Tema 2. Regresión Lineal

Tema 2. Regresión Lineal
3.2.1. Definición
Mientras que en el apartado anterior se desarrolló una forma de medir la relación
existente entre dos variables; en éste, se trata de esta técnica que permite
establecer una ecuación que exprese tal relación lineal, que, en virtud, de lo que
se le llama Ecuación de regresión y la línea a la que representa tal ecuación se
llama Línea de regresión.
Esta técnica incluye el utilizar la ecuación y línea de regresión para hacer
estimaciones acerca del valor que asumirá la variable dependiente según el
valor que tome la variable independiente.
Esto es, el análisis de regresión lineal comprende el intento de desarrollar una
línea recta y su ecuación matemática que describan la relación entre dos
variables.
Un análisis de regresión lineal se hace con los siguientes propósitos:
•
•
Encontrar una ecuación que exprese la relación en forma de línea recta
entre dos variables. Esta ecuación relaciona los cambios en una variable
con cambios en la otra variable.
Estimar el valor de la variable aleatoria (dependiente-de respuesta) a
partir de que se conoce el valor de una variable asociada
(independiente-de predicción).
Y puede ser aplicado en casos en los que se desee:
•
•
•
•
Predecir el desempeño en áreas en donde no son deseables o no es
posible lograr experimentos controlados.
Estimar o explicar el valor de una variable a partir del valor de la otra.
Pronosticar o predecir el valor futuro de una variable
Ahorrar tiempo y dinero, evitando estudios muy largos y tediosos.
Por otro lado, para realizar éste tipo de análisis se requiere partir de los mismos
supuestos que en el caso de la correlación y también que: los valores observados
de la variable dependiente son independientes entre sí.
3.2.2. Fórmula
Puesto que se trata de llegar a la ecuación de una línea recta que describa o
exprese la relación entre las variables, requerimos utilizar una de las formas de la
ecuación de línea recta; para ello, se utilizará la fórmula abscisa - pendiente, es
decir:
En ella, los valores para a y b son determinados por las siguientes fórmulas,
tomadas del método matemático llamado mínimos cuadrados, el cual origina lo
que comúnmente se conoce como la recta de «mejor ajuste».
Este método establece el criterio de que la línea de regresión es aquélla para la
cual se reduce al mínimo la suma de las desviaciones cuadradas entre los valores
estimado y real de la variable dependiente para los datos muéstrales.
Con la aplicación de estas fórmulas se inicia el procedimiento del análisis de
regresión, el cual consta de los siguientes pasos:
1) Una vez determinados los llamados Coeficientes de Regresión, es decir,
los valores de a y b, establecer la Ecuación de Regresión.
2) A partir de esta ecuación, trazar la Recta de Regresión.
3) Con la ecuación formulada, estimar el valor de la variable dependiente dado
el valor de la independiente. A este respecto, debes considerar que tales
estimaciones solo se pueden realizar dentro del rango de valores
muestreados, ya que no existe base estadística de que fuera de ellos, el
comportamiento sea el mismo.
4) Obtener el Error Estándar de Estimación, es decir, la medida de la
dispersión de los valores observados con respecto a la línea de regresión,
el cual se representa por Sy.x si se trata de una población o Sy.x, si se
trata de una muestra, y cuya fórmula es la siguiente:
Es importante mencionar que:
El error estándar es una medida que indica qué tan preciso es el pronóstico de y
con base en x o, por el contrario, cuán inexacta podría ser la predicción.
El error estándar de la estimación se refiere a que no todos los puntos coinciden o
están en la línea de regresión, de lo contrario, la predicción sería perfecta y eso,
es imposible.
Ejemplo Cálculo de Regresión Lineal y Componentes:
Con los datos del ejemplo anterior,
a)
Establecer la Ecuación de Regresión y comentarla
b)
Trazar la Línea de Regresión
c)
Pronosticar cuántas unidades se venderán si se realizan 20 llamadas
d)
Evaluar el error estándar de estimación
e)
Comentar el resultado
Solución:
a)
Para establecer la ecuación de regresión, primero debemos construir la
tabla con los datos necesarios:
Con estos datos, sustituir en las fórmulas para los coeficientes de regresión:
con lo que la Ecuación de Regresión queda:
y = 18.9476 + 1.1842x
Comentario:
Puesto que b resultó ser positiva y con valor de 1.1842 y es la pendiente de la
recta, esto indica que se trata de una relación directa o positiva, es decir, que por
cada llamada adicional que se realice se puede esperar un aumento de casi 1.2
artículos vendidos.
