Las funciones de utilidad que manejamos en esta asignatura

Las funciones de utilidad que manejamos en esta asignatura relacionan tres
variables: la utilidad y las cantidades consumidas de dos bienes, x1 y x2. La forma
general de estas funciones es
U = U(x1, x2)
Donde U() significa “función utilidad de lo que hay entre paréntesis”. Esa función
“transforma” los dos números que hay entre paréntesis (las cantidades
consumidas de los dos bienes) en otro número, la utilidad derivada de su
consumo.
Las funciones matemáticas se pueden dibujar, si no contienen demasiadas
variables. Si la función relaciona dos variables se puede hacer un dibujo de dos
dimensiones. Si se relacionan tres variables el dibujo debe hacerse en un espacio
de tres dimensiones. Nuestra función de utilidad tiene tres variables.
El aspecto de la función de utilidad será como este:
U
x1
x’1
x2
0
Como puede observarse la función de utilidad es una superficie curva parecida a
un cuarto de queso de tetilla. No se representan las otras tres partes del “queso”
porque incluirían cantidades negativas de alguno de los dos bienes, lo que es
imposible. Tampoco se incluye la parte que queda “debajo” porque eso implicaría
utilidades negativas, cosa que descartamos también.
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Obsérvese que si no se consume nada de los dos bienes estaremos en el punto
“0”, en el que la “altura” de la montaña es nula. Es la altura de la montaña lo que
mide la cantidad de utilidad. Eso quiere decir simplemente que si no consumimos
nada no obtenemos ninguna utilidad. En el momento en que empezamos a
consumir alguna cantidad positiva de alguno de los dos bienes, o de los dos,
empezaremos a subir por la superficie, ganando altura. Eso significa que al
consumir cualquiera de los dos bienes el consumidor gana una utilidad positiva.
Ahora supongamos que cortamos la montaña (o el queso) con un cuchillo de
forma vertical
U
x1
x’1
x2
0
Da igual si lo cortamos en un sentido o en otro, pero supongamos que lo
cortamos a determinada altura de x1, es decir, para un valor del primer bien igual
a x1’. Tendremos una “loncha” con una forma como esta:
Lo que hemos hecho matemáticamente es fijar un valor para x1 en la función de
utilidad, es decir,
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U = U(x’1, x2)
Que es lo mismo que hacer
U = U(x2) para x1=x1’
Sólo permitimos que la utilidad varíe con cambios de x2. El perfil de esa función
de dos variables es la función de utilidad de un bien, dada la cantidad del otro, y
es una figura muy representada en los libros de microeconomía:
U
0
x2
La pendiente de esa función es la utilidad marginal, es decir, lo que aumenta la
utilidad cuando varía un poco la cantidad consumida de x2 (a partir de cierta
cantidad inicial de esa mercancía).
Pero podemos hacer otro corte sobre la función de utilidad tridimensional: un
corte horizontal.
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U
U2
x1
U1
x2
0
La “loncha” que obtenemos ahora tiene un perfil muy distinto:
Y esto nos recuerda, claro está, a otra curva con la que hemos trabajado mucho.
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x2
U2
U1
0
x1
En efecto, se trata de las curvas de indiferencia, que no son otra cosa que las
proyecciones en el “suelo” de esos cortes horizontales en la “montaña” de la
función de utilidad original. Podemos hacer esos cortes a distintas alturas, y por
eso las curvas de indiferencia más alejadas del origen de coordenadas (del cero)
representan niveles de utilidad (alturas) mayores. En efecto, la “altura”, es decir,
la “utilidad”, es la misma en todo el recorrido de cada curva de indiferencia, y por
eso se llaman “de indiferencia”: son las combinaciones de los bienes x1 y x2 que
proporcionan una misma utilidad. En forma matemática:
U* = U(x1, x2)
Donde U* es un determinado nivel de utilidad prefijado y que no cambia,
quedando sólo dos variables “libres” (por supuesto, x1 y x2).
La pendiente de la curva de indiferencia en cada punto es la relación marginal de
sustitución, es decir, lo que tengo que variar el consumo de uno de los bienes
cuando cambia el consumo del otro para dejar la utilidad inalterada.
Este es el significado gráfico de las distintas funciones de utilidad, y cómo se
relacionan. Quienes deseen estudiar esta cuestión con más detalle puede acudir
al manual de Richard Bilas (recomendado en la asignatura) y más en concreto a
su capítulo 4.
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