Geodésicas en la métrica de Schwarzschild y Kerr. Tratamiento

1
Geodésicas en la métrica de Schwarzschild y Kerr.
Tratamiento numérico
Zamora Ramos, Rafael
Licenciatura de Ciencias Físicas. Facultad de Física. Avd. Reina Mercedes, s/n.
Universidad de Sevilla. E-41012 Sevilla, Spain.
En este trabajo, se pretende estudiar las órbitas de un planeta ligero inmerso en un espacio deformado por una estrella masiva esférica y estática, haciendo uso de la Teoría
General de la Relatividad mediante resolución numérica de las ecuaciones correspondientes. Se analizarán los posibles casos y sus diferencias con el caso no relativista. El
mismo procedimiento se aplicará a la trayectoria de un rayo de luz en el marco relativista. Finalmente veremos, sin profundizar mucho, qué efectos se siguen de una estrella en
rotación. Se hará énfasis en señalar que, para que estos efectos sean observables de forma evidente a los sentidos del ser humano es necesario que la estrella sea en realidad un
agujero negro.
En todo el trabajo vamos a utilizar unidades geometrizadas, en las que la velocidad de la luz y la
constante de la gravitación valen la unidad. En la Teoría General de la Relatividad el espacio, el
tiempo y la masa están totalmente ligados, por lo que puede usarse la misma unidad para las tres.
Este sistema tiene una gran ventaja en el tratamiento de las ecuaciones. De todas formas, siempre
podemos cambiar al sistema de unidades MLT, usando la tabla 2 de conversión que aparece al final
del trabajo.
Supondremos un espacio vacío en el que hay un cuerpo masivo esférico estático. Resolviendo las
ecuaciones de Einstein para el vacio se obtiene la solución de Schwarzschild que cumple la siguiente métrica en coordenadas polares:
= 1−
+
+
− 1−
.
En esta métrica se puede comprobar que existen varias simetrías que van asociadas a la existencia
una magnitud invariante. Las dos magnitudes invariantes que en nuestra discusión nos interesan
son, el momento angular l y la “energía” e.
Nos interesa buscar la trayectoria de partículas con masa en ese espacio. Para eso, buscamos la geodésica de esta métrica, que sería la trayectoria de esa partícula, teniendo siempre presente que la
masa de la partícula es tan pequeña respecto a la de la “estrella” que se puede anular su aportación
a la métrica del espacio.
Tenemos pues que:
ℒ=
̇ ̇ = −1 ,
(1)
que para nuestra métrica corresponde con:
ℒ = 1−
̇ +
̇ +
̇ − 1−
̇ = −1 .
(2)
2
Las ecuaciones de Lagrange asociadas son:
ℒ
ℒ
−
̇
=0
Teniendo en cuenta que:
=
=
=
=
De las ecuaciones de Lagrange obtenemos 4 ecuaciones, de las que usaremos las tres últimas.
2
̇−
2 ̇
̇ =0 2
̇ 1−
̇
=0  ̇ =0 
̇ =0
̇ 1−

=0  ̇ 1−
=
̇ = =
.
(3)
(4)
(5)
(Las derivadas son respecto al tiempo propio τ.)
De (3) se deduce que las geodésicas y, por tanto, las trayectorias son planas. Podemos escoger, sin
pérdida de generalidad, = /2 .
Por tanto, (4) quedaría de la forma:
̇= .
(6)
Sustituyendo (5) y (6) en (2) :
1−
2
̇ +
− 1−
2
1−
1−
Multiplicando por 1 −
Por lo tanto,
−
= −1
= −1.
:
̇ +
Podemos interpretar
̇ +
2
1−
2
−
=
̇ +
como la energía ℇ y
+
=− 1−
+
−
2
−
.
como un potencial efectivo
(7)
( ).
3
ℇ=
̇ +
( ).
(8)
Y podemos compararlo con el caso Newtoniano que vamos a recordar brevemente.
Caso Newtoniano
Partimos de la conservación de la energía total de la partícula.
=
−
=
̇−
̇ +
,
(9)
y teniendo en cuenta la conservación del momento angular:
̇ .
=
(10)
Sustituyendo (10) en (9):
=
̇ +
−
.
(11)
( )=
−
,
(12)
Definimos el potencial efectivo:
quedando (11) de la forma:
=
Si nos fijamos en la función
de retorno, ya que en ellos
̇ +
( ).
(13)
( ), vemos que los puntos de corte con la recta E nos dan puntos
̇ = 0, como se deduce de (13).
( ) en rojo,
En la figura 1 representamos la función
en azul, −
en negro y la energía total en línea discontinua. Podemos distinguir cuatro situaciones dependiendo del valor de E:




El primer caso sería cuando la energía corte en el mínimo del potencial y la órbita sería de
radio constante y, por tanto una circunferencia, que es el límite del caso siguiente.
En este segundo caso hay dos puntos de corte y la órbita estará ligada entre el valor de los
dos radios en que corta la energía con el potencial efectivo. Como veremos posteriormente,
la órbita corresponde a una elipse.
El tercer caso corresponde a energía cero, en la que hay un solo punto de retorno y la partícula se para en el infinito. Este caso coincide con una trayectoria parabólica.
El cuarto caso es el de energías positivas, en el que hay un solo punto de retorno y la órbita
es no ligada, coincidiendo con una hipérbola.
4
Fig. 1. Representamos en color rojo el potencial efectivo Newtoniano frente a r y
los dos términos del potencial efectivo. En líneas discontinuas se representan
tres valores de la energía: negativo, nulo y positivo.
