2. Inercia rotacional

Capítulo II
Cuerpos en rotación
2. Inercia rotacional
Actividad 7
Observar-analizar
Resistencia a la rotación
Consigue un lápiz (de preferencia metálico) y hazlo girar entre tus dedos, primero en torno al
punto medio (1), luego en torno a un extremo (2) y finalmente alrededor del eje longitudinal (3)
(ver secuencia fotográfica).
1
2
3
1. ¿En qué caso resultó más sencillo hacer girar el lápiz?, ¿en cuál fue más difícil?
2. ¿En qué caso el radio de giro es menor y en cuál mayor?
3. ¿En qué situación hay mayor masa cerca del eje de giro?
4. Según lo anterior, ¿en qué caso crees que sería más fácil detener la rotación?, ¿en qué caso sería
más difícil?
La inercia es una medida que indica la resistencia de los cuerpos a
cambiar su estado de movimiento. Cuando se quiere trasladar un cuerpo,
la dificultad que este opone a cambiar su estado se llama inercia traslacional, mientras que cuando se lo quiere rotar, la medida de resistencia
se denomina inercia rotacional. En ambos casos, la inercia es proporcional a la masa, es decir, mientras mayor sea la masa de un cuerpo, más
difícil resulta modificar su estado de movimiento, ya sea de traslación,
rotación o reposo.
2.1 Momento de inercia
Si bien en ambos casos el
movimiento es distinto, en los dos se
manifiesta el concepto de inercia.
Como ya señalamos, la inercia rotacional depende de la masa del cuerpo
y, por lo tanto, esta varía para diferentes objetos. En la rotación de los
cuerpos se define el concepto de momento de inercia (I ), que desempeña
un papel similar al que tiene la masa en el caso del movimiento lineal.
El momento de inercia de un cuerpo en relación con un eje determinado depende de la cantidad de masa y de su distribución respecto
del eje escogido para hacerlo rotar. Mientras mayor sea la masa y/o más
alejada del eje de giro se encuentre distribuida, mayor será la tendencia
a permanecer en un estado rotacional.
46 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
Por ejemplo, si se hace rotar un mismo cuerpo respecto de tres ejes
distintos, como se muestra en las ilustraciones, en cada uno de los casos
el momento de inercia resulta distinto, debido a que varía la distribución
de masa en torno al eje de giro.
A
B
C
Dimensionalmente, el momento de inercia se obtiene del producto de
una unidad de masa por unidad de longitud al cuadrado, por lo que
en el SI es medido en (kg·m2). La forma de determinar el momento de
inercia no es sencilla, ya que requiere del uso de herramientas matemáticas más complejas. Por ello, a continuación se presenta una tabla que
muestra los momentos de inercia de distintos objetos:
Tabla 1. Momentos de inercia de objetos rígidos de composición uniforme
Cilindro sólido
o disco
Aro cilíndrico
delgado
Cilindro hueco
R1
R2
Esfera sólida
Cáscara esférica
delgada
I = 2 M $ R2
5
I = 2 M $ R2
3
Varilla delgada
y larga con eje
de rotación
en el centro
Varilla larga
y delgada
con eje de
rotación en
un extremo
I = 1 M $ L2
12
I = 1 M (R 21 + R 22)
2
I = 1 M $ R2
2
I = M $ R2
L
I = 1 M $ L2
3
Masa puntual
I = M $ R2
Fuente: Serway, R. ,Vuille, C. y Faughn, J.
(2009). Fundamentos de la física.
8.ª edición. México: Cengage Learning.
L
Capítulo II: Cuerpos en rotación 47
Capítulo II
Cuerpos en rotación
3. El momento angular
Actividad 8
Inferir-analizar
Magnitudes presentes en la rotación de un cuerpo
Reúnanse en grupos de tres o cuatro integrantes y consigan dos rollos de cinta adhesiva, plasticina, un
cuaderno grande y dos libros. Luego, realicen la siguiente actividad:
1. Con la plasticina, llenen por completo la cavidad
de uno de los rollos de cinta adhesiva, como se
muestra en la fotografía A.
A
2. Apoyen el cuaderno sobre ambos libros, de modo
de formar un plano inclinado (también pueden
utilizar una mesa como plano inclinado).
3. Ubiquen sobre el extremo superior del plano
inclinado los dos rollos de cinta (fotografía B).
Déjenlos rodar simultáneamente y observen lo
que sucede.
B
a. ¿Cuál de los rollos adquiere mayor rapidez?
b. ¿Cuál de ellos tiene mayor momento de inercia?,
¿cómo influye esto en su rapidez lineal?
c. ¿Está presente el concepto de momentum lineal
en el movimiento de los rollos? Expliquen.
