Un cuerpo que cae en la atmosfera de la tierra sufre una fuerza de frenado
(de fricción) que es directamente porporcional a la velocidad con que el cuerpo
se mueve. Si un cuerpo empieza a caer con una velocidad incial v0 , ¿cuál será su
velocidad a todo tiempo posterior? Después de un tiempo razonablemente largo,
cómo será esa velocidad? ¿Hace gran diferencia aventarse, sin paracaidas, desde
un edi…cio de 10 pisos o desde un helicoptero a 200 metros de altura? Si dos
paracaidistas de exactamente la misma forma física, pero de pesos diferentes
se avientan de un avión, ¿bajan a diferentes velocidades? Para resolver este
problema supongamos que la fuerza de fricción no varia apreciablemente con las
alturas consideradas.
Solución:
Sobre el cuerpo actuan dos fuerza, la de gravitación, hacía abajo de valor mg,
y la de frenado que es directamente proporcional a la velocidad kv. Usando
la segunda ley de Newton
dv
= gm kv
m
dt
Reacomodando la ecuación queda
dv
k
+ v=g
dt
m
que es lineal inhomogenea.
Resolviendo la ecuación homogenea, que es de variables separables,
dvh
k
+ vh = 0
dt
m
dvh
k
dt
=
vh
m
R dvh
k R
dt
=
vh
m
k
t + ln c
ln vh =
m
k
vh (t) = c exp
t
m
Variamos ahora la constante, proponiendo
k
t
v (t) = c (t) exp
m
y sustituyendo en la ecuación original
dv
k
+ v=g
dt
m
obtenemos otra ecuación diferencial
k
c (t) exp
t =g
m
que se resuelve facilmente
R
k
g
k
c (t) = g exp
t dt = m exp
t +c
m
k
m
y por tanto la velocidad queda como función del tiempo
g
k
k
v (t) =
m exp
t + c exp
t
k
m
m
que se reduce
1
v (t) =
g
m + c exp
k
k
t
m
La condición inicial queda escrita como
g
v (0) = m + c = v0
k
que se traduce en
g
c = v0
m
k
y nos da la expresión …nal
g
g
k
v (t) = m + v0
m exp
t
k
k
m
Vemos
a) Cuando el tiempo crece la velocidad se acerca a un límite, que se obtiene
tomando el límite cuando t tiende a 1.
g
lim v (t) = m
t!1
k
g
La velocidad terminal es m:
k
b) Si se cae desde una altura su…ciente para alcanzar la velocidad terminal,
no importa si se cae desde más alto
c) La velocidad terminal depende de la masa del objeto que cae. Así, dos
objetos con el mismo coe…ciente de fricción k, pero con masas distintas, cae más
rapido el de mayor masa.
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