El caso B-B´ corresponde con trayectorias elípticas, el A con parábolas y el C
con hipérbolas.
Para obtener la ecuación diferencial que gobierna las trayectorias partimos de (11) y (10). Además,
teniendo en cuenta que =
, obtenemos:
=
+
−
,
(14)
que es más fácil de resolver si usamos el siguiente cambio de variable:
=
(1/ )
=−
= 1/ .
1
De modo que (14) pasa a tener la siguiente forma:
=
+
−
.
(15)
Si derivamos (15) respecto de :
+
Supondremos que
−
= 0.
≠ 0, es decir, que las trayectorias no son circulares; y que
no rectas (no caída libre), por lo que podemos dividir
+
=
(16)
≠ 0, trayectorias
, obteniendo:
,
(17)
5
Ecuación inhomogénea1 de fácil solución analítica:
( )=
+
cos
,
(18)
siendo e la excentricidad de la órbita2 y cumpliendose las siguientes condiciones iniciales:
̇ (0) = 0
(
(0) =
Deshaciendo el cambio de variables y definiendo =
)
=
.
(19)
, tenemos:
( )=
,
(20)
con
̇ (0) = 0
(0) =
=
(perihelio)
( )=
=
(afelio)
(21)
La ecuación (20) es una cónica en polares en la que distinguimos:
= 0 → Circunferencia
< 1 → Elipse
= 1 → Parábola
> 1 → Hipérbola
Una vez recordado el caso Newtoniano, volvamos a nuestra ecuación para el caso relativista. En
este caso porque nos interesa compararlo con el caso Newtoniano, vamos a usar unidades MLT, el
cambio es fácil teniendo en cuanta las tablas 1 y 2 del final del trabajo:
ℇ=
̇ +
Podemos encontrar mayor similitud si definimos
=
y
= .
+
−
.
(22)
ℇ
Sustituyendo en (22):
=
̇ +
+
−
(23)
que salvo por el último término 3, que sería una corrección de la Teoría General de la Relatividad, es
comparable al caso Newtoniano. Pero debemos siempre tener presente una diferencia entre (23) y
1
La solución general de la ecuación inhomogénea es la suma de la solución general de la homogénea más una solución particular de la inhomogénea.
2
No confundir con la energía definida en (5).
6
(11): en la ecuación relativista estamos derivando con respecto al tiempo propio y r no es la distancia a ningún centro, ya que la métrica no es la métrica plana en coordenadas esféricas y, por tanto,
no coincide con la distancia del centro al planeta.
A pesar de las diferencias, aún podemos clasificar el tipo de órbitas de la misma forma que hacíamos en el caso clásico.
Volvemos a la ecuación (7).
ℇ=
̇ +
+
−
.
(24)
Dependiendo de los valores de l y M tendremos un tipo de potencial efectivo, y el valor de ℇ nos
dará el tipo de órbita posible, de forma análoga al caso Newtoniano.
Si definimos las variables adimensionales,
birse como:
∗
=
( ∗) =
∗
+
∗
=
∗
∗
, el potencial efectivo puede escri-
−
∗
∗
.
(25)
Por lo que el potencial efectivo depende sólo del parámetro ∗ . Podemos encontrar varios tipos:
V
0.15
0.10
0.05
20
40
60
80
r M
 0.05
 0.10
 0.15
 0.20
Fig. 2. En este gráfico representamos en el eje de ordenadas el potencial efectivo y en
el de abscisas r / M. En rojo representamos un potencial con = 2; en azul un potencial con un punto de inflexión con
= 6; en negro, con
= √12, cuyo punto de inflexión está en
= 4, el potencial presenta un máximo en cero; y en verde
= 5, en el que el máximo del potencial es ya positivo.
Las posibles órbitas dependen, por tanto, del tipo de potencial y del valor de ℇ.
Para estudiar el potencial efectivo, es interesante encontrar sus máximos y mínimos. Para ello derivamos el potencial efectivo:
3
Este término solo es importante para M muy grandes o para r muy pequeñas. En el caso del Sol el término llegaría a
ser importante para distancia de pocos kilómetros, y teniendo en cuenta que el radio del Sol es 696000 Km, esas distancias no son alcanzables y por esa razón la teoría Newtoniana funciona tan bien en el sistema solar.
7
( ∗)
∗
=
∗
−
∗
∗
∗
+
∗
,
y lo igualamos a cero:
∗
1
−
∗
∗
∗
∗
−
∗
∗
3
+
=0
∗
+3
∗
= 0,
y obtenemos dos soluciones posibles:
∗
∗
=
1± 1−
∗
,
(26)
que son los máximos y mínimos de potencial.
Cuando ∗ = √12 hay una solución doble y tenemos un punto de inflexión, en el que ∗
= 6,
que está representado en color azul en la figura 2.
Un caso interesante del potencial efectivo se da cuando el valor máximo es nulo. Lo podemos ver
en la figura 2, en negro, y sucede cuando ∗ = 4.
Todo lo anterior podríamos realizarlo con la variable r en vez de ∗ , obteniendo:
=
=6
1 ± 1 − 12
2
= √12
con
=4
=4
con
=−
(
y
) = 0.
El caso más simple lo encontramos para l =0, en el que tenemos el problema de caída libre, ya que
al ser ̇ = 0 la geodésica seria radial. Este caso lo trataremos de forma diferenciada más adelante.
Casos posibles para energías negativas
Claramente la geometría queda definida por las raíces de la ecuación
( ) − ℇ = 0, que son tres.
