Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras

Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras
Estadística. 4o Curso.
Licenciatura en Ciencias Ambientales
Licenciatura en Ciencias Ambientales (4o Curso)
Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras
Curso 2008-2009
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Índice
1
Introducción
2
Espacio de probabilidad
3
Variables aleatorias.Independencia
4
Parámetros de una variable aleatoria
5
Principales distribuciones de probabilidad
6
Muestra Aleatoria Simple de una variable aleatoria
7
Distribuciones muestrales
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6. Muestra Aleatoria Simple de una variable aleatoria
Definición
Al medir la variable X en todos los individuos de la muestra de tamaño n, obtenemos
n datos numéricos de dicha variable.
Desde el punto de vista teórico (antes de haber elegido los sujetos sobre los que
realizar las mediciones), los datos, todavía desconocidos, se representan mediante las
variables aleatorias X1 , . . . , Xn . Si estas variables verifican:
a) Son independientes, es decir, la medición de la variable X sobre cada individuo
de la muestra no influye en las mediciones realizadas sobre el resto de individuos
de dicha muestra.
b) Tienen idéntica distribución de probabilidad que X, es decir, las sucesivas
mediciones de la variable se han hecho bajo las mismas condiciones.
se dice que forman una Muestra Aleatoria Simple de X.
Estadísticos
Un estadístico es una función de la Muestra Aleatoria Simple X1 , . . . , Xn . Por ejemplo
la media muestral X̄, la varianza muestral S2 . Son también variables aleatorias y
sintetizan la información contenida en la muestra.
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7. Distribuciones muestrales
Definición
Puesto que los estadísticos son variables aleatorias tienen distribución de probabilidad
a las que llamaremos distribuciones muestrales.
A continuación estudiaremos distribuciones muestrales que se relacionan con datos
procedentes de una variable X ∼ N(µ, σ).
Concretamente, si tenemos una Muestra Aleatoria Simple de dicha variable,
estudiaremos las distribuciones muestrales que se corresponden con los
estadísticos media muestral, X̄, y varianza muestral, S2 .
Si tenemos sendas Muestras Aleatorias Simples de dos variables X e Y, veremos
la distribución muestral que se corresponde con el cociente de las varianzas de
ambas muestras, SX2 /SY2 .
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7. Distribuciones muestrales
Distribuciones muestrales relacionadas con X̄
σ
Distribución Normal X̄ ∼ N(µ, √ )
n
Distribución t de Student
X̄ − µ
√ ∼ N(0, 1)
σ/ n
tipificando
X̄ − µ
√ ∼ t(n − 1)
S/ n
El símbolo t(n − 1) nos dice que el cociente anterior tiene una distribución de
probabilidad llamada t de Student con n − 1 grados de libertad. Esta distribución, es
muy parecida a la N(0, 1) y su función de densidad es muy compleja.
0.0
0.1
0.2
0.3
t(4)
−4
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−2
0
2
4
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7. Distribuciones muestrales
Distribución muestral relacionada con S2
Distribución Chi Cuadrado
(n − 1)S2
∼ χ2 (n − 1)
σ2
El símbolo χ2 (n − 1) nos dice que el cociente anterior tiene una distribución de
probabilidad llamada chi cuadrado con n − 1 grados de libertad. Esta distribución
sólo toma valores positivos y su función de densidad es muy compleja. En el siguiente
gráfico aparecen densidades chi cuadrado con 3 (línea continua) y 5 (línea
discontinua) grados de libertad:
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
χ2(3) y χ2(5)
0
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7. Distribuciones muestrales
Distribución muestral relacionada con SX2 /SY2
Distribución F de Snedecor
SX2 /σX2
∼ F(n − 1, m − 1)
SY2 /σY2
El símbolo F(n − 1, m − 1) nos dice que el cociente anterior tiene una distribución de
probabilidad llamada F de Snedecor con n − 1 y m − 1 grados de libertad. Esta
distribución sólo toma valores positivos y su función de densidad es muy compleja.
Su representación gráfica es parecida a la de la chi cuadrado:
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
F(3,5)
0
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7. Distribuciones muestrales
Muestras grandes. Distribuciones muestrales aproximadas
Hasta el momento hemos supuesto que tenemos una Muestra Aleatoria Simple de una
una variable aleatoria con distribución N(µ, σ).
Si la muestra es grande, aunque no proceda de una variable normal, podemos obtener
distribuciones muestrales aproximadas.
Supongamos que tenemos una muestra X1 , . . . , Xn de una variable aleatoria no normal
con media µ y desviación típica σ.
Si n > 30
Si n > 100
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X̄ − µ aprox
√ ∼ N(0, 1)
σ/ n
X̄ − µ aprox
√ ∼ N(0, 1)
S/ n
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