Guía 8

170) Suponte que los resultados de un examen son una variable normal con media 78 y varianza 36
a) ¿Cuál es la probabilidad que una persona que presenta el examen obtenga una calificación mayor que 72?
b) Si a los estudiantes que se encuentran dentro del 10% de la parte superior de las notas, se les dará una beca.
¿Cuál es la calificación mínima que debe obtener un estudiante para tener derecho a beca?
c) ¿Cuál debe ser la mínima calificación aprobatoria si el evaluador pretende que solamente el 28.1% de los
estudiantes apruebe?
d) Calcular la proporción de los estudiantes que tienen calificaciones que exceden por lo menos en 5 puntos a la
calificación reprobatoria del 25%. (Es decir a las calificaciones inferiores).
e) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72. ¿Cuál es la probabilidad de que su calificación
sea mayor que 84?
171) La cantidad de café instantáneo que una máquina vierte se puede ajustar de tal manera que llene los vasos con un
promedio de μ onzas. Si la cantidad de onzas por vaso es una variable aleatoria normal con desviación estándar
igual a 0.06 onzas, encontrar el valor de μ de tal manera que los vasos con capacidad de 4 onzas solamente se
derramarán el 1% de las veces.
172) La altura que logra un atleta de salto alto es una variable aleatoria normal con media 182.4 cms. y desviación
estándar 6.1 cms.
a)¿Cuál es la altura que puede saltar con probabilidad de 0.96?
b)¿Cuál es la altura que salta solamente el 25% de las veces?.
173) Las baterías “XX” tienen una duración normal con μ = 32 meses y σ = 3.5 meses. El fabricante asegura que sus
baterías tendrán una duración de por lo menos X0 meses.
a) ¿Cuánto debe valer X0 si solo el 4% no cumple con la afirmación?
b) ¿Cuánto debe valer X0 si solo el 20% cumple con la afirmación?.
174) Un investigador científico informa que los ratones de un experimento vivirán un promedio de 40 meses, cuando
sus dietas sean severamente restringidas y luego se enriquezcan con vitaminas y proteínas. Suponiendo que los
tiempos de vida de estos son un variable normal, cuya desviación típica es de 6.4 meses, determinar la
probabilidad de que un ratón dado viva:
a) Más de 32 meses.
b) Menos de 30.4 meses.
c) Entre 36.8 y 48 meses.
175) El tiempo de espera en un banco tiene una distribución normal con media de 3.7 minutos y
desviación típica de 1.4 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar
a. haya tenido que esperar menos de 2 minutos?
b. haya tenido que esperar más de 6 minutos?
c. cuántos minutos, como mínimo, tuvieron que estar el 25% qué más tiempo espero?
176) Consideremos que el peso de los niños varones en el momento del nacimiento se distribuye normalmente. Si
sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 3,25 kgs y la desviación típica es de 0,82 kgs, ¿cuál es
la probabilidad de que el peso de un niño varón al nacer sea superior a 4 kgs?
177) Una máquina de refresco está programada para verter en promedio 12 onzas del producto solicitado, con
desviación típica de 0.2 onzas. Si la distribución es normal, ¿qué porcentaje de vasos ha sido “llenado”
a) con menos de 11.5 onzas de refresco?
b) con más de 12.4 onzas?
c) conteniendo entre 12.2 y 12.6 onzas?
d) entre 11.7 y 11.8 onzas?
178) Las notas finales suelen tener una aproximación normal con media de 7.2 y desviación de 1.25.
Si se clasificaran a los estudiantes como A al 8% superior, B el siguiente 20%, el 42% siguiente
como C y el restante 30% como D
a) Qué promedio es necesario exceder para obtener una A?
b) Qué promedio hay que exceder para obtener una etiqueta mejor que C?
179) El tiempo de reacción de un conductor a un estímulo visual tiene una distribución normal con media 0.4
segundos y desviación típica de 0.05 segundos.
a)¿cuál es la probabilidad de que el conductor reacciones en menos de 0.5 segundos?
b)¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción esté entre 0.3 y 0.35 segundos?
c)¿cuál es el tiempo de reacción que se espera exceder el 90% de las veces?
180) Una empresa fabrica bombillos con una vida útil media de 1200 horas y desviación estándar de 100 horas.
¿Qué porcentaje de focos se espera duren
a) más de 1250 horas?
b) menos de 1325 horas?
c) entre 1040 y 1150 horas?
d) qué tiempo de vida útil debe dar en garantía el fabricante, si desea que al menos el 95% cumpla con lo
garantizado?
