matemáticas básicas - Universidad Nacional de Colombia
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MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 1/1 Parte I Introducción a la geometrı́a elemental Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 2/1 Nociones Básicas Las nociones de Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 3/1 Nociones Básicas Las nociones de punto, punto Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 3/1 Nociones Básicas Las nociones de punto, lı́nea punto lı́nea Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 3/1 Nociones Básicas Las nociones de punto, lı́nea y plano no serán definidas, pero . . . punto lı́nea Universidad Nacional de Colombia plano Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 3/1 Nociones básicas La presentación tradicional de la geometrı́a euclidiana se hace en un formato axiomático. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 4/1 Nociones básicas La presentación tradicional de la geometrı́a euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 4/1 Cinco postulados de Euclides 1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 5/1 Cinco postulados de Euclides 1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 5/1 Cinco postulados de Euclides 1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 5/1 Cinco postulados de Euclides 1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4 Todos los ángulos rectos son iguales. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 5/1 Cinco postulados de Euclides 1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4 Todos los ángulos rectos son iguales. 5 Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 5/1 Nociones Básicas Una Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 6/1 Nociones Básicas Una lı́nea, B A lı́nea AB Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 6/1 Nociones Básicas Una lı́nea, un segmento B A A lı́nea AB Universidad Nacional de Colombia B segmento AB Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 6/1 Nociones Básicas Una lı́nea, un segmento y un rayo . . . B A A lı́nea AB Universidad Nacional de Colombia B segmento AB Matemáticas Básicas A B rayo AB Geometrı́a elemental 6/1 Ángulos Definición Un ángulo es la unión de dos rayos que tienen un punto extremo común. Cada uno de los rayos se llama lado del ángulo, y el punto común se conoce como vértice. A O vértice Universidad Nacional de Colombia B Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 7/1 Ángulos Definición Un ángulo es la unión de dos rayos que tienen un punto extremo común. Cada uno de los rayos se llama lado del ángulo, y el punto común se conoce como vértice. A O vértice B Para medir ángulos se emplea una herramienta llamada transportador. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 7/1 Ángulos Podemos clasificar los ángulo según su medida: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 8/1 Ángulos Podemos clasificar los ángulo según su medida: agudo si mide menos de 90◦ , ángulo agudo Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 8/1 Ángulos Podemos clasificar los ángulo según su medida: agudo si mide menos de 90◦ , recto si mide 90◦ , ángulo agudo Universidad Nacional de Colombia ángulo recto Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 8/1 Ángulos Podemos clasificar los ángulo según su medida: agudo si mide menos de 90◦ , recto si mide 90◦ , obtuso si mide más de 90◦ , pero menos de 180◦ ángulo agudo ángulo recto ángulo obtuso Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 8/1 Ángulos Podemos clasificar los ángulo según su medida: agudo si mide menos de 90◦ , recto si mide 90◦ , obtuso si mide más de 90◦ , pero menos de 180◦ y llano si mide 180◦ . ángulo agudo ángulo recto ángulo obtuso ángulo llano Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 8/1 Ángulos Encuentre las medidas de los ángulos de la siguiente figura, sabiendo que ∠ABC es un ángulo recto. (2x + 20)◦ A (12x)◦ B Universidad Nacional de Colombia C Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 9/1 Ángulos Definición Se dice que dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90◦ . Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 10 / 1 Ángulos Definición Se dice que dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90◦ . Se dice que dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180◦ . Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 10 / 1 Ángulos Ejercicio El suplemento de un ángulo mide 10◦ más que el triple de su complemento. Calcule la medida del ángulo. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 11 / 1 Rectas paralelas Dos rectas distintas que están en el mismo plano son paralelas si no se intersecan. Una recta que interseca dos rectas paralelas se denomina transversal. lı́neas paralelas Universidad Nacional de Colombia lı́neas que se intersecan Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 12 / 1 Ángulos entre paralelas Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos, como se muestra en la figura. 1 3 6 5 7 Universidad Nacional de Colombia 2 4 8 Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 13 / 1 Ángulos entre paralelas 1 3 5 7 2 4 6 8 ∠5 y ∠4 se llaman ángulos alternos internos y son congruentes, es decir, tienen la misma medida; esto se nota ∠5 ∼ = ∠4. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 14 / 1 Ángulos entre paralelas 1 3 5 7 2 4 6 8 ∠5 y ∠4 se llaman ángulos alternos internos y son congruentes, es decir, tienen la misma medida; esto se nota ∠5 ∼ = ∠4. ∠1 y ∠8 se llaman ángulos alternos externos y ∠1 ∼ = ∠8. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 14 / 1 Ángulos entre paralelas 1 3 5 7 2 4 6 8 ∠5 y ∠4 se llaman ángulos alternos internos y son congruentes, es decir, tienen la misma medida; esto se nota ∠5 ∼ = ∠4. ∠1 y ∠8 se llaman ángulos alternos externos y ∠1 ∼ = ∠8. ∠6 y ∠2 se llaman ángulos correspondientes y ∠6 ∼ = ∠2. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 14 / 1 Ángulos entre paralelas 1 3 5 7 2 4 6 8 ∠5 y ∠4 se llaman ángulos alternos internos y son congruentes, es decir, tienen la misma medida; esto se nota ∠5 ∼ = ∠4. ∠1 y ∠8 se llaman ángulos alternos externos y ∠1 ∼ = ∠8. ∠6 y ∠2 se llaman ángulos correspondientes y ∠6 ∼ = ∠2. ∼ ∠6. ∠7 y ∠6 se llaman opuestos por el vértice y ∠7 = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 14 / 1 Ángulos entre paralelas Ejercicio Encuentre otros pares de ángulos alternos internos alternos externos correspondientes opuestos por el vértice Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 15 / 1 Ángulos entre paralelas Ejercicio En la figura m k n (m es paralela a n). Encuentre el valor de los ángulos que se indican. (3x + 2)◦ m (5x − 40)◦ Universidad Nacional de Colombia n Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 16 / 1 Triángulos Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 17 / 1 Triángulos Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. Podemos clasificar los triángulos por la medida de sus lados: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 17 / 1 Triángulos Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. Podemos clasificar los triángulos por la medida de sus lados: equilátero es el que tiene todos sus lados congruentes, Equilátero Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 17 / 1 Triángulos Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. Podemos clasificar los triángulos por la medida de sus lados: equilátero es el que tiene todos sus lados congruentes, isósceles tiene dos lados congruentes y Equilátero Universidad Nacional de Colombia Isósceles Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 17 / 1 Triángulos Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. Podemos clasificar los triángulos por la medida de sus lados: equilátero es el que tiene todos sus lados congruentes, isósceles tiene dos lados congruentes y escaleno no tiene lados congruentes. Equilátero Universidad Nacional de Colombia Isósceles Matemáticas Básicas Escaleno Geometrı́a elemental 17 / 1 Triángulos También se pueden clasificar por la medida de sus ángulos: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 18 / 1 Triángulos También se pueden clasificar por la medida de sus ángulos: acutángulo tiene todos sus lados agudos, Acutángulo Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 18 / 1 Triángulos También se pueden clasificar por la medida de sus ángulos: acutángulo tiene todos sus lados agudos, rectángulo tiene un ángulo de 90◦ y Acutángulo Universidad Nacional de Colombia Rectángulo Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 18 / 1 Triángulos También se pueden clasificar por la medida de sus ángulos: acutángulo tiene todos sus lados agudos, rectángulo tiene un ángulo de 90◦ y obtusángulo tiene un ángulo obtuso. Acutángulo Universidad Nacional de Colombia Rectángulo Matemáticas Básicas Obtusángulo Geometrı́a elemental 18 / 1 Triángulos La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180◦ . C x z x y y A Universidad Nacional de Colombia B Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 19 / 1 Triángulos Ejercicio Calcule la medida de cada ángulo del triángulo de la figura. (x + 20)◦ x◦ Universidad Nacional de Colombia (210 − 3x)◦ Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 20 / 1 Triángulos Definición En el triángulo que se aprecia en la figura, los ángulos 1, 2 y 3 se llaman ángulos interiores, mientras que los señalados con los números 4, 5 y 6 se llaman ángulos exteriores del triángulo. 6 1 2 3 5 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 21 / 1 Triángulos La medida de un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores opuestos. 6 1 2 3 5 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 22 / 1 Triángulos Ejercicio Calcule las medidas de los ángulos interiores ∠A,∠B y ∠C del triángulo de la figura, y la medida del ángulo exterior ∠BCD. B (x + 20)◦ (3x − 40)◦ x◦ A Universidad Nacional de Colombia C Matemáticas Básicas D Geometrı́a elemental 23 / 1 Circunferencia Definición Una circunferencia es un conjunto de puntos en un plano, cada uno de los cuales está a la misma distancia de un punto fijo. O Universidad Nacional de Colombia r Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 24 / 1 Circunferencia Teorema Cualquier ángulo inscrito en un semicı́rculo debe ser recto. • Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 25 / 1 Circunferencia Teorema Cualquier ángulo inscrito en un semicı́rculo debe ser recto. Demostración. α β α Universidad Nacional de Colombia • β Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 25 / 1 Circunferencia Ejercicio Con el uso de los puntos, segmentos y lı́neas de la figura, haga una lista de: centro, radios, diámetros, cuerdas, secantes, tangentes. B A • O C D E Universidad Nacional de Colombia • Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 26 / 1 Polı́gonos Definición Un polı́gono es una curva simple cerrada constituida sólo por segmentos de recta. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 27 / 1 Polı́gonos Definición Un polı́gono es una curva simple cerrada constituida sólo por segmentos de recta. Los segmentos se llaman lados y los puntos en los que se tocan se llaman vértices. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 27 / 1 Polı́gonos Definición Un polı́gono es una curva simple cerrada constituida sólo por segmentos de recta. Los segmentos se llaman lados y los puntos en los que se tocan se llaman vértices. Los polı́gonos con todos sus ángulos y lados congruentes se llaman polı́gonos regulares. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 27 / 1 Polı́gonos Clasificación de los polı́gonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados 3 Universidad Nacional de Colombia Nombre Triángulo Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 28 / 1 Polı́gonos Clasificación de los polı́gonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados 3 4 Universidad Nacional de Colombia Nombre Triángulo Cuadrilátero Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 28 / 1 Polı́gonos Clasificación de los polı́gonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados 3 4 5 Universidad Nacional de Colombia Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 28 / 1 Polı́gonos Clasificación de los polı́gonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados 3 4 5 6 Universidad Nacional de Colombia Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 28 / 1 Polı́gonos Clasificación de los polı́gonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados 3 4 5 6 7 Universidad Nacional de Colombia Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 28 / 1 Polı́gonos Clasificación de los polı́gonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados 3 4 5 6 7 8 Universidad Nacional de Colombia Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 28 / 1 Polı́gonos Clasificación de los polı́gonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados 3 4 5 6 7 8 9 Universidad Nacional de Colombia Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 28 / 1 Polı́gonos Clasificación de los polı́gonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 Universidad Nacional de Colombia Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 28 / 1 Cuadriláteros Trapecio Es un cuadrilátero con un par de lados paralelos Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 29 / 1 Cuadriláteros Paralelogramo Es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 30 / 1 Cuadriláteros Rectángulo Es un paralelogramo con un ángulo recto, por lo tanto cuatro ángulos rectos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 31 / 1 Cuadriláteros Cuadrado Es un rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 32 / 1 Cuadriláteros Rombo Es un paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 33 / 1 Perı́metro Definición El perı́metro de un polı́gono es la suma de las medidas de sus lados. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 34 / 1 Perı́metro Ejercicio Un terreno tiene forma de rectángulo. Si su largo es 50 pies y su ancho es 26 pies, ¿qué cantidad de cerca se necesita para encerrar por completo el lote? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 35 / 1 Perı́metro Ejercicio La longitud de una etiqueta de forma rectangular es 1 centı́metro más que el doble del ancho. El perı́metro es de 110 centı́metros. Calcule el largo y el ancho. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 36 / 1 Área Definición El área de una figura plana es la medida de la superficie cubierta por la figura. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 37 / 1 Área Área de un rectángulo El área de un rectángulo de largo b y ancho h está dada por la fórmula b A = bh Universidad Nacional de Colombia h Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 38 / 1 Cuadriláteros Área de un cuadrado El área A de un cuadrado cuyo lado tiene longitud a es A = a2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas a a Geometrı́a elemental 39 / 1 Cuadriláteros Área de un paralelogramo El área de un paralelogramo con altura h y base b es A = bh Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas h b Geometrı́a elemental 40 / 1 Área Área de un triángulo El área A de un triángulo con altura h y base b es bh A= 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas h b Geometrı́a elemental 41 / 1 Cuadriláteros Área de un trapecio b El área de un trapecio con bases paralelas B y b y altura h es h 1 A = h(B + b) 2 Universidad Nacional de Colombia B Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 42 / 1 Área 10 12 Ejercicio La siguiente figura muestra el plano del piso de un edificio, constituido por varios rectángulos. Si cada longitud está en metros, ¿cuántos metros cuadrados de recubrimiento se requerirı́an para cubrir el piso del edificio? 