1. Diseño Basado en la Ubicación de Polos

1.
1.
Diseño Basado en la Ubicación de Polos
Diseño Basado en la Ubicación de Polos___________ 1
1.1. Introducción ____________________________________________________________________ 2
1.2. Realimentación del Estado ________________________________________________________ 2
1.2.1. Caso General __________________________________________________________________________3
1.1.1. Aspectos Prácticos _____________________________________________________________________10
1.1.2. Control de Tiempo Finito________________________________________________________________12
1.1.3. Perturbación Más General _______________________________________________________________14
1.3. Observadores __________________________________________________________________ 17
1.3.1. Observador Dinámico __________________________________________________________________20
1.3.2. Observador Sin Retardo _________________________________________________________________22
1.4. Realimentación con Observador ___________________________________________________ 24
1.4.1. Diferentes Perturbaciones _______________________________________________________________26
1.4.2. Efecto Integral ________________________________________________________________________27
1.5. Seguimiento de Referencias_______________________________________________________ 29
1.5.1. Acción Integral________________________________________________________________________30
1.6. Controlador con Dos Grados de Libertad ___________________________________________ 35
1.2. Adición del Observador__________________________________________________________ 37
1.6.1. Simplificación ________________________________________________________________________38
1.7. Diseño de Movimiento Flexible ____________________________________________________ 41
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 1
1.1. Introducción
Objetivos del control:
- atenuación de perturbaciones de carga o ruido
- seguimiento de una referencia
- imperfecciones del modelo
1.2. Realimentación del Estado
Ley de control lineal
uk = − Lxk
[1.1]
Ejemplo 1.1. Doble integrador
2


T
T
1


xk +1 = 
xk +  2  uk

0 1 
 T 
[1.2]
una ley general de control puede ser
uk = −l1 x1 − l2 x2
[1.3]
en lazo cerrado resulta
1 − l T 2
xk +1 =  1 2
 −l1T

2  xk
1 − l2T 
T − l2 T
2
[1.4]
el polinomio característico es
(
2
T
z + l1
2
2
) (
2
T
+ l2T − 2 z + l1
2
)
+ l2 T + 1 = 0
[1.5]
si se quiere tener una ecuación de diseño
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 2
z 2 + p1 z + p2 = 0
[1.6]
se iguala
l1 T
2
l1 T
2
2
+ l2T − 2 = p1
2
+ l2T + 1 = p2
[1.7]
o sea
l1 = 1
T
2
(1 + p1 + p2 )
3 + p1 + p2 )
2T (
en este caso siempre existe solución.
l2 = 1
[1.8]
1.2.1. Caso General
Sea el polinomio del sistema en lazo abierto
z n + a1 z n −1 + " + an
[1.9]
se puede encontrar la forma canónica controlable mediante
la transformación
[1.10]
x = Tx
x k +1
resultando
x + Γ u
=Φ
k
k
[1.11]
con
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 3
 − a1
 1

Φ= 0
 #

 0
− a2 " − an −1
0
1
"
"
0
0
#
0
%
"
#
1
− an 
1 
0
0 

 
0  Γ = 0
# 
# 

 
0 
0
[1.12]
El polinomio deseado en lazo cerrado es
P ( z ) = z n + p1 z n −1 + " + pn
[1.13]
Esto se puede obtener con la ley de control
= − [ p − a p − a " p − a ] x
u = − Lx
[1.14]
Para llegar al sistema de partida se hace
= − LTx
= − Lx
u = − Lx
[1.15]
1
1
2
2
n
n
la matriz T
se obtiene mediante las matrices de
controlabilidad de ambos sistemas ya que
Wc =  Γ ΦΓ " Φ n −1Γ 
[1.16]
y la relación entre ambas matrices es
Wc = TWc
T = W W −1
c
[1.17]
c
y más aún
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 4
1 − a1

0 1
0 0

Wc =  #
#
0 0

0 0
0 0
1 a1
0 1

−1
Wc =  0 0
# #

 0 0
a12 − a2
−a1
− a13 + a22 − a3
a12 − a2
1
#
0
0
− a1
#
0
0
0
" an − 2
" a n −3
" 0
%
"
#
0
0
an −1 
an − 2 

an −3 
# 

1 
"
"
− a13 + a22 − a3 "
a12 − a2
#
0
0
"
%
"
"
0
"



