Fórmulas de Derivación Numérica: Aproximación de la derivada

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Ingeniería de Minas
Fórmulas
Fórmulas de
de Derivación
Derivación Numérica:
Numérica:
Aproximación
Aproximación de
de la
la derivada
derivada primera
primera de
de una
una
función
función
Prof. Alfredo López Benito
Prof. Carlos Conde Lázaro
Prof. Arturo Hidalgo López
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Abril, 2007
0
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OBJETIVOS
OBJETIVOS
1º. Conocer el concepto de fórmula de derivación numérica
2º. Obtener y aplicar fórmulas de derivación numérica de tipo
interpolatorio para aproximar primeras derivadas de funciones.
3º. Analizar y obtener cotas del error de aproximación de derivadas
primeras mediante fórmulas de tipo interpolatorio.
4º. Conocer las principales propiedades de las fórmulas de derivación
numérica de tipo interpolatorio para aproximar derivadas primeras
de funciones.
5º. Obtener y aplicar fórmulas de tipo interpolatorio para aproximar
derivadas de orden superior al primero, y conocer sus propiedades
principales.
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Fórmulas
Fórmulas de
de derivación
derivación numérica:
numérica: definición.
definición.
Definición
Se denomina FÓRMULA DE DERIVACIÓN NUMÉRICA
para aproximar f’(x*) sobre el soporte {x0, x1, ..., xn} a
toda expresión de la forma:
n
f '(x*) ≈ ∑ ci .f (xi )
i= 0
A los números ci se les denomina COEFICIENTES (o
PESOS) de la fórmula.
Si ci = Li’(x*), siendo Li(x) (i = 0, 1, ..., n) los (n+1)polinomios
de base de Lagrange sobre el soporte {x0, x1, ..., xn} a la
fórmula se la denomina fórmula de derivación numérica de
tipo interpolatorio (en el sentido de Lagrange).
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Fórmulas
Fórmulas de
de derivación
derivación numérica:
numérica: error.
error.
Definición
Siendo f(x) una función derivable en x* y dada la fórmula
de derivación numérica para aproximar f’(x*) sobre el
n
soporte {x0, x1, ..., xn}:
f '(x*) ≈ f '* = ∑ ci .f (xi )
i= 0
se denomina ERROR DE TRUNCAMIENTO de la fórmula
para la función f(x) el en punto x*, al valor:
Rf(x*) = f’(x*) – f’*
NOTA:
Para cada función f,
Rf :
I
→
R
x → R f (x )
Se buscará acotar Rf(x) en el intervalo I.
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Fórmulas
Fórmulas de
de derivación
derivación numérica
numérica de
de tipo
tipo
interpolatorio
interpolatorio
Sea n ≥ 1.
Siendo pn(x) el polinomio interpolador de Lagrange de
una función f(x) sobre el soporte {x0, x1, …, xn} se
tiene que:
n
f(x) = pn(x) + εf(x) = ∑ f(xi )·Li (x) + ε f (x)
f '(x*) =
i =0
n
l
l
f(x
)·L
(x*)
+
ε
∑ i i
f (x*)
i =0
ci
Rf(x*)
A las fórmulas así obtenidas se las de derivación
numérica de tipo interpolatorio construidas sobre el
soporte {x0, x1, …, xn}
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio: obtención.
obtención.
OBSERVACIÓN
En otros términos, las fórmulas de derivación numérica de
tipo interpolatorio que aproximan el valor de f’(x*), se
obtienen derivando el polinomio interpolador de la función
f(x) y particularizando la expresión de la derivada en x*.
Para ello, puede utilizarse cualquiera de las expresiones que
proporcionan el polinomio interpolador
(fórmula de Lagrange, fórmula de Newton, fórmulas en
diferencias finitas, ...)
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio: ejemplo
ejemplo 1.
1.