En la situación presentada en la Actividad 8, podemos distinguir un
movimiento compuesto por otros dos: uno de traslación y otro de rotación.
El primero es descrito respecto del centro de masa del cuerpo, el que se
traslada en una trayectoria rectilínea por el plano inclinado. Asociado a
este movimiento está el concepto de momentum lineal (estudiado en
Segundo Medio), que da cuenta de la inercia traslacional del cuerpo en
movimiento lineal. El movimiento de rotación del cilindro es descrito de
acuerdo con un punto arbitrario sobre la superficie de este, el que gira
respecto del eje de rotación. El concepto vinculado a la rotación es el
de momento angular y da cuenta de la inercia rotacional del cuerpo
cuando este se encuentra rotando.
Al disminuir la rapidez angular del
trompo, este comienza a balancearse
sobre su eje en un movimiento
conocido como precesión.
Seguramente habrás observado que, cuando un trompo se mantiene
girando, puede permanecer parado sobre su eje, pero al dejar de girar
cae. Esto se debe a que el momento angular puede ser interpretado
como la tendencia de un objeto que gira a conservar su eje de rotación.
48 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
Para una partícula de masa m que describe una
trayectoria circunferencial, el momento angular se
designa con la letra L y vectorialmente apunta en
la dirección del eje de rotación (como se muestra
en el esquema).
Considerando el momento de inercia del cuerpo y
su rapidez angular, el módulo del momento angular
puede ser expresado de la siguiente forma:
L = I$~
Como I se expresa en (kg·m2) y ω en (rad/s), el momento angular quedará
expresado en (kg m2/s).
Cuerpo de masa m que describe
una trayectoria circunferencial de
radio r, respecto de un punto.
Es importante mencionar que el concepto de momentum lineal y el de
momento angular son análogos. Así, podemos representar su equivalencia de la siguiente forma:
momentum lineal: p = m $ v
masa inercial
rapidez lineal
momento angular: L = I $ ~
distribución de
masa rotacional
rapidez angular
De igual forma, a partir del concepto de momento angular puede establecerse la analogía entre la fuerza y el torque, ya que la primera representa
la variación del momentum lineal en el tiempo, mientras que el torque
corresponderá a la variación del momento angular en el tiempo:
F=
Dp (fuerza)
Dt
x = DL
Dt
(torque)
Interactividad
En la siguiente dirección:
www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/
mangular/AngMomA.html
encontrarás más información sobre el concepto de momento angular.
Capítulo II: Cuerpos en rotación 49
Capítulo II
Cuerpos en rotación
Resolución de problemas 5
¿Cuál es el momento angular del movimiento de la Luna?
Situación problema
La Luna, nuestro satélite natural, tiene dos
movimientos característicos, uno de rotación sobre
su eje y otro de traslación alrededor de la Tierra.
Cada uno posee un momento angular definido
por su masa y la forma en que la Luna se mueve.
Si se considera que el radio de la Luna es de
1 737 000 m, su masa es 6,7 x 1022 kg, sus períodos
de rotación y de traslación son prácticamente
iguales y corresponden a 27,3 días, y la distancia
media entre la Tierra y la Luna es igual a
384 600 000 m, ¿cuál es el momento
angular total de la Luna?
1. Entender el problema e identificar
las incógnitas
Para resolver el problema, debemos calcular de
manera independiente el momento angular de
rotación (Lr) y el momento angular de traslación
(Lt). Luego, el momento total de la Luna
corresponderá a la suma vectorial de ambos
momentos (Lr + Lt).
2. Registrar los datos
•
Radio lunar: r = 1 737 000 m
•
Masa lunar: 6,7 x 1022 kg
•
Período: 27,3 días = 2 358 720 s
•
Distancia media Tierra-Luna: 384 600 000 m
50 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
3. Aplicar el modelo
El modelo matemático que nos permite
determinar el módulo del momento angular de
la Luna, si se conocen su momento de inercia y
rapidez angular, es:
L = I$~
Al determinar el momento de rotación Lr
(llamado también intrínseco), debemos
considerar a la Luna como una esfera sólida, por
lo que su momento de inercia es I = 2MR2/5
(ver tabla de la página 47). Además, recordemos
que una forma de determinar la rapidez angular
es ω = 2//T. En consecuencia, el momento
angular de rotación de la Luna resulta:
2
L r = 4r MR
5 T
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
Al remplazar los valores del punto 2,
resulta:
66, 7 # 10 22 kg $ (1737 000 m) 2@
L r = 4r
5
2 358 720 s
L r = 2, 15 # 10 29
kg m 2
s
Para calcular el momento angular de traslación
(Lt) alrededor de la Tierra (también denominado
momento angular orbital), debemos considerar
a la Luna como una masa puntual que gira
en un círculo de radio R. De esta forma, su
momento de inercia será I = MR2. Al remplazar
esta fórmula y la de rapidez angular (ω = 2//T )
en Lt = I·ω, obtenemos:
2
L t = 2r $ MR
T
[6, 7 # 10 22 kg $ (384 600 000 m) 2]
L t = 2r
2 358 720 s
L t = 2, 64 # 10
Luego, el módulo del momento angular total
de la Luna es:
L = Lr + Lt
L = 2, 15 # 10 29
kg m 2
kg m 2
+ 2, 64 # 10 34
s
s
L = 2, 64 # 10 34
kg m 2
s
Es importante notar que el momento angular
orbital es mucho mayor que el intrínseco
razón por la cual el valor de este último no se
ve reflejado en la suma respectiva. ¿Qué otros
movimientos posee la Luna? Investiga.