0 

# 
a12 − a2 

− a1 
1 
0
0
[1.18]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 5
Teorema 1. Asignación de Polos
Sea el sistema
xk +1 = Φ xk + Γuk
[1.19]
con una entrada.
Si el sistema es controlable existe una ley de control lineal
tal que el polinomio característico en lazo cerrado es P ( z ) . Esta
ley es
uk = − Lxk
[1.20]
con L
L = − [ p1 − a1
p2 − a2 " pn − an ]WcWc−1
= [0 " 0 1]W P ( Φ )
−1
c
[1.21]
siendo Wc y Wc las matrices de controlabilidad de los
x + Γ u respectivamente. y
sistemas xk +1 = Φ xk + Γuk y x k +1 = Φ
k
k
)=Φ
n+ pΦ
n −1 + " + p I = ( p − a ) Φ
n −1 + " + ( p − a ) I
P (Φ
1
n
1
1
n
n
[1.22]
la segunda igualdad se obtiene aplicando Cayley-Hamilton
Se define

ei =  0 " 0

1N
col i

0 " 0

[1.23]
resulta
= ei −1 , e n Φ
n −1 = e n −1
ei Φ
[1.24]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 6
y también, de [1.14] y[1.21]
)
L = e n P ( Φ
[1.25]
por lo tanto
= e n P (T Φ T −1 ) T = e nTP ( Φ ) = e nW W −1 P ( Φ ) [1.26]
L = LT
c c
de la ecuación [1.18] se puede ver que
e nWc−1 = e n
e nW = e n
[1.27]
L = e nWc−1 P ( Φ )
[1.28]
c
que es la ecuación [1.21] llamada fórmula de Ackermann
Nota: la matriz de transformación resulta tal que
1 a1
0 1

−1
−1
n −1
T = WcWc =  Γ ΦΓ " Φ Γ   0 0
# #

 0 0
" an − 2
" an − 3
"
%
"
0
#
0
[1.29]
an −1 
an − 2 

an − 3 
# 

1 
T −1 =  Γ ΦΓ + a1Γ " Φ n −1Γ + a1Φ n −2 Γ + " + an −1Γ  [1.30]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 7
Ejemplo 1.2. Doble integrador
T 2
Wc = [ Γ ΦΓ ] =  2
 T
 −1
T2

−1
Wc =
 1
 T 2

2
T 
3T
2

T 
−0,5 
T 
[1.31]
1,5
[1.32]
el polinomio característico en lazo abierto es
z2 − 2z + 1
[1.33]
Se desea que en lazo cerrado tenga polos según la ecuación
1 + p1 + p2 2T + p1T 
P ( Φ ) = Φ + p1Φ + p2 I = 
0
1 + p1 + p2 

2
[1.34]
la fórmula de Ackerman es
−0,5  1 + p1 + p2 2T + p1T 
T  
0
1 + p1 + p2 
L = [0 1]Wc−1 P ( Φ ) =  1 2
 T
 1 + p1 + p2
=
T2

3 + p1 − p2 

2T
[1.35]
igual resultado que antes
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 8
Ejemplo 1.3. Sistema No Controlable
0,5 1 
1
xk +1 = 
xk +   uk

 0 0,3
 0
[1.36]
1 0,5
det Wc = det 
=0

0 0 
[1.37]
la ley de control uk = −l1 x1 − l2 x2 da un sistema en lazo
cerrado con una ecuación característica
( z − 0,5 + l1 )( z − 0,3) = 0
[1.38]
El polo en 0,5 puede ser cambiado arbitrariamente pero el
otro, en 0,3 que es el incontrolable, no se puede cambiar
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 9
1.1.1. Aspectos Prácticos
Una forma de especificar el control es hacerlo, no en
función de los polos en lazo cerrado sino en función de un
polinomio continuo de lazo cerrado tal como
s 2 + 2ξω s + ω 2
[1.39]
se puede demostrar que la relación con el polinomio
discreto es
(
p1 = −2e −ξωT cos ω T 1 − ξ 2
)
[1.40]
p2 = e −2ξωT
la matriz de realimentación es
(
)
 1 − 2e −ξωT cos ω T 1 − ξ 2 + e −2ξωT
L=

