relaciones metricas en un triangulo rectangulo

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Matemáticas 2– MA 111
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Pitágoras (582 a.C. - 500 a.C.), fue un filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas
influyeron mucho en Platón. Nació en la isla de Samos. Pitágoras fue instruido en las
enseñanzas de los primeros filósofos jonios: Thales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes.
Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un
movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo.
La filosofía de Pitágoras se conoce solo a través de la obra de sus discípulos.
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran
sus estudios de los números pares e impares, de los números primos y de los cuadrados,
esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el
concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden
y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para
las matemáticas. En geometría, el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la
hipotenusa, conocido como el teorema de Pitágoras.
Proyección Ortogonal.
•
La proyección ortogonal del punto
P sobre la recta L es el punto P', que
es
la
intersección
de
la
perpendicular PP' trazada del punto
P a la recta L, con dicha recta.
P
L
¿Y si el punto P está en la misma
recta L?
•
P'
La proyección ortogonal del
segmento AB sobre la recta L es
otro segmento A'B' cuyos extremos
son las proyecciones ortogonales de
los extremos del segmento dado.
Así m = A'B', es la longitud de la
proyección de AB sobre L.
En este caso A ' B' < AB .
B
A
A'
¿En qué caso A ' B' = AB ?
¿En qué caso A ' B' > AB ?
¿En qué caso A ' B' es un punto?
B'
m
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1
L
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1.
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Son las diferentes relaciones que vinculan las longitudes de los segmentos de un
triángulo rectángulo. A continuación demostraremos estas relaciones en base a la
semejanza de triángulos. En el triángulo ABC tenemos que:
CH , es la altura respecto a la hipotenusa AB , con CH = h.
AH , es la proyección ortogonal de AC sobre la hipotenusa AB , con AH = m.
BH, es la proyección ortogonal de BC sobre la hipotenusa AB , con BH = n.
C
A
α
b
β α
a
h
m
H n
β
B
c
1.1
∆ ACH ∼ ∆ CBH:
h m
= , de donde: h2=mn
n h
1.2
∆ ABC ∼ ∆ CBH:
a c
= , de donde:
n a
∆ ABC ∼ ∆ ACH:
b c
= , de donde: b2=cm
m b
1.3
a2=cn
El cuadrado de la longitud de
la altura relativa a la
hipotenusa
es
igual
al
producto de las longitudes de
las proyecciones de los catetos
sobre dicha hipotenusa.
El cuadrado de la longitud de
un cateto es igual al producto
de la longitud de la
hipotenusa por la longitud de
(2) la proyección del cateto sobre
dicha hipotenusa.
(1)
Teorema de Pitágoras:
Sumando (1) y (2), se tiene: a2 + b2 = cn + cm = c (n + m) = c × c = c2
a 2 + b2 = c 2
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos.
Es decir:
1.4
∆ ABC ∼ ∆ CBH:
BC2 + AC2 = AB2
c b
= , de donde:
a h
ab=ch
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En todo triángulo rectángulo el producto de las longitudes de los dos catetos es
igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a la
hipotenusa.
Ejercicios:
1. Determine el valor de “x” en cada una de las figuras mostradas.
a.
b.
40m
6cm
2,5cm
x
41m
x
c.
2x + 1
d.
x
x
2x−1
27u
A
Eje de la vereda
2. Se tiene un parque triangular que se quiere dividir en
dos zonas también triangulares. La más grande
seguirá cubierta de jardín y la menor se le cubrirá con
arena y se colocará en ella juegos para niños. Para
esto desde el punto A se construye la vereda más
corta que vaya de dicha esquina al lado mayor del
parque. ¿Cuál será la longitud del eje de la vereda?
5m
12m
B
13m
C
3. Un terreno de forma cuadrangular se muestra en la figura
y para su venta se requiere cercarlo completamente. Si el
metro lineal de cerca cuesta $15, el metro cuadrado de
terreno cuesta $75 y los gastos de tramitación ascienden
a $250, ¿en cuánto se debe fijar el precio de venta si se
quiere ganar el 15%?
4. Una escalera de 5m de longitud, apoya su extremo
inferior A a 4m de la pared vertical. Si el extremo
B de la escalera desciende 1m, calcule cuánto
recorre el extremo A hacia la izquierda.
12u
20m
15m
x
24m
B
5m
A
4m
5. Para que no se incline por acción del viento, se
sostiene un árbol con dos cables, uno de 12m y otro de 8m. Si
los cables se desprenden, ¿a cuántos metros de la base del
árbol debemos clavar cada uno, si se recuerda que la diferencia
de posiciones entre ambos puntos era de 5m?
