Tema 4. Descripción externa de sistemas SISO CLI 1. Introducción

Tema 4. Descripción externa de
sistemas SISO CLI
• Introducción
• Concepto de función de transferencia:
– Definición
– Determinación
– Consideraciones
• Ejemplos de determinación de la f.d.t.
• Diagramas de bloques:
– Descripción
– Algebra de diagramas de bloques
– Procedimiento para trazar el d.b de un sistema
1. Introducción
• Características de los sistemas a describir con
f.d.t
– Deterministas: cada señal de entrada u(t) da lugar a
una señal de salida y(t). El sistema puede verse
como un operador S que transforma entradas en
salidas.
– Causales: el valor de la salida actual no depende de
valores de la entrada futura.
– Influencia del estado del sistema: la salida no sólo
depende del valor de la entrada actual sino también
del estado (historia) del sistema.
1
1. Introducción
• Sistemas C.L.I (Continuos, Lineales e Invariantes en
el tiempo)
– Continuos: las señales de entrada, u(t), y salida, y(t), están
disponibles en cualquier instante de tiempo
– Lineales: se les puede aplicar el principio de superposición
(se formulan con ODEs lineales).
• Si u(t)=c1*u1(t)+c2*u2(t) y u(t)⇒y(t), u1(t)⇒y1(t), u2(t)⇒y2(t)
• Entonces y(t)= c1* y1(t)+ c2* y2(t)
– Invariantes: parámetros constantes
• Si u(t)⇒y(t), y aplicamos la señal más tarde entonces la única
diferencia es que se observa la salida más tarde, pero no cambia de
forma: u(t-τ)⇒y(t -τ).
2. Concepto de f.d.t
• 2.1. Definición:
– Relación entre la transformada de Laplace de la
entrada de un sistema y la transformada de
Laplace de la salida suponiendo condiciones
iniciales nulas.
u(t)=0; t≤0.
u(t)
u(s)
SISTEMA
H(s)
y(t)
y(t)=0; t≤0.
y(s)
2
2. Concepto de f.d.t
• 2.2. Determinación de la f.d.t
– Escribir el modelo matemático en forma de
LODEs invariantes en el tiempo:
a0
d m −1u (t )
d n y (t )
d n −1 y (t )
d mu (t )
+
a
+
...
+
a
y
(
t
)
=
b
+
b
+ ... + bmu (t )
1
n
0
1
dt n
dt n −1
dt m
dt m −1
– Aplicar la transformada de Laplace:
⎡
⎡
dy (0)
d n −1 y (0) ⎤
dy (0)
d n − 2 y (0) ⎤
− ... −
+ a1 ⎢ s n−1 y ( s) − s n − 2 y (0) − s n −3
− ... −
+ ... + an y ( s ) =
a0 ⎢ s n y ( s ) − s n −1 y (0) − s n − 2
⎥
n −1
dt
dt
dt
dt n − 2 ⎥⎦
⎣
⎦
⎣
⎡
⎡ m −1
du (0)
d m −1u (0) ⎤
d m − 2 u ( 0) ⎤
m− 2
m −3 du (0)
− ... −
− ... −
b0 ⎢ s mu ( s ) − s m−1u (0) − s m − 2
+ ... + bmu ( s )
⎥ + b1 ⎢ s u ( s ) − s u (0) − s
n −1
dt
dt
dt
dt n − 2 ⎥⎦
⎣
⎦
⎣
2. Concepto de f.d.t
– Entrada nula para t≤0:
⎡
dy (0)
d n −1 y (0) ⎤
− ... −
+