Ahora tú
Remplazando los valores anteriores, resulta:
34
4. Respuesta
kg m 2
s
1. Calcula el momento angular orbital e
intrínseco de la Tierra, si su masa es de
5,97 x 1024 kg, su diámetro (ecuatorial)
es de 12 756,8 km y la distancia Tierra-Sol
es de 1,5 x 108 km.
2. Determina la magnitud del momento angular
de un disco sólido uniforme de
50 cm de radio y 2,4 kg de masa, que gira a
200 rpm (revoluciones por minuto) respecto de
un eje que pasa por su centro en forma
perpendicular al plano del disco.
Capítulo II: Cuerpos en rotación 51
Capítulo II
Cuerpos en rotación
Investigación científica
Trabajo en equipo
Cambios en el momento angular
Antecedentes
Seguramente habrás observado que cuando un
patinador o patinadora se encuentra girando con
los brazos extendidos, al cerrarlos de improviso
comienza a girar más rápido. Algo similar ocurre
en algunos fenómenos astronómicos, como el de
la reducción o crecimiento del diámetro de una
estrella, ya que, a consecuencia de ello, también
se produce una variación en la rapidez angular del
cuerpo celeste. Como sabemos que los conceptos
de momentum lineal y momento angular son
análogos, cabría pensar que la ley de conservación
del momentum lineal tiene a su vez una ley
análoga para el caso del momento angular.
A
Pregunta de investigación
Formulen un problema de investigación
relacionado con la variación del momento angular
de un cuerpo. Recuerden que un problema de
investigación es una pregunta que intenta ser
resuelta a través de un experimento. Guíense
por las siguientes interrogantes para plantear el
problema: ¿cómo varía la rapidez angular de un
cuerpo al disminuir o aumentar su momento de
inercia?, ¿qué relación matemática existe entre las
variables involucradas?
Hipótesis
A partir del problema planteado en el punto
anterior, formulen una hipótesis. Pueden guiarse
por este ejemplo: el momento angular de un
cuerpo tiende a conservarse.
Estrategias de contrastación (diseño y
realización de experimentos)
Deben tener en consideración que en toda
investigación es fundamental someter a prueba
la veracidad de la hipótesis planteada. Para ello,
realicen la secuencia de pasos que se indica:
52 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
B
1. Definan las variables involucradas en su
problema de investigación, determinando cuál
de estas será la variable dependiente y cuál
la independiente.
2. Averigüen en distintas fuentes qué
experimentos son factibles de llevar a cabo
para poner a prueba su hipótesis.
3. Pueden diseñar su experimento a partir de
alguno de los siguientes montajes propuestos
(ver fotografías A y B). En cada uno de ellos,
el sistema debe ponerse en giro y variar su
momento de inercia.
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
4. Elaboren una lista con los materiales
necesarios para realizar el experimento.
Además, deben definir cómo y dónde
registrarán sus observaciones.
Conclusiones
a. ¿Creen que lo ocurrido con el objeto estudiado
en su experimento y aquellas situaciones
expuestas en los antecedentes son explicadas
por un mismo principio?
Resultados
Una vez manipulada la variable independiente,
deben registrarse las observaciones. Como se
trata de una investigación cualitativa, se sugiere
completar una tabla como la siguiente:
Observación:
se mantiene constante,
aumenta, disminuye
b. Propongan (si es posible) un modelo matemático que dé cuenta de la variación del momento
angular del cuerpo.
Comunicación de resultados
I
ω
1
Elaboren un resumen científico con los resultados
de la investigación (ver en Anexo IV el formato de
un resumen científico).
2
3
Análisis e interpretación de evidencias
a. ¿Cuáles son las magnitudes que cambiaron
en su experimento?, ¿cuáles se mantuvieron
constantes?
b. ¿Qué momento de inercia presente en la tabla
de la página 47 representa mejor al objeto
utilizado en su experimento?
c. ¿Cómo explicarían la variación de la rapidez
angular del cuerpo?
d. ¿Qué magnitud tiende a conservarse en
su experimento?
