UNIDAD 13 Azar y probabilidad 2. Ejercicios de iniciación. Sucesos

UNIDAD 13 Azar y probabilidad
2. Ejercicios de iniciación. Sucesos aleatorios
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1 Lanzamos al aire un dado de seis caras, numeradas con 1, 2, 3, 4, 5 y 6 y observamos la puntuación obtenida.
a) Escribe el espacio muestral.
E=
b) Escribe los siguientes sucesos:
A = “Obtener un número par” =
B = “Obtener más de tres” =
C = “Obtener menos de tres” =
D = “Obtener más de ocho” = Ø (conjunto vacío)
F = “Obtener menos de ocho” =
c) Entre los sucesos B y C ¿cuál es el más probable?
d) ¿Cuál de los sucesos anteriores es un suceso imposible?
e) ¿Cuál de los sucesos anteriores es un suceso seguro?
2 Extraemos una carta de una baraja española y observamos el número y el palo.
Expresaremos cada carta con un número y una letra. Por ejemplo:
Cinco de copas 8 5-C
As de espadas 8 1-E
Escribe estos sucesos:
A = “Obtener un tres” =
B = “Obtener un rey” =
C = “Obtener un basto” =
D = “Obtener menos de tres” =
Rey de copas 8 12-C
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2. Ejercicios de iniciación. Sucesos aleatorios
3 Extraemos un bola de esta urna:
5
1
6
2
3
3
4
2
a) Escribe los siguientes sucesos:
A = “Extraer una bola roja” =
B = “Extraer una bola azul” =
C = “Extraer un dos” =
D = “Extraer un cinco” =
F = “Extraer menos de tres” =
b) ¿Cuál de los sucesos anteriores es el más probable?
c) ¿Cuál de los sucesos anteriores es el menos probable?
tres roja
3
8 3-R
dos azul
2
8 2-A
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3. Experiencia: Dos metas para una ficha
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1 Construye, en una hoja de papel, un tablero como este y realiza el juego basado en las normas que se detallan
a continuación:
META NORTE
NORMAS
7
6
5
4
3
2
1
SALIDA
8
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
META SUR
1. Toma una ficha, ponla en el 0 y lanza,
sucesivamente, una moneda.
2. Cuando salga CARA, mueve la ficha
una unidad hacia arriba y, cuando salga CRUZ, una unidad hacia abajo.
3. Lleva la cuenta del número de tiradas
hasta llegar a una de las metas, norte o
sur.
4. Cuando hayas llegado a una de las
metas, calcula tu proporción de CARAS
y de CRUCES y compara los resultados
con los de tus compañeros.
Proporción de caras = n.° de caras
n.° de tiradas
Proporción = n.° de cruces
de cruces
n.° de tiradas
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3. Experiencia: Dos metas para una ficha
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Para calcular la proporción de caras y cruces, no hace falta que vayas contando el número de CARAS y de CRUCES. Observa que si llegas a la meta norte, habrás conseguido 7 caras más que cruces y si llegas a la meta sur,
habrás conseguido 7 cruces más que caras. Por ejemplo, si llegas a la meta sur en 57 tiradas, las CARAS serán
25 = (57 – 7) : 2 y las CRUCES, 32 = (57 – 7) : 2 + 7.
Proporción de caras = n.° de caras = 25 = 0,439
n.° de tiradas 57
Proporción de cruces = n.° de cruces = 32 = 0,561
n.° de tiradas 57
Resuelve ahora en tu cuaderno los siguientes casos:
META
N.° DE TIRADAS
NORTE
23
SUR
49
NORTE
105
SUR
197
N.° DE CARAS
N.° DE CRUCES
PROPORCIÓN CARAS
PROPORCIÓN CRUCES
Observa que, cuanto más se tarda en alcanzar una de las metas, más se aproximan a 0,5 las proporciones.
¿Qué pasaría si las metas estuvieran a 10 pasos en vez de a 7? ¿Y si estuvieran a 20 pasos? ¿Y a 50? ¿No crees que
tarde o temprano se acabaría llegando a una de ellas?
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3. Experiencia: Dos metas para una ficha
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1 Construye, en una hoja de papel, un tablero como este y realiza el juego basado en las normas que se detallan
a continuación:
META NORTE
NORMAS
7
6
5
4
3
2
1
SALIDA
8
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
META SUR
1. Toma una ficha, ponla en el 0 y lanza,
sucesivamente, una moneda.
2. Cuando salga CARA, mueve la ficha
una unidad hacia arriba y, cuando salga CRUZ, una unidad hacia abajo.
3. Lleva la cuenta del número de tiradas
hasta llegar a una de las metas, norte o
sur.
4. Cuando hayas llegado a una de las
metas, calcula tu proporción de CARAS
y de CRUCES y compara los resultados
con los de tus compañeros.
Proporción de caras = n.° de caras
n.° de tiradas
Proporción = n.° de cruces
de cruces
n.° de tiradas
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4. Lectura: ¿Es posible dar leyes que regulen el azar?
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Tres jugadores de dados mantienen la siguiente conversación a propósito de sus partidas. Entre otras cosas afirman:
— JUGADOR A: Tuve una tarde de suerte. Tiré el dado 180 veces y salió el 6 en 84 ocasiones, decía uno.
