MATEMATICA FINANCIERA

CARERRA DE CONTABILIDAD
SEPARATA DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Año 2011
El presente documento es una recopilación de información obtenida en libros de autores
prestigiosos y diversos sitios de internet. El uso de este material es estrictamente educativo y
sin fines de lucro
Edición de circulación restringida sustentada en la Legislación sobre Derechos del Autor
DECRETO LEGISLATIVO 822
“Artículo 43” Respecto de las obras ya divulgadas lícitamente, es permitida sin
autorización del autor.
La reproducción por medios reprográficos, para la enseñanza o la realización de exámenes
de instituciones educativas, siempre que no haya fines de lucro y en la medida justificada
por el objetivo perseguido, de artículos o de breves extractos de obras lícitamente
publicadas, a condición de que tal utilización se haga conforme a los usos honrados y que
la misma no sea objeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o
indirectamente fines de lucro”
Sesión 1- 2 - 3
Concepto
Está conformada por un conjunto de definiciones, fórmulas y técnicas de cálculo que permiten
analizar, plantear y resolver casos en un marco financiero. Asimismo, nos proporciona los
criterios necesarios para la evaluación y toma de decisiones de alternativas de inversión y/o
financiamiento.
Terminología Básica:
Para poder desarrollar el cálculo financiero. Es necesario conocer las siguientes terminologías,
abreviaturas y conceptos.
Stock: Se refiere a toda cantidad de dinero asociada a una fecha específica.
Puede expresarse como:
Stock inicial o Valor Actual (VA),
Stock final o Valor Futuro (VF).
Flujo: Se refiere a toda sucesión (entradas y/o salidas) de dinero que ocurren a lo largo del
tiempo. Cuando estas cantidades son iguales y se pagan o depositan periódicamente se conoce
como flujo o serie uniforme.
Interés: ( I ) Es el costo del dinero, es decir, la cantidad de dinero que se paga o cobra por el
préstamo de un capital. Depende de la tasa de interés y del período de tiempo.
Tasa de Interés: ( i ) Es el interés que se paga o cobra por cada unidad monetaria y por cada
unidad de tiempo. Se expresa en términos porcentuales (%) pero para los cálculos debe ser
convertido a forma decimal.
Valor del Dinero en el Tiempo: Se refiere a un principio básico de las finanzas por el cual se
establece que: “el dinero tiene distinto valor a través del tiempo”, es decir, cantidades iguales
de dinero, en distintos períodos de tiempo, no tienen el mismo valor.
Diagrama de Tiempo – Valor: Es una herramienta auxiliar que nos permite representar
gráficamente todos los datos de un problema financiero, para luego proceder a su solución.
2
1. INTERÉS COMPUESTO
1.1. Concepto: Es aquel interés que se capitaliza, es decir, cuando los intereses devengados se
suman al capital para generar nuevos intereses.
1.2.Capitalización: Es el proceso mediante el cual los intereses producidos por un
valor presente se adicionan a éste, al final de cada período, conformando un nuevo
capital para el siguiente período y repitiéndose el proceso hasta el final del plazo.
1.3. Período de Capitalización: Período de tiempo al final del cual se produce la suma de los
intereses al capital. Estos períodos se dan por medio de la frecuencia de capitalización,
que representan el número de veces en que capitalizan en un año.
Periodo de Capitalización
Anual
Diaria
Quincenal
Mensual
Bimestral
Trimestral
Cuatrimestral
Semestral
Frecuencia
1
360
24
12
6
4
3
2
1.4. Fórmula del Monto o Valor Futuro a Interés Compuesto
VF = VA ( 1+ i ) n
Factor Simple de Capitalización
(FSC)
Para aplicar la fórmula se debe cumplir que la
tasa y el tiempo deben tener el mismo periodo.
1.5. Fórmulas derivadas del Valor Futuro
VA
i
VF
ó VA VF 1 i
(1 i ) n
VA
VP
1
n
1ó i
n
VA
VP
n
VA
VP
log(1 i )
log
1
n
3
1.6. Ejercicios
1. Hallar el monto a retirar por un depósito de S/. 28.650, durante 16 meses, efectuado en el
Banco País, colocado al 4,5% anual durante los primeros 6 meses y 4,75% anual durante el
tiempo restante.
2. El día 26 de mayo se abrió una cuenta de ahorros, con tasa de interés variable, en el Banco
Tropical, a plazo fijo durante 90 días, con S/. 12.500 y a una tasa del 24% anual. Hallar el
monto acumulado, al final del plazo, si se sabe que las tasas de interés fueron las
siguientes: el 29 de junio 6,50% trimestral; el 1º de agosto 2,10% mensual.
3. Se abre una cuenta con un depósito de S/. 3.000 a la tasa del 0,25% mensual. Luego de
cuatro meses se depositan S/ 2.000; dos meses después cambia la tasa a 0,18% mensual.
Después de tres meses se retiran S/. 2.850, y 8 meses después se retira el saldo. ¿Cuál es
ese saldo?
4. Se recibe un préstamo de $ 2.895 con una tasa anual del 18,5% que será cancelada
mediante el pago de $ 845 dentro de 2 meses, $ 1.350 dentro de 4 meses y el saldo un
mes después. ¿A cuánto asciende el último pago?
5. Se recibe un préstamo con una tasa de interés del 4,04% bimestral, por lo que se debe
pagar un monto de $ 728,28 dentro de 2 meses y $ 883,26 dentro de 5 meses. Cuál fue la
cantidad otorgada como préstamo.
6. Cuánto se debe depositar en una cuenta a plazo fijo, que paga la tasa de interés del 5,68%
anual, para que al cabo de 22 meses 15 días el monto acumulado sea de S/. 18.750?
7. ¿Cuánto podré disponer hoy, si me han descontado un paquete de 4 letras cuyos valores
nominales son S/. 2.655; 3.180; 4.250 y 3.100; las cuales vencen dentro de 30, 45, 60 y 90
días, respectivamente? La tasa de interés que cobra la entidad financiera es de 4,060401%
bimestral?
8. El 28 de setiembre se efectuó un depósito en un banco la cual pagaba la tasa de interés del
0,4% mensual. El 17 de octubre varió a 0,48% y el 3 de diciembre a 0,53%. Hoy, 31 de
diciembre, el monto acumulado es S/. 6.385. ¿Cuál fue el depósito inicial?
9. Después de 1 año 2meses y 18 días de haber depositado S/. 3.954,50 se obtuvo un monto
de S/. 4.643.30. ¿A qué tasa de interés mensual se colocó el capital?
10. A qué tasa de interés anual debe colocarse un capital para que se duplique en 15 años?
11. ¿A qué tasa de interés mensual se concedió un préstamo de S/. 4.500, otorgado el 18 de
agosto y cancelado el 28 de diciembre, si al cabo de dicho tiempo fue cancelado con un
pago de S/. 4. 995,80?
4
12. Después de colocar un capital de S/. 1.000 a una tasa de interés del 0,45 % mensual se
obtuvo un monto de S/. 1.675.58. Hallar cuál fue el tiempo transcurrido en esta operación.
13. Si se depositan S/ 62.250 en una cuenta a plazo fijo a 200 días, que paga la tasa de interés
del 8,45% anual, con renovación automática si no se retira el monto al final del plazo. En
cuánto tiempo podrá retirar S/. 5.000 adicionales.
14. ¿En cuánto tiempo un capital, depositado a la tasa de interés del 9,25 % anual, podrá
generar intereses iguales al 15% del monto?
15. Cuánto tiempo, a partir del segundo depósito, será necesario para que un depósito de S/.
8.450.65, efectuado hoy en el Banco América y un depósito de S/. 10.200, que se efectuará
dentro de 150 días, permitan retirar un monto de S/ 21.000, si la tasa de interés que paga
el banco es del 5,10% anual
Sesión 4 – 5 - 6
2. TASAS DE INTERÉS
2.1. Tasa Nominal: Es una tasa de referencia. Tasa de interés que se anuncia para un período
de tiempo determinado. Tasa de interés del período multiplicado por el número de
períodos en el año.
Es una tasa relativa o referencial para la cual se debe indicar el período de capitalización
y que para efectos de cálculo se debe convertir a una tasa efectiva.
