Sólidos de Revolución y Esferas

Lic. Saúl Villamizar Valencia
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Y ESFERA
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1. Cilindro
Definiciones
Se llama superficie cilíndrica la engendrada por una recta que se
desplaza en el espacio, permaneciendo siempre paralela a una recta fija, y
apoyándose en una curva también fija. La recta fija se llama generatriz y la
curva fija se llama directriz.
Cilindro circular
Es el sólido geométrico
limitado
por
una
superficie
cilíndrica y dos planos paralelos que cortan todas las generatrices. Estos dos
planos paralelos se llaman bases.
Cilindro de revolución
Cilindro de revolución o cilindro circular recto es el que está engendrado
por la revolución completa de un rectángulo alrededor de sus lados.
Generatriz
Altura
El lado sobre el cual gira el rectángulo se llama eje o altura, el lado
opuesto generatriz y los otros lados que describen los círculos que son las
bases del cilindro.
Área lateral
Teorema
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El área lateral de un cilindro es igual a la longitud de la circunferencia de
la base por la generatriz Al= 2prg
Área total
Teorema
El área total de un cilindro es igual al área lateral mas el área de las
bases.
2p rg + 2p r2
At= 2p r( g + r)
Volumen
Teorema
El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura.
V = p r2h
PROBLEMAS:
Para los problemas 1,2,3, calcular el área lateral, el área total y el
volumen de un cilindro
1. El diámetro de la base mide 12cms y la generatriz es de 30 cms.
2. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro mide 34.56 cms y la
generatriz mide 29 cms.
3. El área de la base de un cilindro es de 240,58 m2. La altura es el doble del
diámetro de la base.
4. El volumen de un cilindro es equivalente al volumen de una pirámide triangular
regular, si la altura de la pirámide es de 45 cms. Cuál es el lado de la base.
5. Un recipiente cilíndrico de 13 m de altura tiene una capacidad de 700 litros.
Calcular el radio de la base.
6. El área lateral de un cilindro es de 1444 m2 y la generatriz es tres veces el
radio. Calcular el radio.
7. Cuántos m 3 de agua contiene un pozo cilíndrico de 45m de profundi-dad y 6 m
de diámetro, si su contenido sólo llega hasta los 3/5.
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8. Un rodillo de acero tiene 1,5 m de largo y 75 cm de diámetro. ¿Qué área cubre
al rodar dando 250 revoluciones?.
2. SUPERFICIE CÓNICA Y CONO
Definiciones
Se llama superficie cónica, la engendrada por
una recta que se desplaza en el espacio pasando
siempre por un punto fijo, llamado vértice
y
apoyándose en una curva fija. La recta se llama
generatriz y la curva directriz.
La superficie cónica se compone de dos partes,
hojas o mantos, opuestos por el vértice.
EL CONO
Procedimiento para construirlo.
Dibuje un ángulo de 90º, haciendo centro en
B
E
A, y con una abertura igual a la longitud de
AB, se describe el arco CEB.
A
C
Cono circular
Es el sólido geométrico limitado por uno de los mantos de una superficie
cónica y por un plano que corta todas las generatrices, llamado base.
Cono de revolución
Es el sólido geométrico engendrado por la revolución completa de un
triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos.
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El cateto sobre el cual gira el triángulo se llama eje o altura del cono, la
hipotenusa es la generatriz y el otro ateto describe el circulo de la base.
Área lateral
Teorema
El área lateral de un cono es igual a la mitad de la o
l ngitud de la
circunferencia de la base por la generatriz.
Al = ½(p rg)
Al = p r g
Área total
Teorema
El área total de un cono es igual al área lateral más el área de la base.
At = p r g + p r2
At = p r(g +r)
Volumen
g
El volumen de un cono es igual a la tercera parte
del
área de la base por la altura.
V = 1/3p r2h
h
PROBLEMAS
r
1. Un cono tiene 48m 3 de volumen. Calcular el área de la base, sabiendo que
la altura del cono es dos veces el radio de la base.