Ejemplo: Soporte: {x0 , x1}
Polinomio interpolador de f(x) en este soporte:
f (x) ≈ p1 (x) = f (x 0 ) + f [ x 0 ,x1 ]·(x − x 0 )
Aproximación de f’(x*) mediante una fórmula de tipo interpolatorio con el soporte {x0 , x1} :
f(x1 ) − f (x 0 )
f '(x) ≈ p1 '(x) = f [ x 0 , x1 ] =
x1 − x 0
En un punto x*:
f (x1 ) − f (x 0 )
f '(x*) ≈ p1 '(x *) =
x1 − x 0
x0
x*
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x1
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio: ejemplo
ejemplo 1.
1.
f (x1 ) − f (x 0 )
−1
1
f '(x*) ≈ p1 '(x *) =
= ·f (x 0 ) + ·f (x1 )
x1 − x 0
H
H
c0
p1’(x*) = tg (β)
β
f’(x*) = tg (α)
α
x0
c1
x1
x*
H
h0
h1
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio: ejemplo
ejemplo 22
a) Obtener una fórmula de tipo interpolatorio que aproxime
f’(x*) sobre el soporte {x0=x*-2·h, x1=x*-h, x2=x*}
b) Aplicar la fórmula a la aproximación de la primera derivada de la función e-x en el punto x* =0 y con pasos
h = 10-1, 10-2, ……, 10-10
Solución:
(x − x * + h)·(x − x*)
L0 (x) =
2h2
(x − x * +2h)·(x − x*)
L1 (x) = −
h2
1
L '0 (x*) =
2h
2
L '1 (x*) = −
h
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio: ejemplo
ejemplo 22
(x − x * + h)·(x − x*)
L0 (x) =
2h2
(x − x * +2h)·(x − x*)
L1 (x) = −
h2
(x − x * +2h)·(x − x * + h)
L2 (x) =
2h2
1
L '0 (x*) =
2h
2
L '1 (x*) = −
h
3
L '2 (x*) =
2h
1
f '(x*) ≈
( f(x * −2 h) − 4·f(x * −h) + 3·f(x*) )
2h
¡APLIQUÉMOSLA !
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Ejemplo
Ejemplo
f '(x*) ≈
1
( f(x * −2 h) − 4·f(x * −h) + 3·f(x*) )
2h
x* = 0
h
f = x Æ e-x
f’(0) =-1
Valor aproximado de f’(0)
0.1
-0.9964045700
0.01
-0.9999664000
10-3
-0.9999995000
10-4
-1.0000000000
10-9
-1.0000000000
9·10-10
1·10-10
-1.1111111111
0.0000000000
Disminuir h por debajo
de un cierto umbral
empeora el resultado
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El
El error
error en
en las
las fórmulas
fórmulas de
de tipo
tipo
interpolatorio
interpolatorio
∀x ∈ ( x0 , xn )
f (n +1 ( ξ(x) ) n
∃ξ = ξ(x) / f(x) − pn (x) =
·∏ ( x − xi )
(n + 1 ) ! i =0
1
n
⎡ (n + 2
⎤
Rf (x*) =
f
( ξ(x*))·ξ '(x*)·∏ (x * − xi ) ⎥ +
⎢
(n + 1 ) ! ⎣
i =0
⎦
⎡
⎛ n
⎞⎤
n
1
⎢ f (n +1 ( ξ(x*))· ⎜
⎟⎥
+
−
(x
*
x
)
∏
∑
i
⎢
⎜
⎟⎟ ⎥
(n + 1 ) !
j =0 ⎜ i =0
⎢⎣
⎝ i≠ j
⎠ ⎥⎦
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Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
x*
x0 x1
h0
xn
h = sup(h0, h1) = sup(|x*-x0|, |x*-xn| )
xi = x* + θi·h
(i = 0, ..., n) θi ∈ [ −1,1]
h1
Si f∈Cn+1((a, b)):
θij ·h j ( j
θin+1·hn+1 (n+1
f (xi ) = f (x * +θi ·h) = f (x*) + θi ·h·f '(x*) + ∑
·f (x*) +
·f (x * +δ i ·h)
j!