T2

)
(
3 + e −ξωT cos ω T 1 − ξ 2 − e −2ξωT 


2T

[1.41]
para períodos muy pequeños se puede aproximar a
L = ω 2
2ξω 
[1.42]
Sea el doble integrador que inicialmente tiene una posición
x0 y una velocidad v0 . El valor inicial de actuación será
u0 = −l1 x0 − l2 v0
[1.43]
u0 = −ω 2 x0 − 2ξω v0
[1.44]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 10
Al aumentar ω se incrementa la acción de control. Se puede
calcular la frecuencia para la máxima actuación admisible. Se
muestra a continuación, los estados y actuación para diferentes
períodos de muestreo.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
2
4
6
8
10
El período de muestreo también influye. Una elección
correcta es utilizar el número de muestras en el tiempo de
crecimiento igual a N r 4 − 10 .
Para este caso el período de muestreo dependerá de lo que
se desee en lazo cerrado.
Una forma de solucionarlo es elegir el numero de muestras
por período del modo dominante en lazo cerrado:
N=
2π
ωT 1 − ξ
2
[1.45]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 11
1.1.2. Control de Tiempo Finito
en este caso
P ( z ) = zn
[1.46]
Se puede mostrar que la matriz de lazo cerrado cumple
Φ nc = ( Φ − ΓL ) = 0
n
[1.47]
esto implica que, a partir de cualquier valor inicial, se
pueden llevar los estados a cero en, a lo sumo n pasos.
La matriz de realimentación se obtiene
L = [0 " 0 1] Φ − n Γ Φ − n +1Γ " Φ −1Γ 
−1
[1.48]
Hay solo un parámetro de diseño: el período de muestreo.
El tiempo de establecimiento es, a lo sumo nT
El período de muestreo influye la magnitud del control.
Hay que elegirlo cuidadosamente.
No tiene equivalente continuo.
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 12
Ejemplo 1.4. Control de tiempo finito del doble integrador
 1 + p1 + p2
L=
T2

3 + p1 − p2   1
 =  T 2
2T
3 
2T 
[1.49]
La primera y segunda actuación serán
1
3
[1.50]
x
−
v0
2 0
T
2T
1
3
[1.51]
u1 = 2 x0 +
v0
T
2T
Para muestreos muy pequeños la primera y segunda
actuación son prácticamente iguales y de signo contrario.
u0 = −
6
1.6
1.4
4
1.2
2
1
0.8
0
0.6
-2
0.4
-4
0.2
-6
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
-8
0
1
2
3
4
5
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 13
1.1.3. Perturbación Más General
Se considera el sistema
dx
= Ax + Bu + v
dt
con v
[1.52]
 dw
= Aw w

 dt
 v = Cw w
[1.53]
con condiciones iniciales dadas.
Se pueden generar diferentes perturbaciones.
Normalmente Aw tiene autovalores en el eje imaginarios o
inestables.
Por ejemplo un escalón, Aw = 0
Senoide
 0 ω0 
Aw = 

ω0 0 
[1.54]
Se supone, en un principio que se puede medir w.
Se define un estado aumentado
x
z= 
 w
[1.55]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 14
dz d  x   A Cw   x   B 
=  =
+  u



A
0
w
w
dt dt   
w 
0
[1.56]
Aquí tenemos el mismo problema de ubicación de polos.
Ahora hay que ubicar los polos del sistema y los de la
perturbación.
Pero el sistema anterior no es completamente controlable ya
que la perturbación es no controlable.
La perturbación no puede ser influida por el control.
El sistema muestreado resulta:
 xk +1   Φ Φ xw   xk   Γ 
 w  =  0 Φ   w  +  0  uk
w  k
 