Tasa No min al
Tasa del periodo x n
Frecuencia de Capitalización
2.1.1. Frecuencia de Capitalización: Es el número de veces que se capitalizan los intereses en
un determinado lapso (señalado en la tasa nominal).
Tasa Nominal
n
Tasa del periodo
2.2. Tasa Efectiva: Es aquella que se aplica directamente a los períodos para la cual está dada.
.
TEA
1
tasa del periodo n
TEA
1
TNA n
n
tasa del periodo
TEA (anual)
1
1
1 TEA
1
n
1
TEB (bimestral)
5
TES (semestral)
TEC (cuatrimestral)
TET (trimestral)
TEM (mensual)
TEQ (quincenal)
TED (diaria)
2.3. Tasas Equivalentes: Dos tasas con distinto periodo o frecuencia de capitalización
son equivalentes cuando a partir un capital produce igual cantidad de intereses en un
mismo plazo. Para convertir una tasa efectiva en otra efectiva periódica o equivalente se
aplica.
i periodo : n
1
i periodo : p
n
p
1
Donde:
i( periodo::n ) = Tasa efectiva del periodo que se quiere calcular.
i( periodo:: p ) = Tasa efectiva del periodo dado como dato.
n/p
= Relación entre el número de periodos de la tasa a calcular y la tasa
dada, en ese orden, expresados en la misma unidad de tiempo.
2.4. Ejercicios
1. Hallar la tasa del periodo, si TNA = 17,89% con capitalización mensual.
2. Si TNS = 25,35% capitalizable quincenal, hallar tasa la del periodo.
3. Dada TNT = 18,98% con capitalización diaria, hallar la tasa del periodo.
4. Si i = 4,59% cuatrimestral, capitalizable bimestralmente, hallar la tasa del periodo.
Convertir:
1. 5,21% mensual a TEA.
2.
4,15% cuatrimestral a tasa efectiva anual.
3.
28,47% TEA a tasa diaria.
4.
24,45% anual a tasa quincenal.
5.
TNA = 27,76% con capitalización mensual a TEA.
6.
TN = 12,65% trimestral, capitalizable diariamente a TEA.
7.
i = 8,24% anual, convertible cuatrimestralmente a tasa semestral.
8.
4,65% TEB a TET.
9.
1,25% mensual a semestral.
10. 8,75% TEC a TED.
2.4.1. Ejercicios propuestos
Convertir:
1. 12,6 % cuatrimestral a TEB.
2. 15,9 % trimestral a tasa cuatrimestral.
3. 36 % capitalizable trimestralmente a TEM.
6
4. 9,47 % anual / trimestral a TEQ.
5. 0,06 % diaria a tasa semestral efectiva.
6. 1,24 % mensual efectiva a TNA.
7. 15,6 % semestral a TNA capit. mensual.
8. 1,5 % mensual a TNT capit. quincenal.
9. 10,46% trimestral a TNS capit. diaria.
10. Suponga que desea invertir cierto capital durante un año y le ofrecen las siguientes
alternativas, todas con el mismo nivel de riesgo. ¿Cuál sería su elección?
ALTERNATIVA
A
B
C
D
E
F
G
RENTABILIDAD
28,45% anual /capitalización bimestral
0,98% TEQ
14,82% semestral efectivo
4,53 % TEC
5,94 % efectivo trimestral
29,76% TEA
0,07% diario
3. TASA DE INFLACIÓN / DEVALUACIÓN
3.1. Definición:
Proceso por el cual se registra un aumento generalizado y constante en los precios de los
diferentes bienes y servicios, trayendo como consecuencia la pérdida del poder
adquisitivo de la moneda.
La inflación se calcula y registra a través de una tasa de inflación (f). También se calcula
mediante los números índices, específicamente el índice de precios al consumidor (IPC),
proporcionados por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI).
3.2. Tasa de Inflación Acumulada:
f
acumulada
1 f * 1 f * 1 f * . . . * 1 fn
1
2
3
1
3.3. Tasa Real ( r ):
Mide el grado en que la inflación distorsiona las tasas activas o pasivas, restándole a la
tasa efectiva el efecto de la inflación.
La tasa real ( r ) es una tasa a la que se le ha deducido el efecto de la inflación.
Tasa real r
1 i
1
1 f
Donde, i = tasa efectiva
ó
i f
1 f
f = tasa de inflación
7
3.4. Ejercicios
1. Si la inflación mensual de un determinado año, de enero a diciembre fue: 0,21%; 0,27%;
0,38%; - 0,05%; - 0,09%; 0,47%; - 0,15%; 0,12%; 0,21%; 0,17%; 0,25% y 0,32%,
respectivamente. Calcular: la inflación acumulada del primer trimestre; del primer semestre
y la inflación anual.
2. Si en un período de 6 meses la inflación registró las siguientes tasas:
Marzo: 0,12%; Abril: 0,28%; Mayo: 0,22%; Junio: 0,48%; Julio: -0,15%; Agosto: 0,09%
Determinar la tasa de inflación acumulada para dicho semestre.
Cuánto disminuye el poder adquisitivo en el mismo lapso.
3. Una entidad bancaria ofrece pagar la tasa de interés del 6% mensual por
días. Si la inflación fue del 0,33%, 0,48% y 0,98% mensual,
respectivamente. Calcular la tasa de interés real que se obtendría.
depósitos a 90
4. Calcular la tasa real trimestral aplicada a una inversión de S/. 12.870 colocado el 1° de junio
a una TEM del 1,45%, si la tasa de inflación fue de 0,85% para junio,
0,97% para julio y 1,05% para agosto, respectivamente.
5. Se solicitó un préstamo de S/. 20.000 con una tasa de interés del 2,5% mensual, que será
cancelado al cabo de 180 días. Se proyecta además una la tasa de inflación de 0,25%
mensual para los primeros 3 meses, 0,32%; 0,13% y 0,18% para los últimos 3 meses,
respectivamente. Determinar:
a) El monto nominal que se deberá pagar.
b) Inflación acumulada del periodo.
c) El monto real que se pagaría.
6. Una institución financiera estima que la inflación del próximo mes será de 1,34% y
desea saber cuál es la tasa de interés que debe cobrar en sus préstamos a 30 días
para obtener una tasa real de rentabilidad del 1,78% mensual?
6. Una letra, con vencimiento dentro de 60 días, fue descontada a una tasa del
16,985856% cuatrimestral. Si la inflación del primer mes fue del 1,87% y la del 2° mes fue
del 1,96%, ¿Cuál fue la tasa real pagada por dicho crédito?
7. Qué tasa de inflación mensual debe producirse para conseguir una tasa real mensual del
1,76%, en un depósito de ahorros que paga una tasa de interés del
24,36 % anual con capitalización mensual?
3.5. Devaluación
También definida como el proceso de depreciación de la moneda, se refiere a la
disminución del valor de ella, en cuanto al tipo de cambio, en relación con una “moneda
fuerte” tal como el dólar o el euro.
8
Cuando ocurre el proceso contrario, se trata de una revaluación o apreciación.
Un agente económico de mercado puede invertir o financiarse en Dólares, Euros o Nuevos
Soles, por lo que no es suficiente que la tasa en soles sea mayor a la inflación, sino, cuál es
el Costo de Oportunidad de dejar de invertir en otra moneda. Eso va a depender de qué
expectativas o proyección tiene de devaluación de la moneda en el tiempo que durará la
inversión o el financiamiento.
3.6. Efecto del tipo de cambio en el cálculo financiero
La rentabilidad (o pérdida) de un depósito en moneda extranjera dependerá de la tasa de
interés que se pague por el depósito y por la devaluación (o revaluación) de nuestra
moneda con respecto de dicha moneda extranjera.
Por lo tanto, la tasa efectiva en moneda nacional de un depósito o inversión en moneda
extrajera, estará dada por la tasa de interés efectiva en moneda extrajera y la tasa de
devaluación de la moneda nacional (la devaluación también es una tasa efectiva), según la
siguiente fórmula:
Tasa en N. Soles
1 Tasa en M.E. * 1 Tasa de devaluació n esperada
1
Si se deseara convertir la tasa en M.N a tasa en M.E., la fórmula sería:
Tasa en M.E.