a0 ⎢ s n y ( s ) − s n −1 y (0) − s n − 2
dt
dt n −1 ⎥⎦
⎣
⎡
dy (0)
d n − 2 y ( 0) ⎤
− ... −
a1 ⎢ s n −1 y ( s ) − s n − 2 y (0) − s n −3
+ ... + an y ( s ) =
dt
dt n − 2 ⎥⎦
⎣
b0 s mu ( s ) + b1s m −1u ( s ) + ... + bmu ( s )
⎡
dy (0)
d n −1 y (0) ⎤
a0 s n y ( s ) + a1s n −1 y ( s ) + ... + an y ( s ) − a0 ⎢ s n −1 y (0) + s n − 2
+ ... +
−
dt
dt n −1 ⎥⎦
⎣
⎡
dy (0)
d n − 2 y (0) ⎤
m
m −1
a1 ⎢ s n − 2 y (0) + s n −3
+ ... +
⎥ − ... = b0 s u ( s ) + b1s u ( s ) + ... + bmu ( s )
n−2
dt
dt
⎣
⎦
3
– Agrupando:
(a s
0
n
⎡
dy (0)
d n −1 y (0) ⎤
+ a1s n −1 + ... + an y ( s ) − a0 ⎢ s n −1 y (0) + s n − 2
+ ... +
−
dt
dt n −1 ⎥⎦
⎣
)
⎡
dy (0)
d n − 2 y ( 0) ⎤
a1 ⎢ s n − 2 y (0) + s n −3
− ... = b0 s m + b1s m −1 + ... + bm u ( s )
+ ... +
dt
dt n − 2 ⎥⎦
⎣
(
)
D( s )· y ( s ) + N 0 ( s ) = N ( s )·u ( s)
– Siendo:
n
D( s ) = a0 s n + a1s n −1 + ... + an = ∑ ai s n −i
N ( s) = b0 s + b1s
m
m −1
i =0
m
+ ... + bm = ∑ bi s m −i
i =0
⎡
dy (0)
d n −1 y (0) ⎤
N 0 ( s ) = −a0 ⎢ s n −1 y (0) + s n − 2
+ ... +
−
dt
dt n −1 ⎥⎦
⎣
⎡
dy (0)
d n − 2 y (0) ⎤
a1 ⎢ s n − 2 y (0) + s n −3
+ ... +
− ...
dt
dt n − 2 ⎥⎦
⎣
– Si suponemos c.i nulas:
y (0) = 0;
dy (0)
d n −1 y (0)
= 0;...
= 0.
dt
dt n −1
y(s) =
N 0 ( s ) = 0.
N (s)
·u ( s )
D(s)
m
m −i
bi s
N ( s ) i∑
H (s) =
= =n0
D ( s ) ∑ a s n −i
i
i =0
4
• 2.3. Consideraciones:
– La f.d.t es un modelo matemático que representa la LODE que
relaciona la entrada con la salida del sistema.
– La f.d.t es una propiedad del mismo y no depende de las
entradas del sistema.
– Sistemas distintos pueden compartir la misma f.d.t , por lo que
la f.d.t no brinda información con respecto a la estructura
interna del mismo.
– Conocida la f.d.t de un sistema se puede estudiar la salida del
mismo para distintos tipos de entradas.
– La f.d.t caracteriza el comportamiento dinámico de un sistema.
– La f.d.t es un cociente de polinomios en s.
– El grado del denominador de la f.d.t es el orden del sistema.
– En sistemas causales el grado del numerador (n) es menor que
el grado del denominador (m); n<m.
u(s)
y(s)
H(s)
3. Ejemplos de determinación de f.d.t
• Sistema de amortiguamiento de un vehículo
∆&y&&1 +
k ·k
k
k 2 + k1
∆&y&1 + 2 (∆y&1 − ∆y& 3 ) + 1 2 (∆y1 − ∆y3 ) = 0.
f ·M
M
f
5
• Sistema de amortiguamiento de un vehículo
∆&y&&1 +
k ·k
k
k 2 + k1
∆&y&1 + 2 (∆y&1 − ∆y& 3 ) + 1 2 (∆y1 − ∆y3 ) = 0.
f ·M
M
f
∆y1(t ) = y (t )
∆y3 (t ) = u (t )
&y&&(t ) +
&y&&(t ) +
k 2 + k1
k
k ·k
&y&(t ) + 2 ( y& (t ) − u& (t ) ) + 1 2 ( y (t ) − u (t )) = 0.
