Tema 33.- Capacidad eléctrica

TTeem
Caappaacciiddaadd eellééccttrriiccaa
maa 44..-- C
0B
§4.1.- Capacidad eléctrica
1B
 Concepto desarrollado por Faraday (1853): Capacitancia
Q
(V¥ = 0)
 Conductor aislado: C =
V
culombio
C
 Unidad de capacitancia:
= = F (faradio)
voltio
V
 Capacidad de un conductor esférico
V=
1 Q
4pe0 R
[e0 ] =
 C=
1 [C ] F
=
4p [ R ] m

Q
+
+
e0 = 8.85´10-12
+
+
V
+
Q
= 4pe0 R
V
+
+
+
F
m
Ejemplo: capacitancia de la Tierra = 4π8.8510 -12 6.410 6 = 0.710 -3 F = 0.7 mF
P
P
P
P
P
P
 1 F es una capacitancia muy grande; son usuales mF, μF, nF y pF
¿Qué representa la capacitancia de un conductor?
m1 = m2
h1
Capacidad eléctrica
+
h2
+
+
+
V1
+
Q1 = Q2
+
+
+
V1 < V2
+ + +
+ V2 +
+
+ +
4.1/5
§4.2.- Sistemas de conductores.
2B
El potencial de un conductor depende de su propia carga y de otras
cargas próximas:
Qk
k
-
-
Vk
-
Vi =
-
Q ö
1 æç Qi
çç + å j ÷÷÷
4pe0 çè Ri i¹ j rij ÷ø
Qi
+
+
Vi
+
+
Así, el potencial de una esfera con carga positiva disminuye en
presencia de otra esfera con carga negativa. En consecuencia, su
capacidad (C = Q/V) aumenta.
+
+
§4.3.- Condensadores
+
Qj
+
Vj
+
+
+
+
3B
Sistema formado por dos conductores con cargas iguales pero de signo opuesto.
Muy alejadas:
V+ =
1 Q
4pe0 R
V- =
1 -Q
4pe0 R
 V+- = V+ - V- =
1 2Q
4pe0 R
Cercanas:
 No podemos calcular V+- como antes.
 La d.d.p. V+- disminuye.
 Permite almacenar carga con menor d.d.p.
Q
Capacidad del condensador: C =
V+-
Capacidad eléctrica
+Q
k
+
V+
+
+
+Q
+
-Q
muy alejadas
-
-
-Q
+
+
V+ ++
++
-
V-
-
+
+
-
cercanas
-- V-
4.2/5
§4.4.- Cálculo de la capacitancia
4B
4.4.a. Condensador plano
Q = sS
s
e0
E=
Q sS sS
C= =
=
s
V
El
l
-
-
 V+- = ò Edl = ò E dl = E l
+
+
-Q
+
-
+
-
+
-
E
+
S
C = e0
l

+Q
e0
-
+
-
+
-
l
Ejemplo: C = 1 F, l = 1 mm
Cl
1´10-3
S=
=
= 1.13´108 m 2
-12
e0
8.85´10
 10.6 km de lado
4.4.b. Condensador esférico
ò
S
2
E dS = ò
 E dS = E ò dS = E 4pr =
S
S
b dr
Q
Q æç 1
1 ö÷
÷
=
ç
4pe0 òa r 2 4pe0 çè Ra Rb ø÷÷
b
Vab = ò Edl =
a
C=
Q
1 Q
\ E=
4pe0 r 2
e0
-
r
+ R+
a +
+
+Q
+O
Rb
+ +
-
Rb
Si Rb  ¥  C = 4pe0 Ra
-
-
Q
4pe0
RR
=
= 4pe0 a b
1
1
Vab
Rb - Ra
Ra
-
-
-Q
-
-
(esfera)
-
-
4.4.c. Condenador cilíndrico
ò
S
E dS = ò
 E dS = E ò dS = E 2prl =
S
b
Vab = ò Edl =
a
S
b dr
l
l
Rb
=
ln
2pe0 òa r
2pe0 Ra
ll
Q
2pe0
C=
=
=
l
Vab Vab ln ( Rb / Ra )
C
2pe0
=
ln ( Rb / Ra )
l
Si Rb  ¥  C = 0
Capacidad eléctrica
Q
1 Q/l
1 l
\ E=
=
e0
2pe0 r
2pe0 r
E
-Q
r
Rb
+Q
Ra
(???)
4.3/5
§4.5.- Asociación de condensadores
5B
4.5.a. Condensadores en serie
 Misma carga en todos ellos
 Se reparte la tensión: Q = C1V1 = C2V2 = ... (divisor de tensión)
+Q
+Q
-Q
A
+Q
-Q
1
2
C1
C2
+Q
-Q
3

-Q
B
n-1
C3
Cn
V
VA1 =
Q
C1
V12 =
Q
C2
V23 =
Q
C3

Q
æ1
ö Q
1
VAB = V1 + V2 + ... = Q çç + + ...÷÷÷ =
çè C
C2
ø÷ Ceq
1
A
B
Ceq
1
1
1
1
= + ... = å
Ceq C1 C2
Ci
Para n condensadores idénticos: Ceq =
C
n
4.5.b. Condensadores en paralelo
Q2 = C2VAB
Q3 = C3VAB
C1
Q2
C2
V
 Misma tensión en todas ellas
Q Q
 Se reparte la carga: V = 1 = 2 = ...
C1 C2
Q1 = C1VAB
Q1
A
B

Qn
Cn


Q = Q1 + Q2 + ... = VAb (C1 + C2 + ...) = VABCeq
Ceq = C1 + C2 + ... = å Ci
Para n condensadores idénticos: Ceq = nC
4.5.c. Capacitancias variables
Condensadores variables de aire (sintonía)
Capacidad eléctrica
4.4/5
§4.6.- Energía almacenada en un condensador
6B
Tanto la carga con la d.d.p. entre bornes del condensador
aumentan con el tiempo; i.e., q = q(t), v = v(t)
q (t )
v(t ) =
C
Q
V=
finalmente

C
Q
1 Q
1 Q2
dW = v dq  W = ò v dq = ò q dq =
0
C 0
2 C
2
1Q
1
1
\ W =U =
= CV 2 = QV
2 C
2
2
+q
-q
+
-
+
-
+
-
E
+
-
+
-
+
-
i
dq
 Esta energía está almacenada en el campo eléctrico.
2
Densidad de energía:
U 1 CV 2 1 S ( El )
1
= e0
= e0 E 2
u= =
Sl 2 Sl
2 l Sl
2
§4.7.- Energía del campo eléctrico
7B
Q +
En general:
1
u E = e0 E 2
2
+
+
σ
+
+
V
+
δr
+
+
+
FV
VV +
+ EV
+ E
§4.8.- Presión electrostática
8B
Desplazamiento virtual δr de la superficie del conductor
δW = F δr = δU = u δ = u ( S δr ) 
p=
1
s2
2
Presión electrostática: p = u E = e0 E =
2
2e0
F
=u
S
+
+
+
+
+
+ ++
+
+ ++
Poder de
las puntas
 La presión electrostática es más intensa cuanto mayor es la curvatura (menor el radio de
curvatura).
Capacidad eléctrica
4.5/5