fundamentos probabilísticos del método de valoración de

FUNDAMENTOS PROBABILÍSTICOS DEL MÉTODO
DE VALORACIÓN DE LAS DOS DISTRIBUCIONES
Federico Palacios González - [email protected]
José Callejón Céspedes - [email protected]
José Manuel Herrerías Velasco - [email protected]
Universidad de Granada
Reservados todos los derechos.
Este documento ha sido extraído del CD Rom “Anales de Economía Aplicada. XIV Reunión ASEPELT-España. Oviedo,
22 y 23 de Junio de 2000”.
ISBN: 84-699-2357-9
FUNDAMENTOS PROBABILÍSTICOS DEL MÉTODO DE VALORACIÓN DE
LAS DOS DISTRIBUCIONES
Palacios González, Federico; Callejón Céspedes, José; Herrerías Velasco, José Manuel
[email protected]; [email protected]; [email protected]
Departamento de Economía Aplicada - Universidad de Granada
Código de la UNESCO: 530204
Palabras clave: Método de las dos distribuciones, estimación subjetiva, método PERT
Área temática: G2
Resumen
El método de las dos distribuciones introducido por Ballestero (1973) como
generalización del método sintético de valoración a partir de una distribución Beta y extendido
por otros autores a distribuciones tales como la triangular y uniforme, Romero (1977), o
trapezoidal, Herrerías, García, Cruz y Herrerías (2000), no está perfectamente formalizado en
sus hipótesis desde un punto de vista teórico; por ello, en este trabajo, se hace
una
fundamentación del método, utilizando el Cálculo de Probabilidades como herramienta básica..
Se observa que la forma de la función de valoración depende de la posición relativa de
las modas de ambas distribuciones.
La metodología se extiende al caso multivariante, usando varios índices de calidad
simultáneamente.
1. Introducción
Valorar un bien económico no será otra cosa que el hecho de atribuirle un valor,
expresado este generalmente en una cantidad de moneda y teniendo en cuenta para tal atribución
los fines para los que el dictamen valorativo se solicita, Ruiz (1986). El establecimiento de un
valor como bien económico, ofrece amplias y variadas consideraciones que,
a modo de
resumen, se podrían sintetizar en dos grandes líneas maestras. Una, la que centra su
preocupación en el estudio que conduzca a la explicación y justificación de los procesos a través
de los cuales se establecen los precios y las variaciones que estos sufren; la otra línea tiene
como finalidad el establecimiento de métodos y procedimientos que conduzcan a la fijación del
valor de distintas clases de bienes. La primera entra de lleno en el terreno de lo teórico, mientras
que la segunda se consideraría en el terreno de lo práctico, de lo técnico, y lleva consigo la
utilización de un gran número de herramie ntas.
El hecho de tener que decidir el aspecto económico que ha de considerarse en el bien en
cuestión, lleva consigo distintos criterios sobre valoración, Ruiz (1986), entre ellos el de valor
de mercado, el de coste de la producción, etc. La utilización de un criterio u otro puede llevar a
valores diferentes del mismo bien. El precio de mercado de un bien surge, en general, como
resultado de numerosas componentes (calidad, oferta, demanda, etc.)
El método sintético clásico explica los precios de mercado a través de una variables
económicas, convenientemente elegidas, que reciben el nombre de índices, por ejemplo índices
de calidad, Ballestero (1991). Frecuentemente se trabaja con un sólo índice y lo más simple es
suponer que existe una estricta proporcionalidad entre el índice y el valor de mercado.
El método de valoración de las dos distribuciones tiene su origen en el trabajo de
Ballestero (1973), y nace como una generalización del método sintético de valoración,
utilizando como modelo probabilístico la distribución beta usada en el método PERT, por lo
que al comienzo este método se denominó método de las dos distribuciones beta, Ballestero E y
Caballer (1982), y se presentó como un procedimiento rápido y cómodo de valoración
relacionado con la valoración sintética de tierras y con aplicaciones directas en la concentración
parcelaria. Posteriormente Romero, C (1977) extiende el método de las dos distribuciones beta a
otro tipo de distribuciones tales como las distribuciones triangulares y rectangulares, aplicando
la filosofía del nuevo método de valoración ala valoración de acciones bursátiles, Romero
(1989). Aunque donde ha encontrado más aplicación, de momento, ha sido dentro de la
Economía de la Empresa Agraria en general, Ballestero (1991) y en particular en la valoración
de tierras, Cañas, Domingo y Martínez (1994). Al mismo tiempo el método de las dos
distribuciones ha sido incluido como un método general de valoración de empresas y aparece
como un método destacado de valoración agraria, Caballer (1994). Finalmente otros autores
han ampliado el método de valoración de las dos distribuciones a otras distribuciones de
probabilidad de tipo trapezoidal y a los casos híbridos o mezclados, García, Cruz y Herrerías
(2000).
