Superando Límites - Universidad Complutense de Madrid

Rompiendo límites
o sobre si las incertidumbres cuánticas limitan la precisión en la detección
de señales
Alfredo Luis Aina
Departamento de Óptica, Universidad Complutense
Mayo 2011
Seminario impartido en la Escuela Universitaria de Óptica de la Universidad
Complutense. Mayo 2011
Resumen: La teoría cuántica impone la existencia de fluctuaciones e incertidumbres
inevitables que ocurren sin obedecer a ninguna razón práctica. Es natural sospechar que
las incertidumbres cuánticas pueden limitar la precisión alcanzable en la detección de
una señal o en la medida de cualquier magnitud. Discutiremos la posible existencia de
tales límites y si son realmente definitivos o se pueden superar. Se insinuará incluso la
posibilidad de eliminar totalmente los efectos indeseables de las fluctuaciones cuánticas.
Como ejemplo se considerará la difracción de ondas clásicas preguntándonos si hay una
difracción mínima.
El tema de esta charla se puede presentar con el siguiente caso práctico. Supongamos
que un extraterrestre nos envía una señal, que llamaremos genéricamente χ . Para ser
detectada esta señal debe superar el fondo de ruido. Aunque no hubiera nada que
causara ruido (paralizamos todo el planeta para escucharla señal) existiría siempre un
ruido/fluctuaciones de origen cuántico. El ruido cuántico no es causado por nada, se
supone que es intrínseco a la propia naturaleza de las cosas. La cuestión es en qué limita
el ruido cuántico nuestra capacidad de detectar señales. Dicho de otra manera, cuál será
la señal mínima que podemos detectar sobre el fondo de ruido.
Aunque el ejemplo del extraterrestre parezca poco práctico, se parece mucho al ejemplo
clásico en metrología cuántica: la detección de ondas gravitacionales, para cuya
detección existen varios proyectos, como el LIGO y el LISA.
LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) consiste en
interferómetros de 4 km de longitud para detectar las ondas gravitacionales predichas
por Einstein. Pueden detectar un cambio de longitud de la milésima parte del diámetro
de un protón (10-18 m). Con este objetivo de precisión es natural que el ruido cuántico
pueda ser un problema. http://www.ligo.caltech.edu/
LISA (Laser Interferometer Space Antenna) consiste en un interferómetro hecho de
tres satélites en un triángulo de 5 millones de kilómetros de lado para detectar las
ondas gravitacionales. http://lisa.nasa.gov/
Finalmente otro proyecto de la NASA, http://nasa.orau.org/postdoc/
Quantum Limits to Precision for Space Based Devices: Developing the Next
Generation of Sensor, Detector and Gyroscope
Our research and development focuses on exploring the limits of physical measurement
in space based devices The quantum gravitational gradiometer based on an atom
interferometer could potentially be used to discover unseen features such as caves below
the surface of Mars, or lava tubes on the moon in a totally non-invasive fashion, without
the need for drilling or impactors. Quantum limited interferometers for gravity wave
sensing can operate at the same precision as LIGO but at dramatically reduced laser
power.
Dos características distintivas de las Física Cuántica son
(i) Discretitud de algunas variables, como la energía por ejemplo. En el caso de luz de
cierta frecuencia ω la energía está discretizada en paquetes de valor E = hω que se
llaman fotones, donde h es la constante de Planck.
(ii) La existencia de variables complementarias cuyas incertidumbres inevitablemente
han de satisfacer una relación de incertidumbre. Ejemplo típicos son las relaciones de
incertidumbre posición-momento y energía-tiempo del tipo (aproximadamente)
∆x∆p ≥ h , ∆E∆t ≥ h donde ∆A significa incertidumbre en A , típicamente evaluada
mediante la varianza, (∆A)2 = A 2 − A . Por ejemplo para la posición
2
x2 =
2
∫ P( x) x dx ,
∞
−∞
x =
∫ P( x) xdx ,
∞
−∞
siendo P(x ) la probabilidad de x . Hay que advertir que si en lugar de la varianza
usáramos otro estimador de la incertidumbre los resultados serían distintos como
veremos al final.