181) Para hombres adultos dentro de cierto rango de edad, la distribución de lecturas de colesterol, en mg/dl, se
distribuye normalmente con una media de 210 y una desviación típica de 15. Qué porcentaje de la población
tiene lecturas que exceden de 250?
RESPUESTAS:
166) a) 70,000 litros
b) 11,547 litros
167) a) 12.5 litros
b)
1
3
c) $75.00
168) a) 0.0548 b) 16.1 c) 20.275 d) 0.5762 169) a) 0.0571 b) 99.11% c) 0.39626 d) 28 (Aprox.) e) 0.0092
170) a) 0.8413 b) 85.69 c) 81.48 d) 44.04% e) 0.189 (Aprox.) 171) 3.86 onzas 172) a) 171.72 cms. b) 186.51 cms
173) a) 25.88 meses b) 34.94 meses 174) a)0.8944 b)0.0668 c)0.5859 175) a) 0.1131 b) 0.0505 c) 4.64 min
176) 0.1814
177) a) 0.0062 ≈ 0.62% b) 0.02275 ≈ 2.3% c) 0.15731 ≈ 15.7% d) 0.091853 ≈ 9.2%
178) a) 8.96
b) 7.92
179) a) 0.97725
b) 0.13591
c) t = 0.336 seg.
180) a) 30.9% b) 89.4% c) 25.4% d) 1035 horas
181) 0.0038 ≈ 0.38%
APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR MEDIO DE LA NORMAL
182) La probabilidad de que un paciente se recobre de una delicada operación del corazón es de 0.9. ¿Cuál es la
probabilidad de que, de 100 pacientes sometidos a esta intervención:
a) Sobreviven entre 84 y 85 inclusive?
b) Sobreviven menos de 86?
183) Un fabricante de medicamentos afirma que cierto fármaco cura una enfermedad de la sangre 80% de las veces en
promedio. Para comprobar la aseveración, una oficina gubernamental utilizó el producto medicinal en una muestra de
100 individuos y decidió aceptar tal afirmación si 75 ó más eran curados.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la afirmación sea rechazada cuando la probabilidad de cura sea, de hecho de 0.8?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la aseveración sea aceptada por dicha oficina cuando la probabilidad de cura sea de
sólo 0.7?.
184) Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras anticonceptivas contiene un
ingrediente que está por debajo de su eficacia mínima, haciendo que tal producto no sea efectivo. ¿Cuál es la
probabilidad de que menos de 10 píldoras, en una muestra de 200, sean ineficaces?.
185) Estadísticas publicadas por una oficina reguladora del tránsito en carreteras y el Consejo Nacional de Seguridad
muestran que, en promedio, en la noche de un fin de semana 1 de cada 10 conductores maneja en estado de ebriedad.
Si 400 manejadores se inspeccionan al azar en una noche de sábado, ¿cuál es la probabilidad de que el número de
conductores ebrios sea:
a) menor que 32?
b) mayor que 49?
c) por lo menos de 35, pero menor de 47?
186) Aerolíneas y hoteles muchas veces admiten reservaciones en un número superior a su capacidad para minimizar
las pérdidas debidas a las personas que no se presentan. Suponga que los registros de un hotel muestran que, en
promedio, 10% de sus posibles huéspedes no se presentan. Si el hotel acepta 215 reservaciones y hay solamente 200
habitaciones, ¿cuál es la probabilidad de que todos los huéspedes que han hecho reservación y llegan a pedir un
cuarto, lo obtengan?
187) Un alumno está resolviendo al azar una prueba de selección múltiple, en donde de 5 posibles respuestas debe
subrayarse la correcta. La prueba consta de 100 preguntas. Si la nota mínima de aprobación es 6. ¿Cuál es la
probabilidad que dicho alumno apruebe el examen?.
188) Un fabricante de impresoras para computadoras afirma que el 60% de las fallas de las impresoras las ocasionan
los clientes porque no siguen las instrucciones de operación . Si la afirmación es correcta, ¿Cuál es la probabilidad de
que de 80 fallas, más de 50 hayan sido ocasionadas por los clientes que no siguen las indicaciones?.
189) El porcentaje de clientes que compra al crédito en un negocio determinado es del 45%. Se selecciona una muestra
aleatoria de 300 clientes de dicho negocio. ¿Cuál es la probabilidad de que
a) El 60% o más de los clientes de la muestra compren al crédito?.
b) El porcentaje de quienes compran al contado esté entre el 50% y el 63%?.