Capítulo II: Cuerpos en rotación 53
Capítulo II
Cuerpos en rotación
4. Conservación del momento angular
Seguramente, en la Investigación científica anterior, observaste que,
cuando varía el momento de inercia de un cuerpo que gira, también se
produce una variación de su rapidez angular. Se constata que, al disminuir
el momento de inercia de un cuerpo, aumenta la rapidez angular, y
viceversa, lo cual se debe a la tendencia a mantener el momento angular
constante. Esto se conoce como conservación del momento angular
y se cumple cuando el torque neto externo sobre el cuerpo es igual a
A A
cero (Y o = 0 ). A partir de esta condición podemos deducir lo siguiente:
x = DL = 0
Dt
DL = L f - L i = 0
Dt
Dt
L f - Li = 0
Finalmente, la condición que representa la conservación del momento
angular es:
Li = L f
(Como L = I ω)
I i $ ~i = I f $ ~ f
Donde: Ii es el momento de inercia inicial, ωi es la rapidez angular inicial,
If es el momento de inercia final y ωf es la rapidez angular final.
Al doblar su cuerpo, el clavadista
reduce su momento de inercia, por
lo que aumenta su rapidez angular.
Actividad 9
Es importante señalar que la conservación del momento angular es
aplicable a cuerpos de gran tamaño, como galaxias, estrellas y planetas,
así como a objetos microscópicos, por ejemplo átomos y moléculas.
Deducir
Formulaciones de la conservación del momento angular
1. A partir de la relación de conservación del momento angular entregada, escribe la expresión de
conservación en términos de la rapidez lineal.
2. ¿Cómo podrías obtener una expresión de la conservación del momento angular en términos de la
aceleración centrípeta?
3. ¿En términos de qué otras magnitudes puede escribirse la conservación del momento angular?
54 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
4.1 Ejemplos de la conservación del momento
angular
A continuación se presentan algunas aplicaciones que evidencian la
conservación del momento angular.
A. El giroscopio
En la actualidad, los sistemas de navegación de aviones, barcos y
naves espaciales utilizan la conservación del momento angular a
través de un sencillo instrumento llamado giroscopio. Este fue ideado
y construido en el año 1852 por el físico francés Jean Léon Foucault
(1819-1868), para demostrar la rotación de la Tierra. Un giroscopio es
una especie de trompo con forma de disco que gira alrededor de
un eje que pasa por su centro de gravedad (imagen de la derecha).
Generalmente está montado sobre una suspensión tipo cardán. La
conservación del momento angular permite que la dirección del
eje de rotación ofrezca gran resistencia a cambiar de posición. De
esta manera, el giroscopio funciona como un sensor que mide con
precisión el ángulo de giro y los cambios de dirección.
B. Las hélices de los helicópteros
Otra aplicación en la que se manifiesta la conservación del momento
angular corresponde al movimiento de las hélices de un helicóptero. Cuando el motor de este comienza a girar, la hélice genera un
momento angular que, de acuerdo con la conservación del mismo,
debería mantenerse constante. Si ello ocurriese, la cabina comenzaría
a girar en sentido contrario al de la hélice, generando así un momento
angular opuesto al inicial. Para evitar que la cabina del helicóptero
gire, este cuenta con una hélice pequeña ubicada en la cola, también
conocida como rotor de cola. La función del rotor es generar un
momento angular que compense al producido por la hélice principal.
Además, el rotor de cola interviene en el giro del helicóptero, ya sea
aumentando o disminuyendo el empuje.
Conceptos clave
Cardán: es un componente
mecánico cuya invención se le
atribuye a Girolamo Cardano (de
ahí su nombre). Este permite unir
dos ejes que giran en un ángulo
distinto uno respecto del otro.
Reflexionemos
Gran parte del desarrollo de
la tecnología ha ido a la par
del desarrollo de la ciencia.
Hoy, gracias a los logros de la
física, podemos ser testigos de
incontables avances.
Áreas como la computación,
las telecomunicaciones
y la medicina deben sus
innovaciones a esta ciencia. A
la luz de estos hechos, ¿qué
importancia le atribuyes al
desarrollo científico de un país?,
¿debe invertirse en ciencia?
Comenta y reflexiona acerca de
este tema con tu curso.
Capítulo II: Cuerpos en rotación 55
Capítulo II
Cuerpos en rotación
Resolución de problemas 6
¿Cuál es la rapidez de giro de una patinadora al momento de
cerrar sus brazos?
Situación problema
Una patinadora se encuentra girando con sus
brazos extendidos. Al cerrarlos, su momento de
inercia se reduce en un 25 % respecto del inicial.
