Tema 7.Vibraciones en sistemas continuos. Análisis de Fourier
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Tema 7. Vibraciones en sistemas continuos. Análisis de Fourier Primera parte: Oscilaciones transversales 1. Oscilaciones acopladas en una cuerda con masas • Consideramos una cuerda ligera que soporta N masas puntuales iguales m espaciadas entre sí una distancia a , a lo largo de su longitud. Los dos extremos de la cuerda están fijos, su longitud total es L = ( N + 1) a , y está sometida a una tensión T constante en todos sus puntos. • Dejando que el sistema evolucione libremente, las masas ejecutan oscilaciones armónicas en la dirección y perpendicular a la posición de la cuerda en equilibrio. El problema es determinar las frecuencias de los modos normales de vibración, y los desplazamientos de las masas en cada modo particular. Suponemos que la tensión que sufre la cuerda es T independientemente de la posición de las masas. T m T θ1 yn yn−1 θ2 yn+1 a • La ecuación de movimiento en la dirección y para la masa m situada a la distancia na de uno de los extremos es d 2y m 2n = −T ( senθ1 + sen θ 2 ) dt y − yn −1 yn − y n+1 = −T n + a a que escribimos en la forma d 2 yn = −ω 02 ( 2 y n − yn −1 − y n+1 ) 2 dt donde ω 0 = T es una frecuencia de oscilación libre característica del sistema. ma • En un modo de vibración determinado las masas oscilan armónicamente con la misma frecuencia ω por lo que podemos suponer yn = An cosω t Introduciendo esta descripción del movimiento en la ecuación anterior, obtenemos las relaciones entre las amplitudes de vibración para masas vecinas, en la forma − Anω 2 = −ω 02 ( 2 An − An−1 − An+1 ) válido para n = 1,.., N , junto con las condiciones frontera que aseguran que los extremos se mantienen fijos en cualquier tiempo A0 = 0 AN +1 = 0 • Para resolver este sistema de ecuaciones, en vista de las condiciones en los extremos, tomamos las amplitudes en la forma An = C sen ( nka ) siendo k el llamado vector de onda del modo de vibración dado, que tenemos que determinar utilizando las condiciones frontera. Hallamos sen ( ( N + 1) ka ) = 0 cuya solución es el conjunto de N valores sπ 1 ks = ( s = 1,.., N ) N +1 a • Cada valor corresponde a un modo de vibración determinado, cuya relación de amplitudes está dada por ns Ans = C sen ( nk s a ) = C sen π N +1 cuyos signos relativos dependen exclusivamente del valor de la función seno. Tenemos por tanto, N modos de vibración en cada cual hemos hallado la relación entre las N amplitudes de las masas puntuales. • Nos queda por determinar la frecuencia angular de cada modo de vibración, que dependerá como hemos visto de la variable s que caracteriza los distintos modos. De la ecuación − Ansω s2 = −ω02 ( 2 Ans − An −1, s − An+1, s ) para n = 1 , obtenemos s s s − sen π ω s2 = −ω 02 2sen π − sen 2 π N +1 N +1 N +1 y de aquí, s ω s2 = 2ω 02 1 − cos π N +1 • Ejemplo. N = 1 En este caso, sólo existe una frecuencia de vibración T 1 ω 2 = 2ω 02 1 − cos π = 2 ma 2 que corresponde a la frecuencia de oscilación libre de una masa ensartada en el punto medio de una cuerda tensa con extremos fijos. • Ejemplo. N = 2 En este caso, las frecuencias de los modos de vibración satisfacen 1 ω12 = 2ω 02 1 − cos π = ω02 3 2 ω 22 = 2ω 02 1 − cos π = 3ω02 3 Para el primer modo, la relación de amplitudes es 3 1 A11 = C sen ( k1a ) = C sen π = C 2 3 3 2 A21 = C sen ( 2k1a ) = C sen π = C 2 3 con lo cual, A11 = A21 , ambas masas oscilan en fase. El movimiento asociado a este modo de vibración corresponde al movimiento del centro de masas. Corresponde a la vibración libre de un sistema con una masa neta 2m colocada en el punto medio de una cuerda tensa, con extremos fijos. Para el segundo modo, la relación de amplitudes es 3 2 A12 = C sen ( k2 a ) = C sen π = C 2 3 3 4 A22 = C sen ( 2k 2a ) = C sen π = − C 2 3 con lo cual, A11 = − A21 , ambas masas oscilan en desfase. Este modo de vibración corresponde al movimiento relativo. 