 k +1  
[1.57]
El control lineal es
uk = − Lxk − Lw wk
[1.58]
Este control hace que el sistema tenga el siguiente
comportamiento en lazo cerrado:
xk +1 = ( Φ − ΓL ) xk + ( Φ xw − ΓLw ) wk
wk +1 = Φ w wk
[1.59]
Se calcula la realimentación de modo que Φ − ΓL tenga los
autovalores en un lugar deseado y para que Φ xw − ΓLw sea
pequeña.
Esta matriz no siempre se puede hacer cero.
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 15
Ejemplo 1.5. Perturbación constante
En este caso Φ w = 1 y Φ xw = Γ . El sistema queda
xk +1 = ( Φ − ΓL ) xk + Γ (1 − Lw ) wk
wk +1 = wk
[1.60]
En Matlab existe el comando place para ubicar los polos.
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 16
1.3. Observadores
Problema: cómo reconstruir el estado a partir de la salida.
Se verá que el estado puede ser reconstruido conociendo las
entradas y salidas pasadas.
yk −n +1 = Cxk −n +1
yk −n +2 = CΦ xk −n+1 + C Γuk −n +1
[1.61]
#
yk = CΦ n −1 xk −n +1 + CΦ n −2 Γuk −n +1 + " + C Γuk −1
definiendo
 yk −n +1 
 uk −n +1 
y

y

Yk =  k −n +2  U k −1 =  k −n +2 
 # 
 # 
 y 
 u 
 k 
 k −1 
[1.62]
se reescribe
Yk = Wo xk −n +1 + WuU k −1
[1.63]
donde
0
 C 
 0
 CΦ 
 CΓ
0



Wo =  CΦ 2  Wu =  CΦΓ
CΓ
 # 
 #
#



CΦ n −1 
CΦ n −2 Γ CΦ n −3 Γ
"
"
"
%
"
0 
0 

0 
# 

C Γ 
[1.64]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 17
Si el sistema es observable la matriz Wo es invertible.
xk −n +1 = Wo−1Yk − Wo−1WuU k −1
[1.65]
se puede reconstruir el estado a partir de muestras
anteriores.
Para calcular el valor del estado en la muestra k se toma la
ecuación de estados y se calcula:
xk = Φ n −1 xk −n +1 + Φ n −2 Γuk −n +1 + " + Γuk −1
[1.66]
xk = Φ n −1 (Wo−1Yk − Wo−1WuU k −1 ) + Φ n −2 Γuk −n +1 + " + Γuk −1 [1.67]
definiendo
Ay = Φ n −1Wo−1
Bu = Φ
n −2
Γ Φ
n −3
Γ " Γ  − Φ W Wu
n −1
−1
o
[1.68]
resulta
xk = AyYk + BuU k −1
[1.69]
el estado es una combinación lineal de las muestras
anteriores.
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 18
Ejemplo 1.6. Doble integrador
2


T
1
T


Φ=
Γ =  2  C = [1 0]

0 1 
 T 
[1.70]
yk = x1k
T2
T2
yk = x1k −1 + Tx2 k −1 +
uk −1 = yk −1 + T ( x2 k − Tuk −1 ) +
uk −1
2
2
[1.71]
resolviendo con respecto a los estados,
x1k = yk
y − yk −1 T
x2 k = k
+ uk −1
T
2
[1.72]
el primer estado es directamente la medición de la salida
el segundo es la diferenciación de muestras de la salida más
el efecto de la actuación.
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 19
1.3.1. Observador Dinámico
La reconstrucción anterior es muy sensible a perturbaciones
ya que se calculan, como en el ejemplo, por medio de
diferencias y pueden estar contaminadas por ruido.
Otra forma es construir un sistema
xˆk +1 = Φ xˆk + Γuk
[1.73]
Si el estado inicial es conocido y las matrices son
perfectamente conocidas, este sistema funciona.
Si el estado inicial es distinto, este sistema convergerá al
verdadero si es asintóticamente estable.
Se puede introducir una mejora realimentando el error entre
la observación de la salida y su valor
xˆk +1/ k = Φ xˆk / k −1 + Γuk + K ( yk − Cxˆk / k −1 )
[1.74]
el error de estimación es
x = x − xˆ
[1.75]
x k +1/ k = Φ x k / k −1 − K ( Cxk − Cxˆk / k −1 )
= ( Φ − KC ) xk / k −1
[1.76]
esto debe converger a cero, de aquí se puede calcular K
Se calcula usando lo ya visto para asignación de polos.
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 20
Ejemplo 1.7. Observador de Tiempo Finito
1 − k1 T 
1 T   k1 
Φ o = Φ − KC = 
−   [1 0] = 