La teoría cuántica no dice nada del origen de estas indeterminaciones o fluctuaciones,
simplemente dice que existen y no pueden anularse a la vez para posición y momento o
energía y tiempo.
Incidentalmente, la relación ∆E∆t ≥ h es problemática debido a dificultades formales
para describir el tiempo como un observable típico. En cierto sentido, es un análisis
petrológico de la precisión alcanzable en medidas de tiempo la que da sentido a esta
relación y no al revés. No obstante hemos seguido el sentido inverso (desde ∆E∆t ≥ h a
la metrología) por razones didácticas.
Análogos clásicos. Relaciones de este tipo no son tan exóticas como parecen y se dan
de forma muy natural en óptica clásica. Por ejemplo la relación ∆x∆p ≥ h equivale a la
difracción por una abertura de anchura ∆x iluminada por un haz plano. Como para un
r
r
r
fotón p = hk siendo k el vector de ondas, en este contexto p equivale a la
componente x del vector de ondas, p = hk x con k x = k sin θ , con lo que para
2π
aproximación paraxial θ << 1 tenemos que ∆p = h∆k x ≈ h
∆θ con lo que la
λ
relación de incertidumbre ∆x∆p ≥ h equivale a la fórmula usual de la difracción
∆x∆p = h∆x
2π
λ
λ
∆θ ≥ h → ∆θ ≥
∝
λ
2π∆x ∆x
Análogamente, la relación ∆E∆t ≥ h equivale a que para tener un pulso de duración ∆t
hay que superponer coherentemente un conjunto de ondas armónicas en un intervalo
∆ω . Puesto que la energía por fotón es E = hω , entonces ∆E = h∆ω
1
∆E∆t = h∆ω ∆t ≥ h → ∆ω ≥
∆t
En definitiva, las relaciones de incertidumbre son manifestaciones de carácter
ondulatorio. En óptica clásica ∆x , ∆θ , ∆ω y ∆t no significan incertidumbre. La
aleatoriedad surge cuando esto se combina con la discretitud, es decir cuando las
propiedades ondulatorias se convierten en propiedades aleatorias de una partícula. Una
onda puede tener muchas direcciones de propagación sin que eso signifique
aleatoriedad. Una partícula sólo puede tener muchas direcciones de propagación de
forma aleatoria.
Planteamiento del tema. De forma natural asociamos fluctuaciones o indeterminación
con pérdida de información. El objetivo de estas notas es analizar si estas fluctuaciones
cuánticas suponen algún límite general a la precisión con que podemos medir o detectar
algo:
¿Existen límites cuánticos a la detección de señales?
¿Cómo se pueden alcanzar?
¿Son realmente insuperables?
¿Más allá del principio de incertidumbre de Heisenberg?
Detección de señales. Incertidumbre. La figura ilustra un esquema de detección de
señales absolutamente general, ya sea óptica clásica o cuántica. La luz se prepara en
cierto estado sonda conocido ψ que experimenta cierto cambio ψ → ψ χ inducido
por una señal χ de valor desconocido. Por ejemplo cambio de polarización, de fase, de
dirección de propagación, etcétera. El cambio experimentado por la luz se detecta
realizando alguna medida M . Los resultados de la medida sirven para estimar el valor
de la señal, donde χ~ es nuestra estimación del valor desconcido de χ , y en general
χ~ ≠ χ . De hecho la distancia media entre χ~ y χ marca la resolución o incertidumbre
∆χ de la detección.
En óptica una realización típica de este esquema general lo proporciona un montaje
interferométrico como el Mach-Zehnder de la figura, donde la luz que ilumina el
interferómetro es la sonda, la transformación dependiente de la señal es un cambio de
fase y la medida final es la medida de la intensidad o número de fotones que abandona
el interferómetro por cualquiera de sus puertas.