2. Límite continuo. Ecuación de ondas • Queremos determinar en qué se transforman estas oscilaciones acopladas en el límite continuo, cuando la distancia a entre las masas se hace muy pequeña, así como la propia magnitud m de cada masa, pero manteniendo la densidad de masa ρ = m constante. Es decir, a partir de un conjunto de masas puntuales queremos a construir una cuerda continua con masa. Como coordenada del sistema tomamos la distancia horizontal de un punto de la cuerda al extremo izquierdo, con lo cual x = na x ± dx = ( n ± 1) a dx = a m = ρdx • En este límite, la ecuación de movimiento del sistema se transforma en ∂ 2 y (x , t ) y ( x, t ) − y ( x − dx , t ) y (x , t ) − y ( x + dx, t ) ρ dx = −T + 2 ∂t dx dx Utilizando el concepto de derivada la expresión entre paréntesis resulta ser ∂2 y ∂y ∂y = − 2 dx ∂x − ∂x x x + dx ∂x x y la ecuación de movimiento se transforma en la ecuación de ondas ∂ 2 y T ∂2 y = ∂t 2 ρ ∂x 2 • El cociente T tiene dimensiones del cuadrado de una velocidad, la ρ velocidad de propagación de la onda en la dirección x. En cada punto x, la oscilación según el eje y se realiza de forma armónica, y es la forma de la oscilación la que se propaga en la dirección del eje x, con velocidad T . ρ • Solución general de la ecuación de ondas La solución general puede escribirse como la suma de dos funciones arbitrarias y (x , t ) = f1 ( x + Vt ) + f 2 ( x − Vt ) La primera función representa una onda viajera que se propaga con velocidad V hacia la izquierda, y la segunda función representa otra onda viajera que se propaga hacia la derecha con la misma velocidad. En general, la velocidad de propagación de una onda es la velocidad a la que varía la fase de la onda. Con esto, para determinarla basta la condición d ( x ± Vt ) = 0 dt y obtenemos las velocidades dx = −V para la onda con fase ( x + Vt ) dt dx =V para la onda con fase ( x − Vt ) dt Así, la primera fase se propaga hacia la izquierda y la segunda fase hacia la derecha. La naturaleza de las funciones f1 , f 2 es arbitraria. Pueden ser funciones sinusoidales o pueden describir pulsos de ondas. De hecho, las dos funciones siempre pueden escogerse de forma que su suma represente cualquier estado inicial de desplazamiento y ( x ,0 ) y velocidad y& ( x ,0 ) , siendo y& ( x, t ) la velocidad de oscilación vertical del punto de la cuerda situado en la coordenada x. 3. Soluciones armónicas simples • La solución más general es de la forma y (x , t ) = A sen ( kx − ω t ) + B cos ( kx − ω t ) + C sen ( kx + ω t ) + D cos ( kx + ω t ) para una oscilación de frecuencia ω en el tiempo y de frecuencia k en el espacio. Los períodos de oscilación están dados por 2π T= ω 2π λ= k El primero corresponde a la oscilación vista en el tiempo t, y el segundo, la longitud de onda, corresponde a la oscilación vista en el espacio x. • La relación entre la frecuencia de oscilación temporal y la frecuencia de oscilación espacial se llama relación de dispersión ω = ω (k ) En el caso de la cuerda vibrante, la relación de dispersión es ω = Vk T ρ La relación de dispersión determina la dispersión de la energía entre los distintos modos de vibración, definidos por el vector de onda k. Si la relación de