Como consecuencia de ello, su rapidez angular
se incrementa. Si la frecuencia inicial con que
la patinadora giraba era de 3 Hz, ¿cuál será la
rapidez de giro una vez cerrados los brazos?
1. Entender el problema e identificar
las incógnitas
Ante este problema, es necesario considerar
que puede variar el momento de inercia de
un cuerpo sin producirse un cambio en su
masa. Al cerrar los brazos, la patinadora genera
un cambio en la distribución de masa y, por
consiguiente, en su momento de inercia. La
magnitud que se requiere determinar es la
rapidez angular final de la patinadora (ωf ).
2. Registrar los datos
•
Relación entre los momentos de inercia:
If = 0,75 Ii
•
Frecuencia de giro inicial: fi = 3 Hz
3. Aplicar el modelo
En vista de que el torque externo es aproximadamente cero, supondremos que el momento
angular tiende a conservarse, por lo que
podemos aplicar el siguiente modelo:
Li = L f
o bien
I i $ ~i = I f $ ~ f
Al despejar la rapidez angular final (ωf ),
tenemos que:
~ f = I i ~i
If
56 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
(1)
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
Luego, al remplazar en la expresión (1) la
relación entre los momentos de inercia,
obtenemos:
~f =
Ii
0, 75 $ I i
~i
~ f = 1, 33 $ ~i
(2)
Ahora tú
1. Una masa puntual de 200 g se encuentra
girando en un radio de 30 cm con una rapidez
angular de 4,6 rad/s. Después de un momento
se tira del hilo, con lo que se reduce su radio
de giro a la mitad (ver ilustración). Determina la
rapidez angular y frecuencia de giro resultantes.
Como ω = 2//T y f = 1/T , entonces ω = 2/f.
Al remplazar el valor de la frecuencia inicial en
esta expresión, se obtiene:
r = 30 cm
~i = 2r $ fi
~i = 2r $ (3 Hz)
~i = 6r rad . 18, 85 rad
s
s
A
Remplazando este valor en la expresión (2),
finalmente obtenemos:
~ f = 1, 33 $ (18, 85 rad/s)
~ f = 25, 07 rad/s
4. Respuesta
F
2. Un joven se encuentra rotando con los brazos
cerrados en una silla giratoria, con frecuencia
constante de 1,5 Hz. Si al abrirlos (ver ilustración)
este incrementa su momento de inercia en un
30 %, ¿cuál será su nueva rapidez angular?
La rapidez angular que adquiere la patinadora al
momento de cerrar los brazos es de 25,07 rad/s.
Capítulo II: Cuerpos en rotación 57
Capítulo II
Cuerpos en rotación
Ciencia-tecnología-sociedad
Púlsares:
conservación del
momento angular
en la evolución
de una estrella
La astronomía moderna, apoyada
por grandes telescopios ópticos y
radiotelescopios, nos permite descubrir
sucesos que no pueden ser observados a
simple vista.
A
ntes del desarrollo de la astronomía se creía que
todas las estrellas eran de la misma naturaleza.
Actualmente se conocen estrellas de diversos tamaños,
colores y temperaturas; incluso se conocen estrellas
compactas, algunas de las cuales emiten radiación
electromagnética fuera del rango visible, por lo que
solo pueden ser captadas a través de radiotelescopios.
Un tipo de estrellas compactas son las estrellas de
neutrones (su materia está compuesta solamente de
neutrones, por lo que su densidad es enorme). Este
tipo de cuerpos se crea por la implosión de una estrella
gigante, lo que comprime su materia y aumenta su
densidad y rapidez de rotación, debido a la conservación
del momento angular. Estas estrellas emiten radiación
pulsante debido a que su eje de giro no coincide con sus
polos magnéticos. Es por esta razón que se conocen con
el nombre de púlsares, el que proviene de la abreviatura
en inglés del término pulsating star (estrella pulsante).
La primera observación de un púlsar se realizó
en 1967 por Anthony Hewish y Jocelyn Bell, en el
Observatorio de Radioastronomía de Cambridge.
Ambos investigadores detectaron señales de radio de
corta duración, con un intervalo exacto de 1,33730113 s.
En la actualidad se conocen más de 600 púlsares con
períodos de rotación que varían entre los milisegundos
y los pocos segundos.
Fuente: Archivo editorial.
Trabaja con la información
A partir de la lectura, responde las siguientes preguntas:
1. ¿En qué otros sucesos astronómicos se manifiesta la conservación del momento angular? Averigua.
2. Según la tabla de la página 47, ¿qué momento de inercia representa al que posee una estrella que
rota sobre su eje?