f
M
f ·M
k 2 + k1
k
k ·k
k
k ·k
&y&(t ) + 2 y& (t ) + 1 2 y (t ) = 2 u& (t ) + 1 2 u (t )
f
M
f ·M
M
f ·M
Asumiendo c.i nulas, y aplicando la transformada de Laplace
s 3 y( s) +
k 2 + k1 2
k
k ·k
k
k ·k
s y ( s ) + 2 s· y ( s ) + 1 2 y ( s ) = 2 s·u ( s ) + 1 2 u ( s )
f
M
f ·M
M
f ·M
k2
k ·k
s+ 1 2
M
f ·M
u (s)
y( s) =
k ·k
+
k
k
k
s3 + 2 1 s 2 + 2 s + 1 2
f ·M
M
f
k2
k ·k
s+ 1 2
M
f ·M
H (s) =
k ·k
k
k +k
s3 + 2 1 s 2 + 2 s + 1 2
f ·M
M
f
• Sistema mecánico rotacional
J ·θ ′′(t ) + b·θ ′(t ) = T (t )
Asumiendo c.i nulas, y aplicando la transformada de Laplace
θ ′(t = 0) = 0
θ (t = 0) = 0
(J ·s
2
J ·s 2θ ( s ) + b·sθ ( s ) = T ( s )
)
+ b·s ·θ ( s ) = T ( s )
H (s) =
Si nos fijamos en la velocidad, asumiendo
c.i nulas, y aplicando la t. de Laplace
J ·ω ′(t )(t ) + b·ω (t ) = T (t )
ω (t = 0 ) = 0
1
J ·s 2 + b·s
(J ·s + b )·ω ( s ) = T ( s )
G (s) =
1
J ·s + b
6
• Sistema eléctrico
L·C ·U s (t )′′ + R·C ·U s (t )′ + U s (t ) = U i (t )
Asumiendo c.i nulas, y aplicando la transformada de Laplace
U s′ (t = 0) = 0
U s (t = 0 ) = 0
(L·C ·s
2
L·C ·s 2 ·U s ( s ) + R·C ·s·U s ( s ) + U s ( s ) = U i ( s )
)
+ R·C ·s + 1 U s ( s ) = U i ( s )
H (s) =
U s (s)
1
=
2
U i ( s ) L·C ·s + R·C ·s + 1
1
L·C
H (s) =
R
1
s2 + s +
L
L·C
• Depósito
A·h′(t ) + K g ·h(t ) = Fi (t )
Problema
Linealizando
[
]
¿ L h (t ) ?
A·h′(t ) +
K
2
g
K
h (t ) +
g ·h0 = Fi (t )
h0
2
K
g ·h0
⎤ 2
g ·h0 ⎥ =
s
⎦
Problema
⎡K
L⎢
⎣2
Problema
¿ h (t = 0 ) = 0 . ?
7
• Depósito
A·h′(t ) +
K
2
g
K
h (t ) +
h0
2
A·[s·h ( s ) − h(0) ] +
⎡
K
⎢ A·s +
2
⎣
K
2
g ·h0 = Fi (t )
K
g ·h0
g
2
h( s ) +
= Fi ( s )
h0
s
K
g ·h0
⎤
g
2
h
(
s
)
+
− A·h(0) = Fi ( s )
⎥
h0 ⎦
s
¿ G (s) =
h( s )
?
Fi ( s )
• Depósito
Expresando el modelo en base a
incrementos respecto del punto de
linealización estacionario
A·∆h′(t ) +
K
2
∆h(t ) = h(t ) − h0
g
∆h (t ) = ∆Fi (t )
h0
∆Fi (t ) = Fi (t ) − Fi0
Si estamos en el punto de linealización
tenemos condiciones iniciales nulas
Aplicando la t. de Laplace
∆Fi ( s )
G( s) =
=
∆h ( s )
1
K
A·s +
2
g
h0
=
s+
∆ h (t = 0 ) = 0 .
A·s·∆h ( s ) +
K
2
1
Coeficientes del
denominador
dependen del punto
de linealización
A
K
g
2· A h0
g
∆h( s ) = ∆Fi ( s )
h0
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4. Diagramas de bloques
• ¿Qué son?