(n + 1)!
j= 2
n
⎛ n ⎞
⎛ n
⎞
f '(x*) ≈ ∑ ci ·f (xi ) = f (x*)·⎜ ∑ ci ⎟ + h·f '(x *)·⎜ ∑ ciθi ⎟ +
i= 0
⎝ i= 0 ⎠
⎝ i= 0
⎠
n
⎛ (j
hj ⎛ n
hn+1 n
j ⎞⎞
+ ∑ ⎜ f (x*)· ·⎜ ∑ ci ·θi ⎟ ⎟ +
·∑ ( ci ·θin+1·f (n+1 (x * +δ i ·h) )
j! ⎝ i=0
j= 2 ⎝
⎠ ⎠ (n + 1)! i=0
n
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Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
⎛ n ⎞
⎛ n
⎞
f '(x*) ≈ ∑ ci ·f (xi ) = f (x*)·⎜ ∑ ci ⎟ + h·f '(x *)·⎜ ∑ ciθi ⎟ +
i= 0
⎝ i= 0 ⎠
⎝ i= 0
⎠
n
⎛ (j
hj ⎛ n
hn+1 n
j ⎞⎞
+ ∑ ⎜ f (x*)· ·⎜ ∑ ci ·θi ⎟ ⎟ +
·∑ ( ci ·θin+1·f (n+1 (x * +δ i ·h) )
j! ⎝ i=0
j= 2 ⎝
⎠ ⎠ (n + 1)! i=0
n
Si ci = Li’(x*) ......
Propiedad 1
Propiedad 2
n
∑c
i= 0
i
=0
n
∑ ci ·θi =
i= 0
n
Propiedad 3 ∑ ci ·θij = 0
(Ver la demostración en presentación nº 16)
1
(Ver la demostración en presentación nº 17)
h
(j = 2, ..., n) (Ver presentación nº 17)
i= 0
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Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
hn+1 n
f '(x*) ≈ ∑ ci ·f (xi ) = f '(x*) +
·∑ ( ci ·θni +1·f (n+1(x * +δi ·h) )
(n + 1)! i=0
i= 0
n
Si ci = Li’(x*) y se denota por hi = θi·h = xi – x*:
n
hn
f '(x*) ≈ ∑ ci ·f (xi ) = f '(x*) +
·∑ ( ci ·θni ·hi ·f (n+1(x * +δi ·h) )
(n + 1) ! i=0
i= 0
n
n
αi
ξi
n
h
f '(x*) ≈ ∑ ci ·f (xi ) = f '(x *) +
·∑ ( αi ·f (n+1(ξi ) )
(n + 1)! i=0
i= 0
n
n
hn
R f ( x *) =
·∑ ( αi ·f (n+1 (ξi ) )
(n + 1)! i= 0
(
n
hn
R f ( x *) ≤
·∑ αi · f (n+1(ξi )
(n + 1)! i= 0
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)
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Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
(
n
hn
R f ( x *) ≤
·∑ αi · f (n+1(ξi )
(n + 1)! i= 0
)
Lema
Si g∈C((a,b)), dados (n+1) coeficientes no negativos y no todos nulos
{γ0,γ1, ...,γn} y (n+1) puntos {ξ0,ξ1, ..., ξn} de (a,b), existe algún punto ξ∈(a, b)
tal que: n
n
γ i ·g(ξi ) = γ ·g(ξ)
γi
donde: γ =
∑
∑
i= 0
i= 0
(Ver demostración en los apuntes)
Luego:
n
R f ( x *) ≤
∑( α )
i= 0
i
(n + 1)!