dispersión es lineal en k, como ocurre en la cuerda tensa, todos los modos se propagan con la misma velocidad, y la energía mecánica de la onda se propaga de forma homogénea. Se trata de un medio no dispersivo. Si la relación no es lineal, la velocidad de distintos modos es diferente y la energía no se propaga homogéneamente, sino que se divide en paquetes de energía cada uno propagándose con la velocidad del modo de vibración asociado. La energía se ha visto dispersada y el medio se llama dispersivo. V= 4. Ondas estacionarias (cuerda con dos extremos fijos) • Consideramos una cuerda de longitud L con dos extremos fijos en x = 0, L . Las condiciones de contorno y ( 0, t ) = y ( L, t ) = 0 para cualquier tiempo exigen que la solución general de la oscilación vertical de la cuerda sea de la forma y (x , t ) = ( A sen ω t + B cos ω t ) sen kx • Dicha solución determina una onda estacionaria, ya que la velocidad de propagación se hace cero. Tampoco existe propagación de energía mecánica. Para determinar los modos de vibración, utilizamos la condición de contorno en el extremo derecho y ( L, t ) = 0 , que exige que sen kL = 0 La solución es un conjunto de valores caracterizados por un índice n. Se habla así de los modos armónicos de vibración k n L = nπ ( n = 1,2,.. ) Según la relación de dispersión anterior, a cada modo de vibración le corresponde una frecuencia angular de oscilación en el tiempo dada por V ω n = Vk n = n π L • Por tanto, la oscilación de la cuerda vibrante con dos extremos fijos según un modo definido de vibración se caracteriza por una periodicidad en el tiempo con período 2π 2L 1 Tn = = ωn V n y una periodicidad en el espacio con longitud de onda 2π 2L λn = = kn n En resumen, el modo n-ésimo de vibración tiene la solución nπVt nπVt nπ x yn ( x, t ) = A n sen sen + Bn cos L L L • La mejor forma de comprender la oscilación estacionaria de la cuerda en cada modo particular es estudiar el comportamiento espacial de la oscilación, ya que, al ser la onda estacionaria, se conserva su forma espacial con una amplitud ( A sen ω t + B cos ω t ) en cada punto dependiente del tiempo. a) De la dependencia de la longitud de onda en n, obtenemos la relación n L = λ , lo que significa que en el modo n-ésimo la cuerda en su longitud L 2 contiene un número entero de semilongitudes de onda. b) Existen puntos en los que la vibración mantiene valores característicos. Tenemos por un lado los nodos de vibración, puntos donde no existe vibración en ningún momento. Corresponden a la condición sen k n xnodo = 0 y la solución es el conjunto de valores mπ m xnodo = = L ( m = 0,.., n ) kn n Vemos así que en el modo n-ésimo existen n + 1 nodos de vibración, dos de los cuales coinciden con los puntos extremos de la cuerda, x = 0, x = L . La separación espacial entre los nodos de vibración es igual a una semilongitud de onda ∆xnodo = m +1 m L λ L− L= = n n n n 2 c) Otros puntos característicos son los vientres de vibración, puntos en los cuales la vibración transversal se hace máxima en cada instante de tiempo. Es importante notar que el valor máximo de esta vibración no tiene el mismo valor siempre, sino que para cada tiempo tenemos un valor máximo. Lo característico es que en los vientres se produce siempre dicho máximo. Corresponde a la condición de máximo en x de la curva y ( x, t ) ∂y =0 ∂x cos k n xvientre = 0 y la solución es el conjunto de valores ( 2m + 1) π = 2m + 1 L xvientre = kn 2 2n ( m = 0,.., n − 1) Tenemos por tanto, n vientres de vibración cuya separación espacial también es igual a una semilongitud de