Esta situación que es más inmediata de comprobar si realizamos el cambio
∗
∗
∗
−
∗
+
∗
∗
=
+ ℇ = 0 ,
∗
, quedándonos:
(27)
que es un polinomio de tercer orden y, por tanto, tiene tres raíces, pudiendo ser las tres reales o una
real y dos complejas conjugadas. Pero como es mas intuitivo usando la variable r, seguiremos la
busqueda de las raíces de
∗
∗
−
∗
∗
+
∗
+ℇ =0.
Podemos ver en la figura 3 los posibles casos en los que nos podemos encontrar:
(28)
8
Raíces reales Caso
a
, ,
b
= ,
c
, =
d
= =
e
f
Suponemos que el orden de las raíces reales, que son positivas, es:
≤
≤
.
(29)
Caso a
Hay dos posibles órbitas:

Una órbita ligada que oscilaría entre r2 y r3. Tendría su analogía Newtoniana en las órbitas
elípticas, aunque en este caso no son realmente elípticas, como podremos observar en las figuras 8, 9, 10 y 11.
Una órbita que empieza en r1 y termina cayendo en el origen.

Caso b
Tenemos en este caso también dos tipos de órbitas:
 Una órbita circular inestable en r1. Sabemos que es inestable porque al ser un máximo del
potencial cualquier perturbación en la energía lo alejaría de una órbita ligada, esto podemos
comprobarlo en el cálculo numérico dejando que pasen suficientes iteraciones para que el
error de cálculo nos aleje del máximo y vemos que es inestable como podemos observar en
la figura 13.
 Una órbita cuya forma recuerda a la espiral logarítmica, desde r3 asintótica a r1.
Caso c
De nuevo podemos considerar dos tipos de órbitas:
 Una órbita circular estable en r3 que tiene un radio mayor que la anterior órbita circular inestable y que coincide con el valor mínimo del potencial.
 La segunda es una órbita que empieza en r1 y cae al origen.
Caso d
En este caso las tres raíces coinciden y tenemos una órbita estable circular en el valor de la raíz, que
es la última órbita circular estable posible. También hay órbitas de caída al origen. El radio de esta
órbita es 6M y el punto triple aparece cuando = √12 en el potencial efectivo. Esta raíz coincide
con el punto de inflexión r = 6M, que normalmente en la literatura se denomina r
, haciendo
referencia a “Innermost Stable Circular Orbit”.
Caso e
Sólo hay una raíz real positiva y la única órbita posible es caída en espiral a la singularidad.
Caso f
En este caso solo son posibles órbitas de caída en el origen. El potencial efectivo en este caso no
posee máximos ni mínimos relativos, esta situación se da cuando < √12.
9
V
V
10
5
10
15
20
25
30
35
20
30
40
50
rM
rM
 0.05
 0.05
 0.10
 0.10
 0.15
 0.15
 0.20
 0.20
(a)
(b)
V
V
5
10
15
20
25
30
rM
5
 0.05
10
15
20
25
30
40
50
60
rM
 0.05
 0.10
 0.10
 0.15
 0.15
 0.20
(c)
 0.20
(d)
V
V
10
20
30
40
50
60
r M
10
 0.05
 0.05
 0.10
 0.10
 0.15
 0.15
 0.20
(e)
20
30
 0.20
(f)
Fig. 3. Observamos diferentes soluciones para la ecuación
− ℇ = 0 con ℇ < 0 :
(a) Hay tres raíces reales negativas. Coincide con el caso equivalente a órbitas Keplerianas.
(b) Una de las raíces es doble y coincide con el máximo del potencial efectivo. Nos lleva a una órbita circular inestable.
(c)Tenemos una raíz doble, que en este caso coincide con el mínimo del potencial efectivo y da una órbita
circular estable.
(d) Es precisamente cuando el potencial tiene un punto de inflexión y la raíz triple coincide con este punto,
dándose una órbita circular estable, la de menor r posible.
(e)Sólo hay una raíz real.
( f) Es para valores de < √12 , en donde no hay ni máximos ni mínimos relativos.
rM
10
Casos posibles para energías positivas
Consideramos potenciales efectivos con > 4 y, por tanto, que tiene valores en el primer cuadrante, como podemos ver en la figura 4.
Vemos que en este caso puede haber raíces negativas y no hay posibilidad de órbitas circulares estables, ni de órbitas ligadas distintas de la circular inestable.
Tenemos, pues, tres casos posibles, que son:
V
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
 40
 20
20
40
rM
 0.1
Fig. 4. El potencial tiene un máximo positivo. Como vemos en la gráfica también
tiene valores negativos, lo que implica que existirá una raíz negativa para
− ℇ = 0.
V
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
 40
 20
20
40
r M
 0.1
Fig. 5. (A) Hay tres raíces reales: 2 positivas y una negativa, que no tiene sentido físico
11
V
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
 40
 20
20
40
rM
 0.1
Fig. 6. (B) Hay tres raíces reales: 2 positivas coincidentes y una negativa que
no tiene sentido físico
.
V
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
 40
 20
20
40
rM
 0.1
Fig. 7. (C) Hay una raíz real negativa que no tiene sentido físico y dos complejas conjugadas.
Caso A
( ) − ℇ = 0 tiene dos raíces reales positivas y una negativa que carece de sentido
La ecuación
físico.
Las órbitas posibles son: una órbita de dispersión, que equivaldría a las trayectorias hiperbólicas
Newtonianas, y una órbita de caída en la singularidad.
