λ λ λ λ µ µ µ µ

Matemáticas II
Septiembre 2006
EJERCICIO A
PROBLEMA 2. En el espacio se consideran:
• La recta r intersección de los planos de ecuaciones implícitas 2 x – 2 y – z = 9 y 4 x – y + z = 42.
• Y la recta s que pasa por los puntos (1,3,-4) y (3,-5,-2). Se pide:
a) Calcular las ecuaciones paramétricas de la recta r (0,8 puntos) y de la recta s (0,3 puntos).
b) Justificar que las rectas r y s se cruzan (0,8 puntos).
c) Calcular un vector direccional de la recta t, perpendicular común a las rectas r y s, (0,4 puntos) y calcular el punto P
de intersección de las rectas s y t (1 punto).
Solución:
a) Ecuaciones paramétricas de la recta r.
Resolvemos el sistema
2 x − 2 y − z = 9

4 x − y + z = 42
como
2 −2
4
−1
= −2 + 8 = 6 ≠ 0
usaremos como incógnitas principales x e y
2 x − 2 y = 9 + z

4 x − y = 42 − z
9+ z
−2
42 − z − 1 − 9 − z + 84 − 2 z 75 − 3 z 25 − z
=
=
=
6
6
6
2
2 9+ z
4 42 − z 84 − 2 z − 36 − 4 z 48 − 6 z
y=
=
=
=8− z
6
6
6
25 − λ

x = 2

Las ecuaciones paramétricas de la recta r son:  y = 8 − λ
z = λ


x=
λ ∈ℜ
Ecuaciones paramétricas de s.
→
vs = (3,−5,−2) − (1,3,−4) = (2,−8,2) ≈ (1,−4,1)
Las ecuaciones paramétricas de la recta s son:
x = 1 + µ

 y = 3 − 4µ
 z = −4 + µ

µ ∈ℜ
b)
→
 −1

vr =  ,−1,1
 2

→
Estos vectores no tiene sus coordenadas proporcionales
−1 1
≠
−4 1
por lo que las rectas r y s no son paralelas.
Veamos la posición relativa de estas dos rectas mediante el cálculo del siguiente determinante,
vs = (1,−4,1)
→
→
vr
vs
=
−1
25
−1
1
1
−1
2
2
2
Pr − Ps = − 1 − 4
8 − 3 = −1 − 4
1
1 0 − ( − 4)
1
1
23
2
5
4
C2 − C1
C3 − 4C1
=
− 1 3 25
3 25
2
2
2
−1 − 3 9 = 1 2
2 =
−
3
9
1
0
0
1 3 25 1
= (27 + 75) = 51 ≠ 0
2 −3 9 2
Por lo tanto las rectas r y s se cruzan.
c) La recta perpendicular común a r y s tiene como vector director,
→
→
→
i
j k
→
→
→
→ −1 1
→ − 1/ 2 1
→ − 1/ 2
→
−1 →
 1  →
vt = vr ∧ vs = − 1 / 2 − 1 1 = i
− j
+k
= i (−1 + 4) − j  − − 1 + k (2 + 1) =
1
1
1
−4 1
−4
 2 
1
−4 1
→
3→ →
j+ 3k
2
→
 3   1 
luego vt =  3, ,3  ≈ 1, ,1 ≈ (2,1,2)
 2   2 
=3i+
Calculemos el punto P intersección de las rectas s y t.
 25 − λ

Sean Pr 
,8 − λ , λ 
 2

y
Ps (1 + µ ,3 − 4 µ ,−4 + µ )
puntos cualesquiera de las
rectas r y s, respectivamente. Por ser t la perpendicular común a r y s buscamos el punto P imponiendo la
→
→
condición de que los vectores Pr Ps y vt deben ser paralelos.
→
25 − λ


Pr Ps = 1 + µ −
, 3 − 4 µ − (8 − λ ) , − 4 + µ − λ 
2


→
vt = (2,1,2)
25 − λ
2 = 3 − 4 µ − (8 − λ ) = − 4 + µ − λ
2
1
2
1+ µ −
luego
que da lugar a siguiente sistema,
25 − λ

1 + µ − 2
−4+µ −λ
=

2
2

 3 − 4 µ − (8 − λ ) − 4 + µ − λ
=

1
2

25 − λ

= −4 + µ − λ
2 + 2 µ − 25 + λ = −8 + 2 µ − 2λ
1 + µ −
→ 
2

− 8 µ − µ + 2λ + λ = −4 − 6 + 16
6 − 8 µ − 16 + 2λ = −4 + µ − λ
2 µ − 2 µ + λ + 2λ = −8 − 2 + 25
3λ = 15
→ 

 − 9 µ + 3λ = 6
 − 9 µ + 3λ = 6
15
de 1ª → λ =
=5
3
en 2 ª → − 9 µ + 3 . 5 = 6
− 9 µ + 15 = 6
− 9 µ = 6 − 15
− 9 µ = −9
−9
µ=
=1
−9
El punto de la recta s buscado será: ( 1 + 1 , 3 – 4 . 1 , – 4 + 1 ) = ( 2 , – 1 , – 3 )
Luego P ( 2 , – 1 , – 3 )