onda 2m + 3 2 m +1 L λ ∆xvientre = L− L= = n 2n 2n n 2 y la separación espacial entre un nodo y un vientre sucesivo, y viceversa, es igual a un cuarto de longitud de onda. d) Por último, existe una sucesión armónica en las frecuencias de vibración e la cuerda vibrante con dos extremos fijos. Tomando como referencia los datos del primer modo, o modo fundamental, n = 1 , λ1 = 2 L V ν1 = 2L obtenemos la relación armónica para las frecuencias naturales 1 Tn = T1 n 1 ν n = = nν1 Tn • Una vez estudiados con detalle los distintos modos de vibración, determinamos la forma más general de vibración de la cuerda vibrante. Esto constituye el llamado análisis de Fourier, que básicamente describe la solución general como la superposición lineal de distintos modos de vibración, en la forma nπ Vt nπ Vt nπ x y (x , t ) = yn ( x, t ) = + Bn cos A n sen sen L L L ∑ n ∑ n El objetivo del análisis de Fourier es determinar los coeficientes An , Bn en función de los perfiles iniciales de desplazamiento y ( x ,0 ) y velocidad y& ( x ,0 ) . Para ello, utilizamos las propiedades de las funciones, que forman un conjunto completo ortogonal en la recta 0 ≤ x ≤ L , con la relación de ortogonalidad 0 si m ≠ n L nπ x mπ x dx = sen sen L 0 L L 2 si m = n ∫ De la condición inicial, y ( x ,0 ) = ∑ Bn sen n nπ x L multiplicando ambos miembros por la función sen 0 ≤ x ≤ L , obtenemos mπ x , e integrando en la recta L nπ x L dx = Bn 0 L 2 con lo cual, el coeficiente Bn está dado por nπ x 2 L Bn = y ( x,0 ) sen dx L 0 L ∫ L y ( x ,0 ) sen ∫ De forma análoga, de la condición inicial para la velocidad nπ V nπ x y& ( x ,0 ) = A n sen L L ∑ n obtendríamos el coeficiente An en la forma L nπ x 2 An = y& ( x ,0 ) sen dx nπ V 0 L ∫ 5. Energía mecánica en una cuerda vibrante • Una cuerda posee tanto energía cinética, debida a su movimiento como energía potencial debida a su deformación. La energía cinética de un elemento de longitud dx y masa ρ dx es 1 ∂y dEc = ρ dx 2 ∂t y la energía cinética total de la cuerda vibrante será 2 2 L ∂y 1 ρ dx 2 0 ∂t y dependerá del tiempo. La energía potencial del elemento de longitud dx es igual al trabajo realizado por la tensión de la cuerda para conseguir que dicho elemento adquiera la longitud deformada Ec = ∫ ds = ( dx ) 2 + ( dy ) 2 Es decir, dE p = T ( ds − dx ) Si el elemento de longitud se toma lo suficientemente pequeño, podemos aproximar la deformación por su valor en primer orden en dx 1 ∂y 2 2 2 ds − dx = ( dx ) + ( dy ) − dx ≈ 1 + dx − dx 2 ∂x 2 1 ∂y = dx 2 ∂x Suponiendo que la tensión de la cuerda sea constante, cierto si el grado de deformación de la cuerda es pequeño, la energía potencial de la cuerda está dada por 1 Ep = T 2 ∫ 2 ∂y ∂x dx L 0 • En el caso de que la cuerda vibrante oscile según el modo estacionario nésimo de vibración, la energía total tiene el valor, utilizando las fórmulas anteriores 1 En = ρ Lω n2 An2 + Bn2 4 2 2 donde An + Bn representa el cuadrado de la máxima amplitud de vibración en ese modo determinado. Cuando el movimiento de la cuerda vibrante sea combinación lineal de distintos modos de vibración, la energía total será suma de las energías de dichos modos de vibración ( E= ∑ ) En n 6. Ejemplo adicional: cuerda con un extremo libre • De forma resumida, establecemos las características de las ondas estacionarias producidas en este caso. La condición en el extremo fijo es la misma que en el caso anterior. En el extremo libre, la tensión de la cuerda debe ser la misma que cuando se encuentra en reposo, ya que hemos supuesto que la cuerda no es flexible en la dirección de su longitud, y