4 Superficies regulares. Solución de los ejercicios propuestos. 1. Sea f : R2 → R3 una función verificando que sus componentes son funciones de clase C ∞ en R2 . Comprobar que el grafo de f , es decir Gr(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, y)} es una superficie regular. Nota: Toda superficie puede siempre parametrizarse a partir de grafos de funciones. Solución: Gr(f ) puede ser parametrizado a partir de X : R2 → R3 dada por X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (u, v, f (u, v)) para todos (u, v) ∈ R 2 . De esta forma se tiene que, para cada (u0 , v0 ) ∈ R2 , ∂x (u0 , v0 ) ∂x (u0 , v0 ) 1 0 ∂u ∂v ∂y = 2, 0 1 rango ∂u (u0 , v0 ) ∂y (u0 , v0 ) = ∂v ∂f ∂f ∂z ∂z (u0 , v0 ) ∂v (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) ∂v (u0 , v0 ) ∂u ∂u luego Gr(f ) define una superficie regular en R3 . 2. Se considera la superficie helicoidal dada por S = {(v cos(u), v sin(u), u) : v ∈ (0, 1), u ∈ (0, 2π)}. Se pide: - Comprobar que la helicoide es una superficie regular. - Calcular el plano tangente en cada punto de S. Solución: Una parametrización de S viene dada por X : (0, 2π) × (0, 1) → R3 , siendo X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (v cos(u), v sin(u), u). Comprobemos que esta parametrización define una superficie regular calculando ∂x ∂x (u , v ) (u , v ) −v sin(u ) cos(u ) 0 0 0 0 0 0 0 ∂u ∂v ∂y rango ∂u (u0 , v0 ) ∂y (u0 , v0 ) = rango v cos(u0 ) sin(u0 ) . ∂v ∂z ∂z 1 0 (u0 , v0 ) ∂v (u0 , v0 ) ∂u 1 Para que el rango sea 1, necesariamente, el determinante del menor resultante de eliminar la primera fila, y el determinante resultante de eliminar la segunda fila, deberı́an ser ambos 0. Por lo tanto, deberı́a ser cos(u0 ) = sin(u0 ) = 0, lo que no es posible para ningún valor u0 . Por tanto, el rango de la matriz considerada es 2 y la superficie helicoidal del enunciado es, efectivamente, una superficie regular. A partir de las operaciones anteriores, es claro que el plano tangente a la superficie helicoidal en un punto X(u0 , v0 ) cualquiera viene dado por la ecuación x − v0 cos(u0 ) y − v0 sin(u0 ) z − u0 = 0. −v0 sin(u0 ) v0 cos(u0 ) 1 cos(u0 ) sin(u0 ) 0 Calculando el determinante, la ecuación queda − sin(u0 )x + cos(u0 )y − v0 (z − u0 ) = 0. Comprobar que, calculando el plano tangente a partir de una parametrización, el resultado es el mismo. 3. Hallar la ecuación de la superficie cilı́ndrica de directriz d y generatrices paralelas a la recta r, siendo d≡ y 3 = x4 z=0 r≡ 2x + y = 0 x−y+z =0 Solución: La recta r tiene como vector director x y z w = 2 1 0 = (1, −2, −3). 1 −1 1 Por otro lado, una parametrización de d viene dada por α(t) = (t, t4/3 , 0), t ∈ R, de modo que la superficie cilı́ndrica pedida viene dada por la parametrización X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) siendo x = x(u, v) = u − v y = y(u, v) = u4/3 + 2v z = z(u, v) = 3v. 2 4. Hallar la ecuación de la superficie cónica, S, de vértice el punto P = (1, 1, 1) y directriz la curva de ecuaciones z=4 2 d≡ x2 + y9 = 1 4 Escribir su correspondiente ecuación implı́cita. Solución: El conjunto de vectores desde el vértice hasta cada punto en la directriz se parametrizan de la siguiente forma: v = v(t) = (2 cos(t) − 1, 3 sin(t) − 1, 3), t ∈ (0, 2π). De aquı́ que la superficie cónica venga dada por la siguiente parametrización: (x, y, z) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (1, 1, 1)+v∗(2 cos(u)−1, 3 sin(u)−1, 3). La ecuación cartesiana se obtiene eliminando los parámetros. Se tiene: v= z−1 , 3 cos(u) = x−1+v , 2v sin(u) = y−1+v . 3v Dado que cos2 (u) + sin2 (u) = 1, x − 1 + z−1 3 2( z−1 ) 3 2 + y − 1 + z−1 3 3( z−1 ) 3 2 = 1. Simplificando la ecuación se concluye que la ecuación del cono del enunciado es 81x2 + 36y 2 − 23z 2 + 5xz + 24yz − 216x − 96y − 32z + 172 = 0. 5. Hallar la superficie tangencial asociada a la curva α(t) = (et , e−t , t), t ∈ R. Solución: Es la superficie de ecuaciones paramétricas (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (eu , e−u , u) + v ∗ (eu , −e−u , 1), u, v ∈ R. 6. Hallar el paraboloide engendrado por la parábola z = by 2 , x = 0, al trasladarse paralelamente a sı́ misma a lo largo de la parábola z = ax2 , y = 0. 3 Solución: La directriz tiene ecuaciones paramétricas α(u) = (u, 0, au2 ), u ∈ R, mientras que la generatriz se puede parametrizar a partir de β(v) = (0, v, bv 2 ), v ∈ R. El punto de intersección entre las curvas es P = (0, 0, 0), por lo que la superficie de traslación resulta quedar determinada por la parametrización siguiente: (x, y, z) = (u, v, au2 + bv 2 ), u, v ∈ R. Eliminando parámetros de las identidades anteriores, resulta la ecuación z = by 2 + ax2 . 4.1 Otros ejercicios propuestos: 1. Sea la superficie S de ecuaciones paramétricas x = u2 +v 2 , y = u3 , z = v 3 , definida para u, v ∈ R. Hallar: - La ecuación del plano tangente a S y paralelo a 3x − 2y − 2z = 0. - Un vector unitario, normal a S, en el punto (2, 1, −1). 2. Hallar la superficie tangencial asociada a la curva alabeada α(t) = (t, t2 , t3 ). 3. Hallar la superficie tangencial asociada a la hélice α(t) = (r cos(t), r sin(t), at), t ∈ R, siendo a, r > 0. 4. Hallar la ecuación de la superficie de traslación de directriz d y generatriz g, dadas por x = 2 cos(t) y = 3 sin(t) d≡ z=4 g≡ x = 2 + z2 y = z3 Nota: Para comprobar que existe un único punto en la intersección de d y g, realizar un dibujo aclaratorio y razonar a partir de él. 4