1 Tasa en N. Soles
1 Tasa de devaluació n esperada
1
3.7. Ejercicios
1.
Un inversionista dispone de un determinado capital y está analizando dos posibilidades de
inversión. La primera opción rinde el 5,45% TEA, en dólares. La segunda, ofrece una
rentabilidad del 8,85% TEA en N. Soles. Se proyecta que para los próximos 6 meses la
moneda tenga una depreciación del 3,45%. ¿Qué opción recomendaría, invertir en soles o
dólares?
2. Un inversionista desea colocar cierto capital durante 180 días y está analizando las
siguientes alternativas: invertir en una cuenta en S/. que le permitiría obtener un
rendimiento del 9,45% TEA, o invertir en una cuenta en US$ con un rendimiento de 6,47%
TEA. Actualmente el tipo de cambio es de S/. 2.74 por dólar y según las proyecciones de
una consultora financiera se espera que dentro de un semestre el tipo de cambio sería de
S/. 2.89 por dólar. Calcular en qué moneda es más rentable invertir
3. Un empresario desea invertir su capital por 8 meses. Las mejores tasas que puede conseguir
de los bancos son del 6,05% TEA en US$ y del 13,76% TEA en N. S/. Si la expectativa de
depreciación semestral es de 3,57% Determinar en qué moneda debe invertir.
4. Una persona requiere de un capital para iniciar un negocio y busca la mejor alternativa de
financiamiento para un plazo de 175 días. Las tasas más atractivas, de los bancos más
9
confiables, en S/. y US$, son de 18,45% y de 9,75% TEA, respectivamente. Si hoy el tipo de
cambio es de S/. 2.81 por dólar y se proyecta que dentro de un año sea de S/. 3.024 por
dólar. Calcular en qué moneda conviene el préstamo.
5. Una persona dispone de un capital y busca maximizar su rentabilidad financiera para un
plazo de 290 días. Las mejores tasas de los bancos más sólidos son de 10% TEA en S/. y
5,67% TEA en US$. Si la devaluación proyectada por el inversionista es de 6,25% anual.
Calcular en qué moneda conviene invertir.
6. Usted desea solicitar un préstamo para cancelarlo dentro de 330 días. Averigua que las
tasas más convenientes, en ese momento, son 23,50% TEA en soles y 14,50% TEA en
dólares. El tipo de cambio es de S/. 2,835 por dólar y de acuerdo a proyecciones del
mercado se estima que 11 meses después será de S/. 3,00 por dólar. Encontrar:
a) En qué moneda le conviene solicitar el préstamo?
b) Transcurrido el plazo, observó que el dólar se cotizó en S/. 2,96 y no en S/. 3,00 como
se había proyectado. ¿Le convino realmente el solicitar el préstamo en Soles?
7. Un capitalista decide el 18 de agosto invertir $ 40.000 en una cuenta que rinde la tasa del
6,25% TEA (en soles). A la fecha, el tipo de cambio es de S/. 2.83 por dólar, de modo que
proyecta retirar su inversión el 30 de diciembre del mismo año, fecha que se estima un
tipo de cambio de S/. 2.92 por dólar.
a) Calcular el monto que retirará.
b) Si tiene la alternativa de colocar dicho capital en una cuenta en M.N. que paga la tasa
del 0.72083% TEM, ¿Qué opción le convendría?
Sesión 7
INTERES VENCIDO , INTERES ADELANTADO
4. Tasas de interés utilizadas en el sistema financiero
4.1. Tasa de Interés Activa:
Aquellas que los bancos o financieras aplican a las colocaciones a sus clientes por créditos
o préstamos de de corto, mediano y largo plazo. Usualmente, se expresan como tasas
efectivas.
4.2. Tasa de interés Pasiva:
Aquellas que los bancos o financieras aplican a las captaciones que realizan del público en
general o de empresas. También este tipo de tasas se expresan como tasas efectivas.
4.3. Tasa de interés vencida:
Es aquella tasa que se aplica a un valor actual (VA) o capital inicial, la cual se hace efectivo
al concluir el tiempo de depósito o préstamo.
10
4.4. Tasa de interés adelantada:
Aquella tasa que nos permite conocer la cantidad que tiene que pagarse o depositarse por
haber contraído una deuda, antes de la fecha de vencimiento pactada.
La tasa de interés adelantada calcula en cuánto disminuye el precio o valor nominal de un
título valor, por ejemplo: letra, pagaré.
La tasa adelantada considera el tiempo entre la fecha que se anticipa el pago y la fecha de
su vencimiento.
4.5. Tasa de interés compensatoria:
Aquella que constituye la retribución por el uso del dinero o de cualquier otro bien y /o
servicio. En transacciones u operaciones bancarias la tasa de interés convencional
compensatoria está representada por la tasa de interés activa para las colocaciones y por
la tasa de interés pasiva para las captaciones..
De acuerdo a lo establecido en la Ley General del Sistema Financiero, de Seguros y
Orgánica de la Superintendencia de Banca, Seguros y AFP (SBS), esta tasa es fijada por el
mercado, libremente, en función a la oferta y la demanda.
Este interés se cobra desde el momento del préstamo del dinero, hasta su cancelación
definitiva. Se puede aplicar en forma vencida, al término de la operación o en forma
adelantada, al inicio de la operación.
4.6. Tasa de interés moratoria:
Constituye la indemnización por incumplimiento del deudor en la devolución del préstamo
y del interés compensatorio pactado, en la fecha de vencimiento. El interés moratorio se
cobra sólo cuando se haya pactado para la operación y se calcula solamente sobre el valor
del préstamo, adicionalmente a la tasa de interés compensatoria o a la tasa de interés
legal, cuando se haya pactado
En los casos en que la devolución del préstamo se efectúe por cuotas, el cobro del interés
moratorio se realiza únicamente sobre la parte que corresponde al capital de las cuotas
vencidas insolutas, mientras subsista esta situación.
Su cobro siempre se efectuará en forma vencida, es decir al momento en que la deuda
vencida es definitivamente cancelada.
5. Aplicaciones de la tasa efectiva en el cálculo de intereses adelantados.
5.1. Descuento Racional:
Una operación de descuento es una forma de crédito, en la cual el descuento es la
cantidad de dinero que se resta al valor nominal de un título valor (letra de cambio,
pagaré u otro documento) antes de su fecha de vencimiento con la única finalidad de
hacerlo efectivo en la fecha de descuento.
En la operación de descuento se obtiene el pago anticipado del título valor, mediante la
cesión del mismo a otra persona o entidad financiera, la cual adelanta el importe del valor
nominal del título valor, descontando o restando los intereses en forma adelantada por el
tiempo que resta para el vencimiento del título valor.
11
5.2. Valor Nominal del título valor: Es la cantidad o monto que está inscrita en la obligación.
Indica la cantidad que debe pagarse en la fecha de vencimiento señalada.
5.3. Descontar un título valor: Es la acción de recibir o pagar hoy un dinero a cambio de una
suma mayor comprometida para fecha futura, según las condiciones pactadas en el
documento. Un título valor puede ser descontado una o más veces antes de la fecha de su
vencimiento. Cuando la operación se efectúa entre entidades financieras se denomina
redescuento.
5.4. Descuento: Es la diferencia entre el valor nominal y valor que se recibe, en el momento de
descontar el título valor.
5.5. Valor líquido o valor efectivo: Es el valor nominal menos el descuento. Es el valor en
dinero que se recibe en el momento de descontar la obligación.
5.6. Tasa de descuento: Es el valor porcentual del valor nominal que deduce el prestamista al
descontar el pagaré.
5.7. Plazo: Periodo de duración del préstamo.
5.8. Descuento racional compuesto.
Descuento D
VF * 1 1 i
n
ó VF * 1
1
1 i
n
5.9. Factores de descuento
Son tasas adelantadas porque se aplican sobre los montos nominales de títulos valores.
5.10. Ejercicios de aplicaciones de tasa efectiva, descuentos en pagarés y letras,
interés compensatorio y moratorio
1. Hallar el descuento racional de una letra cuyo valor nominal es de S/.9.000 y vence dentro
de 50 días. La tasa efectiva mensual del 2.70% El banco cobra, 0.35% de comisión de
cobranza y S/.5 de portes. Efectuar la liquidación.