sólo puede oscilar de forma perpendicular a su longitud. Como además la deformación es pequeña de manera que la tensión de la cuerda puede suponerse constante, la posición del extremo libre debe coincidir tanto en reposo como en movimiento. Esto es, el extremo libre debe estar dispuesto de forma paralela al estado de reposo, y = 0. La condición correspondiente es ∂y = 0 en x = L ∂x Desarrollando los pasos que se hicieron en el caso de la cuerda vibrante con dos extremos fijos, en este modelo obtenemos • La solución para el modo n-ésimo de vibración ( ) ( ) ( ) n + 1 π Vt n + 1 πVt n+ 1 πx 2 2 2 yn ( x, t ) = A n sen + Bn cos sen L L L donde n = 0,1,... • Las frecuencias de oscilación espacial y temporal para el modo n-ésimo n + 12 π kn = L n + 1 2 πV ωn = L ( ) ( ) • La relación entre la longitud de la cuerda y la longitud de onda 2n + 1 L= λn 4 • La posición de los n + 1 nodos de vibración mπ 2m xnodo = = L ( m = 0,.., n ) kn 2n + 1 y la posición de los n + 1 vientres de vibración 2m + 1 xvientre = L ( m = 0,.., n ) 2n + 1 De nuevo la separación entre nodos y vientres sucesivos es igual a una cuarto de longitud de onda. • El análisis de Fourier es similar al caso de dos extremos fijos, resultando las fórmulas finales 2 Bn = L ∫ L 0 n + 1 )π x ( 2 y ( x, 0) sen dx 2 An = (n + 1 )πV 2 L ∫ L 0 (n + 1 )π x 2 y& ( x ,0 ) sen dx L Como se observa en todas las formulas anteriores, basta el cambio de índice n → n + 1 , para obtener a partir de las soluciones para dos extremos fijos, las 2 soluciones para un extremo libre. Es como si desplazáramos las soluciones con dos λ extremos fijos, desde el extremo derecho una distancia n . 4 7. Pulsos de forma constante • Otra solución posible en el movimiento de oscilación de una cuerda vibrante es la propagación de un pulso de forma constante, de longitud espacial finita, en la forma y (x , t ) = f ( x − Vt ) si por ejemplo el pulso viaja hacia la derecha con velocidad V. Lo que caracteriza un pulso es su velocidad de oscilación, ya que generalmente no tiene una estructura espacial periódica. Ya que la función f no cambia en el tiempo, dicha velocidad es ∂y ∂f ∂ ( x − Vt ) = = f ' (x − Vt ) = −Vf ' ( x − Vt ) ∂t ∂t ∂t y es proporcional a la pendiente de la curva en el punto y el instante en cuestión, y de signo contrario. Esto quiere decir que cuando la pendiente del pulso es positiva, (creciente), la velocidad de oscilación es negativa. Los puntos de la cuerda se dirigen hacia la posición de equilibrio, y = 0 . Y del mismo modo, cuando la pendiente es negativa (decreciente) los puntos se alejan de la posición de equilibrio. Así es como se consigue que el pulso se propague a lo largo de la cuerda con velocidad V. Problemas Resueltos 7.2 Una cuerda uniforme de 2.5 metros de longitud y 0.01 kg de masa se somete a una tensión de 10 N. Calcular la frecuencia de su modo fundamental. Si se pulsa transversalmente la cuerda y luego se toca en un punto a 0.5 metros de su extremo, determinar las frecuencias de vibración que persisten en el movimiento. • El modo fundamental corresponde a un número de onda k1 L = π π k1 = L Ya que la propagación de las ondas en una cuerda vibrante no es dispersiva, la velocidad de propagación no depende del número de onda y vale ω T TL V= = = k ρ M siendo M la masa de la cuerda y L su longitud. De esta relación, obtenemos la frecuencia natural (ω = 2πν ) del modo fundamental ν1 = ω1 k 1 T =V 1 = = 10 Hz 2π 2π 2 ML • Cuando se pulsa transversalmente la cuerda, el movimiento será combinación lineal de los modos de vibración, cada uno con una