2. El lado de un triángulo equilátero mide 15cms. Hallar el área lateral, el área
total y el volumen del cono generado al girar alrededor de la altura.
3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 24 cms. Calcular el
área total, y el volumen del cono generado por dicho triángulo, si gira
alrededor de uno de sus catetos.
4. Calcular el área de la superficie de una tienda construida de forma
cilíndrica, rematada por un cono, sabiendo que tanto la generatriz del cono
como la del cilindro y el diámetro común miden 2.5 m cada uno.
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5. La longitud de la circunferencia de la base de un cono mide 22Hm, y la
altura 39m. Calcular el área lateral, el área total y el volumen.
6. Cuánto cuesta el material para construir un embudo sin tapa de 65 cms de
diámetro, 80cms de alto. Si el m 2 de lámina cuesta Bs 330?
4. SUPERFICIE ESFÉRICA. ESFERA
Definiciones
Se llama superficie esférica a la superficie que está engendrada por la
revolución completa de una semi-circunferencia alrededor de su diámetro.
Esfera
Es el sólido geométrico engendrado por un semi-círculo que gira
alrededor del diámetro.
Radio de una esfera
Es el segmento de recta que une el centro con un punto cualquiera de la
superficie esférica.
Diámetro de una e sfera
Es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos de la
superficie esférica.
Plano diametral
Es todo plano que pasa por el centro de la esfera y la divide en dos
partes iguales llamadas hemisferios.
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Nota: Cuando un plano corta una esfera origina sobre la superficie esférica una
circunferencia y sobre la esfera un círculo.
Círculo máximo
Es la sección que produce un plano diametral. Es el círculo de radio
igual al radio de la esfera.
Círculo menor
Es la sección que produce un plano que no pasa por el centro.
Área de la esfera
Experiencia
Tomamos una esfera de madera y la dividimos en dos semi-esferas, se
coloca un clavo en cada semiesfera, en el punto indicado y se enrolla un hilo
que cubra la superficie de la semi-esfera y otro que cubra el círculo máximo,
entonces podemos observar que el hilo empleado para cubrir la superficie de la
semi-esfera es el doble del largo que el empleado para cubrir el círculo
máximo, lo cual nos permite obtener la siguiente conclusión:
El área de una semiesfera es equivalente a la de dos círculos máximos,
y por tanto el área de una esfera es equivalente al área de cuatro círculos
máximos.
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Sea r, el radio de la esfera, el área del círculo máximo es A = p r2, y el
área de la esfera equivalente a cuatro círculos máximos es: A = 4 p r2
Volumen de la esfera
El volumen de una esfera es la tercera parte del producto de p por el
radio al cubo. V = 4 π 3 ×
1
2
Ejemplo
Calcular el volumen de una esfera inscrita en un cubo de 6 cm de arista.
Solución.
r = 3 cm. Porqué?
V = 4/3p r3
V = 4/3(3.14)(3cm)3
V = 113.04 cm3
PROBLEMAS
1.
Calcular el costo de la pintura de un globo esférico de 28m de radio, si el
metro cuadrado de pintura cuesta Bs 56000
2.
Calcular el radio de una esfera de hierro que pesa 400 Kg. (Densidad del
hierro 7.8)
3.
Dos cuerdas se cortan en un círculo máximo de una esfera, la distancia del
punto de intersección al centro es de 30cm y el producto de los segmentos
de cada cuerda es 530. Determinar el área de la esfera.
4.
Calcular el radio de la base de un cono de 99 cm de altura si su volumen es
igual al de una esfera de 2m de radio.
RELACIÓN ENTRE EL ÁREA DE LA ESFERA Y EL ÁREA DEL
CILINDRO CIRCUNSCRITO
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Se observa en la gráfica que el diámetro de la base del cilindro es igual
al diámetro de la esfera y que la altura del cilindro es igual al diámetro de la
esfera. Significa que el área lateral del cilindro es Al= 2prg Al= 2pr (2r) Al=
4 p r2 que es exactamente el área de la esfera.