7 10 3 15 40 15 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 43 / 1 Área Ejercicio 6 cm Calcule el área del paralelogramo de la figura. 15 cm Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 44 / 1 Área 3 cm Ejercicio Calcule el área del trapecio de la figura. 6 cm 9 cm Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 45 / 1 Área Definición La región limitada por la circunferencia C de radio r se llama cı́rculo de radio r . La circunferencia o perı́metro de un cı́rculo de radio r está dada por la fórmula C = 2πr . d • r El área de un cı́rculo de radio r está dada por A = πr 2 . Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 46 / 1 Área Ejercicio 1 Un cı́rculo tiene un diámetro de 12.6 centı́metros. Calcule su circunferencia. 2 El radio de un cı́rculo es de 1.7 metros. Calcule su circunferencia. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 47 / 1 Área Ejercicio En un negocio de entrega de pizzas a domicilio, el precio de una pizza de pepperoni de 8 pulgadas de diámetro es de $6,99, mientras que el de una de 16 pulgadas de diámetro es de $13,98. Un cliente que requiere varias pizzas para una reunión, ¿qué tipo de pizzas deberı́a comprar para tener el mejor precio? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 48 / 1 Área Ejercicio La siguiente figura tiene perı́metro P = 38. Encuentre el valor de x y el área de la figura. 2x − 3 x +1 x +1 2x − 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 49 / 1 Área Ejercicio La siguiente figura tiene área A = 30. Encuentre el valor de x. x 3 x +4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 50 / 1 Perı́metro y Área Ejercicio Encuentre el área y el perı́metro de la parte sombreada 21 pies 23 pies Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 51 / 1 Perı́metro y Área Ejercicio A partir del cı́rculo con centro O y el rectángulo ABCO obtenga el diámetro del cı́rculo, sabiendo que AC = 13 pulgadas y AD = 3 pulgadas. D A B Universidad Nacional de Colombia O C Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 52 / 1 Triángulo Rectángulo Definición En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el otro lado hipotenusa. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 53 / 1 Teorema de Pitágoras Teorema Si los dos catetos de un triángulo rectángulo tienen longitudes a y b, y la hipotenusa tiene longitud c, entonces b a2 + b 2 = c 2 . Universidad Nacional de Colombia c a Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 54 / 1 Teorema de Pitágoras b Demostración. Pensando en áreas: 2 a (a + b) = 4 ab 2 a2 + b 2 = c 2 +c c c c c b 2 b a Universidad Nacional de Colombia a Matemáticas Básicas a b Geometrı́a elemental 55 / 1 Triángulo Rectángulo Ejercicio Una terna pitagórica es una terna de números a, b, c que cumplen que a2 + b 2 = c 2 . Si se demuestra que (x, x + 1, y ) es una terna pitagórica entonces también lo es (3x + 2y + 1, 3x + 2y + 2, 4x + 3y + 2). Utilice esta idea para encontrar tres ternas pitagóricas. Comience con la terna (3, 4, 5). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 56 / 1 Triángulo Rectángulo Ejercicio La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 centı́metro más que el doble del cateto más corto, y el cateto más largo mide 9 centı́metros menos que el triple del cateto más corto. Determine las longitudes de los tres lados del triángulo. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 57 / 1 Perı́metro y Área Ejercicio Dada la figura, encuentre el perı́metro y el área. 5 4 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 58 / 1 Perı́metro y Área Ejercicio Si la proporción entre AD y DC es de 1 a 3, AC mide 16 cm y DB mide 3 cm, encuentre el área y el perı́metro de los triángulos 4ADB, 4BDC y 4ABC . B A Universidad Nacional de Colombia D C Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 59 / 1 Triángulos congruentes Definición Dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño, esto es, si tienen lados y ángulos congruentes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 60 / 1 Criterios de congruencia LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triángulo son congruentes respectivamente a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 61 / 1 Criterios de congruencia LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triángulo son congruentes respectivamente a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. LAL Lado-Ángulo-Lado. Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son congruentes respectivamente a dos lados y el ángulo comprendido de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 61 / 1 Criterios de congruencia LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triángulo son congruentes respectivamente a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. LAL Lado-Ángulo-Lado. Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son congruentes respectivamente a dos lados y el ángulo comprendido de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. ALA Ángulo-Lado-Ángulo. Si dos ángulos y el lado común de un triángulo son congruentes respectivamente con dos ángulos y el lado común de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 61 / 1 Triángulos congruentes Definición Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 62 / 1 Criterios de semejanza AA Ángulo-Ángulo. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 63 / 1 Criterios de semejanza AA Ángulo-Ángulo. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 63 / 1 Criterios de semejanza AA Ángulo-Ángulo. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. LAL Lado-Ángulo-Lado. Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo, y si los lados correspondientes que incluyen el ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 63 / 1 Semejanza de triángulos Ejercicio Encuentre el valor de x. E 3 A B 6 4 D x C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 64 / 1 Semejanza de triángulos Como el 4BDE es rectángulo y ∠D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2 . 3 A B 6 4 D x C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 65 / 1 Semejanza de triángulos Como el 4BDE es rectángulo y ∠D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2 . 3 A B Por consiguiente tenemos: BE 2 = 42 + 32 = 25 √ BE = 25 = 5 Universidad Nacional de Colombia 6 4 D x C Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 65 / 1 Semejanza de triángulos Como el 4BDE es rectángulo y ∠D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2 . 3 A B Por consiguiente tenemos: BE 2 = 42 + 32 = 25 √ BE = 25 = 5 6 4 D x C Los triángulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 65 / 1 Semejanza de triángulos Como el 4BDE es rectángulo y ∠D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2 . 3 A B Por consiguiente tenemos: BE 2 = 42 + 32 = 25 √ BE = 25 = 5 6 4 D x C Los triángulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que: ∠A ∼ = ∠D, Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 65 / 1 Semejanza de triángulos Como el 4BDE es rectángulo y ∠D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2 . 3 A B Por consiguiente tenemos: BE 2 = 42 + 32 = 25 √ BE = 25 = 5 6 4 D x C Los triángulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que: ∠A ∼ = ∠D, ambos son rectos; Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 65 / 1 Semejanza de triángulos Como el 4BDE es rectángulo y ∠D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2 . 3 A B Por consiguiente tenemos: BE 2 = 42 + 32 = 25 √ BE = 25 = 5 6 4 D x C Los triángulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que: ∠A ∼ = ∠D, ambos son rectos; ∠ABC ∼ = ∠DBE ya que son opuestos por el vértice; Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 65 / 1 Semejanza de triángulos Como el 4BDE es rectángulo y ∠D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2 . 3 A B Por consiguiente tenemos: BE 2 = 42 + 32 = 25 √ BE = 25 = 5 6 4 D x C Los triángulos 4ABC y el 4DBE son semejantes gracias a que: ∠A ∼ = ∠D, ambos son rectos; ∠ABC ∼ = ∠DBE ya que son opuestos por el vértice; por tanto, por el criterio AA se concluye que 4ABC es semejante a 4DBE . Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 65 / 1 Semejanza de triángulos Utilizando este hecho podemos afirmar que E AC BC = DE BE 3 A B 6 4 D x C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 66 / 1 Semejanza de triángulos Utilizando este hecho podemos afirmar que E AC BC = DE BE 3 A De donde se tiene: 6 x = , 3 5 B 6 4 D x C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 66 / 1 Semejanza de triángulos Utilizando este hecho podemos afirmar que E AC BC = DE BE 3 A De donde se tiene: 6 x = , 3 5 6 4 D x C es decir, x = 10. Universidad Nacional de Colombia B Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 66 / 1 Volumen Volumen de un paralelepı́pedo El volumen de una caja de largo l, ancho a y altura h es h V = lah a l y el área de su superficie es S = 2la + 2ah + 2lh Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 67 / 1 Volumen Volumen de un cubo El volumen de un cubo de lado a es a V = a3 y su área superficial es S = 6a a a 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 68 / 1 Volumen Volumen de un cilindro El volumen de un cilindro circular recto de altura h y radio de su base r es V = πr 2 h h y el área de su superficie es S = 2πrh + 2πr 2 r Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 69 / 1 Volumen Volumen de una esfera El volumen de una esfera de radio r es 4 V = πr 3 3 y el área de su superficie es r S = 4πr 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 70 / 1 Volumen Volumen de un cono El volumen de un cono circular recto con altura h y radio de la base r es h 1 V = πr 2 h 3 y el área de su superficie es p S = πr r 2 + h2 + πr 2 Universidad Nacional de Colombia r Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 71 / 1 Volumen Volumen de una pirámide Si B representa el área de la base de una pirámide y h la altura, entonces el volumen está dado por h 1 V = Bh 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometrı́a elemental 72 / 1