amplitud y fases determinadas mediante el análisis de Fourier a partir de los perfiles iniciales de velocidad y desplazamiento. Pero si a continuación tocamos la cuerda en un punto generamos un nodo en dicho punto, y los modos que persistirán serán aquellos compatibles con la presencia de un nodo de vibración en esa posición. En nuestro caso, los modos que persisten son los que tienen un nodo en x = 0,5 metros . Para el modo n-ésimo la posición de sus nodos es m xnodo = L n m = 0,.., n Introduciendo los datos de la longitud y de la posición del nodo, el modo n-ésimo persiste si para algún entero m se satisface m 0,5 1 = = n 2,5 5 n = 5m Es decir, el índice n debe ser múltiplo de 5. Con esto, las frecuencias que persisten son ν n = nν 1 = 5mν1 = 50, 100, 150,.. Hz 7.2 Una cuerda estirada de masa m, longitud L y tensión T se ve impulsada por dos fuentes, una en cada extremo. Ambas fuentes tienen la misma frecuencia ω y la misma amplitud de vibración pero están desfasadas 180º entre sí. Determinar el valor más pequeño posible de ω consistente con la vibración estacionaria de la cuerda. • La perturbación de la forma A cos ω t que se produce en el extremo izquierdo, que tomamos como x = 0 , se propaga hacia la derecha con velocidad V = TL m por lo que la perturbación generada en la posición x de la cuerda estará dada por la función A cos ( kx − ω t ) siendo k = V el vector de onda. De la misma forma, en el ω extremo derecho, x = L , la perturbación generada A cos (ω t + π ) = − A cos ω t se propaga hacia la izquierda con velocidad V, y en la posición x la perturbación será de la forma − A cos ( k ( L − x ) − ω t ) = −A cos ( kx + ωt − kL ) . • Por tanto, la perturbación total de la cuerda en la posición x debido a la presencia de las dos fuentes es y (x , t ) = A cos ( kx − ωt ) − cos ( kx + ωt − kL ) con la forma de una onda estacionaria sólo cuando kL sea múltiplo de π . La frecuencia mínima necesaria para generar tal onda estacionaria será igual entonces a la frecuencia del primer modo de vibración de una cuerda con dos extremos fijos. En este caso, V V T ω = =π = π k L mL 7.3 Hallar el movimiento general de una cuerda tensa de longitud L, con dos extremos fijos, con las condiciones iniciales y ( x ,0 ) = Ax ( L − x) ∂y =0 ∂t t = 0 • Según el análisis de Fourier, el movimiento general está dado por nπ x y (x , t ) = ( An sin ωn t + Bn cos ωnt ) sen L ∑ n Los coeficientes de este desarrollo en serie están dados por las integrales 2 Bn = L ∫ L y ( x, 0) sen 0 ∫ 2 An = Lω n L nπ x dx L y& ( x ,0 ) sen 0 nπ x dx L • En nuestro caso, ya que la velocidad inicial es cero, todos los coeficientes An son cero. Para evaluar los coeficientes Bn , es útil considerar la simetría del problema. El perfil inicial del desplazamiento y ( x ,0 ) es una función par respecto del punto medio de la cuerda, x = L . Esto indica que los coeficientes Bn serán 2 nπ x que distintos de cero sólo para aquellos valores n asociados a las funciones sen L sean pares respecto del punto medio de la cuerda. Es decir, aquellos valores que satisfagan nπ ( L − x ) nπ x nπ x nπ x sen = sen = sen ( nπ ) cos − cos ( nπ ) sen L L L L La solución es n impar. Por tanto, B2k = 0 . Desarrollando la integral obtenemos B2k +1 2A = L = 2 AL 2 ∫ 1 ∫ L x ( L − x )sen ( 2k + 1) π x L 0 dx u(1 − u)sen ( ( 2k + 1) π u )du 0 = 2 AL2 ( 2k + 1) 3 π3 y de aquí, la solución general es ∞ y (x , t ) = ∑( k =0 ω 2k +1 = 4 AL2 2k + 1) π ( 2k + 1) π L 3 T ρ sen 3 ( 2k + 1) π x cos ω L 2k +1t 7.4 Una cuerda tensa con dos extremos fijos se desplaza desde su posición central una