TEMA 1 - de la UVa

TEMA 1
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
Movimiento con aceleración constante
Al abordar un problema debes decidir dónde está el origen de coordenadas y cuál es la dirección positiva. El
criterio suele ser la conveniencia. A veces lo más útil es poner la partícula en el origen cuando t=0 de forma que x0=0.
Siempre es útil un diagrama de movimiento que muestre estas decisiones y algunas posiciones posteriores de la
partícula.
Recuerda que la dirección positiva del eje determina automáticamente las direcciones positivas de v y a. Si x es
positiva hacia la derecha del origen, v y a también son positivas hacia la derecha.
Primero replantea el problema con palabras y luego traduce su descripción a símbolos y ecuaciones. ¿Cuándo
llega la partícula a cierto punto (cuánto vale t)? ¿Dónde está la partícula cuando tiene cierta velocidad (o sea, cuánto
vale x cuando v tiene ese valor)?
Lista las cantidades como x, x0, v, v0, a y t. En general algunas serán conocidas y otras no. Escribe los valores de
las conocidas, buscando información implícita. Por ejemplo, “un coche está parado en un semáforo” implica v0=0.
Una vez identificadas las incógnitas trata de encontrar una ecuación que contenga sólo una de las incógnitas.
Despeja la incógnita utilizando sólo símbolos, sustituye los valores conocidos y calcula la incógnita. A veces tendrás que
resolver simultáneamente dos ecuaciones con dos incógnitas.
Examina los resultados para ver si son lógicos. ¿Están dentro del rango general de resultados esperados?
Cuando tengas que realizar gráficas recuerda tus conocimientos de matemáticas. Si la ecuación a representar
es de primer grado su representación será una línea recta y te bastan dos puntos para representarla. Sé coherente y
da valores dentro del intervalo que te pide el problema, y por comodidad, utiliza valores sencillos siempre que sea
posible, como el 0. Si la ecuación es de segundo grado, su representación gráfica es una parábola y es algo más
complicado; localiza el vértice y los cortes con los ejes, y a partir de ahí da una serie de valores para tenerla más
definida.
Movimiento del proyectil
Define siempre el sistema de coordenadas y dibuja tus ejes. Normalmente lo más fácil es colocar el origen de
coordenadas en la posición inicial del proyectil (t=0), con el eje X horizontal y el eje Y vertical y hacia arriba. Así, x0=0,
y0=0, aX=0 y aY=-g.
Lista las cantidades conocidas y desconocidas. En algunos problemas se dan las componentes (o la magnitud y
dirección) de la velocidad inicial y puedes obtener fácilmente las coordenadas y componentes de la velocidad en un
instante posterior. También pueden darte dos puntos de la trayectoria y pedirte que calcules la velocidad inicial.
Asegúrate bien de saber qué te dan y qué te piden.
Tal y como ya hemos dicho, suele ser útil plantearse el problema con palabras y luego traducirlo a símbolos. En
el punto más alto de la trayectoria vy=0. Así, la pregunta “¿cuándo alcanza el proyectil su punto más alto?” se traduce a
“¿cuánto vale t cuando vy=0?” Del mismo modo, “¿cuándo vuelve el proyectil a su altura inicial?” se traduce a “¿cuánto
vale t cuando y=y0?”
Resiste a la tentación de dividir la trayectoria en segmentos y analizarlos individualmente. No hay que volver a
comenzar, con nuevos ejes y nueva escala de tiempo cuando el proyectil llega a su altura máxima. Lo más fácil es usar
los mismos ejes y la misma escala de tiempo durante todo el problema.
Sistemas de coordenadas (cartesianas, polares e intrínsecas)
Lee detenidamente los problemas para ver qué datos te dan. Todos los problemas pueden resolverse con todos
los tipos de coordenadas. La elección de uno de ellos implica únicamente que la resolución se facilite. Normalmente
deberás utilizar coordenadas rectangulares cuando las dos direcciones perpendiculares X e Y estén claramente
separadas (por ejemplo todos los movimientos de proyectiles). Las coordenadas normal y tangencial son especialmente
útiles en movimientos circulares y curvilíneos.
En algunos problemas tendrás que relacionar varios tipos de coordenadas. Elije los ejes adecuados y vete
proyectando velocidades y aceleraciones. Ten en cuenta que los ejes no coinciden en los tres tipos de coordenadas. En
coordenadas cartesianas los ejes serán X e Y mientras que en intrínsecas serán la dirección normal y tangencial a la
trayectoria en el punto considerado. Ten mucho cuidado, una vez elegidas las coordenadas los vectores unitarios
seguirán estas direcciones. Es sencillo relacionar las coordenadas cartesianas con las intrínsecas, ya que la velocidad
tiene dirección tangencial. El cálculo por tanto de un vector unitario en la dirección tangencial será casi inmediato:
v
ut =
v
Y obviamente, el vector unitario en la dirección normal será perpendicular al tangencial.