De aquí en adelante identificamos señal con fase.
La relación de incertidumbre de aplicación aquí es la de energía tiempo ∆E∆t ≥ h .
Teniendo en cuenta que la energía es el número de fotones N por la energía por fotón
hω tenemos que E = Nhω mientras que tiempo y fase están relacionados también por
la frecuencia χ = ω t
∆E∆t ≥ h → ∆N∆χ ≥ 1 ,
es decir que la incertidumbre en el valor inferido de la fase/señal viene dado por la
inversa de las fluctuaciones en el número de fotones
∆χ ≥
1
.
∆N
¿Hay algún límite a ∆N? En principio NO a no ser que impongamos alguna restricción
adicional. La más común es imponer que disponemos de energía finita, representada por
un valor medio del número de fotones fijo N , que puede representar por ejemplo la
potencia máxima de los láseres de que dispongamos.
¿Hay algún límite a ∆N con <N> fijo? Todo el mundo cree que sí, aunque lo mínimo
que se puede decir es que no está claro, es una cojetura. Veamos algunos ejemplos:
Luz clásica. Límite cuántico estándar. Se entiende por clásica la luz cuyas
propiedades se pueden explicar mediante la teoría electromagnética clásica. En el mejor
de los casos la estadística del número de fotones es Poissoniana, con lo que ∆N = N
y la mínima incertidumbre depende del número medio de fotones en la forma
1
∆χ min =
,
N
que se conoce como límite cuántico estándar. En el figura se representa la estadística de
número Poissoniana para N = 5 .
Luz no clásica. Estados N00N. Límite de Heisenberg. En la búsqueda de estados con
varianza de número extrema con N fijo una buena idea es considerar el caso de la
figura, que es una mezcla al 50% del N = 0 y N = 2 N . En este caso la incertidumbre
es mucho mayor que la de un estado clásico ya que ∆N = N >>
N
si como suele
ser el caso N >> 1 . Consecuentemente la incertidumbre en la señal puede ser
correspondientemente baja
1
1
∆χ min =
<<
N
N
Esta incertidumbre, que va como la inversa del número medio de fotones, se conoce
como límite de Heisenberg.
No es infrecuente una anécdota metrológica relativa a estos estados. En la literatura
estos estados se conocen como estados N00N al ser superposición de 0 y N fotones
(más técnicamente estos estos viven en dos modos del campo y se escriben en la forma
ψ ∝ N ,0 + 0, N . Como normalmente se quieren resoluciones elevadas se suele
pensar en tales estados con un número elevado de fotones, lo que en inglés se puede
decir como High N00N (mediodía), que casualmente es el título de la película titulada
en español Solo ante el peligro protagonizada por Gary Cooper. Incidentalmente, en
esta película son muy numerosas las secuencias con relojes, otro guiño a la metrología.
CASI todos los estudiosos del tema consideran que el límite de Heisenberg es lo mejor
que puede hacerse, y que es insuperable. Hay un argumento sencillo que lo respalda, y
que es relativamente fácil de razonar basándonos en el interferómetro de Mach-Zehnder.
Ajustando óptimamente el interferómetro, si el estado sonda tiene un número medio de
fotones N , la diferencia D de los fotones registrados en las dos salidas depende de la
fase χ en la forma
D ≈ N sin χ ≈ N χ ,
de modo que un cambio en el valor de la señal produce el mayor cambio posible de
intensidad. En ausencia de señal χ = 0 el valor registrado de D es 0. La señal más
pequeña que se puede detectar χ min será la que produzca un cambio de D de un fotón
1
1 ≈ N χ min
∆χ = χ min ≈
N
Podemos tomar esta mínima apreciación de la señal como estimador de incertidumbre,
que coincide con el límite de Heisenberg.
Más allá del límite de Heisenberg. No obstante algunos consideramos que la supuesta
imbatibilidad del límite de Heisenberg no está tan clara. En este sentido hemos
planteado la posible superación del límite de Heisenberg por dos caminos, los dos
invocando la idea de no linealidad
(i) óptica no lineal
(ii) no linealidad de la varianza, aprovechada vía coherencia con el vacío.