Caso B
Las dos raíces reales coinciden en un máximo del potencial efectivo y llevan a una órbita circular
inestable. Además aparecen órbitas de caída en el origen.
Caso C
Hay dos raíces complejas conjugadas además de la consabida solución negativa. Las órbitas posibles son de caída en la singularidad.
12
Estudio numérico
Para poder representar las órbitas anteriormente comentadas, podemos resolver las ecuaciones diferenciales analíticamente usando las aproximaciones oportunas o intentar resolverlas numéricamente.
Éste último es el método que me planteo en este proyecto, para lo cual parto de las siguientes ecuaciones:
Método 1
Partimos de ℇ =
̇ +
+
−
y derivamos respecto al tiempo propio
=−
+
−
=
.
.
(30)
Despejando de (6):
(31)
De (2):
1−
̇ +
̇ − 1−
̇ = −1.
Deducimos:
=
1
2
1−
=
+
1−
2
+
+
1−
+(
̇
2
̇
)
.
(32)
Las ecuaciones (30), (31) y (32) las he usado con las condiciones iniciales:
(0) =
̇ (0) = 04
(0) = 0.
Este sistema de ecuaciones presenta el problema de divergencia para = 2 , es decir, para = ,
siendo = 2 el radio de Schwarzschild, que es el límite del horizonte de sucesos y el tamaño
máximo que debe tener una estrella para considerarse agujero negro.
4
El tomar esta condición inicial nos restringe simplemente a un punto concreto de la órbita, facilitando el cálculo
numérico, sin menoscabar la generalización de las soluciones.
13
Método 2
Otra forma de integración numérica es partir de ℇ =
̇ +
+
−
y usar
=
y
(31). Obtenemos:
ℇ=
+
+
−
.
(33)
Pero es más conveniente para la resolución de la ecuación pasar a la variable
=
( / )
=−
= , de donde
.
(33) queda de la forma:
ℇ=
+ −
+
−
.
Reordenando términos:
−
+
−2
−
ℇ
=0,
(34)
con la condición inicial
(0) =
.
Método 3
Partimos de (34) y derivamos respecto de :
2
Suponiendo que
≠ 0, es
−
+2
−6
= 0.
decir, que la órbita no es circular, dividimos por 2
+
−3
=
:
,
(35)
con las condiciones iniciales
(0) =
̇ (0) = 0
Los tres métodos los he usado para representar la trayectoria de la partícula de prueba en una métrica de Schwarzschild, dando resultados idénticos a excepción del primer método en = .
Para la integración numérica me he ayudado de la herramienta informática “Wolfram Mathemática
8.0”.
Particularidades de la métrica de Schwarzschild
Hemos de tener en cuenta las posibles singularidades del problema, en nuestro caso de la propia
métrica:
14
= 1−
+
+
− 1−
= 1−
+
+
− 1−
,
que se puede reescribir:
(36)
Con = 2 , que es el llamado radio de Schwarzschild, vemos que la métrica tiene dos singularidades: una en r = 0 y otra en = . Para comprobar si son singularidades físicas o aparecen por la
elección del sistema de coordenadas, podemos buscar un escalar, que no depende de la elección de
las coordenadas, y ver si es singular respecto a este punto. Ésta es una condición necesaria para que
un punto sea singular, pero no suficiente [21]. En nuestro caso, para la métrica de Schwarzschild podemos calcular el escalar:
=
,
(Véase bibliografía [21])
(37)
que nos muestra que r = 0 es una singularidad física. Pero, sin embargo, se puede comprobar que
ninguno de los invariantes de curvatura diverge en = , por lo que esta singularidad en ese punto
no es realmente tal sino que es debida a la elección del sistema de coordenadas y con otra elección
se puede salvar.
El límite = es un horizonte de sucesos que indica que lo que suceda tras ese punto no es observable por puntos en el exterior. Esto ha querido ampliarse en general con la llamada conjetura de
censura cósmica, formulada por Roger Penrose en 1969, en la que se supone que un horizonte de
sucesos ocultaría las singularidades físicas a los observadores exteriores al mismo para evitar el
problema de causalidad que pueden crear tales singularidades. Pero hasta el momento es una conjetura y no se ha demostrado en caso general.
Vamos a mostrar un conjunto de órbitas representativas tanto para energías negativas como positivas. Todas ellas han sido obtenidas mediante integración numérica con alguno de los tres métodos
mostrados anteriormente. En algunas gráficas, donde la trayectoria no atraviesa el radio de Schwarzschild, el interior del círculo de radio ha sido pintado en negro.
15
Empezamos mostrando las órbitas con energía negativa.
Órbitas para ℇ < 0
1000
40
500
20
 1000
 500
500
 40
1000
 20
20
40
 20
 500
 40
 1000
Fig. 8. l=10, r0=1000, M = 0.5, ̇ = 0.
Representa un campo débil5 con M= 0.5 y con
r0=1000. En ella podemos observar que las órbitas se
acercan a las Keplerianas pero con una precesión6
del perihelio de la órbita.
Fig. 9. l=4, r0=35, M = 0.5, ̇ = 0.
Observamos el mismo efecto que en fig. 8 para una órbita
menos excéntrica.
40
30
20
20
10
 40
 20
20
40
 30
 20
 10
10
20
30
 20
 10
 40
 20
Fig. 10. l=4, r0=35, M = 0.8, ̇ = 0.
