PROBLEMA A.2. Se dan las rectas λ λ Obtener razonadamente

Matemáticas II
Julio 2015
x = 1 + λ
x +1 y −1 z

=
= , s :  y = −λ
PROBLEMA A.2. Se dan las rectas r :
y el punto P ( 0 , 3, – 2 ).
3
−1
2
z = 0

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta r. (3 puntos)
b) La ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. (4 puntos)
c) La distancia entre las rectas r y s. (3 puntos)
Solución:
a) ¿recta r1 que pasa por P y es paralela a r?
 P(0 , 3 , − 2 )
De r1 conocemos: 
→
r1 // r → vr1 // vr → vr1 (3 , − 1 , 2 )
Las ecuaciones de la recta r1 serán:
 x = 0 + 3λ

λ ∈ℜ
E. vectorial: r1 :  y = 3 − λ
 z = −2 + 2λ

x y−3 z+2
E. continua: r1 : =
=
−1
3
2
→
 x = 3λ

λ ∈ℜ
r1 :  y = 3 − λ
 z = −2 + 2λ

b) ¿plano π / r ⊂ π y π // s?
π // s → vs será director de π
r ⊂ π → Pr ∈ π y vr será director de π
De las ecuaciones de r y s obtenemos, directamente, los elementos necesarios del plano π.
→
→
Punto: Pr ( – 1 , 1 , 0 ) y vectores directores: vr (3 , − 1 , 2 ) y vs (1 , − 1 , 0 ) . La ecuación de π será:
–3z+2(y–1)+ z+2(x+1)=0
–3z+2y–2+z+2x+2=0
2x+2y–2z=0
x+y–z=0
x +1 y −1 z
3
1
−1
−1
2 =0
0
Solución: π: x + y – z = 0
c) ¿d ( r ,s )?
Veamos la posición relativa de las rectas r y s.
 Ps (1 , 0 , 0 )
 Pr (− 1 , 1 , 0 )
r : →
s : →
vr (3 , − 1 , 2 )
vs (1 , − 1 , 0 )
→
Construimos la matriz M´ vr

1
2 
 3


M´=  − 1 − 1 − 1
 2
0
0 

→
vs

Pr Ps  .

Pr Ps = (2,−1,0 )
Rango de M,
se cortan
3 = 3 ≠ 0 → ran( M ) ≥ 1

3
1
→ ran( M ) = 2 → r y s o
= −3 + 1 = −2 ≠ 0 
−1 −1
se cruzan

Rango de M´,
3
1
2
− 1 − 1 − 1 = −2 + 4 = 2 ≠ 0 → ran( M ´) = 3
2
0
0
ran(M´) = 3 ≠ 2 = ran(M) → las rectas r y s se cruzan.
→ →

vr vs Pr Ps 
Por tanto, d (r , s ) =
→
→
vr × vs
→
vr
3
1
2

Pr Ps  = − 1 − 1 − 1 = (calculado antes ) = 2

2
0
0
→
vs
→
→
→
i
j k
→
→
→
→ →
→
→
→
→
vr × v s = 3 − 1 2 = −3 k + 2 j + k + 2 i = 2 i + 2 j 2 − 2 k = (2 , 2 , − 2 )
1 −1 0
→
→
vr × vs = 2 2 + 2 2 + (−2) 2 = 12 = 2 3
Por tanto d(r, s) =
Solución: d( r , s ) =
2
=
2 3
3
u.l.
3
2
2 3
=
1
3
=
3
u.l.
3