·hn · f (n+1(ξi ) = β·hn · f (n+1 (ξi )
β
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Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
(Demostración de las propiedades usadas en la presentación nº 13)
Propiedad 1
Si ci = Li’(x*):
n
∑c
i= 0
i
=0
Demostración:
Interpolando la función f(x) = 1 (polinomio de grado 0 que se interpolará sin error sea cual sea el valor de n) se tiene
1 = L0(x) + L1(x) + …….+Ln(x)
1=
n
∑ L (x)
i= 0
i
Derivando la identidad anterior y particularizándola en x = x* se
tiene demostrada esta propiedad
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Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
(Demostración de las propiedades usadas en la presentación nº 13)
Propiedad 2
n
Si ci = Li’(x*): ∑ ci ·θi = 1
h
i= 0
Demostración:
Interpolando la función f(x) = x (polinomio de grado 1 que se interpolará sin error sea cual sea el valor de n ≥1) se tiene
x =
x = L0(x)·x0 + L1(x)·x1 + …….+Ln(x)·xn
n
∑ L (x)·x
i
i= 0
i
Derivando la identidad anterior en x* resultará que:
1=
n
∑ c·x
i= 0
i
i
=
n
∑ c·(x * +θ h) =
i= 0
i
i
n
Se anula por Propiedad 1
n
x *·∑ ci + h·∑ c·
i θi
i= 0
i= 0
de donde se tiene la igualdad que se quería demostrar
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Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
(Demostración de las propiedades usadas en la presentación nº 13)
Propiedad 3
Si ci = Li’(x*) y j < n:
n
∑ c ·θ
Demostración:
i= 0
i
j
i
=0
Interpolando la función f(x) = (x – x*)j (polinomio de grado j que se
interpolará sin error con los (n+1) puntos de soporte) se tiene
(x-x*)j = L0(x)·(x0–x*)j + L1(x)·(x1–x*)j + …….+Ln(x)·(xn–x*)j
( x − x *)
j
n
= h j ∑ Li (x)·θij
i= 0
Derivando la identidad anterior y particularizando en x* resultará que:
n
j
0 = h j ∑ c·
θ
i
i
i= 0
de donde se tiene la igualdad que se quería demostrar
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EJEMPLO
EJEMPLO
H
Si f∈C2((a, b)):
x*
x0
h0
x1
h1
f ( x *) ≈
f (x1 ) − f (x 0 ) f (x1 ) − f (x 0 )
=
x1 − x 0
H
Sean θ0 y θ1 tales que:
x0 – x* = θ0·h
h= sup(h0, h1)
x1 – x* = θ1·h
Se verifica que: H = x1 – x0 = (x1 - x*) - (x0 - x*) = θ1·h – θ0·h = (θ1 – θ0)·h
2
2
θ
·h
y: 1 · f (x1 ) = f (x * +θ1·h) = f (x*) + θ1·h·f '(x*) + 1 ·f '(x * +δ1·h)
2
H
2
−1
θ0 ·h2
· f (x 0 ) = f (x * +θ0 ·h) = f (x*) + θ0 ·h·f '(x*) +
·f '(x * +δ 0 ·h)
H
2
f (x1 ) − f (x 0 )
f(x*) ≈
=
H
( θ1 − θ0 )·h·f '(x*)
H
h2
+
·( θ12 ·f "(x * +δ1·h) − θ02 ·f "(x * +δ 0 ·h) )
2·H
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EJEMPLO
EJEMPLO (cont.)
(cont.)
1
f(x*) ≈
( θ1 − θ0 )·h·f '(x*)
H
H = γ·h
x0
f(x*) ≈ f '(x*) +
h
·( θ12 ·f "( x * +δ1·h) − θ02 ·f "(x * +δ 0 ·h) )
2·γ
x1
x*
h0
h2
+
·( θ12 ·f "(x * +δ1·h) − θ02 ·f "(x * +δ 0 ·h) )
2·H
h1
Error de orden h
h= sup(h0, h1)
Casos particulares:
x* = x0
h = H; γ = 1; θ0 = 0; θ1 = 1;
x* = x1
h = H; γ = 1; θ0 = -1; θ1 = 0;
h
R f ( x*) = ·f "(ζ 0 )
2
h
R f ( x *) = − ·f "(ζ 1 )
2
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0(h)
0(h)
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EJEMPLO
EJEMPLO (cont.)
(cont.)