2. El día 14 de mayo la empresa IBC, vende productos ferreteros a IDL por un total de
S/.15.578, emitiéndose y aceptándose en la fecha una Letra con vencimiento a 120 días y
con una tasa de interés del 3,40% mensual.
Si el 18 de agosto procede a descontar dicha letra en el Banco Exterior, calcular la cantidad
que tendrá que cobrará..
3. Determinar el importe que se abonará en la cuenta corriente de una empresa que
presenta una letra, en la sección descuentos en una entidad financiera por S/. 8.750 que
vence en 90 días. La TEA es 23%, comisión 1,25%, portes S/. 6,00
12
4. Determinar el valor líquido que una entidad financiera pagaría el 16 de abril al descontarse
una letra por S/. 17.500 con vencimiento el día 28 de mayo, si se cobra una TEA del 18,57%,
además el banco cobra una comisión de 0,25% del importe de la letra y portes por S/. 5,00.
Adicionalmente se pide calcular el costo efectivo periódico y el costo efectivo anual (CEA).
5. El Banco Americano tiene una letra para descuento por el importe de US$ 20.000
cuya
fecha de vencimiento es el 26/09. La letra se paga el 27/08, descontado a una TEA del 18%.
El banco cobra como portes US$5 y comisión del 0,25% sobre el importe de la letra, se pide
calcular el importe de descuento y el valor a pagar.
Valor nominal de la letra
Tasa efectiva anual (TEA)
Periodo de la tasa (m)
Fecha de pago
Fecha de vencimiento
Días calculados (n)
Descuento (interés adelantado)
Portes
Comisión de cobranza
Total de descuento
Valor a Pagar
6. Una letra por S/.14.650, cuya fecha de giro fue el 19 de marzo y que vencerá el 27 de mayo,
se presenta al descuento el día 12 de abril. El banco cobró interés adelantados a una tasa
del 1,65% mensual; comisiones del 0,85% y portes de 8,50 soles. Determinar el abono
correspondiente.
7. Desarrollar la siguiente planilla de descuento:
PLANILA DE DESCUENTO DE LETRAS
Fecha de Descuento 01/03
TEM
2,50%
Letra
Fecha de
Vencimiento
1
2
3
19/03
5/04
21/04
N° días
Importe
S/. 20.560
S/.15.785
S/.10.438
Interés
Portes
Letra
Descontada
S/. 6,00
S/. 6,00
S/. 6,00
8. Determinar el Valor Líquido que el banco abonaría el 16 de abril al descontarse una letra de
S/.12.500 con vencimiento el 23 de Mayo, si se cobra con una TEA de 29,75%, además el
banco cobra una comisión de 0,25% y portes por S/. 4,00. Adicionalmente se pide calcular
el costo efectivo periódico y CEA.
13
9. Una empresa obtuvo un préstamo de S/ 100.000 el día 15 de julio, bajo las siguientes
condiciones: vencimiento 15 de noviembre, interés compensatorio del 25% TEA; interés
moratorio del 1,34% TEM. La empresa por omisión paga la deuda el día 10 de diciembre.
Determinar el importe de dicho pago.
10. Un pagaré de S/. 15.890 venció el día 03 de mayo y fue cancelada el día 18 de junio. Desde
la fecha de vencimiento hasta el día 25 de mayo la tasa compensatoria fue del
69,5881433% TEA y a partir de esa fecha hasta el pago del documento, aumentó en un
punto porcentual sobre la tasa mensual original. La tasa moratoria que se aplica representa
el 25% de la TEM compensatoria inicial. Calcular el total a pagar.
11. Una letra con valor nominal de S/.10.800 que venció el 3 de marzo, fue cancelado el 14 de
abril, ¿Cuál es el pago total a efectuar si la TAMN es del 5% TEM, la tasa de mora es el 15%
de la TAMN, los gastos de protesto ascienden a S/.20 y los portes son S/.5?
12 Una empresa logró un préstamo de S/ 200.000 el día 15 de julio, bajo las siguientes
condiciones: vencimiento 15 de enero, interés compensatorio del 28% TEA e interés
moratorio del 1,5% TEM. Si la empresa paga la deuda el día 2 de febrero, determinar el
importe de dicho pago.
Sesión 8 - 9
6. ECUACIONES DE VALOR
6.1. Concepto: Es toda igualdad matemática en la que se relacionan los stocks y los flujos, con
una o más variables, todas ellas afectados por sus correspondientes factores financieros
(capitalización y/o actualización), satisfaciendo una determinada condición.
En las operaciones financieras y mercantiles suelen presentarse casos en las cuales los
deudores y acreedores, por convenir a sus intereses, se ponen de acuerdo para modificar
las condiciones pactadas originalmente, lo que hace que se generen nuevas relaciones
contractuales. Las ecuaciones de valor se aplican principalmente en los casos de:
- refinanciamiento de deudas,
- modificación del número de pagos o depósitos,
- adelanto o postergación de fechas de pago,
6.2. Procedimiento de cálculo:
a) En un diagrama de tiempo – valor se colocan todos los datos proporcionados, y una
vez definidas se colocan las incógnitas, según sea el caso.
b) Se establece analíticamente una equivalencia financiera, es decir, con los datos y
variables buscamos la relación que se debe cumplir.
c) Se escoge un punto de referencia temporal, llamado fecha focal, en el cual se ubicarán
las cantidades involucradas (datos y variables) con sus respectivos factores financieros.
d) Según lo realizado en (a) y (b), se plantea la ecuación de valor, obteniéndose el valor
de la incógnita.
14
6.3. Ejercicios
1. Se solicita un préstamo de S/. 4.000 con una TEM del 3% que se cancelará con un primer
pago de S/. 1.500 dentro de 1 mes y 2 pagos de igual valor, dentro de 2 y 4 meses,
respectivamente. Calcular dichos pagos.
2. Para cancelar una deuda se deberán realizar los siguientes pagos: S/. 654,85 dentro de 45
días, S/. 589,56 dentro de 3 meses y S/. 986,50 un mes después. El deudor acuerda con el
acreedor cancelar toda la deuda con un pago único a los 80 días. Si se aplica una TEM del
2,35% ¿Cuál será el valor de dicho pago?
3. Un préstamo de S/. 1.865 a una TEM del 1,85% se cancelará mediante 3 pagos, dentro de
2, 4 y 6 meses, respectivamente y se pacta que cada pago sea un 25% menor a la anterior.
Determine el valor de cada una de los pagos.
4. Una persona abre una cuenta de ahorros con S/. 3.200 y proyecta realizar 4 depósitos,
dentro de 3, 4, 5, y 6 meses, respectivamente. Los depósitos son de diferentes cantidades
y cada uno será un 10% mayor que el depósito anterior, y además, el monto deseado a
tener en la cuenta de ahorros dentro de 8 meses es de S/. 10.000. Calcular el valor de cada
depósito, si la tasa que paga el banco es del 4,25% TEA.
5. En la negociación sostenida por “H.M.S. SAC” con un banco local, se aprobó reemplazar las
deudas de la empresa de S/.12.000 y S/.15.450, con vencimientos dentro de 60 y 120 días,
respectivamente, por un pago único, con vencimiento a 90 días y con una tasa de interés
del 24% TEA. Hallar la cantidad a pagar en esa fecha
6. La distribuidora “Alimentos SAC” vende sus productos al crédito por un total de S/. 5. 800,
por lo cual el restaurante “Costa Azul” acepta tres letras de cambio, de igual valor nominal,
con vencimientos dentro de 45, 75 y 105 día, respectivamente.
Si se aplica una TEM del 2,3%, determinar.
a) El valor nominal de cada letra.
b) Si el valor de las letras disminuyera en un 20% con respecto a la anterior, ¿qué valor
nominal tendrá cada letra?
7. Se dispone de S/. 24.000 y se decide invertir en 3 cuentas de ahorros, que pagan la tasa de
interés del 4% trimestral, de modo que pueda disponer en el futuro de montos similares
en cada cuenta. Si proyecta utilizar dichos fondos dentro de 4 años, 5años 8meses y el
último dentro de 7años 4 meses. ¿Cuánto deberá depositar en cada cuenta?