3. Si una estrella como nuestro Sol, cuyo diámetro es de 1 392 000 km y cuyo período de rotación
(en el ecuador) es aproximadamente de 27 días y 6 horas, se convierte en una estrella de neutrones
y reduce su diámetro a solo 1000 km, ¿cuál sería su nuevo período de rotación?
58 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
Glosario
Capítulo II : Cuerpos en rotación
Aceleración angular. Es la variación de la
velocidad angular en el tiempo y su formulación es:
a=
~ f - ~i
= D~
t f - ti
Dt
Conservación del momento angular. Es la
tendencia de un cuerpo o sistema a mantener su
momento angular constante. Esto se cumple si el
torque externo sobre el cuerpo es igual a cero. Las
formulaciones que representan la conservación del
momento angular son:
Li = L f
I i $ ~i = I f $ ~ f
Condiciones de equilibrio. Son las condiciones
bajo las cuales un cuerpo se encuentra en
equilibrio de traslación y de rotación. Se
representan a través de las siguientes ecuaciones:
/F = 0
y
/x = 0
Giroscopio. Es una especie de trompo con forma
de disco que gira alrededor de un eje que pasa
por su centro de gravedad. Un giroscopio funciona
como un sensor que mide con precisión el ángulo
de giro y los cambios de dirección.
Inercia rotacional. Representa la resistencia
de un cuerpo a modificar su estado de
movimiento rotacional.
Inercia traslacional. Representa la resistencia
de un cuerpo a modificar su estado de
movimiento lineal.
Momento angular. Es una magnitud vectorial,
análoga al momentum lineal, que puede
interpretarse como la tendencia de un cuerpo a
mantener su eje de giro. El módulo del momento
angular puede ser representado por:
L = I$~
Momentum lineal. Es una magnitud vectorial
y corresponde al producto entre la masa y la
velocidad de un cuerpo. Su formulación es:
p = m$v
Momento de inercia. Indica la distribución de
masa de un cuerpo respecto de un determinado
eje de rotación.
Pivote. Corresponde al eje respecto del cual un
determinado sólido puede efectuar un movimiento
de rotación.
Precesión. Corresponde al movimiento de
balanceo de un sólido sobre su eje. El movimiento
de precesión describe un cono en torno al eje
principal de giro.
Torque. Es el producto vectorial entre la posición
del punto de aplicación de una fuerza y el vector
asociado a ella. El módulo del torque está dado por:
x = r $ F seni
Capítulo II: Cuerpos en rotación 59
SÍNTESIS Y EVALUACIÓN
CAPÍTULO II
Síntesis capítulo II
El siguiente organizador gráfico resume los principales contenidos del capítulo. Complétalo con los
conceptos apropiados:
La rotación de un cuerpo
se produce por la
acción de una
que al ser aplicada a cierta
distancia respecto de un eje de
giro produce un
debido a la distribución de masa
alrededor de un eje, posee
análogamente al momentum
lineal, tiene
que en el SI se expresa en
cuya magnitud es
siempre que el torque
externo neto sea igual
a cero.
si la fuerza y la
distancia son
perpendiculares.
cuya formulación es
si la fuerza y la
distancia están en
ángulo.
Evaluación de proceso
Desarrolla las siguientes preguntas:
1. ¿En qué se diferencian el torque y el trabajo, si ambos son resultados del producto entre la distancia y
la fuerza?
2. El volante de un auto de 15 cm de radio
puede girar en torno a un eje que pasa por
su centro. Si aplicamos sobre su borde una
fuerza tangencial de 25 N, ¿cuál es el torque
producido por dicha fuerza?
3. Se utiliza una llave de 0,4 m de largo para
aflojar una tuerca (imagen A). Si la fuerza
aplicada es de 90 N y perpendicular al brazo
de la llave, ¿cuál es el torque sobre la tuerca?
Si la fuerza fuera aplicada en un ángulo de
60º, ¿cuál sería el torque?
60 Unidad 11: La mecánica del movimiento circunferencial
A
4. Una varilla se hace rotar respecto de dos ejes, tal como se muestra en las ilustraciones. ¿Cómo será el
momento de inercia de A respecto de B? Explica.
B
A
L
L
5. Calcula el momento angular de una de las ruedas de una bicicleta de 35 cm de radio y de 3 kg de masa,
si gira con una frecuencia de 6 Hz. (Para el momento de inercia, debes considerar la rueda como un aro).
6. Un disco sólido uniforme de 80 cm de radio y 7 kg de masa tiene un período de rotación de 5 s respecto
de un eje que pasa por su centro, en forma perpendicular al plano que contiene al disco. Si su momento
de inercia es I = MR 2/2, ¿cuál será la magnitud del momento angular?
7. Supón que una niña está sentada en el centro de una gran plataforma que gira libremente en un parque
de atracciones. ¿Qué ocurrirá con la rapidez de la plataforma si la niña se ubica en su borde?