En todos los trabajos mencionados anteriormente no aparece explicado ni explicitado
especialmente el fundamento teórico del método sino que queda asumida la filosofía interna del
mismo, aunque no esté demostrado teóricamente. Es por ello que en este trabajo se realiza una
fundamentación del método de las dos distribuciones.
2. El método de valoración de las dos distribuciones
La filosofía del método consiste en lo siguiente: se supone que la variable, V, valor de
mercado de un bien, se distribuye según una ley de probabilidad y tiene una función de
distribución F(v) y por otra parte existe un índice, I, relacionado con la calidad u otra
característica del bien que influye en el valor de mercado y que se interpreta como una variable
explicativa que obedece a una función de distribución G(i).
Se adopta la siguiente hipótesis: si el índice Ii de un activo Fi es mayor que el índice Ij de
otro activo Fj , el valor de mercado Vi correspondiente al primer activo será también mayor que
el valor de mercado Vj correspondiente al segundo.
A partir de aquí, conocida la distribución F del valor de mercado y la función de
distribución del índice G, el valor de mercado Vk correspondiente a un índice Ik se establece
mediante la transformación
Vk = Φ ( I k ) ⇔
F (Vk ) = G( I k )
La dificultad de método está en conocer la forma de la función Φ , la cual está
íntimamente relacionada con las formas que adopten las funciones F y G.
3. Fundamentación teórica del método de valoración de las dos distribuciones.
Dado un activo a valorar, se consideran dos variables aleatorias relacionadas con el
mismo: la variable I que representa un índice de calidad del activo y la variable V, valor de
mercado del activo. Se supone que el valor que alcanza el activo V es función de su calidad,
esto es
V = Φ (I ) donde Φ es una función estrictamente creciente sobre un cierto intervalo
[I 1 , I 2 ] , soporte de la distribución de I.
Si I tiene una distribución de probabilidad cuya función de distribución es G(i )
entonces V es una variable aleatoria cuya función de distribución es
[
]
F (v) = P[V ≤ v ] = P[Φ ( I ) ≤ v ] = P I ≤ Φ −1 (v ) = G( Φ −1 ( v))
(1)
O equivalentemente
G(i ) = P[I ≤ i ] = P[Φ ( I ) ≤ Φ (i ) ] = P[V ≤ Φ (i ) ] = F ( Φ (i ))
(2)
donde se ha tenido en cuenta que Φ es estrictamente creciente.
Es evidente que si F es estrictamente creciente sobre el intervalo
[Φ ( I 1 ), Φ ( I 2 ) ]
entonces F es invertible sobre el citado intervalo, luego a partir de (2) se tiene que
Φ (i ) = F −1 (G (i ))
definida entre ( I 1 , I 2 ) → (Φ ( I 1 ), Φ ( I 2 ))
es una biyección que transforma calidades en valores de mercado.
A partir de aquí, si la calidad de un bien es I 0 , entonces su valor de mercado debe ser
V0 = Φ ( I 0 ) = F −1 ( G( I 0 ))
4. Modelos Beta y Triangular: influencia sobre la curva de valoración.
Para poder establecer la biyección Φ entre el índice de calidad de un bien y su valor de
mercado, tal y como ha quedado expuesto, será necesario disponer previamente de las
correspondientes distribuciones de probabilidad. En los ejemplos que a continuación se
presentan se ha supuesto que conocidos, a partir de las opiniones de un experto, los tres valores
subjetivos (pesimista, optimista y más probable) para las calidades y otros tres para los valores
de mercado, se pueden construir sendos modelos de probabilidad subjetiva, G(i ) y F (v) .
Sin pérdida de generalidad, se ha supuesto que, para el índice de calidad, el valor
pesimista es cero y el optimista cien; se han considerado distintas posibilidades para el índice de
calidad más probable. Análogamente se ha asignado cero al valor mínimo de mercado y mil
para el valor optimista; de igual forma se han tenido en cuentas distintas posibilidades para el
valor de mercado más probable.