8. Se recibe un préstamo de S/. 2.500 con una TEA del 40%, el cual será cancelado con tres
pagos iguales dentro de 1, 2 y 4 meses, respectivamente. Si a los 18 días de efectuar el
primer pago se refinancia el saldo, de modo que éste será cancelado en cuatro cuotas, en
forma mensual y cada pago será un 10% menor que el anterior. Calcular el valor de cada
pago.
15
Sesiones 10 – 11 - 12
7. RENTAS Y ANUALIDADES
7.1. Concepto: Se refiere a toda sucesión de cantidades iguales de dinero que se pagan o
reciben con la misma frecuencia de tiempo. También se les conoce como Rentas o Pagos y
se les simboliza mediante la letra P o R.
7.2. Clasificación: Las anualidades se pueden clasificar de acuerdo a diferentes criterios, siendo
el más frecuente:
7.2.1. Según su duración:
Temporales: Aquellas cuando se conoce tanto el inicio como el final del flujo.
Ejemplo: Un préstamo bancario.
Perpetuas: Aquellas para las cuales se conoce el inicio pero no el final del flujo. Ejemplo: Las
pensiones por jubilación.
7.2.2. Según el inicio del primer pago o depósito:
Inmediatas: Son aquellas en el cual la primera renta, pago o depósito se establece
primer periodo. Ejemplo: Compras al crédito.
desde el
Diferidas: Son aquellas en la cual la primera renta se establece después del primer periodo.
Ejemplo: “Compre hoy, pague dentro de 90 días”
7.2.3. Según cuando se produce la renta:
De pago vencido: Cuando la renta se produce al final de cada periodo.
Ejemplo: Créditos personales, hipotecarios, etc.
De pago anticipado: Llamados también imposiciones, son aquellas rentas que se producen al
inicio de cada periodo.
Ejemplo: Pago de alquileres, pólizas de seguros, etc.
7.3. Circuito Financiero
Representa todas las posibles equivalencias o transformaciones que se puedan
realizar entre el VA, VF y los flujos uniformes.
capitalización
1
6
VA
3
P
5
VF
4
2
actualización
16
1 VF
3 VF
5 VA
VA * 1
P*
P*
1
i
i
i
1 i
n
n
i* 1 i
n
FSC
1
2 VA
VF
1
4 P
VF *
6 P
VA *
FCS
1
n
FAS
i
n ó VF * 1
i
n
FSA
i
1 i
n
1 FDFA
n
i* 1 i
n
1 i
1 FRC
FSC: Factor Simple de Capitalización.
FSA: Factor Simple de Actualización.
FCS: Factor de Capitalización de la Serie.
FDFA: Factor de Depósito al Fondo de Amortización
FAS: Factor de Actualización de la Serie.
FRC: Factor de Recuperación de Capital.
Todas las fórmulas de anualidades, se aplican a los casos que estas sean temporales,
inmediatas y de pago vencido, ya que han sido deducidas bajo esas condiciones. Debe
tenerse en cuenta que el VA debe estar ubicado un período antes del primer pago o
depósito y el Valor Futuro debe estar ubicado en la misma posición del último pago o
depósito.
En las fórmulas, el valor de “n” representa el número de rentas consideradas y la tasa “ i “
deberá ser del mismo periodo que la frecuencia de los pagos o depósitos.
7.4. Ejercicios de Anualidades Vencidas
1. Una empresa está proyectando implementar un nuevo sistema de aire acondicionado,
dentro de dos años, cuyo costo lo estiman en S/. 54.000. Para ello, la gerencia financiera
propone ahorrar, mensualmente, una determinada cantidad durante ese tiempo.
El banco donde efectuarán los depósitos paga la tasa de interés del 4,25% TEA. ¿Qué
cantidad deberán depositar cada fin de mes con el propósito de lograr la compra?
2. Un trabajador dependiente ha cotizado a una AFP S/. 165 mensuales, durante los últimos
cinco años de actividad laboral. Calcular qué monto habrá acumulado en ese período si la
tasa de rendimiento de la AFP es del 10.50% TEA.
3. La empresa BFI S.A.C. decide cancelar hoy las últimas 4 cuotas de un préstamo contraído
con un banco local. Las cuotas vencen dentro de 30, 60, 90 y 120 días y cada una es de S/.
678,45. ¿Qué cantidad deberá pagar si se aplica a esta operación 2,15% TEM?
5. Una tienda vende computadoras personales con las siguientes condiciones: S/. 500 de
cuota inicial y S/. 630 mensuales durante medio año. Si a sus operaciones comerciales
aplican una TET del 6,25%, cuál es el precio al contado?
17
6. Calcular el monto acumulado al cabo de 36 meses, luego de realizar 24 depósitos
mensuales consecutivos de S/. 356.756 cada uno, en una cuenta de ahorros que paga la
tasa de interés del 5,12% TEA.
7. Si se compra un equipo, pagando una cuota inicial de $ 70, y el saldo, que se financia a la
tasa 4% TEM, se cancela mediante 12 cuotas mensuales de $ 69.26. Hallar el precio al
contado del T.V.
8. Una empresa educativa requiere de una impresora, cuyo precio al contado es de $ 4.000.
Se compra al crédito pagando una cuota inicial del 25% del precio al contado y seis cuotas
mensuales iguales. La tasa de interés que se cobrará será del 15,7625 % trimestral. Hallar
el valor de la cuota mensual.
9. Una persona efectuó compras de equipos de cómputo en una tienda por departamentos
por un total de S/. 1,580. Al momento de cancelar, con la tarjeta de crédito de la tienda,
escoge la opción pago diferido a 90 días (el primer pago se efectuará a los 90 días),
indicando un total de 6 cuotas. Si la tienda aplica una TEM del 4,50%. Calcular el valor de
sus cuotas.
10. Para la compra de un departamento, se solicitó un préstamo hipotecario. El banco le
otorga un crédito equivalente al 80% del valor del inmueble. El préstamo establece el pago
de cuotas mensuales iguales de $ 650, con un plazo total de 8 años, seis meses de gracia
total y una tasa de interés del 11,50% TEA.
a) Calcular el precio al contado del inmueble.
b) Si se desea cancelar toda la deuda al vencimiento de la quincuagésima quinta cuota,
¿cuánto será la cantidad a pagar?
11. Un préstamo de S/.10.800 otorgado al 23% TEA será cancelado mediante el pago de 6
cuotas bimestrales iguales más 12 cuotas mensuales iguales, siendo la cuota bimestral el
doble de la mensual. Calcular el valor de dichas cuotas.
12. Un automóvil cuyo valor al contado es de $ 18.000 se compra al crédito pagándose una
cuota inicial del 25% del valor al contado y el saldo, financiado al 25% TEA, se cancelará en
18 cuotas mensuales iguales excepto las de julio y diciembre que serán dobles. Si el pago
de la primera cuota corresponde al mes de junio, y las cuotas se pagan cada 30 días,
calcular las cuotas mensuales ordinarias y extraordinarias.
13. Se compra un TV plasma pagando una cuota inicial del 10% y el saldo se financia en 15
cuotas mensuales. Las 5 primeras son de S/. 80 c/u; las 5 siguientes son de S/. 100 c/u y las
5 restantes de S/. 150 c/u. Hallar el precio al contado del TV si la tasa de interés que se
cobra es 36% TEA.
14. Un automóvil cuyo precio al contado es $16.000 es comprado por medio de un crédito
personal pagando una cuota inicial del 25% y 18 cuotas mensuales fijas vencidas. Calcular
cuál es el importe de cada cuota si por el financiamiento se cobra la tasa de interés del
3,50% mensual, así como por gastos administrativos $2,50 más el 0,05% del saldo deudor
como seguro de desgravamen (sumarlo a la tasa mensual), respectivamente.
18
15. Un auto del año cuyo precio al contado es de $ 18.900 se ofrece al crédito con una cuota
inicial del 20% y el saldo, financiado al 34,50%TEA será cancelado mediante 36 cuotas
mensuales iguales excepto las de julio y diciembre que serán dobles. Halle el valor de la
cuota ordinaria y extraordinaria si la primera cuota se pagará en el mes de setiembre.
Sesiones 13 - 14
8. CRONOGRAMAS DE PAGO (Cuadro de Servicio de Deuda)
8.1. Concepto: Se refiere a todo cuadro de servicio de una deuda en la que se detalla
el proceso de amortización.