– Representación gráfica entre la entrada y la
salida de un sistema en el dominio de Laplace
• Elementos (para el caso de sistemas SISO)
– Flechas, para indicar la dirección del flujo de
información
– Bloques rectangulares, para representar
funciones de transferencia
– Bifurcaciones, para enviar una determinada
información a varios puntos
– Sumatorios, para realizar sumas algebraicas de
variables
G(s)
+
-
4. Diagramas de bloques
• Utilidad
– Obtener la función de transferencia de sistemas complejos formados por
varios subsistemas
– Representan una imagen detalla del proceso que representan y de las
variables involucradas
– Disponen de unas reglas de manipulación que permiten reducirlos a un
solo bloque
• Reglas básicas (Ogata dispone de una tabla con más reglas)
– Elementos en cascada
x(s)
G1(s)
a(s)
G2(s)
x(s)
z(s)
G1(s)*G2(s)
z(s)
– Cambio de posición de un nodo o bifurcación
x(s)
z(s)
G(s)
z(s)
x(s)
z(s)
G(s)
z(s)
G(s)
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– Cambio de posición de un sumador
x(s)
z(s)
+
G(s)
x(s) +
+
+
1/G(s)
y(s)
– Acoplamiento en paralelo
+
G1(s)
x(s)
z(s)
G(s)
y(s)
z(s)
x(s)
+
G1(s)+G2(s)
z(s)
G2(s)
– Realimentación negativa
a(s)
x(s) +
z(s)
G(s)
-
x(s)
G(s)/(1+G(s)*H(s))
z(s)
H(s)
z ( s ) = G ( s )·a ( s ) ⎫
⎬ ⇒ z ( s ) = G ( s )·( x ( s ) − H ( s )· z ( s ) ) ⇒
a ( s ) = x ( s ) − H ( s )· z ( s ) ⎭
⇒ z ( s ) = G ( s )· x ( s ) − G ( s )·H ( s )· z ( s ) ⇒ z ( s ) =
G( s)
x( s)
1 + G ( s )·H ( s )
• Transformaciones de sistemas dinámicos con realimentación
múltiple
– Lazos no se cruzan
u(s) +
+
G1(s)
-
G2(s)
-
y(s)
H2(s)
H1(s)
– Lazos se cruzan
u(s) +
G1(s)
-
+
-
G2(s)
G3(s)
y(s)
H1(s)
H2(s)
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• Lazos no se cruzan
– Regla: se resuelven primero los más internos
u(s) +
+
G1(s)
y(s)
G2(s)
-
-
H2(s)
H1(s)
u(s) +
y(s)
G2(s)/(1+ G2(s)· H2(s))
G1(s)
-
H1(s)
u(s) +
y(s)
(G1(s)·G2(s))/(1+ G2(s)· H2(s))
-
H1(s)
G1( s )·G 2( s )
1 + G 2( s )·H 2( s )
u( s ) ⇒
y ( s) =
G1( s )·G 2( s )
1 + H 1( s )
1 + G 2( s )·H 2( s )
y ( s) =
G1( s )·G 2( s )
u( s )
1 + G 2( s )·H 2( s ) + G 2( s )·H 1( s )·H 2( s )
• Lazos se cruzan
– Regla: deshacer los cruces y luego resolver como en el primer caso
u(s) +
+
G1(s)
-
-
G2(s)
G3(s)
y(s)
H1(s)
H2(s)
u(s) +
G1(s)
+
-
-
G2(s)
G3(s)
y(s)
H2(s)
H1(s)/G3(s)
u(s) +
G1(s)
-
R(s)
R( s ) =
H1(s)/G3(s)
y( s) =
y(s)
G 2( s )·G 3( s )
1 + H 2( s )·G 2( s )·G 3( s )
G1( s )·G 2( s )·G 3( s )
u( s )
1 + H 2( s )·G 2( s )·G 3( s ) + H 1( s )·G1( s )·G 2( s )
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• Procedimiento para trazar un diagrama de bloques
– Escribir las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de cada bloque
– Tomar las transformadas de Laplace de cada una de estas ecuaciones
suponiendo condiciones iniciales nulas, transformando cada ecuación en
un bloque funcional
– Integrar todos los bloques en un diagrama de bloques completo
– Simplificar el diagrama de bloques resultante
– Ejemplo: construya el diagrama de bloques del sistema de la figura y
calcule la función de transferencia que relaciona ui con us.
ui (t ) − uc (t )
R
i
t
(
)·
∫ dt ⇒ i(t ) = C·u′ (t )
uc (t ) =
c
C
i (t ) =
⎛ R2 ⎞
us ( t ) = ⎜ 1 +
⎟uc (t )
R1 ⎠
⎝
i( s) =
ui ( s ) − uc ( s )
R
i ( s ) = C ·s·uc ( s )
⎛ R2 ⎞
us ( s ) = ⎜ 1 +
⎟uc ( s )
R1 ⎠
⎝
12