Distribución Binomial

Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán
C. Distribución Binomial
Objetivos de aprendizaje
1. Definir los resultados binomiales
2. Calcular la probabilidad de obtener X éxitos en N pruebas
3. Calcular probabilidades binomiales acumulativas
4. Encontrar la media y la desviación estándar de una distribución
binomial
Cuando lanzas una moneda al aire, hay dos posibles resultados:
águila y sol. Cada resultado tiene una probabilidad fija, la misma en
cada prueba. En el caso de las monedas, águila y sol tienen, cada
una, la misma probabilidad de 1/2. Sin embargo, algunas veces se
presentan situaciones en las que la moneda está “cargada”, así que
águila y sol tienen diferentes probabilidades. En la presente sección
consideraremos distribuciones de probabilidad para las que hay
únicamente dos posibles resultados con probabilidades fijas que
sumadas son igual a 1. Estas distribuciones son llamadas
distribuciones binomiales.
Un ejemplo sencillo:
Los cuatro posibles resultados que podrían ocurrir si lanzas una
moneda dos veces se muestran en la Tabla 1. Observa que los cuatro
resultados son igualmente probables: cada uno tiene una
probabilidad de ¼. Para darte cuenta de esto debes tener en mente
que los volados son independientes (ninguno de ellos afecta al otro).
Por lo tanto, la probabilidad de que caiga águila en el volado 1 y
águila en el volado 2, es el producto de P(águila) y P(águila), que es
igual a 1/2 x 1/2 = 1/4. El mismo cálculo es aplicable para la
probabilidad de que caiga águila en el volado 1 y sol en el volado 2,
1/2 x 1/2 =1/4.
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Los cuatro resultados posibles
pueden clasificarse en términos
del número de águilas que
1
Águila
Águila
caigan. El número puede ser
2
Águila
Sol
dos
(resultado
1),
uno
3
Sol
Águila
(resultados 2 y 3) o cero
4
Sol
Sol
(resultado
4).
Las
Tabla 1. Cuatro posibles resultados
probabilidades
de
estas
posibilidades se muestran en la
Tabla 2 y en la Figura 1. Como dos de los resultados representan el
caso de que caiga sólo un águila en los dos volados, la probabilidad
de este evento es igual a 1/4 + 1/4 = 1/2. En la Tabla 1 se muestra
un resumen de los posibles resultados de estos lanzamientos.
Resultado
Primer
volado
Segundo
Volado
Número de águilas
Probabilidad
0
1/4
1
1/2
2
1/4
Tabla 2. Probabilidades de obtener 0, 1, o 2 águilas.
La Figura 1, muestra una distribución de probabilidad discreta: Es
decir, muestra la probabilidad para
cada uno de los valores señalados en el
eje de las X. Si definimos al resultado
“un águila” como “un éxito”, la Figura 1
muestra la probabilidad de obtener 0,
1 y 2 éxitos, en dos experimentos
(volados), donde la probabilidad de
obtener “un éxito” es igual a 0.5 en
Figura 1. Probabilidades de obtener 0, 1
cada prueba. La Figura 1, es un
y 2 águilas
ejemplo de una distribución binomial.
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La fórmula para las probabilidades binomiales
La distribución binomial es la distribución de las probabilidades de
cada uno de los éxitos posibles en N pruebas, para eventos
independientes que tienen cada uno una probabilidad de π de ocurrir.
Para el ejemplo de los volados, N = 2 y π = 0.5. La
órmula
f
para la
distribución binomial se muestra a continuación:
donde P(x) es la probabilidad de obtener x éxitos en N pruebas, N es
el número de pruebas, y π es la probabilidad de éxito en una prueba
dada. Aplicando esto al ejemplo del volado tenemos:
Si lanzas una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que
caigan una o más águilas? Como la probabilidad de que caiga
exactamente un águila es de 0.50 y la probabilidad de que caigan
exactamente dos águilas es de 0.25, la probabilidad de que caigan
una o más águilas es de 0.50 + 0.25 = 0.75.
Ahora supón que la moneda está cargada y que la probabilidad de
que caiga águila es de sólo 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga
águila al menos una vez en dos volados? Si substituyes estos datos
en nuestra fórmula general, debes obtener como resultado 0.64.
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Probabilidades acumuladas
Si lanzamos una moneda al aire 12 veces, ¿Cuál es la probabilidad de
que caigan de 0 a 3 águilas? Para hallar la respuesta hay que calcular
la probabilidad de exactamente 0 águilas, exactamente 1 águila,
exactamente 2 águilas, y exactamente 3 águilas. La probabilidad de
que caigan de 0 a 3 águilas es entonces la suma de esas
probabilidades. Las probabilidades son: 0.0002, 0.0029, 0.0161, y
0.0537. La suma de las probabilidades es 0.073.
El cálculo de probabilidades binomiales acumulativas puede ser muy
tedioso, por lo que para hacer más fácil el cálculo de estas
probabilidades te proporcionamos una calculadora binomial:
Binomial Calculator
Media y desviación estándar de la distribución binomial.
Considera un experimento de volados en el que lanzas una moneda al
aire 12 veces y registras el número de águilas que cayeron. Si
realizas este experimento una y otra y otra vez, ¿cuál sería la media
de águilas que caerían? En promedio, podrías esperar que la mitad de
los volados dieran como resultado águila. Por lo tanto, el número
medio de águilas sería 6. En general, la media de una distribución
binomial con parámetros N (el número de pruebas) y π (la
probabilidad de éxito para cada prueba) es:
μ = Nπ
donde μ es la media de la distribución binomial. La varianza de la
distribución binomial es:
σ2 = Nπ(1-π)
donde σ2 es la varianza de la distribución binomial.
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Ahora regresemos al experimento de los
volados con una moneda. La moneda fue
lanzada 12 veces, así que N = 12. Una
moneda tiene una probabilidad de 0.5 de dar
como resultado águila. Por lo tanto, π = 0.5.
La media y la desviación estándar pueden
calcularse entonces como sigue:
μ = Nπ= (12)(0.5) = 6
σ2 = Nπ(1-π)= (12)(0.5)(1.0 - 0.5) = 3.0.
Naturalmente, la desviación estándar (σ) es la raíz cuadrada de la
varianza (σ2).
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