Óptica no lineal. Hasta la fecha sólo se han analizado esquemas de detección lineales,
es decir basados en óptica lineal. ¿Qué pasa si usamos óptica no lineal? La no linealidad
modifica la energía de un conjunto de N fotones que ya no será la suma de las energías
individuales. Por centrarnos en lo esencial prescindimos de la componente lineal y
consideremos la no linealidad más sencilla de modo que E ∝ N 2 , con lo que la relación
de incertidumbre
∆E ∝ N ∆N
es,
mediante
una
simple
∆E∆t ≥ h → ∆χ ∝
propagación
de
incertidumbres
1
.
N ∆N
Esto puede ser mucho mejor que el límite de Heisenberg, incluso si la sonda está en un
estado clásico ∆N = N ,
∆χ ∝
1
1
1
.
=
<<
N ∆N
N
N
N
Esta mejora de la sensibilidad admite una explicación relativamente sencilla. Los
medios no lineales pueden usarse en la práctica como amplificadores de señales. La
mejora de la precisión se puede interpretar como amplificación de la señal χ → N χ .
Recientemente esta idea se ha llevado a la práctica en el Instituto de Ciencias Fotónicas
para medir momentos magnéticos via efecto Faraday (rotación de la dirección de
vibración de una onda linealmente polarizada). La gráfica representa la incertidumbre
de la medida frente al número de fotones mostrando lo que llaman super-límite de
Heisenberg, que está por debajo del límite de Heisenberg y del límite cuántico estándar
(llamado aquí shot noise scaling).
http://www.nature.com/nature/journal/v471/n7339/full/nature09778.html
Este resultado mereció la atención del periódico El País en la sección de sociedad.
Nótese las incertidumbres en el titular. Si se bate el límite es que no se impone. La
entradilla sustituye el “batir” por el menos contundente “soslayar” con una conciliadora
aclaración de que no se niega el principio de incertidumbre.
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Batido/limite/precision/medida/impone/mecani
ca/cuantica/elpepusoc/20110325elpepusoc_7/Tes
Coherencia con el vacío. No linealidad del estimador.
La idea de que los estados N00N proporcionan la máxima incertidumbre de número a
número medio fijo es incorrecta. Como ejemplo tenemos el siguiente estado
superposición coherente de 0 fotones con probabilidad 1 − ε y N / ε fotones con
probabilidad ε de forma que el número medio es siempre N .
En este ejemplo la incertidumbre de número es
1− ε
1
ε
∆N = N
∆χ ∝
ε
N 1− ε
con lo que ∆N crece sin límite cuando ε → 0 ∆N → ∞ y la incertidumbre en la señal
decrece sin límite cuando ε → 0 ∆χ → 0 aunque N sea siempre fijo. Que esto
puede superar el límite de Heisenberg queda claro si elegimos por ejemplo ε = 1 / N
en cuyo caso
∆χ ∝
ε
1
1
=
<<
,
N
N
N
N
que es el mismo resultado obtenido con óptica no lineal.
El resultado es paradójico puesto que en el límite ε → 0 el estado sonda tiende a ser el
vacío, que es inútil a efectos de detección (el vacío es siempre el mismo bajo cambios
de fase), por lo que tenemos mejor detección de cambios de fase cuanto más cerca está
la sonda de ser insensible a cambios de fase. El precio que hay que pagar para tener esta
mejora en la resolución es que hay que repetir las medidas más veces para poder
aprovechar los resultados más ventajosos.
Este ejemplo de superación del límite de Heisenberg no está muy lejos del ejemplo
anterior puesto que en este caso se aprovecha la no linealidad del estimador de la
incertidumbre, la varianza, que es una función no lineal en el número de fotones
(∆N ) 2 = N 2 − N
2
. Por ejemplo
 N 
N
 =
N = ε 
.