RESPUESTAS:
182) a) 0.0518
185) a) 0.0778
b) 0.0668
b) 0.0571
c) 0.6811
183) a) 0.0846
186) 0.9441
b) 0.1635
184) 0.4364
187) 0
188) 0.2843
189) a) 0 b) 0.95
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Y LA PROPORCION
190) Se preguntó a 200 empleados de oficina que cuál era su sueldo mensual y se obtuvo una media de 245 dólares,
con una desviación típica de 70 dólares. Construir un intervalo de confianza del 95% para el sueldo mensual
medio de todos los empleados de oficina del país.
191) Una muestra aleatoria de 130 propietarios de automóvil reveló que estos recorren en promedio 10,950 kilómetros
al año, con una desviación típica de 1,640 kilómetros . Construir un intervalo de confianza del 99% para el kilometraje
medio anual que recorren los propietarios de automóvil.
192) Se realizó un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña ciudad. Para ello se consideró una muestra de
25 casas. El número de galones de agua que utilizan por día fue el siguiente:
175 – 185 – 186 – 118 – 158 – 150 – 190 – 178 – 137 – 175 – 180 – 200 – 189 – 200 – 180 – 172 – 145 – 192 191 – 181
183 – 169 – 172 – 178 – 210
a) Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la cantidad media de agua consumida.
b) Si el recurso de agua en la ciudad permite una utilización media de 160 galones por día, ¿podría pensarse que
hay un problema de escasez de agua en la ciudad?.
193) Desde hace muchos años se ha afirmado que la estatura media del pueblo salvadoreño es de
165 cms. Se preguntaron las estaturas a 40 salvadoreños, obteniéndose las medidas en
centímetros siguientes:
158 – 150 – 187 – 165 –170 – 174 –187 – 162 –185 – 181 –183 – 166 –158 – 156 –180 – 170 –165 – 182
168 – 162 –165 – 170 –180 – 160 –169 – 178 –175 – 158 –152 – 163 –172 – 163 –172 – 163 –160 – 172
171 – 190 – 160 – 188.
Construir un intervalo de confianza del 95% para la estatura media verdadera del pueblo salvadoreño. De acuerdo
al intervalo construido ¿Es razonable la afirmación referente a la estatura media del pueblo salvadoreño?.
194) Se investigaron 36 niños, para determinar el tiempo diario, en horas, que dedican a ver televisión, obteniéndose
en un día los tiempos siguientes:
4 – 3 – 4.5 – 5 – 5.5 – 2.1 – 2.6 – 6 – 2.9 – 4.3 – 5.5 – 5.8 – 3.4 – 3.9 – 6 – 6.6 – 4.9 – 7 – 3.2 – 4.4 – 5.9
6.8 – 4.2 – 4.3 – 5 – 4.7 – 5.1 – 6.8 – 7 – 5.3 – 4.5 – 3.4 – 3.7 – 2.9 – 2.3 – 3
Construir un intervalo de confianza del 99% para el tiempo medio diario que los niños se encuentran bajo la
influencia de la televisión.
195) Se pesaron 35 pollos de granja y sus pesos , en libras, fueron los siguientes:
4.3 – 5.2 – 4.3 – 4.7 –3.9 – 4.2 – 5 – 4.1 –3.9 – 4.4 – 4.7 – 3.7 –3.5 – 5.1 –4.3 – 4.6 –3.6 – 5.5 – 4.2– 4.7
3.9 – 5.2 – 4.3 – 4.7 –3.9 – 5.2 – 4.3 – 4.7 – 3.9 – 5.2 – 4.3 – 4.7 –3.9 – 5.2 – 4.3
Construir un intervalo de confianza del 95% para el verdadero peso medio de los pollos de granja.
196) Un granjero puso a prueba un nuevo alimento para sus pavos navideños de una misma edad. La dieta especial
garantizaba que después de 5 semanas los pavos tendrían un peso medio de 10 libras. Después de 5 semanas los
pesos en libras resultantes de una muestra de 11 pavos fueron:
9 – 10.5 – 11 – 12 – 8.7 – 11.6 – 12.3 – 10.1 – 8 – 8.5 – 11.8
a) Construya un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de la población de pavos
b) ¿Cuál es el valor del error de la estimación de la media?.
c) ¿Qué se puede afirmar sobre la garantía de la dieta especial?.
197) A partir de 8,690 cuentas de tarjetas de crédito, un analista financiero toma una muestra aleatoria de 17 cuentas.
Las deudas observadas en la muestra son las siguientes: 1,165 – 1,500 – 1,400 – 950 1,165 – 1,200 – 890 – 1,050 –
2,650 – 1,465 – 1,100 – 1,895 – 1,340 – 1,680 – 775 – 640 – 2,100.
a) Determinar un intervalo de confianza del 98% para estimar el saldo medio de todas las cuentas.
b) Si los datos se consideran como una muestra piloto, ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra, a fin de que el
máximo error de la estimación sea de 150 dólares con una probabilidad de 0.95?.