distancia h según la dirección vertical, y se suelta sin velocidad inicial. Determinar la energía mecánica de la oscilación, y su período temporal de oscilación. • Ya que inicialmente la cuerda está en reposo, la energía mecánica será igual a la energía potencial elástica que adquiere la cuerda en su deformación inicial. De la teoría, sabemos que la energía potencial tiene la expresión en este caso 1 E = E p (t = 0 ) = T 2 ∫ L 0 2 ∂y dx ∂x t = 0 ∂y es igual a la pendiente de la curva inicial. Para el tramo que va desde ∂x x = 0 hasta x = L , dicha pendiente es 2 ∂y h 2h = = L ∂x L 2 y para el segundo tramo, desde x = L hasta x = L , la pendiente tendría el mismo 2 valor con signo contrario. Por tanto, La función 2 4h 2 ∂y = 2 ∂x t = 0 L y la energía mecánica de la onda será 1 4h2 h2 E = TL 2 = 2T 2 L L 7.5 Una cuerda de longitud L, y masa M cuelga verticalmente de un extremo fijo en el techo. La tensión que sufre la cuerda se debe exclusivamente a su peso. Determinar la tensión de la cuerda y la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda. En t=0, se produce un pulso en el extremo inferior que viaja hacia el extremo superior. Determinar el tiempo que tarda el pulso en volver al extremo inferior si se ve reflejado en el extremo superior. • La tensión sufrida por un elemento de cuerda situado a una distancia x del techo es igual al peso que debe soportar, correspondiente a un trozo de cuerda de longitud L − x . Por tanto, la tensión de la cuerda es función de la distancia x en la forma T ( x) = ρ g ( L − x ) y la velocidad de propagación de los pulsos de onda sobre la cuerda es T ( x) = g ( L − x) ρ • El pulso tarda el mismo tiempo es subir que en bajar la cuerda. Por tanto, el tiempo de viaje sería V (x) = t =2 ∫ L 0 dx 1 =2 V ( x) g ∫ L 0 1 = L−x L g 7.6 Resolver de nuevo este problema si ahora la cuerda se fija por un extremo a un eje que gira sobre sí mismo con velocidad angular ω . Por efecto del giro, la cuerda se coloca de forma horizontal, de manera que el peso de la cuerda puede despreciarse. • En este caso, la tensión de la cuerda a una distancia r del eje de giro debe soportar la fuerza centrífuga generada por el giro del trozo de cuerda de longitud L − r . Tenemos T (r) = ∫ L dmω x = 2 r ∫ L ρω 2 xdx = r y la velocidad de propagación de los pulsos sería 1 2 2 2 V (r) = ω L −r 2 ( ( 1 ρω 2 L2 − r 2 2 ) ) • El tiempo que tarda el pulso en recorrer dos veces la longitud de la cuerda es t =2 ∫ L 0 dr 2 2 = V (r ) ω ∫ L 0 dr L2 − r 2 = π 2 ω 7.7 Determinar cómo se refleja un pulso sobre el extremo fijo de una cuerda y sobre el extremo libre de una cuerda. • En la reflexión un pulso no cambia de forma pero si de sentido de propagación. Supongamos que el pulso que llega al punto de reflexión tiene la forma f ( x − Vt ) . Entonces, tras la reflexión la combinación del pulso incidente y del pulso emergente será de la forma y (x , t ) = f ( x − Vt ) ± f ( x + Vt ) Nuestro objetivo es decidir que signo debemos tomar en cada caso. En un extremo fijo, la posición de la cuerda corresponde a y = 0 , y esto es posible sólo si en la fórmula anterior tomamos el signo menos. Corresponde entonces al hecho de que el pulso reflejado invierte su posición respecto al pulso incidente. Si el incidente llega por arriba el reflejado sale por debajo. Para un extremo libre, la condición es ∂y = 0 . Utilizando la ecuación anterior ∂t obtenemos ∂y = −Vf ' ( x − Vt ) ± Vf ' ( x + Vt ) ∂t y en el extremo libre debemos tomar entonces el signo más. El pulso reflejado no invierte su posición respecto del pulso incidente.
