Filtrado espacial

Depto. de Fı́sica - Esc. de Ciencias Exactas y Naturales
Fı́sica Experimental IV
Optica de Fourier y filtrado espacial
Objetivo
Estudiar la óptica de Fourier y la formación de imágenes con luz coherente.
Difracción de Fraunhofer
Sea una onda plana de luz coherente que incide sobre una pantalla opaca que tiene una abertura de cualquier forma que está caracterizada por
una función de transmisión t(x, y) similar a la producida por un negativo
fotográfico, como se muestra en la Fig. (1).
y
y´
x
x´
Plano
de Fourier
t(x,y)
f
Figura 1: Difracción de Fraunhofer producida por una transparencia.
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Se puede demostrar que la intensidad I(x0 , y 0 ) de la figura de difracción al
infinito o de Fraunhofer que se observa sobre el plano focal (x0 , y 0 ) (también
denominado plano de Fourier) de una lente convergente de distancia focal f ,
se puede evaluar a través de la expresión [1], [2], [3], [4]
¯Z Z
¯2
¯
¯
ik
¯
I(x0 , y 0 ) = ¯
t(x, y)exp[− (xx0 + yy 0 )]dxdy ¯¯
¯
¯
f
∞
(1)
donde k = 2π/λ es el módulo del vector de onda, siendo λ la longitud de
onda de la luz. La Ec (1) es la transformada de Fourier de la función de
transmisión t(x, y), calculada para las frecuencias espaciales fx = x0 /λf y
fy = y 0 /λf , las cuales se miden en cm−1 [2].
Por lo tanto:
I(x0 , y 0 ) = |F {t(x, y)}|2
(2)
donde F {} es el operador que genera la transformada de Fourier. Las frecuencias espaciales bajas son aquéllas que están ubicadas a una distancia pequeña
del origen de coordenadas del plano de Fourier (x0 , y 0 ). Como sucede en la
teorı́a de series de Fourier, las frecuencias espaciales bajas dan información
sobre los detalles gruesos de la función t(x, y). Las frecuencias espaciales altas
sirven para definir los detalles finos de t(x, y).
La Ec. (1) es válida en aquellos casos en que se verifica la teorı́a escalar
de la difracción que desprecia la interacción entre los campos eléctrico y
magnético. Esta aproximación es válida cuando la dimensión media de la
abertura es grande comparada con λ y la pantalla donde está ubicada la
abertura es opaca a la radiación incidente (o sea que la pantalla no irradia).
Además, debe verificarse la aproximación de rayos paraxiales, la lente no
debe presentar aberraciones y su diámetro debe ser lo suficientemente grande
como recoger todas las ondas difractadas por la abertura. En la práctica,
estas últimas aproximaciones no se verifican dado que cualquier lente posee
aberraciones y además funciona como un filtro pasabajos, el cual rechaza
las frecuencias espaciales mayores a las determinadas por su radio y permite
pasar a todas las menores.
Caso de una red de difracción unidimensional
Consideremos un caso unidimensional en el cual la abertura difractante
se cubre con una transparencia que tiene una función de trasmisión tipo
cuadrada (red de difracción), como se muestra en la Fig. (2).
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t(x)
a
x
Figura 2: Caso de una red de difracción unidimensional.
Calculando la transformada de Fourier de t(x), se puede demostrar que la
figura de difracción producida por este objeto es similar a la que se muestra
en la Fig. (3) [2].
0011
111
000
000
111
11111
00000
00000
11111
111
000
000
111
0011
x´
Figura 3: Figura de difracción de Fraunhofer producida por una red unidimensional.
Las frecuencias espaciales se alejan del eje central de acuerdo con la expresión
mλ
sen θ =
(3)
a
con m = 0, 1, 2, .. y donde el ángulo θ y el orden de difracción m se muestran
en la Fig. (4).
Formación de imágenes y filtrado espacial
Sea un sistema óptico como el que se muestra en la Fig. (5). El objeto es
una transparencia con una función de transmisión t(x, y) y está iluminado
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x´
1100 m = 1
θ
111
000
000
111
000
111
m=0
Figura 4: Máximos de la figura de difracción producida por una red unidimensional.
por un haz plano coherente. La lente transformadora 1 generará la transformada de Fourier del objeto sobre el plano π1 . Este espectro de difracción actuará como objeto para la lente 2, la cual se puede demostrar que generará la
transformada de Fourier inversa de la anterior transformada. La formación
de imágenes como un proceso de doble difracción fue propuesta por Abbe [2].
En el plano de Fourier π1 se pueden insertar máscaras o filtros para evitar que ciertas frecuencias espaciales lleguen al plano imagen. Este proceso se
conoce como filtrado espacial. Actualmente, estos métodos se siguen usando
para procesar distintas imágenes, pero la generación óptica de la transformada de Fourier fue reemplazada por su evaluación mediante computadoras
usando los algoritmos conocidos como FFT (fast Fourier transform o transformada rápida de Fourier ).
Dado que las lentes se comportan como filtros pasabajos, las mismas están
limitadas en su capacidad para reproducir las frecuencias espaciales altas
contenidas en un objeto real iluminado con luz coherente. Por consiguiente,
en la imagen aparecerá una pérdida de nitidez y de resolución.
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plano objeto
plano π 1 (Fourier)
lente 1
f1
f1
lente 2
f2
plano Imagen
f2
Figura 5: Sistema óptico usado para generar imágenes con luz coherente.
Desarrollo experimental
Para realizar los experimentos de filtrado espacial, similares a los publicados por A. Porter en 1906 [1], se usa un sistema óptico como el esquematizado
en la Fig. (6).
lente
colimadora
plano objeto
plano π 1 (Fourier)
lente 1
lente 2
plano Imagen
objetivo
microscopio
laser
000
111
000
111
11
00
000
111
000
111
000
111
000
111
11
00
00
11
00
11
f
f1
f1
f2
f2
Figura 6: Sistema óptico para realizar las experiencias de filtrado espacial.
Como objeto se coloca una pantalla opaca con una abertura circular ocupada por distintas mallas finas de alambre (redes de difracción bidimensional). Una vez finalizada la alineación del sistema óptico, se deben observar
y fotografiar los espectros de difracción y las imágenes obtenidas. En particular, se deben analizar y explicar los resultados obtenidos en los siguientes
casos:
1. sin modificar las frecuencias espaciales;
2. dejando pasar, con la ayuda de una rendija, sólo a las frecuencias
espaciales horizontales que contengan al orden cero;
3. idem al caso anterior, pero dejando pasar sólo a las frecuencias verticales;
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4. idem al caso 2, pero además eliminando las frecuencias espaciales
altas;
5. idem al caso 2, pero eliminando las frecuencias espaciales bajas;
Como experiencia complementaria se propone ampliar un negativo cualquiera para observar la granulosidad producida por la emulsión. Fotografiarlo y
colocarlo como objeto en el sistema óptico usado. Filtrar las altas frecuencias
con una abertura circular para obtener una imagen en tonos de gris. Discutir
los resultados obtenidos. Si es posible, realizar la experiencia anterior degradando una imagen con ruido al azar mediante una computadora. Para filtrar
el ruido, usar un programa de FFT (se recomienda usar el software Matlab).
Referencias
[1] E. Hecht, Optics, Third Edition, Addison-Wesley, 1998.2. R.
[2] D. Guenther, Modern Optics, Wiley, 1990.
[3] M. Françon, Optical Image Formation and Processing, Academic Press,
1979.4.
[4] J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, 1968.
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