198) Un inspector de alimentos, que examina 12 frascos de cierta marca de mantequilla de cacahuate, obtuvo los
siguientes porcentajes de impurezas: 2.3, 1.9, 2.1, 2.8, 2.3, 3.6, 1.4, 1.8, 2.1, 3.2, 2.0 y 1.9.
Suponiendo que estas determinaciones están normalmente distribuidas, construya un intervalo de confianza del
99% del porcentaje promedio de impurezas que hay en esta marca de mantequilla de cacahuate.
199) Una muestra de 5 frascos de café instantáneo seleccionados de un proceso de producción, dio los siguientes
valores para el contenido medido en gramos: 285; 291; 288; 282; 279. Obténgase un intervalo de confianza del 98%
para estimar el peso neto medio de los frascos producidos por este proceso.
200) Una agencia del Banco Pulgarcito tiene registrado que 7,525 clientes poseen cuentas de ahorro. Para estimar el
total de ahorros de estos clientes en dicha agencia, se tomó una muestra aleatoria de 100 cuentas, lo cual dio una
media de 3,125 dólares y una desviación estándar de 1,250 dólares. Determina el intervalo de confianza del 95% para
estimar la cantidad total de dinero que está depositado en las cuentas de ahorro de dicha agencia.
201) Un inspector de alimentos examinó la mantequilla que distribuyen 45 vendedores, obteniendo que 40 de ellos
adulteran el producto. Construya un intervalo de confianza del 94% para la proporción de vendedores que adulteran
la mantequilla.
202) Una compañía de seguros encontró que de 300 obreros asegurados, 37 sufrieron algún tipo de accidente
industrial en el último año. Construya un intervalo de confianza del 97% para la proporción de asegurados que sufren
accidentes industriales.
203) Para estimar una proporción desconocida con un error máximo de 0.06 y al menos con el 95% de confianza, ¿cuál
sería el tamaño de la menor muestra requerida? ¿Cómo se vería afectado el tamaño de la muestra si la proporción por
estimar es de al menos 0.70?
204) El dueño de una inmobiliaria revisó aleatoriamente 150 de las 3000 cuentas de una compañía y determinó que el
60% se hallaba en excelente estado. Determinar un intervalo de confianza del 90% para la proporción poblacional de
cuentas que se encuentran en excelente estado.
205) El gobierno estudiantil de una universidad realizó un muestreo de 45 libros de texto en la librería de la
universidad, y descubrió que el 60% valía más del 50% del precio de costo al mayoreo. Estima el intervalo de la
proporción de libros con ese precio, que ofrezcan una seguridad del 95% de contener la verdadera proporción.
206) Una institución dedicada a hacer sondeos de opinión, va a estimar el porcentaje de adultos que están de acuerdo
con cierta ordenanza municipal. (El municipio está constituido por 50,000 adultos)
a) ¿De qué tamaño debe ser la muestra aleatoria si la estimación no debe tener más del 4% de error con una
probabilidad de 0.92?
b) Suponte que una vez determinado el tamaño de la muestra, se lleva a cabo el sondeo y se encuentra que 320
personas están a favor del cierre. Estima el porcentaje que está a favor por medio de un intervalo del 92% de
confianza.
RESPUESTAS:
190) ( 235.3 , 254.7)
191) (10,579.62 Kms. , 11,320.38 Kms.)
192) a) (168.62, 182.87) b)Sí porque el intervalo
obtenido no contiene la media de 160; sino que contiene valores que la superan.
193) ( 166.5 cms., 173 cms.) Sí; porque el intervalo contiene el valor de la media.
194) (3.96 horas, 5.23 horas
195) (4.26 libras, 4.63 libras)
196) a) ( 8.83 libras, 11.8 libras)
b) 1.49 libras c) Se cumple la garantía. 197) a)($1,031.96, $1,669.8) b) n = 44.028 ≈ 45 , es conveniente tomar
siempre el número entero inmediatamente superior; porque entre más grande es la muestra, mejor.
198) ( , )
199) ( , )
200) (
,
)
201) (
, )
202 (
,
)
203) Usando
menor.