Por su parte a resultó ser 19 que es el punto en que la recta de regresión corta al
eje de Y y si se interpreta literalmente, significaría que si se hacen 0 llamadas se
venderán 19 artículos. Sin embargo, como se dijo antes, esta conclusión no es
válida porque 0 no está en el intervalo de los datos muestreados, es decir, entre
10 y 40.
En resumen,
b)
Trazar la línea de regresión
Con los datos anteriores se traza esta recta de regresión
c)
Para hacer la estimación de cuántos artículos se venderán si se realizan 20
llamadas, se tienen dos opciones:
a)
se puede hacer gráficamente, es decir, localizar el punto x = 20 y
proyectarlo hacia arriba hasta tocar la recta de regresión y moverse
horizontalmente hasta tocar el eje de Y y leer el valor de y al que corresponde ese
punto sobre la recta, en este caso, aproximadamente 42 artículos.
Este método que puede llamársele gráfico, tiene la seria desventaja de que no
proporciona exactitud ya que está depende de la precisión con la que se haya
construido el diagrama de dispersión.
b)
La segunda opción, y la más exacta, es usar la ecuación de regresión
establecida y sustituir en ella el valor dado de x y estimar y: lo que significa que si
se hacen 20 llamadas telefónicas, puede esperarse una cantidad de 42.6316
artículos vendidos.
d)
Para evaluar el error de estimación se utiliza la fórmula mencionada arriba:
lo cual indica que en promedio la desviación entre los valores reales y los valores
representados por la recta de regresión es de 9.901 hacia arriba y hacia abajo, es
decir, que en el caso de que se hagan 20 llamadas se esperan vender 42.6316 ±
9.901 artículos, es decir, entre 33 y 53 artículos y como se está considerando
solamente una vez el error estándar este pronóstico tiene un 65% de probabilidad
de realizarse.
Actividad Preliminar 2: (Recuerda que estas actividades son opcionales y será tu
asesor quien defina aquellos que serán evaluados en tu curso. Sin embargo te
recomiendo que las realices para verificar efectivamente el nivel de aprendizaje
logrado)
Resuelve los siguientes problemas:
No.
1
Problema
Supóngase que los datos siguientes son de equipos cuya vida de servicio en miles de
horas está en el primer renglón y el precio al que se han vendido está en el segundo
renglón, el cual evidentemente se deprecia según el uso:
Número
de 1
equipo
Vida
de 40
servicio
(Miles
de
horas)
Precio pagado 10
(Miles
de
pesos)
2
3
30
15
4
5
6
30 25
50
12 18
8
7
8
9
10 11
12
13 14
60 65
10
15
20 55
40
35 30
10 5
30
25
20 8
15
20 20
a)
b)
c)
d)
e)
2
Establecer la Ecuación de Regresión y comentarla
Trazar la Línea de Regresión
Pronosticar en cuánto se venderá un equipo que tenga 20 mil horas de servicio
Evaluar el error estándar de estimación
Comentar el resultado
Si los siguientes datos muestran las horas de capacitación que ha recibido un grupo de
trabajadores y las quejas que se han recibido por parte de los clientes respecto a la
atención que han recibido:
a) Establecer la Ecuación de Regresión y comentarla
b) Trazar la Línea de Regresión
c) Pronosticar cuántas quejas de clientes se recibirán un empleado que se ha
capacitado 3 horas
d) Evaluar el error estándar de estimación
e) Comentar el resultado
Número
de 1
2
3
empleado
Horas
de 8
1
11
capacitación
Número
de 25 32 22
quejas
4
5
6
7
8
9
10 11
12
2
4
10
12
8
14
6
7
38
26 24
18
23
16
28 20
9
26