El campo no es débil por lo que observamos que la
órbita no se asemeja a una elipse con una precesión
de su perihelio. En el caso del Sistema Solar para
poder sentir un campo tan fuerte deberíamos estar
en una órbita menor al radio solar, cosa en todo
imposible. La órbita representada se observaría en
estrellas cuya relación entre su masa y “radio” fue7
ra suficientemente pequeña .
5
 30
Fig. 11. l=19/5, r0=6, M = 1, ̇ = 0
Vemos de forma más llamativa la órbita ligada de tipo
(a) de la figura 3, en la que existe un radio mínimo y
otro máximo entre los cuales discurre la trayectoria.
Aún con estos datos, el campo es mucho más fuerte que en el caso del Sol y Mercurio. M⊙ = 2.96 Km y r0 = 58000000 Km.
En el caso de Mercurio la precesión es de 42.9 segundos de arco por siglo.
7
En este caso = 2 ∙ = 1.6 y = 35 = 21.875 ∙ . Es decir, en estrellas cuyo radio sea inferior a 22
pueden existir órbitas
de ese tipo, en las que se sienta este “campo gravitatorio” tan fuerte o, en términos más precisos, que el espacio tiempo se haya deformado fuertemente (recordemos que en Teoría General de la Relatividad no existe campo gravitatorio).
6
16
6
4
4
2
2
6
4
2
2
4
6
4
2
2
4
2
2
4
4
6
Fig. 12. l=19/5, r0=rmax, M = 1, ̇ = 0.
Podemos observar una trayectoria circular inestable, que sería representativa del caso (b). Representamos por un disco negro el círculo interior del radio de Schwarzschild.
Fig. 13. l=19/5, r0=rmax, M = 1, ̇ = 0 .
Trayectoria circular inestable en la que una ligera perturbación, en este caso de cálculo numérico, hace que
la órbita se precipite al origen.
15
10
5
5
 15
 10
5
5
10
15
5
5
5
 10
5
 15
Fig. 14. l=19/5, r0=rmin, M = 1, ̇ = 0.
Representa una órbita circular estable cuyo “radio”
es el mínimo del potencial efectivo. Por tanto, nos
encontramos en el caso (c).
8
Fig. 15. l= √12, r0=rinf=6, M = 1, ̇ = 0.
Observamos otra vez una órbita circular estable, pero
en este caso es la de “radio”8 más pequeño posible y
coincide concretamente con el punto de inflexión del
potencial efectivo para
= √12, que es el caso (d).
Ya mencionamos que a este “radio” se le denomina rISCO. El poner entre comillas la palabra radio se debe a que realmente en la métrica de Schwarzschild “r” no coincide con la distancia al centro, aunque sí en el límite Newtoniano.
17
 30
 20
30
30
20
20
10
10
 10
10
20
30
 30
 20
 10
10
 10
 10
 20
 20
 30
 30
20
30
Fig. 16. l=19/5, r0=40, M = 1, ̇ = 0.
Fig. 17. l=19/5, r0=40, M = 1, ̇ = 0.
Las figuras 16 y 17 corresponden con el caso (e), en el que la energía es mayor que el valor máximo del potencial.
En este caso no hay órbitas ligadas y aparece una órbita que cae a la singularidad.
 40
40
20
20
10
 20
20
40
 20
 10
10
 20
 10
 40
 20
20
Fig. 18. l=2, r0=40, M = 1, ̇ = 0.
Fig. 19 l=2, r0=40, M = 1, ̇ = 0.
Estas dos figuras representan el caso (f), en el que el potencial efectivo no tiene ni máximos ni mínimos y no existen órbitas ligadas.
6
4
6
6
4
4
2
2
2
2
4
6
6
4
2
2
2
2
4
4
6
6
4
Fig. 20. l=19/5, r0=3.50467, M = 1, ̇ = 0.
Fig. 21. l=19/5, r0=3.5046, M = 1, ̇ = 0.
Estas dos figuras representan el caso (a) con órbitas no ligadas de caída en el centro.
6
18
15
30
10
20
5
10
 30
 20
 10
10
20
 15
30
 10
5
5
 10
10
15
5
 20
 10
 30
 15
Fig. 22. l=19/5, r0=r3=33.7328, M = 1, ̇ = 0.
Fig. 23. l=19/5, r0=r3=33.7328, M = 1, ̇ = 0.
15
10
5
 15
 10
5
5
10
15
5
 10
 15
Fig. 24. l=19/5, r0=r3=33.7328, M = 1, ̇ = 0.
En las figuras 22, 23 y 24 observamos trayectorias no ligadas, que también ocurren en el caso (b).
19
Órbitas para ℇ > 0
Para energías positivas, como ya vimos, existen tres tipos de órbitas que quedan representadas por
las figuras de abajo:
4
30
20
2
10
 30
 20
 10
10
20
30
4
2
2
4
 10
2
 20
 30
4
Fig. 25. l=6, r0=5.45203 ,E=0.2 M=1.
Representa una órbita del tipo (A), que consideramos de
dispersión. Es la equivalente a las órbitas hiperbólicas
Newtonianas.
Fig. 26. l=6, r0=2.541,E=0.2 M=1.
Representa otra órbita del tipo (A), en la que la partícula cae en la singularidad. En este gráfico aparece en
negro el interior del horizonte.
30
4
20
2
10
 30
4
2
2
 20
 10
10
20
30
4
 10
2
 20
 30
4
Fig. 27. l=6, r0=2.541,E=0.2 M=1.
Representa una órbita del tipo (A), en la que la partícula
cae en la singularidad.