Alguna vez lo que te interesa es encontrar una ecuación que sea una relación entre las posiciones de interés. La
derivación de esta ecuación respecto del tiempo te dará las velocidades, y la posterior derivación de la ecuación de
velocidad te dará la aceleración. Ten mucho cuidado al derivar respecto del tiempo, ya que hay parámetros que te
pueden parecer constantes y no lo son. A menudo no son sólo las posiciones las que dependen del tiempo, sino también
los ángulos. Asegúrate de aplicar la regla de la cadena en estos casos para la derivación, y recuerda que la derivada del
ángulo respecto del tiempo es la velocidad angular.
PROBLEMAS
1.- Una motocicleta parte del reposo y acelera como
se muestra en la figura. a) Determina la velocidad de la
motocicleta en t=4 s y en t=14 s; b) calcula la distancia
recorrida en los primeros 14 s; c) dibuja las gráficas v-t y x-t.
(Sol: a) v4=20 m/s; v14=12 m/s; b) 232 m)
2.- La posición de un objeto en función del tiempo está dada por la expresión x=2.1t3+t2-4.1t+3. a) ¿Cuál es la
velocidad del objeto en t=10 s? b) ¿En qué tiempo(s) el objeto está en reposo? c) ¿Cuál es la aceleración del objeto en
t=0.5 s? d) Grafique la aceleración y la velocidad en función del tiempo para el intervalo de tiempo de t=-10 s a t=10 s.
(Sol: a) v=645.9 m/s; b) t=0.66 s; t=-0.98 s; c) a=8.3 m/s2)
3.- Un balón de fútbol se patea al aire desde el suelo. Cuando el balón está a una altura de 12.5 m su velocidad
es (5.6i+4.1j) m/s. a) ¿Hasta qué altura se elevará el balón? b) ¿Qué distancia horizontal viajará el balón? c) ¿Con qué
velocidad (magnitud y dirección) tocará tierra?
(Sol: a) h=13.358 m; b) x=18.491 m; c) v=(5.6i-16.181j) m/s)
4.- El tope horizontal A, que actúa sobre la barra BO, tiene una velocidad
hacia la derecha de 7.6 cm/s y una aceleración de 10 cm/s2 en la posición para la que
θ=30o. Calcular la aceleración angular de la barra en ese instante.
(Sol: α=-0.416 rad/s2)
5.- Un hombre en un bote navega corriente arriba por el Duero y lleva una botella medio vacía de Pesquera sobre
la popa del bote. Mientras el bote pasa bajo a un puente, una ola reflejada por los pilares del puente choca contra la
embarcación y la botella cae al agua sin que el tripulante se dé cuenta. Durante 20 minutos el bote continúa aguas arriba,
mientras la botella flota aguas abajo. Al cabo de los 20 minutos, el hombre ve que la botella ha desaparecido, vuelve el
bote (se prescinde del tiempo empleado en la maniobra) y se vuelve aguas abajo con la misma velocidad que antes respecto
del agua. Coge la botella 1 km más abajo del puente. ¿Cuál es la velocidad del río?
(Sol: v=1.5 km/h)
6.- En un instante dado de una carrera de aviones, el avión
A vuela horizontalmente en línea recta y su velocidad aumenta a
razón de 8 m/s2. El avión B vuela a la misma altura que el A, y al
rodear un pilón, sigue una trayectoria circular de 300 m de radio.
Sabiendo que en el instante dado la velocidad de B decrece a razón
de 3 m/s2, hallar, para las posiciones indicadas: a) la velocidad de B
relativa a A y la de A relativa a B; b) la aceleración de B relativa a
A y la de A relativa a B.
(Sol: a) vB/A=-50i-129.90j m/s; vA/B=-25i-200j m/s; b)
aB/A=-74.45i-34.90j m/s2; aA/B=111i+54j m/s2)
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CASA Y ENTREGAR
1.- Un auto se mueve a lo largo del eje X y su velocidad vx
varía con el tiempo como se muestra en la figura. Si en t=2 s la
posición del auto es x2=2 m, ¿cuál es la posición del mismo en t=10 s?
(Sol: x=18 m)
2.- El coche A da vuelta en una curva de 134 m con una velocidad constante de 48
km/h. En el instante indicado, el coche B se mueve a 72 km/h pero disminuye su velocidad
a razón de 3 m/s2. Determinar la velocidad del coche B observado desde el A y la de A
observado desde B. La distancia que separa los dos coches en el instante representado es
30.48 m.
(Sol: vA/B=13.33j+20i m/s; vB/A=-20i-16.366j m/s)