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Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Segunda convocatoria. Septiembre-2012
PROBLEMAS
Problema 1.- Sea una corteza esférica de radio R1 que posee una densidad superficial de carga uniforme σ. Se
introduce esta esfera en el interior de una esfera metálica hueca de radio interior R2 > R1 y radio exterior R3 de
forma que ambas esferas son concéntricas. La esfera metálica está conectada a tierra. Se pide:
a) Campo y potencial eléctrico en todos los puntos del espacio antes de introducir la esfera de radio R1 en el
interior de la esfera metálica. (3/10)
b) Campo y potencial eléctrico en todos los puntos del espacio una vez alcanzado el equilibrio electrostático
después de introducir la esfera de radio R1 en el interior de la esfera metálica. (3/10)
c) Carga neta de la esfera metálica. Indique dónde se encuentra esta carga. (2/10)
d) ¿Habrı́a cambiado la solución para el campo eléctrico en alguna región del espacio si la esfera metálica hubiera
estado aislada y descargada en lugar de estar puesta a tierra? (2/10)
SOLUCIÓN
= E(r)ur , expresado
(a) Dada la simetrı́a del problema, podemos suponer que el campo eléctrico es de la forma E
en coordenadas esféricas. La forma más simple de calcularlo es mediante la aplicación de la ley de Gauss en forma
integral,
· dS
= qint .
E
0
SG
Tomando una superficie gaussiana SG esférica de radio arbitrario r, el flujo eléctrico expresado en el primer
miembro será simplemente 4πr 2 E(r). Si r < R1 , la carga encerrada es nula, mientras que si r > R1 , dicha carga
será toda la depositada en la superficie de radio R1 , es decir, qint = 4πR12 σ ≡ Q1 . (Aunque la notación usada es
la misma, no debe interpretarse σ como una conductividad). En resumen, el campo resulta
=
E
0
σR21
0 r 2
(r < R1 )
(r > R1 )
· dr. Tomando origen de potencial en el
El potencial se calcula a partir de su relación con el campo, dV = −E
infinito y empleando un camino radial podemos escribir para la región exterior a la distribución,
∞
V (r) =
r
E(r) dr =
∞
σR12
r
0
r2
dr =
σR12
.
0 r
Para r < R1 el potencial no se modifica respecto del valor que toma en r = R1 , puesto que el campo pasa a ser
nulo. En definitiva,
σR1
σR12
=
(0 < r < R1 ).
V (r) =
0 R1
0
(b) En este apartado la esfera de carga está dentro de una cascarón metálico esférico conectado a tierra. Es
importante darse cuenta de que el sistema no es un condensador.
Podemos adelantar dos caracterı́sticas de este sistema: (i) la carga total acumulada en la cara interior del cascarón,
que denominaremos Q2 , es la opuesta de la carga total de la esfera interior, para que el campo en la región
conductora sea nulo; y (ii) el potencial (y en consecuencia también el campo) en la región exterior al cascarón es
nulo, puesto que al estar conectado a tierra, la condición V (R3 ) = 0 y la ausencia de cargas en el exterior hace
que el problema de potencial ∇2 V = 0 admita la solución trivial V (r) = 0.
El campo eléctrico en el interior del hueco es el mismo que en el apartado (a), puesto que la aplicación de la ley
de Gauss es exactamente la misma. El potencial en cambio se modifica en una constante aditiva:
r
σR12
E(r) dr =
V (r) − V (R2 ) = −
0
R2
con V (R2 ) = V (R3 ) = 0, luego
V (r) =
σR12
0
1
1
−
r R2
1
1
−
,
r R2
(R1 < r < R2 ).
En el interior de la esfera de radio R1 el potencial toma el valor uniforme
σR12
V (r) =
0
1
1
−
.
R1 R2
(c) La carga depositada en la cara exterior del cascarón, que llamaremos Q3 , es nula, puesto que allı́ el campo
es nulo. La carga del cascarón será entonces la depositada en la cara interior, que según lo dicho en el apartado
anterior será
ρS dS = −4π R12 σ,
Q2 = −Q1 =
S1
distribuida uniformemente en la superficie.
(d) Si el cascarón metálico está aislado y descargado, los campos en el interior serán los mismos, pero en el
exterior la situación se modifica, puesto que la cara exterior debe poseer una carga Q3 = −Q2 = Q1 = 4π R12 σ
uniformemente distribuida. El campo exterior será, por Gauss,
E(r) =
R12 σ
Q3
=
.