.
n=
zα2 / 2
(1.96) 2
se
tiene
n
=
= 267 ; para p = 0.7, q = 0.3, se obtiene n = 225. Una muestra 15.7%
4e 2
4(0.06) 2
204) (53.42%, 66.58%)
205) ( 45.69%, 74.31%)
206) a) n = 479
b) (63.04%, 70.58%)
PRUEBA DE HIPÓTES DE UNA MEDIA Y DE UNA PROPORCIÓN
207) Desde hace muchos años se afirma que la estatura media del pueblo salvadoreño es de 165 cms. Para verificar
dicha afirmación se preguntaron las estaturas a 33 salvadoreños, obteniéndose en centímetros, las estaturas
siguientes: 158, 150, 187, 165, 170, 174, 187, 162, 185, 181, 183, 166, 156, 158, 180, 170, 165, 182, 168, 162, 165, 170,
180, 160, 169, 178, 175, 158, 152, 163, 172, 163, 160.
A un nivel de significación de 0.05, ¿Se puede afirmar que la estatura del pueblo salvadoreño es por lo menos de
165 cms.?
208) Una empresa vendedora de pollos afirma que éstos tienen un peso medio de 4 libras. Se pesaron 35 pollos
obteniéndose en libras los pesos siguientes:
3.1, 4.3, 3.4, 3.7, 3.5, 3.0, 4.1, 3.8, 3.5, 3.2, 3.4, 3.6, 4.1, 3.8, 3.2, 3.1, 3.3, 3.7, 3.9, 3.4, 3.3, 3.6, 3.4, 3.8, 3.7, 4.0, 3.6, 3.6, 3.1,
2.9, 4.2, 3.7, 3.4, 3.5, 3.2.
¿Qué conclusión se obtiene, a un nivel de significación de 0.02 acerca de la afirmación de la empresa vendedora?
209) Se afirma que un automóvil se maneja en promedio más de 20,000 kilómetros por año. Para probar esta
afirmación, se pide a una muestra de 100 propietarios de automóviles que lleven un registro de los kilómetros que
viajen. ¿Está de acuerdo con esta afirmación si la muestra aleatoria muestra un promedio de 23,500 kilómetros y una
desviación estándar de 3,900 kilómetros?
210) En el boletín de la Asociación Americana del Corazón, Hypertension, investigadores reportan que los individuos
que practican la meditación trascendental (MT) bajan su presión sanguínea de manera significativa. Si una muestra
aleatoria de 225 hombres practicantes de MT meditan 8.5 horas a la semana con una desviación estándar de 2.25 horas,
¿esto sugiere que, en promedio, los hombres que utilizan la MT meditan más de ocho horas a la semana?.
211) La viñeta de una bebida gaseosa dice que el contenido de los envases es de 2.5 litros. El Comité de Defensa del
Consumidor verificó el contenido de algunos envases y obtuvo los resultados siguientes:
2.4 - 2.3 – 2.38 - 2.38 – 2.25 – 2.4 – 2.45 – 2.43 – 2.29 – 2.3 –2.42 – 2.33 – 2.29 – 2.44 – 2.48
A un nivel de significación de 0.01 ¿Qué se puede concluir acerca del contenido de los envases?..
212) De acuerdo con un estudio dietético una ingesta alta de sodio se puede relacionar con úlceras, cáncer de
estómago y migraña. El requerimiento humano de sal es de sólo 220 miligramos por día, el cual se rebasa en la
mayoría de las porciones individuales de cereales listos para comerse. Si una muestra aleatoria de 20 porciones
similares de Special K tienen un contenido medio de 244 miligramos de sodio y una desviación estándar de 24.5
miligramos, ¿esto sugiere, en el nivel de significación del 0.05, que el contenido promedio de sodio para porciones
individuales de Special K es mayor que 220 miligramos? Suponga que la distribución de contenidos de sodio es
normal.
213) Un fabricante de pinturas desea comprobar, al nivel de significación de 0.05, la hipótesis “un aditivo aumenta la
cobertura promedio de la pintura de la compañía”. La cobertura ha sido de 450 pies cuadrados por galón. Si una
muestra de 10 galones con aditivo dio los siguientes valores: 445, 460, 470, 450, 455, 448, 475, 465, 440 y 455. ¿se
comprueba o no la hipótesis?
214) El gerente de una empresa de taxis ha recibido una solicitud de la compañía que le proporciona mantenimiento a
sus vehículos, para renegociar el contrato. El contrato establecía que los taxis recorrerían 112 Kms. al día, en promedio.
El administrador de la compañía tomó una muestra de 15 taxis que arrojó los siguientes recorridos:
171.36 – 193.6 – 113.92 – 121.76 – 153.12 – 148.48 – 151.04 – 68 – 131.68 – 90.4 – 119.36 – 146.72 119.68 – 101.92 –
100.64 ¿Se debe renegociar el contrato? (α = 0.05)