ε
 ε 
La no linealidad hace que sea ventajoso tener menos resultados útiles (con probabilidad
ε ) pero que proporcionan una resolución mucho mayor.
2
2
2
Desde el principio este estado es paradójico puesto que se trata de una superposición
coherente de luz con el vacío, lo que no tiene ningún sentido en óptica clásica, mucho
menos que la superposición sea coherente. Incidentalmente el carácter coherente de la
superposición es crucial, puesto que otras propuestas con superposiciones incoherentes
no funcionan.
En cualquier caso, esta paradoja se puede situar en un contexto más general, el de la
estimación correcta de las fluctuaciones y de la inferencia estadística en general.
¿Más allá del principio de incertidumbre?
Hemos visto la posibilidad de superar límites a la resolución derivados del principio de
incertidumbre. ¿Podemos ir más allá y revisar el propio principio de incertidumbre?
Problemas de la varianza. Históricamente la incertidumbre ha sido medida mediante
la varianza. No obstante ni es la única posibilidad, ni está libre de problemas. Podemos
señalar dos inconvenientes relacionados con el ejemplo anterior:
(i) La varianza está pensada sobre todo para estadísticas Gaussianas. Para estadísticas
no Gaussianas puede no funcionar bien. Un ensayo interesante no matemático sobre la
importancia de fenómenos no Gaussianas es El Cisne Negro de Nassim Nicholas Taleb
(no confundir con la película homónima).
no confundir con
http://www.fooledbyrandomness.com/
(ii) La varianza da mucha importancia a valores de la variable con poca probabilidad.
La figura ilustra el cálculo de
x
2
∫ P( x) x
∞
=
2
dx para cierta variable aleatoria x
−∞
donde se representa una distribución de probabilidad P(x ) típica centrada en el origen
multiplicada por 100 para que se vea, y el cuadrado de la variable x 2 . Puede apreciarse
que la parte más importante de la probabilidad no contribuye ya que es multiplicada por
0 mientras que lo que más contribuye a
probabilidad.
x2
son los valores extremos con menos
Otras medidas de incertidumbre. Como medidas de incertidumbre alternativas a la
varianza podemos señalar las entropías de tipo Tsallis y Renyi
1 − ∑ p qj
1 / (1− q )


q
Sq =
Rq =  ∑ p j 


q −1
 j

donde q es un parámetro cualquiera y p j es la estadística de la variable en cuya
j
incertidumbre estamos interesados (supuesta discreta por sencillez). Estas medidas dan
resultados sensatos cuando son aplicadas a distribuciones típicas, como Gaussianas por
ejemplo en la que se tiene Rq ( A) ∝ ∆A . No tienen las dificultades de la varianza puesto
que los resultados que más contribuyen son los de mayor probabilidad.
En relación con los límites cuánticos, recordemos que sobre la varianza recae
demostración de las relaciones de incertidumbre.
Relaciones de incertidumbre contradictorias. Un resultado sorprendente, y que
todavía no se entiende bien, es que estas medidas de incertidumbre conducen a
resultados contradictorios entre sí para distintos valores de q y contradictorios también
con la varianza. Por ejemplo en la figura se ha representado el producto de
incertidumbres Renyi de dos observables A y B para distintos estados ψ y distintos
valores del parámetro q , de arriba abajo q = 0.5,1, 2, 3 .
Puede apreciarse que el mismo estado puede ser de incertidumbre mínima para una
medida y de incertidumbre máxima para otra.
Sin relación de incertidumbre. Más de lo mismo, para ciertos valores del parámetro
q , por ejemplo q = 2 ¡no hay relación de incertidumbre! es decir que Rq ( x ) Rq ( p)
¡puede ser tan pequeño como se quiera! ¿¿?? como han confirmado los trabajos de
Zozor, Portesi y Vignat.
