Microscopio de efecto túnel

IMAGENES ESPECTROSCOPICAS DE
INTERFERENCIAS DE QUASIPARTICULAS.
MICROSCOPIO DE EFECTO TUNEL
Hemos realizado un estudio del comportamiento de un microscopio de efecto túnel. En este
análisis veremos que tiene una gran importancia la función de Green de la ecuación de
Schrödinger como veremos a continuación.
La función de Green se emplea para obtener la solución particular de una ecuación
inhomogénea como hemos visto en el presente curso de Métodos Matemáticos III. El
problema es que la ecuación de Schrödinger es homogénea. Así que igualaremos la ecuación a
una función arbitraria. Si tomamos la constante de Planck reducida y la masa como igual a la
unidad, la ecuación de Schrödinger queda:
[
]
Si tomamos el Hamiltoniano de la partícula libre y hacemos la Transformada de Fourier en
ambos miembros nos queda:
]̂
[
̂
Despejando:
̂
̂
[
̂
]
Donde
es la función de Green. Si nos fijamos, los polos de la función de Green
tienen lugar cuando las frecuencias coinciden con la energía de la partícula libre:
A esta función de Green le añadiremos en el denominador un término i que representa que
nuestra partícula no oscila de forma indefinida, existe un decaimiento. Así que nuestra función
de Green queda:
[
]
Nosotros hemos considerado un sistema de una dimensión en el que existe una impureza
local, quedando la densidad lineal de estados (q,w) de la siguiente forma:
Javier Alonso y Juan Andrés
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Donde tenemos que B (q,w) viene dada por:
∫
En esta expresión, G es la función de Green que hemos introducido anteriormente. El motivo
en el que en la expresión de B aparezcan dos funciones de Green se debe a la presencia de esa
impureza, la cual produce un efecto de esparcimiento (scattering) que provoca que la partícula
cambie su momento, quedando la densidad lineal de estados como una función no solo de la
frecuencia , sino también del momento q, algo que no sucedería si dicha impureza no
estuviera.
Otra aproximación que tomaremos es T ()=1, con lo que le estamos dando el mismo peso a
todas las frecuencias. Al mismo tiempo, tomaremos d=1 a que estamos tratando un problema
unidimensional.
La expresión de 0 viene dada por:
La integral de B puede realizar utilizando el Teorema de los residuos de Cauchy, quedando la
integral:
∫
[
[
[
[
]
]
√
Javier Alonso y Juan Andrés
]
[
]
]
√
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Hemos representado en Matlab la densidad lineal de estados para distintos valores del
momento de la partícula, concretamente de 1 a 6, frente a la frecuencia angular de la partícula
w.
Data “i” corresponde a q=i, con i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
Vemos que la densidad lineal de estados es nula para la mayor parte de valores de w, excepto
cuando
, que corresponde con la frecuencia angular de la partícula, donde vemos
un pico muy destacado. Esto se debe a que la punta del microscopio sintoniza con la
frecuencia de la partícula. También vemos unos picos raros que antes de dicha frecuencia,
unos efectos que se van disipando y son completamente despreciables frente al pico de la
frecuencia de oscilación de la partícula.
Hemos querido obtener la relación de dispersión de estos picos en los que la punta sintoniza
con la frecuencia, para verificar la relación de dispersión es cuadrática como hemos supuesto,
y así ha sido, como mostramos a continuación:
Javier Alonso y Juan Andrés
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También hemos querido ver la relación de dispersión de esos extraños efectos que vimos,
obteniendo el siguiente resultado:
La relación de dispersión es ni siquiera es lineal y observamos comportamientos extraños para
algunos valores de k. Pero, como hemos comentado anteriormente, los valores de la densidad
son despreciables en este caso comparado con los valores que toma cuando la frecuencia
considerada es la de la partícula.
Javier Alonso y Juan Andrés
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