Puesto que el objetivo de este trabajo no es obtener el mayor número de modelizaciones
posibles de las distribuciones de probabilidad, solamente, con la ayuda de la hoja Excel, se han
considerado los siguientes casos:
a) Tanto el índice de calidad del bien como su valor de mercado se distribuyen según el modelo
beta cuyo valor esperado se obtiene ponderando por 4 el valor más probable, esto es
E [x] =
a + 4m + b
, siendo entonces
6
p =1+
4( m − a)
b −a
y
q = 1+
4 (b − m)
, Herrerías (1989).
b−a
b) Se ajusta a cada una de las dos variables, índice de calidad y valor de mercado, una
distribución triangular
c) El índice de calidad se modeliza mediante una distribución triangular y el valor de mercado
mediante una distribución beta.
d) Al contrario que en el apartado anterior, el índice se modeliza mediante una distribución
beta y el valor de mercado mediante una triangular.
En cada uno de los gráficos del anexo I se puede observar conjuntamente el
comportamiento de la función Φ para cada uno de los cuatro casos considerados. Las
diferencias que se observan entre los distintos gráficos son debidas solamente a considerar
distintas posiciones relativas de la moda en el intervalo de definición de cada una de las
variables, V e I. En la tabla, que precede a cada gráfico, aparecen los valores que permiten
modelizar cada una de las distribuciones. Se han considerado diferentes situaciones para los
valores más probables:
a) ambas modas están próximas al extremo inferior del intervalo
b) los valores más probables, en ambos casos, están próximos al punto medio del intervalo
c) están situadas ambas en la parte superior del intervalo
d) una moda está próxima al valor pesimista mientras que la otra está próxima al valor
optimista.
En los gráficos del anexo I, correspondientes a la función de valoración Φ , se puede
observar no sólo la influencia del modelo elegido en cada caso sino también, como era de
esperar, la posición relativa que, dentro del soporte de la variable, ocupan los valores más
probables. Resulta razonable que todas las gráficas de Φ se parezcan tanto más cuanto más
centrados están los valores de la moda. A continuación se realiza una descripción más detallada
de este fenómeno.
Para realizar el análisis de sensibilidad de modelos, es conveniente expresar las asimetrías
de ambas distribuciones a través de la posición de la moda en el intervalo. Dicha posición se
expresa en forma estandarizada dividiendo la posición modal entre la amplitud del intervalo.
Se observan tres tipos de situaciones:
a) El modelo constituido por dos distribuciones del mismo tipo queda dentro de la
franja determinada por los modelos constituidos por distribuciones de distinto tipo.
Estos casos se corresponden con modas poco distantes (diferencia de posiciones
relativas del orden de 0,25 o menos), gráficos 2, 4 y 9.
b) El modelo constituido por dos distribuciones de tipo distinto queda dentro de la
franja determinada por los modelos constituidos por dos distribuciones del mismo
tipo. Estos casos se corresponden con asimetrías muy acusadas de signo contrario, y
por tanto con posiciones muy alejadas de las modas (más de 0,5), gráficos 6 y 7.
c)
Los restantes casos (distancia moderada entre 0,25 y 0,5) no permiten discriminar
claramente entre la situación a o la b, gráficos 1, 3, 5 y 8.
Atendiendo a la curvatura de la función de valoración, los modelos pueden clasificarse en :
1- Aproximadamente lineales. Se corresponden con el caso a) anterior .
2-
Cóncavos
1
. Corresponden a modelos en los que la posición modal relativa del índice
es superior a la del valor de mercado, gráficos 1, 7 y 8.
3-
Convexo. Corresponden a modelos en los que la posición modal relativa del índice es
inferior a la del valor de mercado gráficos 3, 5 y 6.
5. Caso de un índice múltiple de calidad.
Cuando el índice de calidad es múltiple, la función de distribución G( I ) , es
multivariante. No obstante, puede establecerse, de forma análoga, una función que relaciona
cada vector de calidad con un valor de mercado. En efecto, dada una función de
distribución F (v )
para la variable valor de mercado, se puede definir la función
Φ : ℜ k → ℜ tal que
∀I ∈ ℜ k
Φ( I ) = F −1 (G( I ) )
(3)
La definición formal es básicamente la misma que para el caso univariante, pero ahora
la función define una hipersuperficie en un espacio k+1-dimensional.
Es difícil conseguir información subjetiva de un experto, sobre el vector de calidades I
que permita recoger la distribución de probabilidades de cada componente, y establezca la
relación de dependencia entre las distintas componentes del vector I. El modus operandi más
sencillo será definir, para cada componente de I, una distribución basada en las tres cantidades
1
La acepción de concavidad y convexidad de una función aquí utilizadas puede consultarse en el libro:
Apostol, T.M. (1989); Cálculus. Reverté. 2°edición. Barcelona.
subjetivas y con la hipótesis adicional de independencia construir, mediante producto, la
distribución conjunta. Todo ello sin perjuicio de que para algún caso concreto, pueda disponerse
de información objetiva para estimar dicha distribución conjunta. También se podría optar por
un modelo multivariante junto con una formalización de la opinión del experto más elaborada
que la habitual del método PERT.