0 1   k2 
 −k2 1 
[1.77]
la ecuación característica es
z 2 − ( 2 − k1 ) z − k1 + k2T = 0
[1.78]
si se desea obtener un polinomio
z 2 + p1 z + p2 = 0
[1.79]
resulta
k1 = 2 + p1
k2 =
(1 + p1 + p2 )
[1.80]
T
si fuese de tiempo finito sería
k1 = 2
1
k2 =
T
y el observador
[1.81]
 2 
1 1
xˆk +1 = 
xˆk +   Γ ( yk − xˆ1k )

1
0 1
 T 
[1.82]
o, reemplazando el estado,
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 21
xˆ1k +1 = 2 yk − yk −1
xˆ2 k +1 = 1
T(
[1.83]
yk − yk −1 )
1.3.2. Observador Sin Retardo
el observador anterior tiene un retardo de una muestra.
Para evitar esto se puede plantear
xˆk / k = Φ xˆk −1/ k −1 + Γuk −1 + K  yk − C ( Φ xˆk −1/ k −1 + Γuk −1 ) 
= ( I − KC )( Φ xˆk −1/ k −1 + Γuk −1 ) + Kyk
[1.84]
el error de estimación será
x k / k = xk − xˆk = ( Φ − KCΦ ) x k −1/ k −1
[1.85]
Ahora el par que debe ser observable es [Φ,CΦ ] en lugar de
[Φ , C ].
Pero se puede demostrar que si [Φ,C ]es observable,
también lo es [Φ,C Φ ] , por lo que se puede encontrar K para
ubicar arbitrariamente los autovalores del observador.
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 22
Ejemplo 1.8. Observador reducido
El observador sin retardo aplicado al doble integrador
resulta
xˆk / k
1 − k1
=
 −k2
 (1 − k ) T 2
1
2
T (1 − k1 ) 

xˆk −1/ k −1 + 

k2
1 − Tk2 
1
−
T
T

2
(
)

 k1 

 uk −1 +  k  yk
 2

[1.86]
haciendo la primer fila de I − CK = 0 o sea k1 = 1, se
obtiene
xˆk / k
0

0 
 0
=
xˆk −1/ k −1 + 
k2

−
1
T
T
−
−
1
k
Tk

2
 2
2

(
)

1
 uk −1 +   yk
k 

 2

[1.87]
es decir, xˆ1k / k = yk no se necesita observarlo.
El único estado a observar es
(
xˆ2 k / k = (1 − Tk2 ) xˆ2 k −1/ k −1 + k2 ( yk − yk −1 ) + T 1 − T k2
2
)u
k −1
[1.88]
si se quiere un observador de tiempo finito se hace k2 = 1
por lo tanto,
xˆ2 k / k = 1
yk − yk −1 ) + T uk −1
(
T
2
T
[1.89]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 23
1.4. Realimentación con Observador
Ahora la ley de control es
uk = − Lxˆk
[1.90]
con
xˆk +1/ k = Φ xˆk / k −1 + Γuk + K ( yk − Cxˆk / k −1 )
[1.91]
¿Cómo se comporta en lazo cerrado?.
Para analizarlo se define
x = x − xˆ
[1.92]
en lazo cerrado, el sistema se rige por
xk +1/ k = ( Φ − ΓL ) xk + ΓLxk / k −1
[1.93]
x k +1/ k = ( Φ − KC ) xk / k −1
Se tienen 2n estados. Los autovalores serán los de Φ − ΓL y
los de Φ − KC que corresponden al control y al observador.
Se puede separa el problema en dos.
El control se puede ver como una relación entrada-salida
con una función de transferencia de la forma
H lc ( z ) = − L ( zI − Φ + ΓL + KC ) K
−1
[1.94]
Este control tiene un retardo de una muestra. Se puede
evitar si se utiliza el observador sin retardo.
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 24
Ejemplo 1.9. Control del Doble Integrador con Observador
L se calcula para obtener una respuesta en lazo cerrado con
ω = 1, ξ = 0,7 y T = 0,44
L = [0,73 1,21]
[1.95]
2.5
2
2
1
1.5
0
1
-1
0.5
-2
0
-3
-0.5
-4
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
-5
0
1
2
3
4
5
6
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 25
1.4.1. Diferentes Perturbaciones
Un sistema con perturbaciones se puede modelar como
 xk +1   Φ Φ xw   xk   Γ 
 w  =  0 Φ   w  +  0  uk
w  k
 
 k +1  
 xk 
y k = [C 0 ]  
 wk 
[1.96]
generalmente, los autovalores de Φ w están sobre la
circunferencia unidad.
la matriz de controlabilidad es
 Γ ΓΦ " ΓΦ n −1 
Wc = 

0
0
0
"


[1.97]
es no controlable debido a que la perturbación es no
controlable.
La ley de control que se debe utilizar es
uk = − Lxˆk − Lw wˆ k
[1.98]
donde
 xˆk +1   Φ Φ xw   xˆk   Γ 
K
u
=
+
+
 wˆ   0 Φ   wˆ   0  k  K  [ yk − Cxˆk ]
w  k
 
 k +1  
 w
[1.99]
la perturbación es observable pero no controlable
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 26
1.4.2. Efecto Integral
Caso perturbación constante y desconocida.
Φw = 1
[1.100]
Φ xw = Γ
si se hace
Lw = 1
[1.101]
se cancela la perturbación.
El conjunto observador, control es
uk = − Lxˆk − wˆ k
xˆk +1 = Φ xˆk + Γ ( wˆ k + uk ) + Kε k
[1.102]
wˆ k +1 = wˆ k + K wε k
ε k = yk − Cxˆk
Se está integrando en error de observación.
w
x̂
u
L
y
Proceso
-
ε
Observador
de la
Perturbación
ŵ
Observador
del Estado
la ecuación anterior se puede rescribir
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 27
uk = − Lxˆk − wˆ k
xˆk +1 = ( Φ − ΓL ) xˆk + K ( yk − Cxˆk )
[1.103]
wˆ k +1 = wˆ k + K w ( yk − Cxˆk )
el estado se observa como si no hubiera perturbación.
Si se calcula la función de transferencia,
H ( z ) = L ( zI − Φ + ΓL + KC ) K
−1
[1.104]
la relación entrada salida del regulador es
 L ( zI − Φ + ΓL + KC ) −1 K +
U (z) = −  1
−1
+
K w I − C ( zI − Φ + ΓL + KC ) K
 z − 1
(
)

Y ( z )


