Solucion de Ecuaciones No Lineales

Solución de Ecuaciones No Lineales.
José Marı́a Rico Martı́nez
Facultad de Ingenierı́a Mecánica, Eléctrica y Electrónica
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Salamanca, Gto. 36730, México
1
Introducción.
En este capı́tulo se mostrará la teorı́a detrás de los métodos para encontrar las raices de una
ecuación no lineal. Además se mostrará como automatizar algunos de estos métodos.
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Determinación de las Raices de una Ecuación No-Lineal.
El fácil acceso a computadoras de alto rendimiento proporciona una herramienta muy sencilla para
la determinación de las raices de una ecuación no lineal
f (x) = 0,
(1)
simplemente graficar la función f (x). En muchos casos, este método de “fuerza bruta” es suficiente. Sin embargo, si se requiere resolver diferentes ecuaciones de manera repetitiva, es necesario
desarrollar métodos mas eficientes.
Algunos métodos requieren conocer un intervalo (a, b) with a < b tal que existe una raiz de la
ecuación en ese intervalo. Es decir, existe un a < x < b tal que f (x) = 0. Otros métodos requieren
de una aproximación inicial x0 de la raiz, x, de modo que f (x0 ) = 0. Además, frecuentemente
es necesario suponer que la función es continua o que no solo es continua sino que sus primera y
segunda derivadas también son continuas.
2.1
El método de bisección.
Suponga que es necesario encontrar una raiz de la ecuación
f (x) = 0.
(2)
Suponga que la función f (x) es continua y que existe un intervalo (a0 , b0 ) tal que
f (a0 ) · f (b0 ) < 0.
Este resultado implica que
f (a0 ) > 0 y
f (b0 ) < 0 o
f (a0 ) < 0
y f (b0 ) > 0.
En cualquier caso, puesto que se supone que f (x) es continua, es seguro que existe al menos
una raiz en el intervalo (a0 , b0 ).
Suponga que en este caso
f (a0 ) < 0 y f (b0 ) > 0,
1
esta suposición no representa mayor problema, pues si no fuera ese el caso, entonces se podrı́a
analizar la función −f (x) que si satisfaceria esta condición. Además debe notarse que si −f (x) = 0
entonces f (x) = 0, es decir, ambas funciones tienen las mismas raices.
El método de bisección consiste en la determinación de intervalos cada vez mas pequeños
(a0 , b0 ) ⊃ (a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 ) ⊃ · · · ⊃ (ak−1 , bk−1 ) ⊃ (ak , bk ) ⊃ (ak+1 , bk+1 )
que contengan una raiz de la ecuación. Los intervalos Ik = (ak , bk ), k = 1, 2, 3, . . . se determinan
de manera recursiva como se indica a continuación. El punto medio del intervalo Ik−1 está dado
por
ak−1 + bk−1
.
(3)
mk =
2
Es posible suponer, sin mayor problema, que f (mk ) = 0, pues en caso contrario mk es una
raiz de la ecuación f (x) = 0 y se resolvió el problema de encontrar una raiz. Asi pues, el nuevo
intervalo Ik = (ak , bk ) estará dado por
(mk , bk−1 ) si f (mk ) < 0
(4)
Ik = (ak , bk ) =
(ak−1 , mk ) si f (mk ) > 0
vea la figura 1 para comprender esta regla.
Figure 1: Selección del nuevo intervalo en el método de bisección.
Es necesario realizar algunos comentarios acerca de este método
1. La velocidad de convergencia del método puede determinarse de la siguiente serie de relaciones
(bn − an ) = 2−1 (bn−1 − an−1 ) = 2−2 (bn−2 − an−2 ) = . . . = 2−(n−1) (b1 − a1 ) = 2−n (b0 − a0 )
Puede observarse que la velocidad de convergencia del método es muy lenta. Suponga que
se desea reducir la longitud del intervalo original (a0 , b0 ) a una milésima parte, entonces
b n − an
1
1
= 2−n = n
=
b 0 − a0
1000
2
Por lo tanto
2n = 1000
2
y resolviendo esta ecuación, se tiene que
n=
Ln 1000
= 9.96
Ln 2
Este resultado indica que es necesario realizar 10 iteraciones para reducir la longitud del
intervalo original a su milésima parte, 2n = 1024. Esta lenta velocidad de convergencia es el
pago por no usar información adicional acerca de la función f (x).
2. El método es robusto en cuanto que si existen mas de una raiz en el intervalo original (a0 , b0 )
y bajo el supuesto que la función es continua, después de un número arbitrario de iteraciones,
digamos n, el intervalo final (an , bn ), contiene al menos una de las raices contenidas en el
intervalo original.
2.2
El método de Newton-Raphson.
Este método se basa en la aproximación lineal, o de primer orden, de la función cuyas raices se
buscan. Considere una función f (x), esta función puede aproximarse mediante la expresión, vea
las notas “Aproximación de Funciones Reales Mediante Series de Taylor”,
f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) (x − x0 )
(5)
Suponga ahora, que se desea encontrar las raices de la función f (x) a partir de una aproximación inicial x0 y que, de alguna manera que se explicará a continuación, se llega a la k-ésima
aproximación, xk , y se desea obtener una mejor aproximación xk+1 . Empleando la ecuación (5),
aproxime el valor de la función, f (xk+1 ), de esta manera se obtiene
f (xk+1 ) ≈ f (xk ) + f (xk ) (xk+1 − xk )
(6)
Suponga ahora, dos condiciones importantes
1. Que la aproximación es exacta.
2. Que la nueva aproximación xk+1 resulta ser exactamente la raiz.
Entonces la ecuación (6) se convierte en una ecuación dada por
0 = f (xk+1 ) = f (xk ) + f (xk ) (xk+1 − xk )
(7)
De la ecuación (7), se puede determinar la nueva aproximación de la raiz, pues en general ninguna
de los suposiciones anteriores se cumple, ası́ pues, la nueva aproximación de la raiz de la ecuación
está dada por
f (xk )
xk+1 = xk − .