8.2. Amortización: Proceso financiero mediante el cual una deuda u obligación y los
Intereses que generan, se extinguen progresivamente por medio de pagos periódicos.
De cada pago o cuota una parte se aplica a cubrir el interés generado por la deuda y el
resto a disminuir el saldo por pagar.
8.3. Elementos del Cronograma de Pagos.
8.3.1 Interés: Se calcula aplicando la tasa del periodo sobre el saldo deudor inmediato
anterior.
I
i x Saldo Deudor
k
k 1
8.3.2. Amortización: Es parte de la cuota o pago que se cancela a cuenta del saldo
deudor o principal. Se calcula según el tipo de cronograma.
Amortización k
Cuota
Interés k
Amortización k
Principal
n de periodos
(Cuotas Iguales)
(Cuotas Decrecientes)
8.3.3. Cuota o Pago: Es el desembolso que se realiza periódicamente y se calcula de
acuerdo al tipo de cronograma.
Cuota
Amortización k
Interés k
8.3.4. Saldo Deudor: Llamado también saldo del principal, o saldo. Representa el total
que aún falta pagar hasta un determinado período.
Saldo Deudork
Saldo Deudork 1
Amortizaciónk
8.4. Sistemas de repagos de préstamos.
Un cronograma de pagos puede elaborarse de distintas maneras, siendo los más
frecuentes las de:
a) Cuotas Iguales (Cuotas Fijas) o Método Francés.
b) Cuotas Decrecientes (Amortizaciones Iguales) o Método Alemán.
19
8.5. Ejercicios
1. Una alumno del IFB desea adquirir una computadora portátil, cuyo precio al contado es S/.
2.047,40. Logra la compra recibiendo la facilidad de pagar el 20% del precio al contado
como cuota inicial y el saldo, financiado a la tasa de interés del 25% anual, lo cancelará en
seis cuotas mensuales.
Elaborar el cronograma de pagos correspondiente:
a. Si las cuotas son fijas (iguales).
b. Si las cuotas son decrecientes.
2. Elabore un cronograma de pagos correspondiente al reembolso de un préstamo de
S/.5.000. Se deberán considerar 6 cuotas constantes, bimestrales y una TEA del 24,50% y
un periodo de gracia total de 120 días.
3. Elabore un cronograma de pagos correspondiente al reembolso de un préstamo de
$ 8.600. Se deberán considerar 4 cuotas constantes, trimestrales y una TEA del 21,55 % y
un periodo diferido parcial de 180 días.
5. Desarrollar un cronograma de pagos para un préstamo de S/. 1.500, a cancelarse en 6
meses, con cuotas iguales y con una TEA del 10%. El desembolso se efectúa el 12 de
noviembre y los pagos se realizarán los días 12 de cada mes.
6. Elaborar un cronograma de pagos hasta la 10 cuota, de un préstamo personal de S/.15.760
a pagarse en 20 cuotas mensuales iguales, excepto las de julio y diciembre que serán
dobles. La tasa de interés es del 45,25% TEA y la primera cuota se pagará en el mes de
marzo.
7. Se adquiere un préstamo personal de S/. 8.500, el cual deberá ser cancelado en 18 cuotas
mensuales iguales, con una tasa de interés del 25% anual.
Ya cancelada la 5° cuota, la SBS interviene la financiera por problemas de liquidez.
a) Elabore el cronograma de pagos correspondiente hasta la 5° cuota.
Debido a la intervención de la SBS, la deuda pasa a otra entidad financiera, la cual
modifica, por acuerdo mutuo, las condiciones de pago a 12 cuotas decrecientes,
incrementando la tasa de interés mensual en medio punto porcentual.
b) Elabore el cronograma de pagos hasta la 4 cuota refinanciada.
8. Un préstamo de $ 15.000 se cancelará mediante el pago de 24 cuotas mensuales
decrecientes siendo la tasa de interés del 22,5% TEA. El deudor al momento de pagar la 6ª
cuota solicita pagar sólo el 50% de la misma y solicita además que el saldo deudor se
refinancie en 18 cuotas mensuales iguales. Determinar:
a) ¿Cuánto pagó al vencimiento de la 6ª cuota?
b) ¿A cuánto ascendió el saldo deudor?
c) El valor de la cuota mensual luego del refinanciamiento.
9. Se concede un préstamo de S/. 25.000 para pagarlo en 24 cuotas mensuales iguales y a la
tasa de interés del 32% anual.
a) Calcular el valor de cada cuota.
20
b) Si al vencimiento de la cuota 10 se cancela sólo el 45% de la cuota y se cuerda un
refinanciamiento del saldo mediante el pago de 18 cuotas mensuales decrecientes,
calcular el valor de la 6° cuota.
10. Un banco aprueba a la empresa A.C.M. un préstamo de $ 60.000, para la compra de una
máquina, el cual será cancelado en 8 cuotas mensuales iguales, aplicando una TEA del
18%.
a) Elabore el cronograma de pagos para el cliente.
Las condiciones financieras permiten que el cliente realice una amortización adicional en
cualquier momento del plazo considerando una TEM del 1,60% para la reprogramación
del nuevo saldo en el número de cuotas pendientes y en montos decrecientes.
b) Elabore el cronograma correspondiente si el cliente amortiza $ 1.500 adicionales en el
tercer mes.
11. Una deuda de S/. 35.000 se va a cancelar en 7 cuotas mensuales iguales y a la tasa del
41.16% anual.
a) Hallar el valor de la cuota y elabore el cronograma de pagos correspondientes.
Si al momento de pagar la cuarta cuota, abona el doble, con la finalidad de amortizar más
para bajar la deuda pero sin variar el número de cuotas pactadas
b) ¿Cuál es la cantidad que amortizó el cuarto periodo?
c) Calcular la nueva cuota y elaborar el cronograma correspondiente.
12. Completar el siguiente cronograma de cuotas iguales, sustentando cómo obtiene
siguientes resultados:
a) El valor del préstamo o principal.
b) La tasa mensual.
c) El valor de la cuota.
Mes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Interés
Amortización
Cuota
Saldo Deudor
7.575,20
892,52
112,46
21
los
Sesión 15
9. Depreciación de Activos
Las maquinarias, las edificaciones y otras clases de activos, necesarios para las operaciones
de las empresas, generan por el uso, una disminución de sus valores, que no puede evitarse
con los gastos corrientes de operaciones.
Puesto que el capital invertido debe permanecer constante, es necesario estudiar la forma
de establecer un fondo de reserva que compense esta pérdida de valor.
9.1. Definición: Es la pérdida de valor, no recuperada con el mantenimiento, que sufren los
activos y se debe a diferentes factores que causan finalmente su inutilidad, obligando, por
lo tanto, el reemplazo del activo.
Costo Inicial (C), es el costo de adquisición del activo, el cual puede incluir embalaje,
transporte, descarga, instalación.
La vida útil (n), o duración probable de un activo, se determina con base en la experiencia
y, tanto los expertos en estas materias como los fabricantes de equipos y maquinarias
señalan la vida útil de los distintos activos y sobre estos datos se basa el cálculo de la
depreciación.
Al terminar la vida útil del un activo, debe reemplazarse, invirtiéndose para ello un valor
que recibe el nombre de costo de reemplazo.
Durante la vida útil del activo debe separarse periódicamente una determinada cantidad
(para cubrir la depreciación del activo), creando con ella un fondo que recibe el nombre
de fondo de reserva (F) o depreciación acumulada, y que debe ser igual al costo de
reemplazo al terminar la vida útil del activo.
Cuando el activo ha dejado de ser útil, siempre conserva algún tipo de valor, así sea como
chatarra o material de desecho. Este valor residual recibe el nombre de valor de desecho
o de salvamento (S).
Valor Contable (V) o también conocido como valor en libros, es la diferencia que se
establece entre el costo del activo y el fondo de reserva.
Valor de Uso (W), es la diferencia entre el costo inicial y el fondo de reserva.
Existen varios métodos para determinar el cargo periódico que debe efectuarse por
concepto de depreciación; a continuación, estudiaremos los más utilizados.