[1.105]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 28
1.5. Seguimiento de Referencias
Ley de control lineal
uk = − Lxˆk + Lc rk
[1.106]
xk +1 = Φ xk + Γuk
yk = Cxk
[1.107]
xˆk +1 = Φ xˆk + Γuk + K ( yk − Cxˆk )
uk = − Lxˆk + Lc rk
haciendo
x = x − xˆ
[1.108]
se obtiene
xk +1 = ( Φ + ΓL ) xk + ΓLxk + ΓLc rk
x k +1 = ( Φ − KC ) x k
[1.109]
yk = Cxk
el error de observación no depende de la referencia, es no
controlable respecto a la misma.
La relación referencia-salida
H lc ( z ) = C ( zI − Φ + ΓL ) ΓLc = Lc
−1
B(z)
Am ( z )
[1.110]
y en lazo abierto es
H ( z ) = C ( zI − Φ )
−1
B(z)
Γ=
A( z )
[1.111]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 29
se mantienen los ceros
Los autovalores para el rechazo de perturbaciones y para
seguimiento de referencias son los mismos y se varían con L.
1.5.1. Acción Integral
se agrega,
uk = − Lxˆk − vˆk + Lc rk
xˆk +1 = Φ xˆk + Γ ( vˆk + uk ) + K ( yk − Cxˆk )
[1.112]
vˆk +1 = vˆk + K w ( yk − Cxˆk )
ó
uk = − Lxˆk − vˆk + Lc rk
xˆk +1 = ( Φ − ΓL ) xˆk + ΓLc rk + K ( yk − Cxˆk )
[1.113]
vˆk +1 = vˆk + K w ( yk − Cxˆk )
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 30
1.5.2. Simulación
Doble integrador continuo
1 - Realimentación del estado sin observador. No se
compensa la perturbación
estados y actuación
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
0
20
40
60
80
100
-2
0
20
40
60
80
100
2 - Realimentación del estado sin observador. Se mide y se
compensa la perturbación
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
0
20
40
60
80
100
-2
0
20
40
60
80
100
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 31
3 - Realimentación del estado con observador. No se
compensa la perturbación
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
0
20
40
60
80
100
-2
0
20
40
60
80
100
4 - Realimentación del estado con observador. Se mide y se
compensa la perturbación
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
0
20
40
60
80
100
-2
0
20
40
60
80
100
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 32
5 - Realimentación del estado con observador. Se observa y
se compensa la perturbación
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
0
20
40
60
80
-2
100
0
20
40
60
80
100
Perturbación real y observada
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
20
40
60
80
100
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 33
6 - Realimentación del estado con observador. Se observa y
se compensa la perturbación. Se agrega una salida deseada
3
2
2.5
1.5
2
1
1.5
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
0
20
40
60
80
100
-2
0
20
40
60
80
100
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 34
1.6. Controlador con Dos Grados de Libertad
Se separa el rechazo a perturbaciones del seguimiento de
trayectorias
u ff
r
− H ff
u fb
u
− H fb
y
Proceso
H fb se calcula para rechazo de perturbaciones
H ff es insensible al diseño para rechazo de perturbaciones
Se define un modelo
xm k +1 = Φ m xm k + Γ m rk
[1.114]
y m k = Cm x m k
Una ley de control natural es
uk = u fb k + u ff k
= L ( xm k
[1.115]
− xˆk ) + u ff k
si el estado sigue al modelo no hay realimentación
r
Modelo +
Control en
Adelanto
u fb
xm
L
x̂
u ff
y
Proceso
Observador
del Estado
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 35
Cómo generar la acción en adelanto
u ff k =
Hm (q)
rk
H (q)
[1.116]
Caso SISO
B (q)
H (q) =
A( q)
u ff k
B (q)
Hm (q) = λ
Am ( q )
[1.117]
 ( a1 − a1m ) q n −1 + " + ( an − anm ) 
A( q)
=λ
rk = λ  1 +
 rk


Am ( q )
q n + a1m q n −1 + " + anm


[1.118]
Los estados del modelo en la forma canónica controlable
son
xm k +1 = Φ m xm k + Γ m rk
[1.119]
con
 −a1m

 1
Φm =  0

 #
 0
− a2m " − anm−1
0
1
#
"
"
%
0
0
#
0
"
1
− anm 
λ 

0
0 
 
0  Γm =  0 

#
# 
 
 0 
0 
[1.120]
definiendo
C ff =  a1 − a1m
a2 − a2m " an − anm 
[1.121]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 36
la ley de control resulta
u ff k = λ rk + C ff xm k
[1.122]
1.7. Adición del Observador
uk = u fb k + u ff k
u ff k = λ rk + C ff xm k
u fb k = L ( xm k − xˆk ) − Lw wˆ k
xˆk +1 = Φ xˆk + Φ xw wˆ k + Γuk + Kε k
wˆ k +1 = Φ w wˆ k + K wε k
[1.123]
ε k = yk − Cxˆk
xm k +1 = Φ m xm k + Γ m rk
u ff
r
Modelo +
Control en
Adelanto
u fb
xm
L
u
y
Proceso
− Lw
ŵ
x̂
Observador
del Estado
Se logra separar el efecto de perturbaciones de carga, ruido
de medición y seguimiento de referencias.
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 37
1.7.1. Simplificación
Se hace
Cm = C
Γ m = λΓ
[1.124]
Se define
eˆ = xm − xˆ
[1.125]
eˆk +1 = xm k +1 − xˆk +1 =
= Φ m xm k + Γ m rk − Φ xˆk − Φ xw wˆ k − Γuk − Kε k
[1.126]
= Φ eˆk − Φ xw wˆ k + ( Φ m − Φ ) xm k + λΓrk − Γuk − Kε k
el vector ( Φ m − Φ ) xm k + λΓrk tiene todos sus elementos
ceros excepto el primero que es
(a
1
− a1m ) xm1 + ( a2 − a2m ) xm 2 + " + ( an − anm ) xm n + λ rk = λ ( C ff xm + rk )
[1.127]
recordando
uk = u fb k + u ff k
= u fb k + λ ( C ff xm k + rk )
( Φ m − Φ ) xm k
[1.128]
 λ ( C ff xm k + rk ) 