8. Una persona está sentada en una silla giratoria. Al darle un impulso, esta comienza a girar a razón de
1,4 Hz. Si la persona eleva sus brazos, la frecuencia de rotación de la silla disminuye a 0,7 Hz.
¿Por qué ocurre esto?, ¿en qué factor cambió su momento de inercia?
9. En la etapa final de una estrella gigante, su radio aumenta drásticamente en poco tiempo.
¿Cómo cambian su momento de inercia y su rapidez angular?
Me evalúo
Completa la siguiente tabla siguiendo las instrucciones de tu profesor o profesora.
Puntaje
Debería
Preguntas
¿Qué debo hacer?
Total
Reconocer fenomenológicamente el
concepto de torque.
1, 2 y 3
6
Aplicar la definición de momento
angular a objetos de formas simples
que rotan en relación con un eje.
4, 5 y 6
6
Reconocer las condiciones en las cuales
se conserva el momento angular.
7, 8 y 9
9
Obtenido
Según los resultados obtenidos,
realiza las actividades que te indicará
tu profesor o profesora.
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial 61
SÍNTESIS
UNIDAD 1
2
1
En un MCU, la
velocidad lineal varía
en cada instante. Su
módulo corresponde
a la rapidez lineal.
En un movimiento circunferencial,
como el de la rueda de una bicicleta, se
pueden observar muchas de las magnitudes
cinemáticas asociadas a dicho movimiento.
3
4
Para producir la rotación de un
cuerpo respecto de un eje de
giro, es necesario la acción de una
fuerza. Esta, al ser aplicada a una
distancia del eje, origina un torque.
62 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
Algunos sistemas con los que se
puede transmitir el movimiento
circunferencial son las correas
de transmisión y los engranajes.
5
Una fuerza neta distinta de cero
es la responsable de modificar
la dirección de la velocidad
lineal. Esta fuerza se conoce
como fuerza centrípeta.
6
El momento angular
es una magnitud
vectorial, cuyo
módulo corresponde
al producto entre el
momento de inercia
y la rapidez angular.
Momento de inercia
7
El momento de
inercia corresponde
a la distribución de
masa respecto de un
eje de rotación. Por
ello, un mismo cuerpo
que gira respecto
de dos ejes distintos
tiene un momento
de inercia diferente.
Desde el marco de referencia del cuerpo que
gira, este experimenta una fuerza dirigida
hacia fuera, conocida como fuerza centrífuga.
Desde el marco de referencia Tierra, sobre el
cuerpo actúa la tensión del hilo como
fuerza centrípeta.
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial 63
EVALUACIÓN FINAL
UNIDAD 1
I. Explico
Desarrolla las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es la principal característica del MCU?
2. ¿Qué debe suceder para que un cuerpo describa una trayectoria circunferencial?
3. Una piedra amarrada a una cuerda gira de modo que presenta un movimiento circunferencial
uniforme cuyo radio es constante. Para dicho movimiento, ¿cuáles de las siguientes magnitudes
permanecen constantes y cuáles de ellas variables?
Magnitud
Constante
Variable
Magnitud
Rapidez
angular
Aceleración
centrípeta
Velocidad
tangencial
Fuerza
centrípeta
Período
Frecuencia
Constante
Variable
4. Respecto de la aceleración y la fuerza centrípeta.
A. ¿Cuál es la ecuación que relaciona ambas magnitudes?
B. ¿Qué relación existe entre ellas en cuanto a su carácter vectorial (módulo, dirección y sentido)?
5. Una barra tiene su eje de rotación en el centro. Sobre uno de sus extremos se aplica una fuerza de
módulo constante, existiendo un torque distinto de cero.
A. ¿Qué ocurre con la rapidez de rotación de la barra, si inicialmente se encontraba en reposo?
B. ¿Se conserva el momento angular de la barra? Explica.
6. Dos cuerpos que giran con la misma rapidez angular tienen un momento de inercia de 2 kg·m2 y de
1 kg·m2, respectivamente. ¿Cuál de los dos cuerpos costará más detener? Justifica.
7. Un disco gira con una rapidez angular constante hasta que, en cierto momento, cae sobre él otro
disco de radio menor, quedando adheridos (ver figura). Luego de esto, el conjunto gira con una
rapidez angular menor. ¿Por qué disminuye la rapidez angular si no existe un torque que produzca
dicha variación? Explica.
64 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
II. Comprendo
Marca la alternativa que consideres correcta.