22
9.2. Método de línea recta o uniforme.
Es el más simple de los métodos y el más utilizado: consiste en suponer que la
depreciación anual es la misma para toda la vida útil del activo y, de acuerdo con esto, se
reservan cada año partes iguales, de tal manera que al terminar la vida útil del activo, se
tenga un fondo de reserva que, sumado al valor de salvamento, de cómo resultado el
valor de reemplazo.
No obstante que es el método más usado, hay dos objeciones importantes en su
aplicación.
Primero: No tienen en cuenta los intereses sobre el fondo de reserva.
Segundo: Las maquinarias y equipos se deprecian más rápidamente en sus primeros años
de uso, además, hay que tener en cuenta que, en los primeros años de uso, el gasto por
reparaciones es pequeño y aumenta con el transcurso del tiempo, llegando a ser
considerable en los últimos años, por lo que conviene distribuir los gastos de reparación y
depreciación en forma más uniforme, disponiendo que los cargos por depreciación sean
mayores en los primeros años de uso de los equipos y menores en los últimos años, en los
cuales los gastos por reparaciones serán mayores.
Designando como C el costo inicial, que se supone será igual al de reemplazo, por S al
valor de salvamento y n por los años de la vida útil, la depreciación periódica (D) se
obtiene de la siguiente fórmula:
D
C
S
n
9.2.1. Ejercicios
1. Cierto equipo de una empresa tiene un costo de US$ 5.000 y una vid estimada de 4 años. Si
el valor de salvamento es del 10% del costo inicial, hallar el valor de la depreciación anual y
el cuadro correspondiente.
2. La compañía Cementera compró una máquina para hacer bloques de ladrillo de concreto
en S/.120.100,00. estima que tendrá una vida útil de 8 años y un valor de rescate de
S/.13.520. Empleando el método de la línea recta, obtener la depreciación anual y elaborar
el cuadro de depreciación.
3. Aplicando el método uniforme o de línea recta. ¿Cuál será el valor contable de una
máquina con una vida útil estimada de 7 años? Su costo de adquisición fue de US$ 40.000
y se previó valor de salvamento al final de su vida útil de US$10.000,00?
Construir la tabla de depreciación, e indicar:
a) ¿Cuál es valor acumulado al segundo año?
b) ¿Cuál es el valor al finalizar el tercer año?
23
4. Se estima que una máquina cuyo costo es de S/.4.000 tendrá una vida útil de 6 años y al fin
de dicho periodo un valor de salvamento de S/.400. Encontrar la depreciación promedio
anual. Elaborar una tabla de depreciación por el método uniforme donde se muestre el
valor en libros cada año.
5. Aplicando el método de línea recta, calcular el valor acumulado en el fondo de reserva,
después de 10 meses de comprada un determinado equipo, cuyo costo fue de S/.12.760 y
una vida útil estimada de 9 años y un valor de salvamento de S/.2.100.
6. Aplicando el método uniforme. Hallar cuál será el valor en libros de un grupo de
computadoras, con una antigüedad de 6 años y 4 meses y una vida útil estimada de 10
años.
El costo de este grupo de computadoras fue de US$ 8.460 y se proyecta un valor de
salvamento, al final de su vida útil, del 15,50% del costo.
9.3. Método de la suma de dígitos.
Con este método, se logra que el cargo por depreciación sea mayor en los primeros años
de vida del activo y vaya disminuyendo cada año.
Para hallar el cargo anual de depreciación se procede de la siguiente manera:
Se ordena de mayor a menor los números que corresponden a los años de duración del
activo. La depreciación para cada año queda expresada por un factor, dada por una
fracción, cuyo numerador es el dígito que corresponde, en orden decreciente, al año cuya
depreciación se está calculando (número de años que le restan de vida útil al activo) y
cuyo denominador es la suma de todos los números (dígitos).
Entonces, la depreciación se calcula según la siguiente fórmula:
D
C
S *
años que le restan al activo
suma de dígitos
9.3.1. Ejercicios
1. Elaborar un cuadro de depreciación mediante el método de la suma de dígitos para un
activo fijo que adquiere una empresa a un costo de S/. 6.000,00, además de gastos de flete
e instalación de S/. 500. Se estima que la vida útil de este activo será de 4 años y que
tendrá un valor de salvamento de S/. 1.200.
2. Una máquina tiene un costo inicial de S/. 89.000, una vida útil de de 6 años y un valor de
salvamento de S/. 12.000. Elaborar un cuadro de depreciación aplicando el método de
suma de dígitos.
3. Una entidad educativa adquirió por medio de una importación directa al fabricante un lote
de computadoras personales a un costo de US$ 95.600. Por concepto de flete marítimo,
desaduanaje e impuestos pagó un 15% del valor de la compra, y por traslado e instalación
24
pagó un 2,5% del valor de la compra. Estima que la vida útil del lote adquirido sea de 6
años y además considera que el valor de desecho, al final de la vida útil será del 10% del
valor de la compra. Desarrollar el cuadro de depreciación por el método de la suma de
dígitos.
4. Una empresa constructora adquirió una nueva mezcladora en US$ 16.800 a la cual le
estima una vida útil de 8 años, así como un valor rescate del 12% del costo de la máquina.
Elaborar el cuadro de depreciación por el método de la suma de dígitos.
9.4. Método de unidades producidas.
Con este método, la depreciación de los activos contempla la intensidad de su uso o la
cantidad de unidades producidas, dejando de lado el deterioro por el paso del tiempo. De
esta manera, el cargo por depreciación no será el mismo periodo a periodo, sino que está
en función de la producción, la misma que tampoco es la misma a lo largo del tiempo.
La depreciación se calcula de la siguiente manera:
D
C - L
producción total
* producción anual
9.4.1. Ejercicios
1.
Un activo fijo adquirido en S/. 16.000 posee las siguientes características técnicas:
capacidad de producción diaria máxima de 1.000 unidades, vida útil de producción:
1.250.000 unidades.
Se estiman los siguientes niveles de producción para los siguientes 5 años: 200.000;
250.000; 350.000; 300.000; 150.000 unidades respectivamente. Calcular la depreciación
anual y elabore el respectivo cuadro, considerando un valor de desecho del 10% del costo.
2.
Una camioneta rural, para el servicio turístico, tuvo un costo de adquisición de US$ 25.000
y se le proyecta una vida útil de 1.000.000 km. Además de un valor de salvamento de US$
5.000. Calcular la depreciación para los 4 primeros años de operación si el propietario
proyecta los siguientes recorridos: primer año 300.000 km; segundo año 250.000 km;
tercer año 200.000 km; cuarto año 150.000 km.
25
Sesión 16 - 17
INSTRUMENTOS PARA ANÁLISIS DE INVERSIONES
10. PRINCIPIOS DE INVERSIÓN
10.1. Concepto: Se refiere a las distintas formas y criterios que se aplican para determinar la
factibilidad y/o conveniencia de una alternativa de inversión o de financiamiento.
Toda inversión se analiza en base a un flujo de caja proyectado, considerando la
información más importante el Flujo de Efectivo Neto (FEN), que se calcula con la
diferencia entre los flujos de ingresos y los flujos de egresos.
Otra información importante es la tasa de rendimiento esperado de la inversión, dado
por el Costo de Oportunidad de Capital (COK).
10.2. Indicadores de Evaluación: El análisis de una inversión basado en el FEN y en
el COK origina ciertos indicadores, llamados Indicadores de Evaluación, los cuales los
podemos clasificar en:
10.2.1. Indicadores de Actualización: Se basan en el cálculo del Valor Actual del FEN, asociado
a una alternativa de inversión.
10.2.2. Indicadores de Equivalencia: Se aplican en la evaluación de alternativas que tienen
diferente vida útil, requiriendo homogenizar la unidad de tiempo para que las
cantidades sean comparables y se calcula mediante la aplicación del Factor de
Recuperación de Capital (FRC) que se aplica a un determinado valor presente.
10.2.3. Indicadores de Rentabilidad: Son aquellos que mediante una tasa reflejan el
rendimiento asociado al flujo de efectivo neto de una inversión. Se obtiene en base a
la comparación del flujo de entrada de efectivo con el flujo de salida de efectivo.