Casos particulares (cont.):
x* = (x0+x1)/2
H = 2·h; γ = 2; θ0 = - ½; θ1 = ½ ;
R f ( x*) =
h⎛1
1
⎞
·⎜ f "(ζ 1 ) − f "(ζ 0 ) ⎟
4⎝4
4
⎠
Pero ….
En este caso, si f ∈C3((x0, x1)):
1
·
H
1
− ·
H
h2
h3
f (x1 ) = f (x * +h) = f (x*) + h·f '(x*) + ·f "(x *) + ·f '''(ξ1 )
2
6
2
h
h3
f (x 0 ) = f ( x * −h) = f (x*) − h·f '(x*) + ·f "(x *) − ·f '''(ξ 0 )
2
6
2
h
f ( x * +h) − f (x * −h)
= f '(x *) + ·( f '''(ξ1 ) + f '''(ξ 0 ) )
6
2·h
h2
h2
R f ( x*) = − ·( 2·f "'(ξ) ) = − ·f "'(ξ)
6
3
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio:
orden
orden de
de exactitud.
exactitud.
Definición
Se dice que la fórmula de derivación numérica:
n
f '(x*) ≈ f '* = ∑ ci .f (xi )
i= 0
es exacta para la función f(x) en el punto x* cuando Rf(x*) =0
Definición
Se dice que la fórmula de derivación numérica:
n
f '(x*) ≈ f '* = ∑ ci .f (xi )
i= 0
es exacta de orden k cuando es exacta para cualquier
polinomio de grado menor o igual que k y en cualquier
punto x* de la recta real.
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio:
orden
orden de
de exactitud.
exactitud.
EJEMPLO:
La fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio
construida sobre el soporte {x0 , x1}:
f ( x *) ≈
f (x1 ) − f ( x 0 )
x1 − x 0
tiene un error de truncatura verificando: |Rf(x*)| < M·H
donde:
M = sup ( f "(x) )
x 0 < x < x1
Si f(x) es un polinomio de grado < 1, se verifica que M = 0.
En consecuencia, la fórmula anterior es exacta de orden 1.
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio:
orden
orden de
de exactitud.
exactitud.
Teorema
Las condición necesaria y suficiente para que una fórmula
de derivación numérica construida sobre un soporte de
(n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} sea exacta de orden n es que
sea una fórmula de tipo interpolatorio.
Demostración:
n
a) Demostremos que si f '(x*) ≈ ∑ ci .f (xi ) es de tipo interpolatorio
i= 0
entonces la fórmula es exacta de orden n.
Si f(x) es cualquier polinomio de grado < n y denotamos por pn(x) a su
polinomio interpolador de Lagrange sobre el soporte {x0, x1, ..., xn} se
verifica para cualquier punto x*:
n
f(x) = pn(x) = ∑ f (xi )·Li (x)
i= 0
n
n
i= 0
i= 0
f '(x*) = ∑ f (xi )·Li '(x*) = ∑ ci .f (xi )
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio:
orden
orden de
de exactitud.
exactitud.
b) Demostremos que si f '(x*) ≈ ∑ c .f (x ) es exacta de orden n, entonces
n
i= 0
i
i
es de tipo interpolatorio
Si es exacta de orden n, para cualquier polinomio de grado < n y en
cualquier x* es exacta.
En particular lo será para cada uno de los polinomios de base de
Lagrange Lj(x) (j = 0, 1, ....n)
n
L j '(x*) = ∑ ci .L j (xi )
(j = 0, 1, ..., n)
i= 0
Recordando que Lj(xi) = δi,j se tiene que:
n
L j '(x*) = ∑ ci .δi, j = c j
(j = 0, 1, ..., n)
i= 0
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c.q.d.
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio: Propiedad
Propiedad
Propiedad
En toda fórmula de derivación numérica construida sobre
el soporte de (n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} y que sea de tipo
n
interpolatorio
f '(x*) ≈ ∑ ci .f (xi )
se satisface que:
i= 0
n
∑c
i= 0
Demostración:
n
∑ L (x) = 1
∀x :
i= 0
n
i
∑ L '(x*) = 0
i= 0
i
i
=0
⎛ n
⎞
L
(x)
⎜ ∑ i ⎟' = 0
⎝ i= 0
⎠
n
∑c
i= 0
i
n
∑ L '(x) = 0
i= 0
i
=0
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c.q.d.
