tema III.2 Ecuaciones diferenciales de 1º orden

Ecuaciones diferenciales de 1o orden
Ampliación de matemáticas
1.
Curso 2010-2011
Ecuaciones en variables separables
DEF. Se llaman ecuaciones en variables separadas a las ecuaciones diferenciales de primer
orden de la forma:
dy
P (x)
=
, es decir, Q(y)dy = P (x)dx
dx
Q(y)
Z
Z
Solución general:
Q(y)dy = P (x)dx + C, C ∈ R
Solución particular (y(x0 ) = y0 ):
Z
y
Q(y)dy =
y0
Z
x
P (x)dx
x0
Nota: A este tipo de ecuaciones pertenecen también :
dy
Q(y) dy
=
y
= P (x)Q(y)
dx
P (x) dx
DEF. Toda ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar como una ecuación en
variables separadas se llama ecuación en variables separables
Caso Particular: Las ecuaciones de la forma:
P1 (x)Q1 (y)dx + P2 (x)Q2 (y)dy = 0
se reducen a ecuaciones en variables separadas dividiendo por Q1 (y)P2 (x):
P1 (x)
Q2 (y)
dx +
dy = 0
P2 (x)
Q1 (y)
2.
Ecuaciones homogéneas
DEF. Se dice que la función f (x, y) es homogénea de grado n respecto a x e y si para todo
λ ∈ R se verifica
f (λx, λy) = λn f (x, y)
dy
DEF. La ecuación de primer orden
= f (x, y) se dice que es homogénea si la función f (x, y)
dx
es homogénea de grado 0 respecto a x e y, es decir:
f (λx, λy) = f (x, y),

dy


= f (x, y)
dx
Resolución: Sabemos que


f (λx, λy) = f (x, y),
Tomando λ =
∀λ ∈ R
∀λ ∈ R
y dy
y
1
, f (x, y) = f 1,
⇒
= f 1,
x
x
dx
x
Denotamos por u =
y
dy
du
, entonces y = ux ⇒
=
x+u
x
dx
dx
du
x + u = f (1, u),
dx
du
dx
=
(Ec. en variables separadas)
que podemos escribir:
f (1, u) − u
x
Obtenemos la ecuación:
Finalmente se deshace el cambio de variable
3.
Ecuaciones exactas
DEF. Una ecuación diferencial de la forma
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
es una ecuación diferencial exacta si la expresión del lado izquierdo es la diferencial total de alguna
función ϕ(x, y) que llamamos función potencial.

∂ϕ


M (x, y) =
(x, y)


∂x
Es decir,


∂ϕ

 N (x, y) =
(x, y)
∂y
La solución general será ϕ(x, y) = C
PROP. Si existen las derivadas parciales de M y N y son continuas, entonces
∂M
∂N
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es una EDO exacta ⇔
=
∂y
∂x
Resolución:
Buscamos ϕ(x, y) tal que

∂ϕ


(x, y) = M (x, y) (1)

 ∂x


∂ϕ


(x, y) = N (x, y)
∂y
Z
Integramos (1) respecto a x: ϕ(x, y) =
(2)
M (x, y)dx + f (y)
Para hallar f (y) imponemos (2):
∂ϕ
∂
N (x, y) =
(x, y) =
∂y
∂y
Entonces f ′ (y) = N (x, y) −
∂
∂y
Z
M (x, y)dx + f ′ (y)
Z
M (x, y)dx
Z Z
∂
⇒ f (y) =
N (x, y) −
M (x, y)dx dy
∂y
4.
Factor integrante
Dada una ecuación diferencial de primer orden
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
en la que
∂M
∂N
6=
, se puede buscar un factor µ(x, y) tal que µ(x, y)M (x, y)dx+µ(x, y)N (x, y)dy = 0
∂y
∂x
sea exacta, es decir,
∂(µM )
∂(µN )
=
∂y
∂x
Este factor se llama factor integrante.
Cálculo de µ(x, y):
1. Factor integrante dependiente únicamente de x: µ(x)
∂M
dµ
∂N
∂M
∂N
dµ
µ
=
N +µ
⇒µ
−
N⇒
=
∂y
dx
∂x
∂y
∂x
dx
dµ
1
=
µ
N
1
Si
N
ln |µ| =
∂M
∂N
−
∂y
∂x
∂M
∂N
−
∂x
Z∂y
dx
(1)
= ω(x) es sólo función de x, integrando (1):
R
∂N
1 ∂M
ω(x)dx
−
ω(x)dx ⇒ µ(x) = e
con ω(x) =
N
∂y
∂x
2. Factor integrante dependiente únicamente
dey:
R
1
∂N
∂M
µ(y) = e τ (y)dy con τ (y) =
−
M ∂x
∂y
5.
Ecuaciones lineales
DEF. Una ecuación diferencial de la forma
y ′ + P (x)y = Q(x)
con P, Q continuas, es una ecuación diferencial lineal de primer orden.
Resolución:
Buscamos el factor integrante adecuado para las ecuaciones de esta forma. Para ello, se reescribe
la ecuación:
dy + (P (x)y − Q(x))dx = 0
Estudiamos si es posible encontrar un factor integrante que dependa sólo de x:
1 ∂M
∂N
P (x) − 0
M (x, y) = P (x)y − Q(x)
⇒
−
=
N (x, y) = 1
N
∂y
∂x
1
R
Entonces: µ(x) = e
P (x)dx
Multiplicando la ecuación por este factor, obtenemos una ecuación exacta:
R
e
P (x)dx
R
dy + e
P (x)dx
(P (x)y − Q(x))dx = 0
Buscamos ϕ(x, y) tal que

R
∂ϕ

P (x)dx (P (x)y − Q(x)) (1)

(x,
y)
=
e

 ∂x

R

∂ϕ


(x, y) = e P (x)dx
∂y
(2)
Integramos (1) respecto a x:
Z
R
R
Z
P (x)ydx − e P (x)dx Q(x)dx + f (y)
Z R
R
P (x)dx
= e
y − e P (x)dx Q(x)dx + f (y)
ϕ(x, y) =
P (x)dx
e
R
Para hallar f (y) imponemos (2): e
R
La solución general es: e
6.
P (x)dx y
−
P (x)dx
R
R
e
R
=e
P (x)dx
+ f ′ (y)⇒ f ′ (y) = 0
P (x)dx Q(x)dx
=C
Ecuaciones de Bernoulli
DEF. Una ecuación diferencial de la forma
y ′ + P (x)y = Q(x)y n ,
n 6= 0, n 6= 1
con P, Q continuas, es una ecuación diferencial de Bernoulli.
y ′ + P (x)y = Q(x)y n
Si n = 0, entonces se trata de una ecuación lineal
Si n = 1, entonces se trata de una ecuación en variables separadas
Resolución:
1. Se divide la ecuación por y n :
y′
P (x)
+ n−1 = Q(x)
n
y
y
2. Se realiza el cambio de variable: z =
1
y n−1
dz
1 dy
= −(n − 1) n
dx
y dx
z′
+ P (x)z = Q(x)
1−n
obteniéndose una ecuación lineal en z: z ′ + (1 − n)P (x)z = (1 − n)Q(x)
3. Se sustituye en la ecuación: