Diseño de controladores de orden reducido mediante técnicas de

DISEÑO DE CONTROLADORES DE
ORDEN REDUCIDO MEDIANTE
IDENTIFICACION Y CONTROL
ITERATIVO
Dr. Antonio Sala Piqueras
Depto. Ing. Sistemas y Automática
Universidad Politécnica de Valencia
CONTENIDOS
z
z
z
z
z
Criterios de modelado
Modelado para control
Reducción de modelos
ID para control
Algoritmo iterativo
Modelos, criterios de modelado
z
Descripción, reproducir propiedades de interés,
–
Modelado para Predicción ante
z
z
entradas aleatorias desconocidas (series temporales)
entradas conocidas (función de transferencia)
–
–
–
Constantes (puntos de funcionamiento, ganancias)
Aleatorias (“todas las posibles entradas”)
Limitadas en frecuencia y amplitud
RESULTADO: salida modelo (media, varianza, cotas) parecida a
salida real ante condiciones similares
Criterios de Modelado
–
Modelado para diseño de reguladores
Determinadas características de frecuencia, amplitud
RESULTADO: bucle cerrado que funciona en la planta
real de forma similar a la simulación (estabilidad,
varianza debida a perturbaciones reducida)
z No es necesario que el bucle abierto (respuesta ante
escalón, aleatoria, etc.) se parezca: pueden eliminarse
determinadas características en favor de otras.
z
Modelado para control
z
El modelo ``perfecto'' reproduce la distrib. de probabilidad
de salidas de la planta ante cualquier entrada, bueno
para cualquier aplicación. Dicho modelo no existe: el
objetivo del modelado es que las imperfecciones estén
en zonas irrelevantes para la aplicación concreta, a un
COSTE RAZONABLE
–
Determinar, en función de las especificaciones que deseen
conseguirse, un modelo que reproduzca las propiedades
adecuadas de la planta, y determinar los experimentos
necesarios para ajustarlo.
Condiciones estabilidad robusta
{Error de Modelado} X {factor de diseño} < 1
K
KG
∆+ × |
| = ∆* × |
|<1
1 + KG
1 + KG
z
Interpretación 1 (control robusto H∞ ):
–
–
z
Dadas unas cotas máximas de error de modelado |∆(jw)|<W(jw), W
conocido, diseñar un regulador que verifique las desigualdades y haga
S pequeño
Control óptimo H∞ : diseñar el regulador que minimiza ||M|| ∞ = max_w
|M(jw)| -worst case- M=T,KS, o alguna combinación de ellas.
Interpretación 2 (modelado para control):
–
Dado un diseño K basado en un modelo G, se obtiene una cota del
error de modelado indicando las zonas donde mayor precisión es
necesaria.
Enfoques en modelado y control
z
ID, Control como procesos separados:
–
–
Las cotas de error en ID condicionan las
especificaciones exigibles a mi modelo para que
sean válidas en la planta real (control robusto).
Las especificaciones BC deseadas condicionan
los experimentos de ID necesarios (identificación
para control). Objetivo: modelo con pocos
parámetros cuyo error esté en zonas no
relevantes, cotas de error.
Enfoques unificados en modelado y
control
–
regulador mínima varianza + id mínimos cuadrados
z
–
Control dual.
z
z
–
tratan de hacer error de bucle = error de identificacion = ruido blanco.
(Astrom, Ljung)
Plantear problema único optimización de un regulador para la planta
real.
Dilema exploración-explotación: para intentar mejorar se deben
introducir perturbaciones que saquen a relucir errores de modelo, habrá
comportamiento no óptimo en experimentos
Ident. y Control iterativos.
z
Control con especif. Crecientes hasta que modelo no sirva. Entonces ID
para control.
Modelado/Ident. para control
z
Las especificaciones de control deseadas (S,T)
implican una distribución en la frecuencia de la
precisión necesaria:
–
–
–
a baja frecuencia, los errores de modelado son
compensados trivialmente por acción integral... No es
necesario mucho esfuerzo -- contrario a la costumbre
de querer respuesta escalón “ajustada”.
A alta frecuencia debe limitarse la acción de control
(para evitar que los ruidos de medida influencien al
proceso)... Tampoco es necesario mucho esfuerzo.
Es importante modelar bien a frecuencias en las que
KG ≈ -1 : 1/(1+KG) es grande.
Los modelos NO tienen como objetivo
“parecerse” al sistema real
z
z
z
Proceso P1=(s-1) / [ (s-2)*(s-3) ]
Modelo M=P2= -1.22 / (s+7)
Diseñando con un controlador proporcional 5.92 los
bucles cerrados son casi iguales.
Reducción de modelos para
control
z
z
z
Modelos de orden elevado obtenidos de ID,
elementos finitos, teóricos (ecs.
fundamentales) ...
La diferencia ||G-Gr|| debe ser pequeña a las
frecuencias interesantes para control.
La diferencia debe centrarse en el
comportamiento entrada-salida.
–
Realización equilibrada: gramianos de
controlabilidad = observabilidad (= diagonal)
Reducción de modelos: ejemplo
z
Ejemplo: 1/(s+4) + 6/(s+45) = (7s+69)/((s+4)(s+45))
–
–
–
–
1. Elim. Polo rápido (modal truncation) 1/(s+4)
2. Rég. Permanente polo rápido 1/(s+4)+6/45
3. Realización equilibrada, truncación 4.356/(s+14.2)
4. Real. Equ., reg. Perm. (0.0759s+1.981)/(s+5.168)
10 rad/s
100 rad/s
Reducción de modelos (2)
z
Respuestas escalón B.A.:
G
0.35
3
0.3
0.25
0.2
0.15
2
4
1
0.1
0.05
0
0.5
Reducción de modelos: ejemplo
(3)
z
Comparación 3 y 4, Reg. cancelación
T=6/(s+6)
( )
1.4
3
1.2
1
T
4 (aprox. igual que 2)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
Reducción de modelos: ejemplo
(4)
z
From: U(1)
Comparación1.4 3 y 4, cancelación
T=120/(s+120)
4 1.2
T
1
3
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Time (s ec .)
0.25
0.3
0.35
Identificación experimental:
Calidad de los modelos
z
z
Parámetros función del ruido tienen media y
varianza.
MEDIA (bias)
π
(
)
jω
2
L
e
|
(
)
|
jω
jω 2
ˆ
VN (θ ) = ∫ | G (e ) − Gθ (e ) | Φ u (ω ) + Φ v (ω )
dω
ω
j
2
| Hˆ θ (e ) |
−π
–
–
–
–
No compartir parámetros entre G y H
Aumentar relación señal/ruido, a las frec. de interés.
Usar el filtro L para intensificar ajuste a frec. de interés.
Modelo siempre es de orden menor al proc. real.
Calidad modelos estimados (II)
z
Varianza:
z
parámetros de G. Aumenta proporcionalmente a:
número de parámetros (orden modelo)
– relación { Ruido / Señal }
–
z
z
Las dos DISMINUYEN a medida que crece el N de datos
experimentales.
Compromiso BIAS / VARIANZA:
z
z
Pocos parámetros: bias grande (Gmodelo no puede ajustarse bien a
Greal) vza reducida: el modelo no ajustará bien training samples.
Demasiados parámetros y pocos datos dará un estimado de G de bias
reducido, gran vza. El modelo ajusta MUY BIEN training samples, no
ajustará bien test samples independientes.
ID para control
–
–
Error reducido en G es importante para control
en bucle cerrado. Error reducido en H no lo es
tanto.
Para predicción, error en H sí es importante si la
relación señal/ruido es baja. Caso límite: series
temporales (sin entrada), sólo modelo H. En aplicaciones
de control, es casi irrelevante (sólo necesaria una
aproximación de su espectro en frecuencia).
ID para control (II)
z
Debería cuantificar la incertidumbre.
–
Algoritmos de mínimos cuadrados: enfoque
probabilístico, no “worst case”.
z
–
Producen parámetros+intervalo de confianza, pero no
son fiables ni sirven para dar errores en la frecuencia.
Algoritmos específicos para control robusto.
z
A partir de datos empíricos de respuesta en frecuencia,
suavizándola, comparando distintos experimentos. El
modelo “óptimo” tiene gran complejidad, LMI’s, etc.
ID para control (III)
z
Deseables modelos de orden reducido (poca
varianza). Aprovechar “al máximo” los
parámetros para ajustar las zonas de
frecuencia importantes.
–
–
Aplicar una entrada con contenidos en la banda
de frecuencias cercanas al ancho banda B.C.
deseado.
Filtrar entradas y salidas fuera de esa banda para
evitar ajustar a otras frecuencias.
Identificación en bucle cerrado
z
z
Objetivo: aprovechar los ensayos donde el
comportamiento BC ha sido no satisfactorio.
Problema fundamental:
–
¿qué identifica el algoritmo?
z
–
–
y=Gu vs.
y=(1/K) u
G
u
Para que el resultado sea correcto,
K
debe introducirse excitación adicional en u.
Varios enfoques: directo, indirecto…
y
Identificación directa
z
Desviación del modelo:
2
2
jω
2


KS
L
e
|
|
|
(
)
|
1
VN (θ ) = ∫  | G − Gˆθ |2 | Φ r (ω ) + + Gˆθ Φ v (ω ) 
dω
j
2
ω

 | Hˆ (e ) |
K
−π 
θ

π
–
–
–
Minimizar KS∆+ parece razonable (estabilidad robusta),
pero no es lo mismo el máximo que la integral.
En zonas donde la excitación debida a perturbaciones
es comparable o mayor que la de la referencia, el
algoritmo converge mal, a -1/K, si el modelo de ruido
\hat{H}\hat{S} no es bueno.
En zonas donde el control es bueno, S pequeña, no
cuentan en la ponderación, mal modelo siguiente.
Observaciones esquema general
z
Cuando la mejora de especificaciones
conseguida con nuevos modelos más y más
complejos no se ve refrendada por pruebas
en planta real, debe añadirse
instrumentación:
–
–
–
Saturación: actuadores más potentes
Poco ancho de banda: actuadores más rápidos
Poca cancelación perturb.: añadir sensores
Interpretación de control óptimo
Algoritmo Iterativo de control orden
reducido
z
z
z
1.-Comienzo por regulador de bajo ancho de
banda, modelo estático
2.-Incrementar ancho de banda deseado
hasta que se llega al controlador terminal
3.-Identificar un modelo de orden reducido a
las frecuencias donde las especificaciones
no son aceptables.
Algoritmo de orden reducido (2)
z
z
z
4. Diseñar controlador para ese nuevo
modelo (+ roll-off alta frecuencia)
5. Validar el modelo+controlador mediante
condiciones de estabilidad robusta respecto a
los modelos anteriores. Si no se consigue,
reidentificar con un nuevo criterio
6.-Probar el regulador sobre planta real. Ir a
(2) si el regulador funciona correctamente, a
(3) si no.
Detalle Paso 2.
z
z
Evaluar qué se ha conseguido con la planta
real: (calidad de respuesta escalón o de
ensayo en frecuencia).
Dos tipos de “mal comportamiento”:
–
–
Alta frecuencia: nos acercamos a límites de
inestabilidad por error de modelado
Baja frecuencia: El error de modelado puede ser
compensado incrementando la ganancia del
regulador (subiendo el ancho de banda).
Detalle Paso 3
z
Identificación “output error” en bucle cerrado
(error * KS, norma 2) + excitación adicional
con multiseno en cierta banda de
frecuencias.
–
Alrededor de las que aparecen al acercarse a la
inestabilidad.
–
Banda “estrecha”: no sirve para “extrapolar” a frecuencia
mayor
Banda “ancha”: hace falta un orden elevado para un ajuste
razonable, compromiso
–
Detalle paso 4
z
z
Diseño por “stacked sensitivity”.
A medida que crece el ancho de banda de S
deseado, los pesos de T y KS deben
reducirse para poder encontrar una solución:
–
la solución es más sensible a error de modelado,
y llega un momento en que deja de funcionar
correctamente en la planta real.
Detalle Paso 5
z
z
Cada modelo pasado Gj tiene “banda de
validez”, donde ha dado controladores
aceptables con planta real. El último modelo
identificado aproxima una banda más o menos
estrecha de “alta frecuencia”.
Un nuevo modelo G debe verificar en la banda
de validez de cada modelo ANTERIOR C
| (G − G j )
z
1 + CG j
O condición de fase -90<arg KS(G-Gj)<+90
(incert. parcialmente estructurada)
|< 1
Detalle Paso 5 (2)
z
Si no es así, se generan unos datos
experimentales “sintéticos” con mezcla de
datos de cada Gj de modo que se consiga
verificar la condición:
–
–
–
Datos del modelo Gj son ponderados más si no
se verifica la condición.
Se repite hasta que las condiciones se verifican y
el error en la última banda es aceptable
Si no se puede conseguir, se sube el orden
Resultados
z
z
z
z
z
G=
41.67 ( s / 70+1)( s / 15+1)
( s / 1600+1)( s / 800+1)( s / 200+1)( s / 45+1)( s / 4+1)
Simulación. Planta
orden 5, muestreo 1KHz
0 .008 ( s /( 0 . 0027 λ ) + 1)
−1
Peso de sensitividad
wP =
s/λ +1
Peso de T y KS: constantes, para
reducir orden resultante
Primer modelo: estático, G1=41.67
Controladores resultantes: PI, hasta
λ=9
Resultados (2)
Resultados (3)
z
z
Aumentar ancho banda: oscilaciones alred. 4.3 rad/s…
reidentificar banda [2.8,7.6] rad/s.
Loss function criteria: 1er orden
G=
z
7 .92 ( z − 0 . 978 )
z − 0 . 9958
Permite llegar a λ=170 rad/s.
Resultados (4)
Resultados (5)
z
z
z
z
Aparecen nuevas oscilaciones en Y,
identificar [100 240 rad].
Loss function: modelo 1er orden, razonable.
Estabilidad robusta: no es suficiente. Se
necesita 2º orden, técnica interpolatoria para
ajustar G1, G2 y la última banda para que el
controlador tolere el error. Se llega a λ=600.
Siguiente banda [340,560]… interpolante de
todo, segundo orden. Llega hasta λ=875.
z
Modelo de tercer orden permite avanzar hasta 1000
rad/s.
Cancelación
Modificación metodología para cancelación permite, con
el modelo y controlador de 2o orden
0 .039027 ( z 2 + 4 .376 z + 11 .76 )
G=
( z − 0 .9513 )( z − 0 .4531 )
1 .588 ( z − 0 .9513 )( z − 0 .4531 )
C=
( z − 1)( z − 0 .7288 )
hacer asignación de polos en el origen, y un funcionamiento
sobre la planta completa satisfactorio.
z
Ajuste en frecuencia
Experimento
z
z
Quanser RotFlex flexible joint (motor CC +
carga angular conectada por muelles al eje
principal).
Modelo teórico: 4º orden (2 polos reales + 2
complejos) + dinámica parte eléctrica +
vibraciones …
Experimento
z
z
Enfoque iterativo: con modelos de 2º orden
(polo real +integrador) y reguladores stacked
sensitivity de 2º orden se consigue transitorio
comparable o mejor que un enfoque de orden
completo “one-shot” (Landau, tiempo est: 0.8;
DISA tiempo 0.7).
Saturación y otras no-linealidades limitan el
comportamiento más que la simplicidad del
modelo.
Resultados finales.
Conclusiones
z
z
ID+Control iterativo: los problemas de
identificación y control robusto están
fuertemente interrelacionados
Modelos de orden reducido que ajusten un
determinado rango “clave” de frecuencias (S,
KS grandes) y que tengan error grande en
otras a las que S es pequeña no se parecen,
a simple vista, en “nada” a la planta real, pero
permiten resultados satisfactorios en ciertos
casos.
Referencias
z
z
Sala, A.; Esparza, A. (2003) Reduced-order
controller design via iterative identification
and control. European J. of Control. Vol. 9(1),
pages 105-117.
Albertos, P. and Sala, A. (Editors) (2002)
Iterative Identification and Control. Springer.
& referencias allí citadas.