Ć Historia de las matemáticas I, curso 2014-2015 .– p.1/11 Sobre este documento • Sólo pretenden ser un resumen de una larga historia . . . • Por ello, he tenido que hacer una selección de las aportaciones, a mi juicio, más relevantes • Además de la bibliografía indicada en la guía docente de esta asignatura se han consultado otras referencias, citadas a lo largo del documento • Para comentarios o sugerencias para mejorar este resumen escríbeme a [email protected] .– p.2/11 Para empezar ... ¡un vídeo!: Eduardo Saénz de Cabezón (ganador del FameLab España 2013): https://www.youtube.com/watch?v=gHJNMiSFuAM ¿Debatimos? .– p.3/11 ¿Qué curva hace mínima o máxima una cierta cantidad? .– p.4/11 ¡Se buscan funciones, no números! .– p.4/11 El origen del cálculo de variaciones es también el origen del análisis funcional .– p.4/11 Antes del cálculo de variaciones • El cálculo de variaciones surge a finales del siglo XVII y durante todo el siglo XVIII • Aparece dentro del análisis matemático • Debe su nombre variaciones a Lagrange que fue el primero en usar este término • Posteriormente Euler, en honor a Lagrange, empleó el nombre de Cálculo de Variaciones .– p.5/11 Antes del cálculo de variaciones ¿Y antes se habían planteado problemas de maximización o minimización? .– p.5/11 Antes del cálculo de variaciones El problema de la reina Dido de Cartago • Huyó de Tiro • Llegó a tierras africanas • Allí le ofrecieron tierras: Tanta tierra como pudiera abarcar con la piel de un buey • Dido hace tiras con la piel del buey y con ellas describe la curva que envuelve el área máxima, empleando la línea de costa, ¿cuál es? • Sobre esa región se funda Cartago https://www.youtube.com/watch?v=qLVkBmIwKbo .– p.5/11 Antes del cálculo de variaciones Para un perímetro fijado, ¿qué figura plana encierra un área máxima? • Zenodorus aproximadamente en el año 180 a.n.e • Pappus de Alejandría aproximadamente en el año 320 d.n.e) demostraron que la figura plana que encierra mayor área es el círculo • En los Elementos de Euclides (aprox. 300 a.n.e) se demuestra que para un perímetro fijo, el rectángulo con mayor área es un cuadrado .– p.5/11 Antes del cálculo de variaciones Soluciones a problemas variacionales en la calle . . . • Las ciudades amuralladas suelen tener un perímetro circular delimitado por la muralla • Los paneles de las abejas: polígonos regulares iguales, que forman un panel sin dejar espacios vacíos • El área del tronco de un árbol suele tener una forma circular, porque le permite aprovechar más recursos • La forma de las frutas suele ser redondeada • ... .– p.5/11 La aportación de Fermat (1601-1665) Principio del tiempo mínimo Biografía: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/fermat.htm Imagen de la Wikipedia .– p.6/11 La aportación de Fermat (1601-1665) ¿Cómo cambian de dirección los rayos de luz al cambiar de medio? • W. Snell experimentalmente descubrió en 1621 la ley de refracción (que lleva su nombre): El cociente entre los senos de los ángulos de incidencia y de refracción es igual a una constante característica del medio, a la que llamamos índice de refracción • R. Descartes trató de deducir esta ley desde los presupuestos de su filosofía de la naturaleza: A mayor índice de refracción, menor ángulo forma el rayo con la normal .– p.6/11 La aportación de Fermat (1601-1665) • Fermat obtuvo la ley de refracción matemáticamente partiendo de su principio de tiempo mínimo Un rayo de luz que va de un punto a otro lo hace con una trayectoria que implique un tiempo mı́nimo • Es un principio variacional para demostrar la ley de refracción de Snell Enlaces interesantes: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/ondas/reflex_trans/snell/snell1.xhtml http://www.luventicus.org/articulos/02A033/index.html http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1988_00_00_05.pdf .– p.6/11 La aportación de Johann Bernoulli (1667-1748) El problema de la braquistócrona Biografía: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/62606/Johann-Bernoulli Imagen de la Wikipedia .– p.7/11 La aportación de Johann Bernoulli (1667-1748) • En junio de 1696 retó a la comunidad matemática a resolver antes del fin del año el siguiente problema: Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino por el cual un punto material soltado en el punto A llega al punto B en un tiempo mı́nimo (si no hay resistencia) • Es el problema de la braquistócrona (el más corto de tiempo) .– p.7/11 La aportación de Johann Bernoulli (1667-1748) El problema fue resuelto, en la fecha correcta (1697), por: • Leibniz, que le puso el nombre de taquistoptotam (de más rápido descenso) • Newton, publicó la solución de forma escueta en Philosophical Transactions • Jakob Bernoulli (hermano mayor de Johann), le puso el nombre de Oligocrona (breve tiempo) • Johann Bernoulli que puso el nombre de braquistócrona al problema • L’Hospital .– p.7/11 La aportación de Johann Bernoulli (1667-1748) • La braquistrócona es la cicloide • La cicloide era conocida desde principios del S. XVI • C. Huygens (1629-1695) demostró en 1673 que la tautócrona (mismo tiempo) es también la cicloide Enlaces interesantes: http://almargendefermat.wordpress.com/2009/02/22/la-cicloide-i-braquistocrona-y-tauto http://museodelaciencia.blogspot.com.es/2008/04/la-braquistcrona.html http://www.youtube.com/watch?v=1cpoY_toqSA http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1988_00_00_05.pdf http://webpages.ull.es/users/revmat/geometria/cicloides/ciclon.htm .– p.7/11 La aportación de Jakob Bernoulli (1655-1705) Problemas isoperimétricos Biografía: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/62599/Jakob-Bernoulli Imagen de la Wikipedia .– p.8/11 La aportación de Jakob Bernoulli (1655-1705) En el artículo que respondió al problema de su hermano Johann en 1697 le propuso problemas del siguiente tipo: Hallar la curva que pase por dos puntos dados que maximice una integral dada • Jakob le ofreció a su hermano incluso un premio si lo resolvía en tres meses • Fue un “pique” entre los dos hermanos que sirvió para iniciar el Cálculo de Variaciones • Johann subestimó la dificultad de estos problemas .– p.8/11 La aportación de Jakob Bernoulli (1655-1705) • Jakob y Johann encontraron la solución de los problemas planteados por Jakob • La solución propuesta por Jakob es un paso importantísimo para el Cálculo de Variaciones. Es un paso hacia la búsqueda de un método sistemático para resolver este tipo de poblemas • La solución propuesta por Johann mejora el método empleado por su hermano Enlace interesante para ver los detalles de las demostraciones: http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1988_00_00_05.pdf .– p.8/11 La aportación de Euler (1707-1783) El método general Biografía: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/28-2-B-E.html Imagen de la Wikipedia .– p.9/11 La aportación de Euler (1707-1783) Leonhard Euler es considerado el mejor matemático de su tiempo por la obra Método para hallar líneas curvas que gocen de una propiedad de máximo o de mínimo o solución del problema isoperimétrico tomado en sentido latísimo • Euler propone un método general • Traduce el problema variacional en la búsqueda de solución de una ecuación diferencial (ecuación de Euler) .– p.9/11 La aportación de Euler (1707-1783) Esquema del método de Euler Se busca: y(x) (función) tal que minimiza o maximiza una integral del tipo Z b F(x, y(x), y′ (x)) dx con F dada a Traduce este problema en este otro Se busca: y(x) (función) tal que resuelve la ecuación diferencial F y − Fxy′ − y′ F yy′ − y′′ F y′ y′ = 0 (en nuestra notación actual) .– p.9/11 La aportación de Euler (1707-1783) Pero el método de Euler tenı́a sus limitaciones . . . • No es apropiado si los integrandos son complicados • El método no resulta sencillo porque requiere consideraciones geométricas complejas • El propio Euler en su obra expresa la complejidad de su método • En 1755, un joven italiano de 19 años envió una carta a Euler mostrándole la solución a su problema . . . .– p.9/11 La aportación de Lagrange (1736-1813) Las variaciones del joven de 19 años que escribió a Euler Biografía: http://www.mcnbiografias.com/app-bio/do/show?key=lagrange-joseph-louis-condeImagen de la Wikipedia .– p.10/11 La aportación de Lagrange (1736-1813) Euler reconocía en este tema merece observarse ante todo que el nuevo método meramente analítico procura soluciones mucho más completas y perfectas que el método anterior tomado de la Geometría • Lagrange introduce el concepto de variación • En lugar de variar las ordenadas de la curva, como hacía Euler introduce una nueva curva entre (a, y(a)) y (b, y(b)) y(x) + δy(x) • Emplea la notación δy(x) para indicar la variación o cambio de y en todo el intervalo [a, b] .– p.10/11 La aportación de Lagrange (1736-1813) Lagrange resume las ventajas de su método en su primer artículo (tras la carta enviada a Euler) • La simplicidad y generalidad del cálculo, como se ve al comparar este método con el que el Sr. Euler ha dado en su excelente obra titulada Methodus inveniendi . . . • El hecho de que el procedimiento lleva a las condiciones precisas, cuyas soluciones, sirven para resolver el problema de que se trate Las demostraciones de Lagrange son mucho más simples y elegantes, perfectamente analíticas sin necesidad de intuiciones geométricas .– p.10/11 La aportación de Lagrange (1736-1813) El método de los multiplicadores de Lagrange para problemas de optimación sujetos a restricciones de igualdad . . . .– p.10/11 Referencias consultadas Bibliografía recomendada para esta asignatura en su guía docente http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1988_00_00_05.pdf http://museodelaciencia.blogspot.com.es/2008/04/la-braquistcrona.html http://www.slideshare.net/apotecarius/la-braquistcrona http://www.miscelaneamatematica.org/Misc45/Luz_L.pdf http://es.scribd.com/doc/2282702/Teoria-Calculo-Variacional http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&task=view&id=3325& .– p.11/11