Fig. 28. l=6, r0=18 1 −
=
,E=0.348, M=1.
Está representado el caso (B) de órbita circular inestable, en la que acaba escapando de la órbita cerrada
debido a perturbaciones numéricas.
20
4
4
2
4
2
2
2
4
4
2
2
2
2
4
4
Fig. 29. l=6, r0=18
1−
4
=
,E=0.348, M=1.
Se representa exclusivamente la órbita circular inestable
y, en negro, el interior del horizonte de sucesos.
Fig. 30. l = 6, M =1, r0 = 5,E = 0.4.
Esta figura corresponde al caso (C), de caída a la
singularidad.
Geodésica radial
Cuando el momento angular es cero, lo que aparece es una geodésica radial, que solo depende de r.
Las ecuaciones que gobiernan estas geodésicas son (24) y (5) que en nuestro caso quedan:
ℇ=
=
̇ +
+
̇ 1−
−
= .
Al eliminar l:
=
+
=
−1
(38)
.
(39)
Consideraremos las trayectorias de las partículas que empiezan desde el reposo a una distancia ri y
caen al origen. La distancia inicial está relacionada con e por:
( = cuando ̇ = 0).
=
Para obtener las ecuaciones de movimiento es más conveniente realizar el cambio de variables:
=
(1 + cos ) =
Claramente = 0 cuando = . Los valores de
dad = 0 son respectivamente:
=
=2
cos
=
al cruzar el horizonte
cuando
=2
cos
=2
.
(40)
y en la singulari-
21
y
=
= 0.
cuando
Las ecuaciones (38) y (39) con ese cambio de variable son:
= (1 −
1
2
)
=
(41)
,
que juntas dan:
=−
.
(42)
Para partículas en caída libre nos quedamos con el signo negativo
= − (1 −
)
=−
(43)
Usando las ecuaciones (42) y (43) obtenemos:
=
(1 + cos ) ,
=
(44)
de donde:
( + sin ) ,
=
(45)
donde hemos supuesto que = 0 en = 0. De la ecuación se sigue que la partícula cruza el horizonte y alcanza la singularidad en un tiempo propio finito:
=
(
) y
+ sin
=
.
(46)
La situación en muy diferente cuando consideramos la coordenada temporal t. La ecuación que
puede ser integrada para obtener t se deduce de (41) y (44), y es:
=
.
(47)
La integración de esta ecuación da:
=
( + sin ) + (1 −
)
+2 (48)
Conforme a esta ecuación,
lim
→
=∞,
(49)
22
que tiene un fuerte contraste con la conducta del tiempo propio τ. Así para un observador estacionario en el “infinito” una partícula tarda un tiempo infinito en llegar al horizonte, mientras que para el
tiempo propio la partícula llegaría al horizonte en un tiempo finito e incluso llegaría a la singularidad también en un tiempo finito. Estos hechos se ilustran en la figura 31.
Fig. 31 Representamos la variación de la coordenada tiempo (t) y
tiempo propio τ a lo largo de una geodésica radial.
Geodésicas nulas
Vamos a estudiar las órbitas de los rayos luminosos en la métrica de Schwarzschild, cálculo que es
parecido al anterior pero con diferencias importantes.
En el caso de la luz, ésta sigue una geodésica nula respecto a algún parámetro λ:
1−
+
+
− 1−
(49)
=0.
La única diferencia con (2) es que a la derecha aparece 0 en vez de -1.
Tenemos:
= 1−
(50)
=
(51)
=
Análogamente la órbita es plana y podemos escoger
1−
Usando (45) y (46) para eliminar
y
+
,
1−
2, por lo que (49) puede escribirse:
− 1−
(52)
=0 .
tenemos:
+
− 1−
=0.
(53)
23
Multiplicando por
1−
, podemos
ponerlo en la forma:
=
+
( ) ,
(54)
donde
=
(55)
y
( )=
1−
(56)
que es el potencial efectivo para órbitas de fotones.
( ) juLa ecuación (54) tiene la forma de una integral de energía para movimiento radial con
-2
gando el papel de un potencial efectivo y b jugando el papel de la energía. Esta ecuación puede
usarse para hallar las órbitas de las partículas luminosas de la misma forma que usamos (8) para
analizar las órbitas de las partículas con masa, pero a diferencia del caso anterior las órbitas de los
rayos luminosos dependen sólo de la relación
.
El signo de l indica el camino que sigue el rayo luminoso alrededor del centro de atracción.
El parámetro b es el parámetro de impacto.
Wefe
0.04
0.02
 30
 20
 10
10
20
30
rM
 0.02
Fig. 32. Representación de
respecto a r/M. He representado tam-
bién la parte negativa para observar que
tiva y dos positivas o complejas conjugadas.
=
tiene una raíz nega-
Las soluciones de (54) dependen de las raíces de
( ) = . Como podemos ver en la figura 32
las raíces posibles son tres: una siempre negativa y las otras dos pueden ser reales positivas o complejas conjugadas. Por lo tanto los casos posibles los podemos resumir en la figura 33.
24
Wefe
0.04
0.02
 30
 20
 10
10
20
30
10
20
30
10
20
30
rM
 0.02
Wefe
0.04
0.02
 30
 20
 10
rM
 0.02
Wefe
0.04
0.02
 30
 20
 10
rM
 0.02
Fig. 33. En las tres gráficas de arriba se representan
y
y podemos observar los puntos de corte. De arriba a abajo tenemos:

Tres raíces reales: de ellas una negativa y dos positivas.