4π0 r 2
0 r 2
Departamento de Física Aplicada III
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Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Segunda convocatoria. Septiembre-2012
PROBLEMAS
Problema 2.- El circuito de la figura está formado por una semicircunferencia y su diámetro, este último de
longitud D. El material usado es un hilo metálico de conductividad σ y radio a. El circuito está girando con
velocidad angular ω en sentido antihorario respecto de un eje perpendicular al plano del papel y que pasa por
el centro de la circunferencia. Hay un campo magnético constante dirigido perpendicularmente al papel y hacia
adentro, que está limitado al espacio superior de la figura, indicado con cruces. Se pide:
(a) Hallar la resistencia de la espira (1/10)
(b) Hallar la f.e.m. mediante la aplicación de la regla del flujo. Considérese cada instante de tiempo durante un
giro completo de la espira (luego el proceso se repite indefinidamente) (3/10)
(c) Repetir el cálculo mediante la aplicación de la definición de f.e.m. (3/10)
(d) Hallar la intensidad que pasa por la espira en cada instante. ¿Qué tipo de señal se genera en la espira? (2/10)
(e) Aplicar la ley de Lenz para verificar el sentido de la corriente en cada instante obtenido en el apartado anterior.
(1/10)
B
w
D
Figura 1
SOLUCIÓN
(a) La resistencia de la espira se obtiene a partir de la fórmula válida para un hilo de longitud l y sección S y
conductividad σ uniformes,
l
.
R=
σS
En nuestro caso, la longitud es una semicircunferencia más un diámetro, l = D + πD/2, y la sección es S = πa2 ,
por tanto
D(1 + π/2)
.
R=
σπa2
B
P
B
Q
f
O
f
b
O
P
Q
(a)
(b)
Figura 2
(b) Al girar, la porción del área plana apoyada en la espira que es atravesada por el campo magnético varı́a, y en
consecuencia se induce una f.e.m. que podemos calcular mediante la regla del flujo,
d
dΦ
=
ε=−
dt
dt
S
· dS.
B
Partiremos de la situación en la que toda la espira queda fuera del campo y definiremos el ángulo φ tal como
indica la figura 2a. Por otro lado definiremos los elementos de superficie orientados en la dirección entrante en
el papel, es decir, en la dirección y sentido del campo. Con todo ello el cálculo del flujo magnético queda muy
sencillo, por tratarse de un campo uniforme en la región donde es no nulo:
Φ=
· dS
= BS(φ) = Bπ(D/2)2 φ = 1 BD 2 φ.
B
2π
8
S
Como el movimiento de giro es uniforme, φ = ωt y la f.e.m. queda
1
ε = − BD 2 ω.
8
Este resultado es válido para 0 < φ < π. Cuando π < φ < 2π (ver la figura 2b), el ángulo que determina el área
atravesada por el campo es π − β = π − (φ − π) = 2π − φ, luego
1
Φ = BD 2 (2π − φ),
8
1
ε = BD 2 ω.
8
A partir de φ = 2π, el proceso se repite, y la señal resultante es periódica.
(c) El mismo resultado debe obtenerse mediante la aplicación de la definición de f.e.m.,
2
ε=
1
(f/q) · dr,
donde la única fuerza sobre los portadores de carga (electrones libres del metal) es la fuerza magnética f = qv × B.
Los puntos inicial (1) y final (2) coinciden por extenderse en principio a toda la espira. Tomemos como O ambos
puntos. La velocidad de los portadores está asociada al giro de la espira. Si r = rur es la posición de un portador
de carga, en el integrando se puede escribir
= (
= ωr(uz × ur ) × (−Buz ) = −ωBrur .
f/q = v × B
ω × r) × B
Ha resultado una fuerza radial sobre los portadores. Debemos distinguir tres tramos en la circulación a lo largo
¯ El sentido de circulación elegido es el compatible con
¯ , el arco P Q y el segmento QO.
de la espira: el segmento OP
¯ no hay campo
la orientación de los elementos de superficie según la regla de la mano derecha. En el tramo QO
magnético y la integral es nula. En el tramo P¯Q el elemento dr es de la forma (D/2)dφuφ , y por tanto el producto
¯ , que da
escalar en la integral da cero. Sólo queda el tramo OP
P
ε=
O
(f/q) · dr = −
D/2
0
1
ωBrur · (drur ) = − ωBD 2 .
8
El resultado es el mismo que en el apartado anterior. Cuando π < φ < 2π, la situación es la ilustrada en la figura
¯ que supone simplemente un cambio de orden en los
2b. En ese caso el tramo con circulación no nula es el QO,
lı́mites de integración respecto de el cálculo correspondiente al caso 0 < φ < π. También esto coincide con lo
obtenido en el apartado (b).
(d) La intensidad que pasa en cada instante es simplemente I(t) = ε(t)/R, donde todas las magnitudes son ya
conocidas. La señal de intensidad es cuadrada, es decir, el primer semiperiodo T /2 = π/ω toma un valor constante
(en sentido antihorario), y durante el segundo semiperiodo toma otro valor constante (en este caso el mismo pero
en sentido horario).
(e) La ley de Lenz nos dice que la corriente inducida en la espira es tal que el campo magnético asociado a ella
tiende a contrarrestar las variaciones de flujo en el sistema. En la figura 2a (caso 0 < φ < π) el flujo hacia dentro
del papel aumenta, y la corriente calculada, de sentido antihorario, se opone a esa variación. En la figura 2b (caso
π < φ < 2π) el flujo hacia dentro disminuye y la corriente inducida horaria también se opone a esa variación.