— JUGADOR B: Pues yo tengo contabilizado que, en los tres últimos meses, el número de veces que ha salido el 6
supera al número de veces que ha salido el 1 en 230, dijo otro.
— JUGADOR C: En mis partidas sale tantas veces el 6 como el 1 como las demás caras del dado. Y, puesto que lo
llevo bien contado, cada vez que apuesto lo hago por el número que menos veces ha salido. De esa
forma gano casi siempre, concluyó el tercero.
¿Dicen la verdad? ¿Mienten? ¿Juegan con dados trucados? ¿O acaso, en las cosas del azar no hay manera de asegurar nada? Piénsalo bien. Al final de la lectura comentamos estas cuestiones.
La palabra azaroso se utiliza como sinónimo de imprevisible. El azar es considerado como lo más opuesto al orden,
a cualquier regla, a toda previsión. ¿Cómo poner leyes a algo imprevisible?
Pensemos en algunas situaciones completamente aleatorias y en las que, sin embargo, podemos encontrar regularidades:
• La presión que ejercen las moléculas de un gas en las paredes del recipiente que las contiene depende exclusivamente de los choques de las moléculas; es decir, de su movimiento. ¿Cómo es posible entonces que, a pesar de
que las moléculas de gas se mueven al azar, la presión que ejercen en las paredes del recipiente que las contiene
es la misma en todos los puntos?
• Los expertos de tráfico no conocen las intenciones personales de cada conductor. ¿Cómo es posible entonces
que puedan prever con mucha precisión qué flujo de coches va a haber en cada carretera y a cada hora de un fin
de semana? Y, lo que es más sorprendente, ¿cómo vaticinan con tanto tino el número de accidentes que se van a
producir?
Estas situaciones tienen algo en común: la previsión se hace sobre el enorme número de individuos que forman el
colectivo (las moléculas de un gas, los que pueden salir de viaje, los que viajan y pueden accidentarse…).
Las leyes del azar no se refieren al itinerario de un único viajero o a la dirección de una sola molécula de gas; ni a lo
que cabe esperar de un solitario lanzamiento de dado. Sí lo hacen sobre una cantidad enorme de viajeros, de moléculas de gas o de lanzamientos de dado.
Comentarios
— A miente o usa un dado trucado. Es prácticamente imposible que con un dado se consiga 84 veces el “6” en
180 tiradas (casi la mitad de las veces).
— B puede decir la verdad. Si el número total de tiradas es muy grande, puede ocurrir que el número de “6”
supere al de “1” en 230, y, sin embargo, la frecuencia relativa de ambos sucesos sea próxima a 1/6. Por ejemplo,
si en 20 000 tiradas se obtiene f (1) = 3 200 y f (6) = 3 430, sus frecuencias relativas son fr (1) = 0,16 y
fr (6) = 0,17, ambas próximas a 1/6.
— C miente. No es cierto que los resultados de las tiradas se vayan igualando. ¡El azar no tiene memoria! Por tanto, la táctica de apostar por el número que menos ha salido es absurda.
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5. Ejercicios de iniciación. Ley de Laplace
1 Calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
1
2
1
A = “Obtener bola roja” 8 P [bola roja] =
B = “Obtener un 1” 8 P [1] =
2
2
3
1
4
3
2
=
10
10
C = “Obtener un 2 azul” 8 P [2 azul] =
D = “Obtener menos de 5” 8 P [menos de 5] =
F = “Obtener un 4 rojo” 8 P [4 rojo] =
=
=
2 Calcula la probabilidad de “obtener rojo” al hacer girar cada una de estas ruletas:
a)
Casos favorables =
Casos posibles =
Probabilidad =
=
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5. Ejercicios de iniciación. Ley de Laplace
b)
Casos favorables =
Casos posibles =
Probabilidad =
c)
=
Casos favorables =
Casos posibles =
Probabilidad =
d)
Casos favorables =
Casos posibles =
Probabilidad =
=
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6. Experiencia: Carrera de fichas
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1 Construye un tablero, en papel, como el que muestra la figura y realiza el juego basado en las normas que se
detallan a continuación:
META
NORMAS
1. Lanza dos dados (de seis caras) y suma
sus puntuaciones.
2. Avanza una casilla la ficha que está situada en la calle cuyo número coincide
con la puntuación que has obtenido.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3. Ganará la ficha que llegue a la meta en
primer lugar.
SALIDA
Observa que en el tablero hay once pistas o calles numeradas del 2 al 12 (los posibles resultados que se obtienen al tirar dos dados y sumar sus puntuaciones).
Haz unas cuantas tiradas de dados y observa cómo evoluciona cada ficha.
Esta otra figura muestra la situación de una carrera después de 44 tiradas.
META
Como puedes comprobar en ella, la suma
de los puntos ha sido 4 en tres ocasiones y
el 12 aún no ha salido.
Vuelve a tu tablero y, antes de empezar a
jugar, ¿te aventuras a decir qué ficha será
la vencedora?
Juega una partida y piensa en los resultados obtenidos.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Para una próxima partida, ¿qué ficha consideras favorita?
SALIDA
Observa la siguiente tabla e intenta encontrar una relación entre sus resultados y el resultado del juego:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12