Los gráficos 10, 11 y 12 muestran las curvas de nivel de la superficie definida por (3)
en el espacio tridimensional. Suponemos pues un vector de índices de calidad, bivariante.
El gráfico 10 muestra el caso en el que cada componente del vector de índices tiene una
distribución Beta sobre el intervalo (0, 100) con valores p = 2; q = 3 y p = 2; q=3,5
respectivamente. La distribución bivariante del vector de índices es el producto de las dos Betas
anteriores. Para la variable Valor de Mercado, en los tres casos, se supone una distribución Beta
sobre (0, 100) con parámetros p= 3 y q = 5.
En los gráficos 11 y 12 la distribución para los índices de calidad se supone normal
bivariante. En el 11, las dos variables son prácticamente independientes y en el 12 tienen una
fuerte dependencia. De la comparación de estos dos gráficos 11 y 12, puede obtenerse una
apreciación intuitiva del efecto de la dependencia entre las componentes del vector de calidades.
El vector de medias es en ambos casos (15, 12) y las respectivas matrices de covarianzas son
180 10 


 10 70 
y
180 100 


100 70 
Las curvas que se aprecian en los gráficos son líneas de isovalor según los niveles de las
dos componentes de calidad, que se representan en abcisas y ordenadas respectivamente. Las
bandas de color son niveles de Valor de Mercado y la clave de colores está en la leyenda que
figura en la zona derecha de cada gráfico.
Obsérvense los gráficos 10 y 11. En ambos hay independencia entre las componentes
del vector de calidades, y la lectura del gráfico es que para aumentar el valor de mercado ambos
índices han de crecer. Si uno de ellos crece y el otro permacece constante el valor se estabiliza
ya que nos moveremos práctimente dentro de una misma banda; tanto si el desplazamiento es
vertical como si es horizontal. Consideremos, por el contrario, que hay una fuerte correlación
positiva entre las componentes del vector de calidades, como es el caso recogido en el gráfico
12. Al desplazarse horizontalmente o verticalmente se cruzan necesariamente distintas bandas.
El crecimiento de un solo índice de calidad puede provocar inicialmente crecimientos del valor
de mercado y posteriormente decrecimientos de dicho valor. No abstante una fuerte correlación
positiva entre las componentes del vector de calidades, está indicando que es poco probable
observar aumentos en una componente sin que el resto la acompañen. Desplazamientos en
vertical o en horizontal, en estos casos, pueden corresponderse con planteamientos irreales que
tan solo tienen la virtud de poner al límite el modelo de valoración. No obstante, imagínese un
ejemplo de valoración de viviendas y que una componente del vector significa la calidad de
construcción y el otro la calidad de la zona donde se ubica la vivienda. El valor de mercado
crece con la calidad de construcción, hasta que el precio la hace inasequible para el nivel
económico de las familias que están dispuestas a residir en esa zona. Calidades excesivas para la
zona en cuestión hacen invendibles las viviendas. Este último ejemplo muestra además una
justificación racional sobre la existencia de correlaciones positivas fuertes entre componentes
del vector de calidades, para determinadas situaciones. Las mejores calidades de construcción
suelen encontrarse en las mejores zonas.
6. Referencias Bibliográficas.
Ballestero, E (1971). Sobre la valoración sintética de tierras y un nuevo método aplicable a la
concentración parcelaria. Revista de Economía Política. Abril, pp 225-238.
Ballestero, E (1973). Nota sobre un nuevo método rápido de valoración. Revista de estudios
Agrosociales, nº 85, pp 75-77.
Ballestero, E (1991). Economía de la Empresa Agraria y Alimentaria. Ediciones MundiPrensa. Madrid.
Ballestero, E y Caballer, V (1982). Il metodo delle due beta. Genio Rurale, vol XLV,
nº6 pp 33-36. Bolonia.
Caballer, V. (1994). Métodos de valoración de Empresas. Ediciones Pirámide S.A. Madrid.
Cañas, J.A.; Domingo, J. y Martínez, J.A. (1994). Valoración de tierras en las campiñas y la
subética de la provincia de Córdoba por el método de las funciones de distribución.
Investigación Agraria. Serie Economía. Vol 9, nº 3 Diciembre, pp 447-467
Herrerías, R. (1989). Utilización de Modelos Probabilísticos Alternativos para el Método
PERT. Aplicación al Análisis de Inversiones. Estudios de Economía Aplicada.
Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Valladolid, pp 89-112.
Herrerías, R.; García, J.; Cruz, S.
y
Herrerías Velasco J.M. (2000). El modelo
trapezoidalen la teoría de la valoración. Genio Rurale. Pendiente de publicación.
Romero, C. (1977).Valoración por el método de las dos distribuciones beta. Una extensión.
Revista de Economía Política. Instituto de Estudios Políticos, nº 75, pp 47-62.
Romero, C. (1989). Introducción a la financiación empresarial y al análisis bursátil. Alianza
Editorial S.A. Madrid.
Ruiz, F (1986). Manual de valoración agraria y urbana. Intertécnica de valoraciones S.A.
Madrid.
ANEXO I
DISTINTAS GRÁFICAS DE LA BIYECCIÓN ENTRE ÍNDICES DE CALIDAD Y
VALORES DE MERCADO
Mínimo
Indice de calidad
Valor de mercado
Más Probable
0
0
55
200
Máximo
Parámetros de la
distribución beta
p
3,2
1,8
100
1000
q
2,8
4,2
Gráfico 1
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
Dos betas
I triangular, V beta
Mínimo
Indice de calidad
Valor de mercado
60
100
Dos triangulares
I beta, V triangular
Más Probable
0
0
80
55
600
Máximo
Parámetros de la
distribución beta
p
3,2
3,4
100
1000
Gráfico 2
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
Dos betas
I triangular, V beta
60
80
100
Dos triangulares
I beta, V triangular
q
2,8
2,6
Mínimo
Indice de calidad
Valor de mercado
Más Probable
0
0
55
900
Máximo
Parámetros de la
distribución beta
p
3,2
4,6
100
1000
q
2,8
1,4
Gráfico 3
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
Dos betas
I triangular, V beta
Mínimo
Indice de calidad
Valor de mercado
60
100
Dos triangulares
I beta, V triangular
Más Probable
0
0
80
20
250
Máximo
Parámetros de la
distribución beta
p
1,8
2
100
1000
Gráfico 4
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
Dos betas
I triangular, V beta
60
80
100
Dos triangulares
I beta, V triangular
q
4,2
4
Mínimo
Indice de calidad
Valor de mercado
Más Probable
0
0
Máximo
20
500
Parámetros de la
distribución beta
p
1,8
3
100
1000
q
4,2
3
Gráfico 5
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
Dos betas
I triangular, V beta
Mínimo
Indice de calidad
Valor de mercado
60
100
Dos triangulares
I beta, V triangular
Más Probable
0
0
80
Máximo
20
800
Parámetros de la
distribución beta
p
1,8
4,2
100
1000
Gráfico 6
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
Dos betas
I triangular, V beta
60
80
100
Dos triangulares
I beta, V triangular
q
4,2
1,8
Mínimo
Indice de calidad
Valor de mercado
Más Probable
0
0
Máximo
80
100
Parámetros de la
distribución beta
p
4,2
1,4
100
1000
q
1,8
4,6
Gráfico 7
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
60
Dos betas
I triangular, V beta
Mínimo
Indice de calidad
Valor de mercado
80
100
Dos triangulares
I beta, V triangular
Más Probable
0
0
Máximo
80
500
Parámetros de la
distribución beta
p
4,2
3
100
1000
Gráfico 8
1000
800
600
400
200
º
0
0
20
40
Dos betas
I triangular, V beta
60
80
100
Dos triangulares
I beta, V triangular
q
1,8
3
Mínimo
Indice de calidad
Valor de mercado
Más Probable
0
0
Máximo
80
900
Parámetros de la
distribución beta
p
4,2
4,6
100
1000
Gráfico 9
1000
800
600
400
200
º
0
0
20
40
Dos betas
I triangular, V beta
60
80
100
Dos triangulares
I beta, V triangular
q
1,8
1,4
ANEXO II.
GRÁFICOS CORRESPONDIENTES AL CASO DE UN ÍNDICE MULTIPLE DE CALIDAD.
Gráfico 10
99
90
80
70
90-100
80-90
70-80
60
60-70
50
50-60
40
40-50
30
30-40
20-30
20
10-20
10
0-10
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 99
1
Gráfico 11
100
90
80
90-100
70
80-90
60
50-60
40
40-50
30-40
20-30
20
10-20
10
0-10
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
60-70
50
30
0
70-80
Gráfico 12
100
90
80
90-100
70
80-90
60
50-60
40
40-50
30-40
20-30
20
10-20
10
0-10
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
60-70
50
30
0
70-80