El campo eléctrico en los medios materiales
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El campo eléctrico y la materia Tema 9 Curso 2004-2005 z z z z z z z z Electrostática y dieléctricos z z z z z Faraday acuñó la palabra dieléctrico para describir el efecto de un aislante en un condensador Faraday observó que al situar un aislante entre las placas de un condensador, la capacidad del sistema, la energía almacenada y la carga aumentan un factor κ κ es una característica del medio En un dieléctrico las cargas no son libres como en un metal, están ligadas a los átomos o moléculas Cuando se aplica un campo eléctrico, el átomo o molécula se polariza (se desplaza la carga negativa respecto de la positiva y se forma un dipolo) Electrostática y dieléctricos El átomo como un dipolo eléctrico Los dieléctricos como distribución de dipolos. El vector polarización P. Susceptibilidad dieléctrica. Permitividad dieléctrica Campo creado por un medio dieléctrico polarizado El vector desplazamiento D Condiciones de frontera entre dieléctricos Algunos efectos eléctricos y mecánicos entre dieléctricos Medios conductores. Conductividad eléctrica. Dipolo atómico inducido nube electrónica α/4πε0 H en unidades de 10-30 m3 0.667 He 0.205 Li 24.3 Ne 0.396 Na 23.6 Ar 1.64 K 43.4 Kr 2.48 Rb 47.3 Xe 4.04 Cs 59.6 d núcleo Átomo sin polarizar F = ZeE0 = ρe = − Polarizabilidades atómicas ~ p~ = αε0 E loc ~0 E Ze 4πa3 a Átomo polarizado MODELO Zeqe Z 2 e2 d =− 4πε0 d2 4πε0 a3 qe = ρ4πd3 = − p~ Zed3 a3 d= 4πε0 a3 E0 Ze α = 4πε0 a3 Teoría cuántica Ecuación de Schrödinger: − ~2 2 e2 ∇ ψ− ψ + eE0 zψ = Eψ 2m 4πε0 r Momento dipolar: 9 p = hψ| − e~r|ψi = (4πε0 a3B )E0 ~uz ~ 2 Polarizabilidad atómica: 9 α = a3B = 0.667 × 10−30 m3 4πε0 2 1 Momentos dipolares moleculares Moléculas polares Hay moléculas con momento dipolar permanente La unidad que caracteriza el momento dipolar es el debye: 1 D=3.34 10-30 C m. Moléculas grandes, mayor momento dipolar Materiales compuestos por moléculas polares: campos internos cuya magnitud depende de T z z z z Molécula ~ ~τ = p~ × E ~ = −pE0 cos θ U = −~ p·E R z −U/kT p~dΩ e Momento dipolar promedio h~pi = R −U/kT e dΩ Si tomamos el eje z como la dirección de E~ = E0 ~uz p 1.0 <pz>/p R +1 e−(pE0 /kT ) cos θ cos θd cos θ −1 R +1 e−(pE0 /kT ) cos θ d cos θ −1 z z 1 z coth z ≈ + z 3 0.6 0.4 0.2 0.0 ∙ µ ¸ ¶ pE0 kT = p coth − kT pE0 Esta es la fórmula de Langevin. Si se hace la aproximación pE/3kT 0.8 0 1 2 3 HF 1.75 HCl 1.04 HBr 0.80 HI 0.83 H2O 1.83 NH3 1.48 eaB 2.5 Polarización y carga de polarización Dipolo en un campo eléctrico hpz i = m. dip. (D) 4 5 6 pE/kT llegamos a la fórmula de LangevinDebye p2 α = α0 + 3kT V (~r ) = P~ (~r)d3~r = N X p~i i=1 Densidades de carga de polarización Potencial de un dipolo 1 ~r · p~ V (~r) = 4πε0 r3 Para incluir el efecto de la polarizabilidad atómica es necesario introducir un nuevo campo, el campo de polarización P~ (~r) La polarización es una vectorial de la posición en el dieléctrico P~ (~r) se define como la densidad media de momentos dipolares 1 (~r − ~ri ) · p~i 4πε0 |~r − ~ri |3 La contribución al potencial de un conjunto de dipolos dV (~r) = N 1 (~r − ~r0 ) · P~ (~r0 )d3~r0 1 X (~r − ~ri ) · ~ pi ' 4πε0 |~r − ~ri |3 4πε0 |~r − ~r0 |3 σb = P~ · ~n i=1 Potencial de un medio polarizado V (~r) = 1 4πε0 Z (~r − ~r0 ) · P~ (~r0 )d3~r0 |~r − ~r0 |3 V (~r) = 