(8)
f (xk )
La interpretación geométrica de este método, se presenta en la figura 2.
El proceso termina cuando se satisfaga alguna de las siguientes posibles condiciones
1. Que la magnitud de la función sea menor que un número positivo muy pequeño, , predeterminado
|f (xk+1 )| < .
2. Que la magnitud de la diferencia xk+1 − xk sea menor que un número positivo muy pequeño,
, predeterminado
|xk+1 − xk | < .
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Figure 2: Determinación de la nueva aproximación en el método de Newton-Raphson.
Es evidente que existen muchas situaciones en las que, dada una aproximación de la raiz xk , el
método de Newton Raphson obtiene una nueva aproximación xk+1 que está mas alejada de la raiz
que la aproximación anterior. Para evitar este problema, se implementa una modificación conocida
como “amortiguamiento”. Considere la ecuación (8) y suponga que las aproximaciones xk+1 y xk
satisfacen la condición
| f (xk+1 ) |>| f (xk ) | .
Es decir, la nueva aproximación, xk+1 , está mas alejada del 0 que la anterior aproximación, xk .
Denomine un “contador” entero y natural n cuyo valor inicial es 0 y modifique la ecuación (8) de
manera que
n
1
f (xk )
,
(9)
xk+1 = xk −
2
f (xk )
donde n es el número natural mas pequeño que satisface la condición
| f (xk+1 ) |<| f (xk ) | .
Obviamente, este proceso no puede continuar indefinidamente; de manera que si después de un
número elevado de iteraciones, digamos nmax , no se obtienen valores de xk+1 tal que
| f (xk+1 ) |<| f (xk ) |,
se declara que el método no converge a una raiz.
2.3
El método de la secante.
El último método de solución de ecuaciones no lineales es el método de la secante. Este método es
una modificación muy simple del método de Newton-Raphson y consiste en aproximar la primera
derivada de la función f (xk ) mediante diferencias fı́nitas. El método requiere de dos aproximaciones iniciales x0 y x1 , suponga que después de un varios pasos del proceso que se muestra a
continuación se obtienen una nueva pareja de aproximaciones, digamos xk−1 y xk . Si se aplicará
el método de Newton-Raphson, la nueva aproximación, está dada por la ecuación (8) mostrada a
continuación
f (xk )
.
xk+1 = xk − f (xk )
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En el método de la secante, la derivada f (xk ) se aproxima empleando las aproximaciones xk−1 y
xk y el valor de las funciones f (xk−1 ) y f (xk ), vea la figura 3 para una interpretación geométrica
de la aproximación, mediante la siguiente ecuación
f (xk ) ≈
f (xk ) − f (xk−1 )
.
xk − xk−1
(10)
Figure 3: Aproximación de la derivada de una función.
De esta manera, la nueva aproximación de la raiz de la función f (x) está dada por
xk+1 = xk −
f (xk )
f (xk )−f (xk−1 )
xk −xk−1
= xk −
f (xk ) (xk − xk−1 )
.
f (xk ) − f (xk−1 )
(11)
El proceso continua, con la nueva pareja de aproximaciones de la raiz xk+1 y xk . De nueva
cuenta, el proceso termina cuando se satisfaga alguna de las siguientes posibles condiciones
1. Que la magnitud de la función sea menor que un número positivo muy pequeño, , predeterminado
|f (xk+1 )| < .
2. Que la magnitud de la diferencia xk+1 − xk sea menor que un número positivo muy pequeño,
, predeterminado
|xk+1 − xk | < .
Puesto que el método de la secante es una modificación del método de Newton-Raphson, existen
igualmente muchas situaciones en las que, dada una pareja de aproximaciones de la raiz xk−1 y
xk , el método de la secante obtiene una nueva aproximación xk+1 que está mas alejada de la raiz
que la aproximación anterior. Para evitar este problema, se implementa una modificación conocida
como “amortiguamiento”. Considere la ecuación (11) y suponga que las aproximaciones xk+1 y xk
satisfacen la condición
| f (xk+1 ) |>| f (xk ) | .
Es decir, la nueva aproximación, xk+1 , está mas alejada del 0 que la anterior aproximación, xk .
Denomine un “contador” entero y natural n cuyo valor inicial es 0 y modifique la ecuación (11) de
5
manera que
xk+1
n
1
f (xk ) (xk − xk−1 )
,
= xk −
2
f (xk ) − f (xk−1 )
(12)
donde n es el número natural mas pequeño que satisface la condición
| f (xk+1 ) |<| f (xk ) | .
Obviamente, este proceso no puede continuar indefinidamente; de manera que si después de un
número elevado de iteraciones, digamos nmax , no se obtienen valores de xk+1 tal que
| f (xk+1 ) |<| f (xk ) |,
se declara que el método no converge a una raiz.
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