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3
12m
5m
8m
x
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6. Calcule el radio de la circunferencia mostrada.
r
1m
3m
Recíproco del teorema de Pitágoras: Si en un triángulo se cumple que el cuadrado de la
longitud de su lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros
dos lados entonces es un triángulo rectángulo y el lado mayor es su hipotenusa.
¿Qué ocurre si el cuadrado de la longitud del lado mayor es menor que la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados? ¿Y si es mayor?
Ejercicios:
1. Cada conjunto de valores contiene las medidas de los lados de un triángulo, determine si el
triángulo es rectángulo o no. Si no es rectángulo determine si es acutángulo u obtusángulo
y luego constrúyalo a una escala adecuada.
Medidas de lados
Verificación
Tipo
a. 12m; 60m; 61m
b. 12m; 18m; 10m
c. 10m; 15m; 18m
d. 2,6m; 1,0m; 2,4m
e. 5,1m; 7,4m; 2,3m
2. Se tiene una placa triangular de metal cuyos lados miden 3,2m; 6m y 6,8m. Se debe
pintar completamente las dos caras de la placa. Si una lata de un cuarto de galón rinde
para 1,5m2, ¿qué cantidad de pintura se necesita? Luego se debe colgar la placa desde un
punto de su superficie de manera que quede en posición totalmente horizontal, ¿dónde
elegiría este punto? Dibuje su solución a una escala adecuada (indique la escala).
2. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
2.1 Triángulo Rectángulo 45°- 45°- 90°: En este tipo de triángulo isósceles, se cumple
que la longitud de su hipotenusa es igual a 2 veces la longitud de su cateto.
Deducción: Dibujamos un triángulo rectángulo isósceles con longitud de catetos L y
longitud de hipotenusa h.
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Aplicando el teorema de Pitágoras
en el triángulo rectángulo mostrado,
tendremos:
45°
h
h2 = L2 + L2
L
h2 = 2L2
h=L
45°
L
2
2.2 Triángulo Rectángulo 30°- 60°- 90°: En este tipo de triángulo, la longitud de la
hipotenusa es igual al doble de la longitud del cateto menor (opuesto a 30°) y la
longitud del cateto mayor (opuesto a 60°) es igual a 3 veces la longitud del cateto
menor.
Deducción: Iniciamos nuestra deducción con un triángulo equilátero de lado “2L”
que se encuentra dividido por una de sus alturas en dos triángulos rectángulos
congruentes 30°- 60°- 90°.
Aplicando el teorema de Pitágoras
en uno de los triángulos rectángulos
mostrados, tendremos:
h2 + L2 = (2L)2
30°
2L
h
h2 + L2 = 4L2
60°
h2 = 3L2
L
L
h = L 3
Ejercicios:
1. Determine el valor de “x” en cada uno de los siguientes casos.
a.
b.
6cm
20u
x
30°
45°
x
c.
d.
x
3
2
x
cm
30° 2u
45°
30°
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NOTA CURIOSA
Las longitudes de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, están dadas por las
expresiones llamadas TRIADAS PITAGÓRICAS. Aquí presentamos una forma fácil de
obtenerlas.
1. Si n es impar, la triada es: n;
Ejemplo:
2
2
n −1 n +1
;
2
2
5
Para n = 5, tenemos 5, 12 y 13.
Porque 52 + 122 = 132.
12
2
2
n −4 n +4
;
2. Si n es par, la triada es: n;
4
4
Ejemplo:
13
17
Para n = 8, tenemos 8, 15 y 17.
Porque 82 + 152 = 172.
8
15
Manejo de conceptos:
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. Justifique su
respuesta.
1. El triángulo cuyos lados miden 9cm, 40cm y 41cm es rectángulo.
2. El triángulo cuyos lados miden 10m, 24m y 25m es rectángulo.
3. La proyección de un cateto sobre el otro es un segmento de la misma longitud que uno de
los catetos.
4. Si se tiene la medida de la hipotenusa y la medida de la altura respecto a ella, es suficiente
para construir el triángulo rectángulo.
5. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles mide 2cm, entonces su
perímetro es 6cm.
6. Se puede construir un triángulo rectángulo y que a la vez sea equilátero.
7. La altura respecto a la hipotenusa en un triángulo rectángulo de 30º - 60º de lado menor
“a”, mide también “a”.
Cálculos
NOTA: Si alguna respuesta no es exacta, redondéela a 2 cifras decimales.
1. El ancho de un parque rectangular mide 10m y su largo es igual a 24m. ¿Cuánto mide la
diagonal del parque?
2. Uno de los catetos de un triángulo mide 12cm y su proyección sobre la hipotenusa mide
6cm. Calcule la medida del otro cateto.
3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9cm más que el cateto menor. Si el cateto
mayor mide 15cm, ¿cuánto mide su perímetro?
4. La base de un rectángulo mide los 5 3 de su altura. Si su diagonal mide 17,5m, ¿cuánto
mide su perímetro?
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5. En la figura mostrada, calcule “x” e “y”.
8u
4,5u
y
10u
6. En la figura, calcule AD, si el perímetro del
triángulo rectángulo ABC es al perímetro del
triángulo rectángulo CDE como 3 es a 4.
x
E
20u
B
A
60°
30°
C
D
7. Calcule el valor de “x” en el triángulo mostrado.
6u
30°
30°
x
8. La diagonal de un cuadrado mide 8cm. Calcule el perímetro.
9. El perímetro de un triángulo equilátero mide 84cm. Se traza la altura a uno de sus lados.
Desde el pie de esta altura se traza la perpendicular a uno de los otros dos lados del
triángulo ¿Cuál es la medida de esta perpendicular?
10. En los cuadrados de la figura mostrada se cumple:
AB2 +FG2 = 8. Calcule BF.
B
C
F
E
A
D
G
11. La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa en
segmentos que se encuentran en la relación de 1 a 3. Calcule la medida de los ángulos
agudos del triángulo rectángulo.
12. El perímetro de un triángulo rectángulo es 30cm y el producto de los catetos es 60cm2.
Determine la longitud de la hipotenusa.
13. El perímetro de la figura mide “P”. Exprese la medida de la altura
relativa al lado desigual en función de "P" y “L”.
L
L
14. Los lados de un triángulo miden 5cm, 22cm y 23cm. Se desea aumentar la longitud de
cada uno de los tres lados de dicho triángulo en una misma cantidad para que se convierta
en un triángulo rectángulo. Determine dicha cantidad.
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15. En el interior de un triángulo ABC se localiza un punto O y desde él se trazan las
perpendiculares OM, OR y OS a los lados AB, BC y AC respectivamente. Si MB = 5m,
BR = 4m, RC = 1m, CS = 3m y SA = 2m, calcule AM.
16. Los lados de un triángulo miden 65cm, 34cm y 93cm. ¿Cuánto miden las proyecciones de
sus lados sobre el lado mayor?
17. Determine el perímetro y el área de las regiones triangulares mostradas.
a.
b.
5cm
45º
60º
7cm
18. Exprese a , b, c y d
en términos de h .
a
d
h
45º
30º
c
b
19. Se tiene una tubería de agua como muestra la figura donde AB = 97m, BC = 62m, CD =
53m. ¿ Cuál sería el porcentaje de ahorro si se hubiese podido instalar la tubería
directamente desde A hasta D ?
A
D
65m
28m
B
C
Modelación
20.
Una antena de televisión de 8,0m de altura se va a sujetar de cuatro alambres fijados a
1,6m del extremo superior de la antena. Si la distancia del pie de la antena al pie de cada
alambre es 4,8m ¿cuántos metros de alambre serán necesarios?
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21.
La figura muestra el esquema de la planta de una tienda. Calcule el ancho de la puerta
“x”
11m
5m
9m
x
8m
22. Se tiene un mecanismo biela-manivela, OA = 20cm, AB = 30cm, de modo que el brazo
OA gira alrededor de O un ángulo θ y el punto B se puede desplazar sobre el carril
horizontal. Calcule el valor de “x” y la altura del punto A relativa al eje OB para los
siguientes casos.
a) Cuando θ mida 45°.
b) Cuando θ mida 60°.
A
O
θ
B
x
23.
En una gradería de 1,0m x 0,5m de un estadio se decide bajar deslizándose sobre una
plancha de modo que la plancha debe estar siempre apoyada al menos sobre dos puntos
de la gradería. ¿Cuál es la longitud mínima de la plancha?
0,5m
1,0m
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Respuestas
Cálculos
1.
26m
2. 12 3 cm ≅ 20,78cm
3.
40cm
4.
48,0cm
5.
x = 10u; y = 4u
6.
(6 3 + 8)u ≅ 18,39u
7.
6 3 u ≅ 10,39u
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
16 2cm ≅ 22,63cm
7 3 cm ≅ 12,12cm
4
30° y 60°
13cm
4PL − P 2
2
2cm
5 m ≅ 2,24m
30cm y 63cm
a) P = ( 10 + 5 2 )cm ≅ 17,07cm; A = 12,5cm2
b) P = ( 81 + 27 3 )cm ≅ 127,77cm; A = 364,5 3 cm2 ≅ 631,33cm2
a = 2h; b = h 3 ; c = h; d = h 2
13,78 %
Modelación
20. 32m
21. 5m
22. a) x = 40,60cm; hA = 10 2 cm ≅ 14,14cm
b) x = 34,49cm; hA = 10 3 cm ≅ 17,32cm
23. 2,24m
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