0
 = Γu = Γ u − u
+ λΓrk = 
ff k
k
fb k


#


0


(
)
[1.129]
eˆk +1 = Φ eˆk − Φ xw wˆ k + Γu fb k − Kε k
[1.130]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 38
además
ε k = yk − Cxˆk
= yk − Cxˆk + Cxm k − Cxm k
[1.131]
= yk − ym k + Ceˆk
el control resulta
uk = u fb k + u ff k
u ff k = λ ( rk + C ff xm k )
u fb k = Leˆk − Lw wˆ k
eˆk +1 = Φ eˆk − Φ xw wˆ k + Γu fb k + K ( ym k − yk − Ceˆk )
[1.132]
wˆ k +1 = Φ w wˆ k + K w ( ym k − yk − Ceˆk )
xm k +1 = Φ m xm k + Γ m rk
caso perturbación constante
w = v Φ w = 1 Φ xw = Γ
[1.133]
quedando
uk = u fb k + u ff k
u ff k = λ ( rk + C ff xm k )
u fb k = Leˆk − vˆk
eˆk +1 = ( Φ − ΓL − KC ) eˆk + K ( ym k − yk )
[1.134]
vˆk +1 = vˆk + K w ( ym k − yk − Ceˆk )
xm k +1 = Φ m xm k + Γ m rk
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 39
tiene efecto integral
r
Modelo +
Control en
Adelanto
u ff
ym
Observador
del Estado
u fb
ê
u
y
Proceso
L
− v̂
−C
Kw
z −1
-1
Ejemplo 1.10.
Doble integrador ---------------------------
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 40
1.8. Diseño de Movimiento Flexible
transmisión flexible
ω1
I
Motor
M1
ϕ1
J1
ω2
M2
ϕ2 J 2
x1 = ϕ1 − ϕ 2
x2 = ω1
x3 = ω 2
ω0
[1.135]
ω0
con
ω0 = k (
J1 + J 2 )
[1.136]
J1 J 2
el proceso es
1
 0
dx
= ω0 α − 1 − β1

dt
β2
 α
y = [0 0 ω 0 ] x
1 
0
0
β1  x + γ  u + δ  v

 
 
− β 2 
 0 
 0 
[1.137]
con
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 41
α = J1
( J1 + J 2 )
β1 = d J ω
1 0
β2 = d J ω
2 0
γ = k1 J ω
1
[1.138]
0
δ = 1J ω
1 0
Valores
d
factor de
amortiguamiento
viscoso
.1
k1
constante de corriente
del motor
1
J1
momento de inercia 1
10
J2
momento de inercia 1
v
torque de perturbación
en J 1
10
ω0
p1 , p23
9
1
polos del proceso
p1 = 0
p23 = −0,05 ± 0,999 j
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 42
z1
ceros del proceso
z1 = −10
ξp
factor de
amortiguamiento
0,05
ωp
frecuencia natural
1 rad
seg
---------------fig 418-----------------------------------fig 419--------------------- Condiciones de diseño:
ω m = 0,5 ξ m = 0,7
[1.139]
- Período de Muestreo
dado que la frecuencia natural deseada es ω m = 0,5 se
puede elegir una ω N = π
T
> 10ω m resultando
T = 0,5segs
[1.140]
Se debería poner un filtro antialiasing
- Realimentación del Estado
uk = − Lxk + Lc rk
[1.141]
Polinomio deseado
(s
2
+ 2ξ mω m s + ω m
α1 = 2
2
)(s +α ω
1
m
)=0
[1.142]
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 43
se discretiza para el período elegido y se calcula Lc para
ganancia unitaria.
No se introduce integrador
------------fig 420----------------- Observador
(
se eligen los polos del observador de la forma
s 2 + 2ξ mα 0ω m s + (α 0ω m )
2
)(s +α α ω
0
1
m
)=0
α 0 = α1 = 2
[1.143]
es dos veces más rápido que el proceso.
el período de muestreo es un poco grande
---------------fig 421--------------------
Clase 04 Ubicación de Polos.doc 44