10.3. Indicadores de Actualización:
10.3.1. Valor Actual Neto (VAN): Es el principal indicador de actualización y se obtiene de la
diferencia entre los flujos de entrada de efectivo y los flujos de salida de efectivo,
todos ellos, actualizados a una tasa dada por el COK.
Io
FEN 2
FEN 1
FEN n
FEN 3
1
2
3 ...
FED
26
n
Io = Inversión Inicial
FEN = Flujo de Efectivo Neto
FED = Flujo de Efectivo Descontado (Actualizado)
F.E.D.
VAN
FE 1
1 COK
Io
FE 2
FE 3
1 COK 2
1 COK 3
...
FE n
1 COK n
FED
Criterios de Decisión:
- Para toda alternativa: Si
VAN
0 ( FED
Io ) Se acepta
Tasa de rendimiento
Obtenido
Tasa de rendimiento
Esperado
Si
Io ) Se rechaza
VAN
0 ( FED
- Para AMES A y B: 1° condición “n A ” =
“n B ”
2° condición VAN A vs. VAN B
Se escoge el de
mayor VAN
10.3.1.1. Ejercicios
1. Una empresa está analizando la posibilidad de comprar una nueva máquina de producción
cuyo costo es US$ 25.000. Con de este activo proyectan ingresos adicionales durante los
próximos 5 años según lo siguiente:
Año
FEN
1
10.000
2
12.500
3
14.000
4
10.000
5
8.000
La empresa evalúa sus inversiones considerando una tasa mínima de rendimiento del
12,50% TEA. Con estas proyecciones, ¿Recomendaría la compra?
2. Evalúe las siguientes alternativas de inversión cuyos F.E.N. se dan a continuación:
Año
0
1
2
3
4
5
6
A
( 34.500 )
10.200
10.200
10.200
10.200
10.200
14.000
B
( 55.000 )
15.000
18.000
17.000
19. 000
15.000
11.000
Considerando un COK = 15 % anual, cuál opción recomendaría:
27
C
( 80 000 )
19.000
16.000
15.000
40.000
35.000
16.000
3. Se está considerando la compra de cierto activo que requiere de una inversión inicial de
US$ 32.000 y que a lo largo de su vida útil, de 5 años, producirá los siguientes flujos de
efectivo.
Año
FEN
1
-8.750
2
19.200
3
12.350
4
15.250
5
20.720
Si se espera una tasa de rendimiento sobre la inversión del 20% anual, determine la
conveniencia de comprar dicho activo.
4. Se está considerando la compra de cierto activo que requiere de una inversión inicial de
US$ 38.000 y que a lo largo de su vida útil, de 5 años, producirá los siguientes flujos de
efectivo.
Año
FEN
1
-2.750
2
18.000
3
21.000
4
25.000
5
14.000
Si se espera una tasa de rendimiento sobre la inversión del 20% TEA, determine la
conveniencia de comprar dicho activo.
10.4. Indicadores de Rentabilidad:
10.4.1. Tasa Interna de Retorno (TIR): Es aquella tasa para la cual el VAN de un flujo de
efectivo es igual a cero. También se define como la máxima tasa de rendimiento que se
puede obtener una determinada inversión.
El valor de la TIR es independiente de la tasa de rendimiento fijada por el
inversionista, sólo depende del flujo que se está considerando (es un valor
característico del flujo).
Para calcular la TIR se puede utilizar una hoja de cálculo o en forma manual mediante
tanteo y aplicación del método de interpolación lineal.
10.4.1.1. Ejercicios
1. Calcular la TIR del siguiente flujo si el COK = 17,45 % anual
Años
FEN
0
-20.115
1
8.700
2
8.700
3
8.700
4
8.700
2. Sean los siguientes flujos anuales esperados de los siguientes proyectos mutuamente
excluyentes.
Años
Proy. A
Proy. B
0
- 7.900
- 9.890
1
1.688
3.100
2
2.230
3.100
28
3
3.150
3.100
4
4.290
8.000
5
5.350
5.417
a) ¿Cuál recomendaría si el rendimiento requerido es 19%?
b) Calcular la TIR de cada proyecto.
3. Una empresa dedicada a la fabricación de muebles y equipos para bancos ha estimado los
flujos de efectivo neto para los seis años de vida de dos proyectos, X y Y. Estos flujos se
resumen a continuación:
Proyecto X
Proyecto Y
Inversión Inicial
US$ 41.000
US$ 23.000
Año
Entradas de Efectivo
1
10.800
6.500
2
10.800
6.500
3
14.500
8.500
4
14.500
8.500
5
18.000
9.500
6
18.000
9.500
a)
Halle el VAN de cada uno de los proyectos, para un COK = 22%
b) Halle la TIR de cada proyecto.
4. Sean los siguientes flujos anuales esperados de los siguientes proyectos mutuamente
excluyentes.
Años
0
1
2
3
Proy. A
- 7.500
1.250
2.250
3.250
Proy. B
- 9.500
3.200
3.200
3.200
a) Cuál recomendaría si el rendimiento requerido es 18 %
b) Calcular la TIR de cada proyecto.
4
4.250
3.200
5
5.250
3.200
5. Una empresa ha estimado los flujos de efectivo para los cinco años de vida de dos
proyectos, A y B. Estos flujos se resumen a continuación:
Proyecto A
Proyecto B
Inversión Inicial
US$ 38.000
US$ 15.000
Año
Entradas de Efectivo
1
8.000
4.950
2
12.000
4.950
3
14.000
4.900
4
16.000
4.900
5
12.000
4.900
Halle la TIR de cada uno de los proyectos para un COK = 20%
10.5. Relación Beneficio - Costo (B/C): El método de análisis B/C se basa en la relación entre
los costos y beneficios asociados con un proyecto particular. El primer paso es
determinar cuáles elementos son beneficios y cuáles son costos. En general, los
beneficios son ventajas, expresadas en términos monetarios, que recibe el propietario.
Los costos son los gastos anticipados de construcción, operación, mantenimiento, etc.
29
La relación Beneficio/costo esta representada por la relación:
Ingresos
Costos
Donde los Ingresos y los Costos deben ser calculados utilizando el VAN o el
(valor actual de costos).
El análisis de la relación B/C, toma valores mayores, menores o iguales a 1, lo
implica que:
VAC
que
B/C > 1 implica que los ingresos son mayores que los costos, por lo tanto, el proyecto
es aconsejable.
B/C = 1 implica que los ingresos son iguales que los costos, por lo tanto, el proyecto
es indiferente.
B/C < 1 implica que los ingresos son menores que los costos, por lo tanto, el proyecto
no es aconsejable.
10.5.1. Ejercicios
1. Una empresa de confecciones para ampliar su negocio ha solicitado un crédito a un Banco
local por S/.30.000 para ser cancelado a 5 años a una TEA del 15% y estima tener el siguiente
flujo de inversiones, ingresos por ventas y costos de operación.
Calcular el resultado de la inversión utilizando el criterio B/C, e interprete el resultado.
Año Inversión Ingresos Costos
0
30.000
1
25.000 15.000
2
30.000 18.000
3
35.000 21.000
4
35.000 21.000
5
35.000 21.000
10.6. Periodo de Recuperación de Capital (Payback): Se define como el número de años que
se requiere para que las entradas de efectivo de una inversión recuperen las salidas de
efectivo de esa inversión y evalúa si es económicamente conveniente.
Para calcular el periodo de recuperación simplemente se cuenta el número de años que
toma a las entradas de efectivo proyectadas igualar a las salidas de efectivo proyectadas.
10.6.1. Ejercicios
1. Supóngase que se tienen dos proyectos que requieren un mismo valor de inversión inicial
equivalente a S/. 1.000. El proyecto (A) presenta los siguientes FEN (datos en miles):
30
Años
Proyecto A
Proyecto B
0
-1.000
-1.000
1
200
600
2
300
300
3
300
300
4
200
200
5
500
500
2. Se tiene los siguientes flujos de 2 proyectos se pide determinar cuál es el que conviene por
el criterio del VAN y B/C, si el COK = 20%
Año
Ingresos
Inversión/co
stos
0
-25.000
-30.000
1
7.000
9.000
Sesión 18
EXAMEN FINAL
31
2
7.000
12.000
3
8.500
15.000
4
8.500
16.000