DOI: 10.1016/j.physa.2008.04.010
Hemos comenzado este análisis señalando que la difracción es una versión/análogo
clásico de las relaciones de incertidumbre. De acuerdo con lo anterior si estimamos la
cantidad de difracción con entropías Renyi ¡la cantidad de difracción podría ser tan
pequeña como se quiera eligiendo convenientemente la forma de la abertura o el estado
de iluminación!
En este sentido hemos realizado el cálculo de la difracción para aberturas de tipo
α
exponencial E ( x ) ∝ exp − x / γ  donde γ , α son parámetros. Para α = 2 se trata de


una Gaussiana y para α → ∞ se trata de una abertura rectangular.
Puede apreciarse en la figura que el producto de varianzas ∆θ ∆x alcanza un mínimo
para el caso Gaussiano α = 2 , donde coincide con el producto de entropías Renyi
R2 (θ ) R2 ( x ) . Si disminuimos α a partir de ahí tenemos que el producto R2 (θ ) R2 ( x )
decrece de forma arbitraria (hasta donde he podido calcular) mientras que ∆θ ∆x crece
brutalmente. Es decir, que de acuerdo con Renyi, la cantidad de difracción cuando
disminuimos el tamaño de la abertura no tiene por qué crecer, al contrario puede
disminuirse arbitrariamente,
Conclusiones: Hemos visto que no hay límites a la precisión en la detección de señales
a pesar de la existencia de relaciones de incertidumbre. Hemos visto que la clave para
esto es sacar provecho de no linealidades, ya sea en el mecanismo detector o en el
proceso de estimación.
Más de lo mismo, hay estimadores de fluctuaciones que no conducen a relaciones de
incertidumbre. Podría argumentarse que la solución a esta supuesta falta de
incertidumbre sea que ocurre para medidas de incertidumbre que no son apropiadas. No
obstante lo mínimo que se puede decir es que el problema no es trivial, y que no
podemos descartar resultados como la ausencia de incertidumbre simplemente porque
no nos gustan.
Bibliografía:
Los principales trabajos de investigación invocados en este trabajo son:
Metrología no lineal
Quantum-limited metrology with nonlinear detection schemes
A. Luis, SPIE reviews 1, 018006 (2010)
Interaction-based quantum metrology showing scaling beyond the Heisenberg limit
M. Napolitano, M. Koschorreck, B. Dubost, N. Behbood, R. J. Sewell y M. W.
Mitchell, Nature 471, 486 (2011); arXiv:1012.5787
Más allá del límite de Heisenberg
A. Rivas y A. Luis, Challenging metrological limits via coherence with the vacuum,
(2011)
Falta de relaciones de incertidumbre
Some extensions of the uncertainty principle
Steeve Zozor, Mariela Portesi, y Christophe Vignat Physica A 387, 4808 (2008)
¿Sin difracción?
Gaussian beams and minimum diffraction
A. Luis, Opt. Lett. 31, 3644 (2006)
Relaciones de incertidumbre contradictorias
Contradictory uncertainty relations
A. Luis, arXiv:1104.2127
Dificultades de la varianza
The standard deviation is not an adequate measure of quantum uncertainty
J. Hilgevoord, Am. J. Phys. 70, 983 (2002)
Proposed international standard for laser beam quality falls short
G. N.Lawrence, Laser Focus World 30, 109 (1994)
Uncertainty relations from Fisher information
J. Rehacek y Z. Hradil, J. Mod. Opt. 51, 979 (2004)
Entropías Tsallis y Renyi
Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics
C. Tsallis, J. Stat. Phys. 52, 479 (1988)
On the measures of entropy and information
A. Renyi, Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematics and Staticstical
Probability (University of California Press, 1961), Vol. 1, pp. 547.
Límite de Heisenberg
Fundamental quantum limit in precision phase measurement
Z. Y. Ou, Phys. Rev. A 55, 2598 (1997)
Advances in Quantum Metrology
Vittorio Giovannetti Seth Lloyd, y Lorenzo Maccone
Nature Photonics 5, 222 (2011); arXiv:1102.2318