Una raíz real negativa y una raíz doble real positiva. Éste
es un caso límite que nos llevará a una órbita inestable
circular.

Una raíz real negativa y dos complejas conjugadas.
Para encontrar las órbitas posibles podemos partir de (54), teniendo en cuenta que
(51):
1
1
=
1
=
+
1
=
Si usamos el cambio
= 1/ :
+
1
1
+
1−
1−
−
=
y
2
2
.
(57)
25
=
(1/ )
=−
1
nos queda:
=2
−
+
.
(58)
Si derivamos con respecto a tenemos:
=3
−
.
(59)
Tanto la ecuación (58) como la (59) las podemos utilizar para calcular numéricamente las órbitas de
los rayos luminosos. Los casos posibles serán tres y están caracterizados por las raíces de
( )=
, que vemos representadas en la figura 33. Debemos pues encontrar el máximo de la función
( ), ya que es un punto crítico de las soluciones.
=−
+
=0,
(60)
que da como solución:
=3
Si sustituimos este valor en
( )=
.
(61)
obtenemos:
1
=
1
(3 )
1−
2
3
= √27
,
que es el valor crítico del parámetro de impacto, pudiéndose resumir las órbitas en tres tipos:
TIPO α
Para > √27
las órbitas son de dispersión.
TIPO β
Para = √27
las órbitas son circunferencias inestables.
TIPO γ
Para < √27
las órbitas son de caída en el centro.
(62)
26
Fig. 34. Órbita para el tipo α, en el que el rayo luminoso se
ve dispersado por el agujero negro.
4
2
4
2
2
4
2
4
Fig. 35. Órbita inestable que corresponde al caso crítico β.
6
4
2
6
4
2
2
4
6
2
4
6
Fig. 36. Caso que corresponde a caída en la singularidad, es decir, tipo γ.
27
Caso de agujeros negros rotantes, métrica de Kerr
Debemos tener presente que la métrica de Schwarzschild es válida para estrellas esféricas y estáticas. En realidad esto es una idealización, ya que las estrellas no son estáticas, sino que giran sobre
sí mismas y además suelen estar achatadas por los polos debido a este giro. El achatamiento no es lo
suficientemente importante para ser necesario considerarlo. Pero no es así en el caso de la rotación,
que en algunos casos puede ser muy importante, por lo que debemos considerar estrellas esféricas
que giran sobre sí mismas. La rotación de la estrella implica una energía y como en la Teoría General de la Relatividad la energía y la masa son en realidad equivalentes, la energía también afecta a la
métrica, por lo que la métrica en este caso resuelta por Kerr en 1963 cumple el diferencial de línea:
=− 1−
−
+
+
+
+
+
sin θ
=
(63)
(64)
= +
Δ= −2
cos θ
+
(65)
(66)
Podemos ver que la métrica es invariante respecto de t e independiente de . Por lo tanto: es estacionario y tiene simetría axial por lo que tendremos dos magnitudes que se conservan.
=
Además es invariable ante una reflexión en el plano
2, lo que significa que
va desde π a .
Podemos observar que cuando a = 0 obtenemos la métrica de Schwarzchild, como cabría esperar.
En cuanto a las singularidades de esta métrica tenemos que se observan cuando
→ 0 y Δ → 0.
En el caso de = 0 tenemos que
+ cos θ = 0. Por lo tanto, = 0 = 2, que es una
singularidad equivalente a la singularidad r = 0 de la métrica de Schwarzchild (cuando a = 0).
Por otra parte tenemos que si Δ = 0 entonces:
−2
Supondremos que
≤
+
=0
±
=
±√
−
(67)
.
Estos radios no son singularidades físicas, al igual que sucedía con r = 2M en la métrica de Schwarzchild, es decir, que podemos encontrar transformaciones de coordenadas para que estos radios
no sean singulares.
Concretamente nos da el horizonte de sucesos del agujero negro de Kerr, y dentro de este horizonte es donde se da la singularidad de = 0.
En la métrica de Kerr el horizonte r = r+ gira con una velocidad angular Ω =
. Además, como
no es una métrica esférica, r = r+ no corresponde con una esfera. Sustituyendo r = r+ en el elemento Σ queda:
Σ =
( )
+
( )
sin
,
(68)
que no es una esfera. Concretamente para el caso extremo a = M, la distancia en el ecuador ( =
es 4
y la distancia en los polos es < 7.6 M.
)
28
Fig. 35. El horizonte de un agujero negro rotante. La figura
muestra una superficie en el espacio tridimensional que
tiene la misma geometría para t constante que el horizonte
de un agujero negro de Kerr. En este caso tomamos a/M =
86. La superficie está aplastada a lo largo del eje de rotación.
Vemos, pues, que a diferencia del caso de Schwarzchild el horizonte de sucesos no es una esfera.
Otra diferencia importante es que las órbitas no son planas en general, aunque sí lo son las órbitas
en el plano ecuatorial. En la figura 36 podemos observar dos órbitas ligadas en un agujero de Kerr,
que claramente no son planas; han sido obtenidas directamente por integración numérica de las
ecuaciones de movimiento.
Órbitas en el plano ecuatorial
En general, como ya mencionamos, las órbitas no están confinadas a un plano porque la magnitud
que se conserva es la componente del momento angular paralela al eje de simetría.
