λ λ λ λ µ µ µ µ µλ µλ µλ µ λ µ λ µ λ

Matemáticas II
Junio 2008
Problema 2.2. Dadas la recta r, intersección de los planos y + z = 0 y x – 2 y – 1 = 0, y la recta s de ecuación
s:
x
= y −1 = −z + 3
2
, se pide
a) Obtener, razonadamente, las ecuaciones paramétricas de r y s. (1,1 puntos).
b) Explicar de un modo razonado cuál es la posición relativa de las rectas r y s. (1,1 puntos).
c) Calcular la distancia entre las rectas r y s. (1,1 puntos).
Solución:
a) Ecuaciones paramétricas de r
Resolvamos el sistema de ecuaciones que define la recta r
y+z=0


=1
x − 2 y
0 1
como
= 0 − 1 = −1 ≠ 0
1 −2
podemos resolver el sistema anterior usando x e y como incógnitas principales,
y = −z


x − 2 y = 1
−z 1
1 − 2 2z −1
x=
=
= −2 z + 1
−1
−1
0 −z
1 1
z
y=
=
= −z
−1
−1
Por lo que las ecuaciones paramétricas de la recta r serán:
 x = 1 − 2λ

 y = −λ
z = λ

λ ∈ℜ
Ecuaciones paramétricas de s
s:
x
= y −1 = −z + 3
2
la ecuación continua será
y la paramétrica
x y −1 z − 3
=
=
2
1
−1
 x = 2µ

y =1+ µ µ ∈ℜ
z = 3 − µ

b) Posición relativa de r y s.
Estudiemos el sistema que plantearíamos para buscar el punto de corte entre las rectas,
1 − 2λ = 2µ

− λ = 1 + µ
λ = 3 − µ

− 2λ − 2µ = −1

→ − λ − µ = 1
λ + µ = 3

La matriz ampliada del sistema
 − 2 − 2 − 1


 −1 −1 1 
 1
1
3 

En la matriz de coeficientes, A, vemos que C1 = C2 y que tiene elementos no nulos, luego ran(A) = 1
En la matriz ampliada, como C1 = C2
A´ = 0
y
− 2 −1
−1
1
= −2 − 1 = −3 ≠ 0 → ran( A´) = 2
Como ran(A) = 1 y ran(A´)=2, las rectas r y s son paralelas.
c) Como las rectas r y s son paralelas
d (r , s ) = d (Pr , s ) =
Pr (1,0,0)
Ps (0,1,3)
Ps Pr × vs
vs
→ Ps Pr (1,−1,−3)
vs (2,1,−1)
→
→
→
i
j
k
Ps Pr × vs = 1
2
→
−1 − 3 = i
1
−1
−1 − 3
1
−1
→
− j
1 −3
2
−1
→
+k
1 −1
2
1
Ps Pr × vs = 4 2 + (−5) 2 + 32 = 16 + 25 + 9 = 50 = 5 2
vs = 2 2 + 12 + (−1) 2 = 4 + 1 + 1 = 6
Por lo que d (r , s ) =
5 2
5 5 3
=
=
u.l.
3
6
3
→
→
→
= i (1 + 3) − j (−1 + 6) + k (1 + 2 ) = (4,−5,3)