
F
Vapor -p
39.0
0.0000
Ecuación de Regresión Lineal
111
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
COEFICIENTES 
Variable
DOSIS
Intercepto
Promedio
500.0
coeficientes

0.006 (1)
3.000 (o)
Limite confianza 95%
Error
Inferior
Estándar
0.0041169
Superior
0.0078831
Estadistica
0.0009608
F
39.0000
Tiempo esperado promedio de reacción = 3.0 + 0.006 x dosis (grm)
Análisis: El coeficiente de correlación estimado (0.87) indica que existe
una relación lineal fuerte entre dosis de alcohol etílico y tiempo
de reacción. Su intervalo de confianza no incluye el cero (no
correlación) lo cual está indicado que dicho coeficiente es
significativamente
diferente
de
cero.
El
coeficiente
de
determinación (75%) muestra que la dosis ingerida explica en un
75% el comportamiento del tiempo promedio de reacción (seg) a
un estímulo auditivo. El otro 25% lo explicarán otras variables.
Con los supuestos verificados, la prueba de bondad de ajuste del
modelo de regresión arrojó un valor–p igual a 0.0000 mucho
menor que  = 0.05
Conclusión: El análisis de regresión y correlación confirman una fuerte
asociación entre dosis
respuesta y permite utilizar
la recta de regresión para estimar tiempos de reacción (seg.)
según diferentes dosis (grm) de alcohol etílico entre 0 grm y
1000 grm
112
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
5.13. TALLER SOBRE REGRESION Y CORRELACION LINEAL SIMPLE
La tabla siguiente muestra la cantidad de glucosa inyectada y la cantidad
retenida en 18 usuarios hospitalarios.
GLUCOSA
CASO
INYECTADA
1
GLUCOSA
RETENIDA
CASO
INYECTADA
RETENIDA
0.073
0.072
10
1.160
1.040
2
0.159
0.154
11
1.193
0.871
3
0.222
0.217
12
1.301
1.065
4
0.390
0.290
13
1.323
1.132
5
0.463
0.458
14
1.460
1.430
6
0.512
0.500
15
1.590
1.440
7
0.753
0.686
16
1.824
1.307
8
0.926
0.832
17
1.960
1.953
9
1.130
0.820
18
2.2.16
1.565
Fuente: Datos de James C. Cain y William P. Belk, “The Asimilation Rate of Intravenously Injected Glucose in
Hospital Patients”, American Journak of the Medical Sciences, Vol. 203, No. 3 March 1942, pp.359-363.
5.13.1.
Actividades
1. Realice el diagrama de correlación.
2. Determine
si el
grado
de
correlación entre las variables
es
estadísticamente diferente de cero.
3. Interprete el coeficiente de determinación obtenido (r2)
4. Determine si la bondad de ajuste de una línea de Regresión es buena o
no.
5. Plantee la ecuación de Regresión para estimaciones.
6. Estime la cantidad media retenida de Glucosa (gm/kgm x hora) en un
paciente al que se le aplican 1.5gms. y su error estándar. Que significan
estos resultados?
113
REYNALDO CARVAJAL ORTIZ
Salidas de computador con SPSS
Correlation coefficient r = 0.97
2
r =0.93
95% confidence limits: 0.91 <R<0.99
Source
Regression
Residuals
Total
df
1
16
17
Sum of Squares
4.5439
0.3322
4.8760
Means Square
4.5439
0.0208
F-statistic
218.87
 Coefficients
Variable
INYECTADA
Y- Intercept
5.14.

Mean Coefficient
1.0364 0.8041454
0.0461482
95% confidence
Lower
Upper
0.697610
0.910681
Std Error
0.054355
Partial
F-test
218.8727
BILIOGRAFIA
1. CARVAJAL Reynaldo. Métodos Estadísticos para Análisis Epidemiológico. En
proceso de publicación. Santiago de Cali: Univalle, 1998
2. KENNETH J. Rothman. Modern Epidemilogy, Segunda Edición, Boston: Little,
Brown and Company, 1986.
3. MEYER L. Paul. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México: Fondo
Educativo Interamericano A.S. 1973.
4. MENDENHALL William. Estadística para Administración y Economía, México:
Grupo Editorial Iberoamericana, 1981.
5. SIDNEY Siegel. Estadística no Paramétrica. Séptima Reimpresión, México:
Editorial Trillas, 1982.
6. MENDEMHALL W. Scheaff R. Wackerly D. Estadística Matemática con
Aplicaciones. México: Grupo Editorial Iberoamerica, S.A. 1986.
114