Fig. 36. Órbitas ligadas en el caso de un agujero negro de Kerr. Podemos observar que no son planas y que
son más complicadas que el caso de Schwarzchild. Están obtenidas con cálculo numérico usando Wolfram
Mathemática 8.0
29
Sin embargo, en el plano ecuatorial = 2 sí lo son. Veamos este caso concreto con un poco más
de detalle. La métrica restringida a este plano es:
= − 1−
−
+
+
+
+
.
(69)
Las dos magnitudes que se conservan en esta métrica son e que se puede interpretar como la energía y l como la componente del momento angular paralela al eje de simetría por unidad de masa en
reposo. En este caso, al ser órbitas ecuatoriales, l es el momento angular total y no una componente.
Concretamente son (véase para su deducción [1]):
− =
=
+
+
(70)
(71)
.
Y obtenemos:
=
=
+
+
1−
=
−
(72)
+
(73)
( , , )
+
( , , )=−
(74)
+
−
(
)
.
(75)
Para la luz tenemos:
=
=
( , , )
−
( , , )=
1−
=
( ).
(76)
−
1−
(77)
Los potenciales efectivos (75) y (77) tienen la misma dependencia con r que en el caso de la geometría de Schwarzschild. Una diferencia importante es que los potenciales son dependientes de la
energía y el momento angular. Por ejemplo, las partículas de prueba o rayos luminosos que vienen
desde el infinito rotando en la misma dirección que el agujero negro (valores positivos de l o σ) se
mueven en un diferente potencial efectivo que partículas que giran al contrario (valores negativos
de l o σ ). Estas diferencias reflejan, en parte, el arrastre espaciotemporal del agujero negro rotante.
Las partículas son arrastradas por esta rotación.
Vemos, pues, que otra diferencia con la métrica de Schwarzchild es que la órbita es diferente si gira
en el mismo sentido que el agujero negro, a la que llamaremos órbita corrotante, que si gira en sentido opuesto, llamada contrarrotante.
Otra diferencia importante con la métrica no rotante, es la aparición de la llamada ergoesfera, la
cual se define como la zona donde ningún observador, independientemente de su capacidad propulsora, puede permanecer inmóvil. La deducción del límite de la Ergoesfera podemos encontrarlo en
la bibliografía y es:
( )=
+√
−
.
(78)
30
Claramente ( ) > , por lo que la superficie
zonte, como muestra la figura 37.
( ) que limita la ergoesfera está fuera del hori-
Fig. 37. En esta gráfica representamos el límite de la
ergoesfera ( ) y el del horizonte de sucesos . La
representación no es fidedigna ya que como podemos
observar el horizonte está representado por un círculo cuando sabemos que está achatado. Grafico sacado
de [1].
winding number :
47.03045
initial radius :
40.90
winding number:
52.00690
initial radius :
44.02
40
40
20
20
0
0
 20
 20
 40
 40
 40
 20
0
20
40
 40
 20
0
20
40
Fig. 38. En estas gráficas representamos dos órbitas ligadas en el plano ecuatorial de un agujero negro de
Kerr. Ambas han sido obtenidas computacionalmente.
31
Tabla 1 de Unidades Masa-Longitud y Masa-Longitud-Tiempo
m
L
t
Unidades
ML (c=1)
M
L
L
Unidades
MLT
M
L
T
Conversión MLT
 ML
M
l
ct
s
L
L
s
τ
E
p
V
L
M
M
adimensional
T
M(L/T)2
M(L/T)
L/T
cτ
Ec2
pc
V/c
Cantidad
Símbolo típico
Masa
Longitud
Tiempo
Distancia espaciotiempo
Tiempo propio
Energía
Momento
Velocidad
Tabla 2 de Unidades geometrizadas y Masa-Longitud-Tiempo
Cantidad
Símbolo típico
Masa
Longitud
Tiempo
Distancia espaciotiempo
Tiempo propio
Energía
Cantidad de movimiento
Momento angular
Potencia (lumninosa)
Densidad de
energía
Densidad de momento (flujo de
energía)
Presión (tensión)
Energía de una
órbita por unidad
de masa
Momento angular
de una órbita por
unidad de masa
Constante de
Planck
M
L
t
Unidad geometrizada
(c=G=1)
L
L
L
s
Unidades
MLT
Conversión
MLT  geometrizada
M
L
T
GM/c2
L
ct
L
L
s
τ
E
L
L
T
M(L/T)2
cτ
GE/c4
p
L
M(L/T)
Gp/c3
J
L2
M(L2/T)
GJ/c3
L
Adimensional
M(L2/T 3)
GL/c5
ϵ
L-2
M/(LT2)
G ϵ/c4
⃗
L-2
M/(L2T)
G ⃗/c3
p
L-2
M/(LT2)
Gp/c4
e
Adimensional
(L/T)2
e/c2
ℓ
L
L2/T
ℓ/
ℏ
L2
M(L2/T)
ℏ/
Para convertir masa en kilogramos a masa en metros usamos la primera fila de la tabla 2 y encontramos que M (en m) =
(G/c2)M (en kilogramos).
Para la conversión inversa a unidades MTL desde cualquiera de los otros dos sistemas, reemplazar las cantidades por la
expresión en la última columna con c y G restauradas. Por ejemplo, la ecuación dada para la velocidad de escape de una
partícula desde una coordenada de radio r de Schwarzschild en el exterior de un agujero negro esférico es
=
(2 / ) / en unidades geometrizadas. Para encontrar la misma relación en unidades MLT, buscamos en la tabla 1:
debe ser reemplazada por
/ , y en la tabla 2: M debe ser reemplazado por GM/c2. Por lo que queda:
=
/

=
/
.
32
Bibliografía
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