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio: Ejercicios
Ejercicios
Ejercicios propuestos:
1º) Considérese la fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio:
n
f '(x*) ≈ ∑ ci .f (xi )
i= 0
y sea m un entero tal que 0 < m < n.
Demuéstrese que entonces:
n
∑ c ·x
i= 0
i
m
i
= m·( x
)
* m −1
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Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio:
interpolatorio: Ejercicios
Ejercicios
2º) Demuéstrese que para toda función f∈C1((x0,x1)) siempre existe algún
punto x* ∈(x0 , x1) para el que es exacta la fórmula de derivación
numérica de tipo interpolatorio construida sobre el soporte {x0, x1}:
f '(x*) ≈ L0 '(x*)·f (x 0 ) + L1 '(x*)·f(x1 )
Obsérvese que según lo anterior, para cualquier valor no negativo
del entero k existe algún punto x* para el que la fórmula de derivación
numérica de tipo interpolatorio construida sobre el soporte {x0, x1}
proporciona el valor exacto de la derivada de cualquier polinomio de
grado k en x*.
¿Quiere ello decir que la fórmula de derivación considerada es de
orden k para cualquier valor no negativo del entero k?
¿ Se contradice el teorema sobre el orden de exactitud de las fórmulas
de derivación numérica de tipo interpolatorio?
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fórmulas usuales
usuales
a) Soporte con 1 punto {x0}
f (x) ≈ p0 (x ) = f (x 0 )
f '(x*) ≈ p0 '(x *) = 0
b) Soporte con 2 puntos {x0, x1}
f (x) ≈ p1 (x) = f (x 0 ) + f [ x 0 ,x1 ]·( x − x 0 )
f '(x *) ≈ p0 '(x *) = f [ x 0 , x1 ]
H
x0
=
f (x1 ) − f(x 0 )
H
x1
f (x 0 + H) − f (x 0 )
(Fórmula en adelanto o backwind)
x* = x0 f '(x 0 ) ≈
H
f (x1 ) − f(x1 − H)
(Fórmula en retroceso o upwind)
x* = x1 f '(x1 ) ≈
H
f ( x * + H 2) − f(x * − H 2)
(Fórmula centrada)
x* = (x0+x1)/2 f '(x *) ≈
H
x*
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usuales
c) Soporte con 3 puntos {x0, x1 , x2}
f (x) ≈ p1 (x) = f (x 0 ) + f [ x 0 ,x1 ]·( x − x 0 ) + f [ x 0 ,x1,x 2 ]·( x − x 0 )·( x − x1 )
f '(x*) ≈ p0 '(x*) = f [ x 0 ,x1 ] + f [ x 0 ,x1 ,x 2 ]·( ( x * − x 0 ) + ( x * − x1 ) )
f (x 2 ) − f (x1 ) f (x1 ) − f (x 0 )
−
f (x1 ) − f (x 0 )
x 2 − x1
x1 − x 0
·( ( x * − x 0 ) + ( x * − x1 ) )
=
+
x1 − x 0
x2 − x0
Primer caso particular: soporte equidistante y x* = x0
x*
x0
x1
h
x2
h
f '(x *) ≈
− f (x * +2·h) + 4·f (x * +h) − 3·f (x *)
2·h
(Fórmula en adelanto con 3 puntos)
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usuales
Segundo caso particular: soporte equidistante y x* = x1
x*
x0
x1
x2
h
h
f ( x * +h) − f (x * −h)
f '(x *) ≈
2·h
(Fórmula centrada con 3 puntos)
Tercer caso particular: soporte equidistante y x* = x2
x*
x0
x1
h
x2
f '(x *) ≈
3·f (x*) − 4·f (x * −h) + 3·f (x * −2·h)
2·h
h
(Fórmula en retroceso con 3 puntos)
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