1. Si una rueda realiza 25 vueltas en 10 s, su
período en segundos es:
A. 2,5
B. 0,4
C. 0,1
D. 0,04
E. 250
2. Los puntos P y Q pertenecen a un mismo
disco que se encuentra girando con
rapidez angular constante. Si ambos puntos
tienen el mismo período, se puede
afirmar que:
A. sus radios son iguales.
B. sus rapideces lineales son iguales.
C. sus rapideces angulares son iguales.
D. sus aceleraciones centrípetas
son iguales.
E. todas las magnitudes anteriores
son iguales.
3. Una piedra amarrada a una cuerda gira en
un plano horizontal con rapidez constante.
Respecto de la fuerza que actúa sobre la
piedra, es falso afirmar que:
A. la fuerza neta corresponde a la tensión
de la cuerda.
4. Para calcular el torque resultante sobre un
cuerpo, es necesario conocer:
I. la fuerza que actúa sobre el cuerpo.
II. la distancia entre la fuerza y el punto
de rotación.
III. el ángulo entre la fuerza y el brazo
de palanca.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo I y II
D. Solo I y III
E. I, II y III
5. Una partícula de masa m describe un
movimiento circunferencial uniforme en
un radio R y con un momento de inercia
I1. Una segunda partícula de masa m/2
también gira, pero describiendo un radio
2R. Si su momento de inercia es I2 , ¿cuál
es la relación entre los momentos de
inercia de ambas partículas?
A. I1 = I2
B. I1 = 2I2
C. I1 = I2 /2
D. I1 = 4I2
E. I1 = I2/4
B. la fuerza neta es nula, ya que se
equilibran las fuerzas centrípeta y
la centrífuga.
C. la tensión del hilo actúa hacia el centro
de giro.
D. la fuerza neta está dirigida hacia el
centro de la circunferencia.
E. el módulo de la fuerza centrípeta
es constante.
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial 65
EVALUACIÓN FINAL
UNIDAD 1
III. Analizo
1. Un automóvil se mueve con una rapidez lineal v constante, recorriendo una distancia d en un
tiempo t. Si las ruedas del automóvil tienen un radio r :
a. ¿cuál será la rapidez angular de un punto situado en la periferia de la rueda en términos del
radio, la distancia y el tiempo?
b. ¿de qué manera puedes expresar el período de rotación de la rueda en términos de las
magnitudes anteriores?
2. El siguiente gráfico muestra la variación del ángulo en función del tiempo para una partícula que
describe una trayectoria circunferencial. A partir de él, responde las siguientes preguntas:
θ (rad)
2θ
θ
2t’
t’
t (s)
a. ¿Qué representa la pendiente del gráfico?
b. ¿Cómo es la rapidez angular de la partícula?
c. ¿Cómo es el movimiento circunferencial de la partícula?
3. La figura muestra una barra de masa despreciable. Los trazos AB, BC, CO, OD, DE y EF son de igual
medida. Si en el punto A se ejerce una fuerza hacia abajo de magnitud F’ , ¿en qué punto de la
barra y en qué sentido debe ejercerse una fuerza de módulo 3F’ para que la barra se encuentre en
equilibrio rotacional?
A
B
C
66 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial
O
D
E
F
IV. Aplico
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Dos ruedas unidas por una cuerda inextensible tienen radios de 50 y 20 cm, respectivamente. Si la
primera rueda da 120 vueltas en un minuto, ¿cuál será el período de la segunda rueda?
20
cm
50
cm
2. Un deportista participa en el lanzamiento del martillo. El largo del martillo es de 50 cm. Si lo hace
girar con una frecuencia de 2 Hz, ¿con qué rapidez lineal saldrá el martillo de sus manos?
3. La aceleración centrípeta de una piedra que gira amarrada a una cuerda es de 3 m/s2. Si la rapidez
angular de esta es de 1,5 rad/s, ¿cuál será su rapidez lineal?
4. ¿Cuál es la máxima rapidez con que una lancha puede tomar una curva de 40 m de radio, si el
coeficiente de roce cinético entre la lancha y el agua es igual a 0,5?
5. En la figura se muestra el brazo extendido de una persona que sostiene en su mano una esfera de
acero de masa 4 kg. Calcular el torque efectuado por la fuerza peso de la esfera, respecto del punto
A (muñeca), del punto B (codo) y del punto C (hombro).
28 cm
C
22 cm
B
8 cm
A
mg
6. La Tierra es una masa puntual que gira alrededor del Sol en una órbita aproximadamente
circunferencial. Si la distancia entre el Sol y la Tierra disminuyera en una tercera parte, ¿cuántos
días tendría el nuevo año? Considera los siguientes datos: masa terrestre es igual a 5,97x1024 kg y
distancia Tierra-Sol es 1,5x1011 m.
7. Respecto del ejercicio anterior, ¿a qué distancia debería orbitar la Tierra al Sol, para que los años
durasen 650 días?
Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial 67