1 4πε0 "I Z ~0 ~ 0 3 0 P~ · ~ndS 0 ∇ · P (~r )d ~r − |~r − ~r0 | |~r − ~r0 | ~ · P~ ρb = −∇ # Potencial en términos de las cargas de polarización V (~r) = 1 4πε0 ∙I σb dS 0 + |~r − ~r0 | Z ρb d3~r0 |~r − ~r0 | ¸ Densidades de carga de polarización σb = P~ · ~n ~ · P~ ρb = −∇ 2 El vector desplazamiento z z z z z z Las ecuaciones fundamentales de la electrostática ~ ×E ~ =0 y ∇ ~ ·E ~ = ρ/ε0 son ∇ Estas ecuaciones son correctas en el vacío y en un medio dieléctrico Al analizar un medio dieléctrico es conveniente separar ρ(~r) = ρf (~r) + ρb (~r) ~ ·E ~ = ρf (~r) − ∇ ~ ·P ~ Pero ρ(~r) = ε0 ∇ ~ = ε0 E ~ +P ~ es un nuevo vector La combinación D denominado campo desplazamiento Se cumple la ley de Gauss con las cargas libres ~ ·D ~ = ρf ∇ I z z κ = 1 + χe En el vacío, χe = 0, ε = ε0 y κ = 1 En la materia, los parámetros macroscópicos están determinados finalmente por las propiedades atómicas. símbolo Ecuación constitutiva Susceptibilidad χe ~ P~ = χe ε0 E Permitividad ε κ ~ = εE ~ D Constante dieléctrica κ = ε/ε0 Otras propiedades dieléctricas z χe es siempre positivo ya que los dipolos atómicos se alinean con E de forma que P apunta en la dirección de E. Así, ε > ε0 y κ > 1 para cualquier material dieléctrico. Un aislante con P proporcional a E es un medio lineal dieléctrico Se utilizan diversos parámetros que relacionan E, P y D: Parámetro ~ · dS ~ = (qf ) D enc Dos relaciones adicionales de interés son: ε = ε0 (1 + χe ) Dieléctricos lineales z z z z Piroelectricidad: al aumentar la temperatura, aparece un campo eléctrico en la superficie del cristal (turmalina, el “iman Ceylon”, 1703) Ferroeléctricos: materiales en los que la polarización espontánea puede alterarse mediante un campo eléctrico aplicado Ferroelásticos: materiales en los que tensiones mecánicas alteran la polarización espontánea Piezoeléctrico: material en los que la aplicación de una tensión genera cargas eléctricas en su superficie (efecto piezoeléctrico directo, Pierre Currie, 1880) Electrostricción: acoplamiento secundario en el que la tensión es proporcional al cuadrado del campo eléctrico; frecuentemente implica un “efecto piezoeléctrico inverso” (energía eléctrica se convierte en mecánica; Lippman, a partir de principios termodinámicos, Currie experimentalmente en 1881) ¿Qué ¿Quées esla laferroelectricidad? ferroelectricidad? Fotografía Fotografía de de una una memoria memoria FRAM FRAM de de64Mb 64Mb Polarización “0” Voltaje “1” Campo eléctrico Los materiales ferroeléctricos muestran una polarización espontánea con el campo eléctrico aplicado debido al desplazamiento atómico del átomo “centrado en cuerpo” en la estructura de la perovskita (ABO3). El estado de polarización se mantiene al desaparecer el campo aplicado. A Energía O B Estructura ABO3 Z Los Losferroeléctricos ferroeléctricospresentan presentandos dosestados estados estables, estables,base basede deaplicaciones aplicacionesde dememoria memoria 3 Moléculas polares z Moléculas no polares En un gas diluido (moléculas sin interacción), ~ χe = nα/ε0 y κ = 1 + nα/ε0 P~ = nαE, z de donde la susceptibilidad adquiere la expresión (fórmula de Langevin-Debye): χe = np2 3kT ε0 z A partir de un modelo de oscilador clásico p~ = ~qδ~r = z La susceptibilidad es χe = z ~ q2 E mω02 nq 2 ε0 mω02 Para el hidrógeno, en condiciones normales de presión y temperatura ω0 = 1.8 × 1016 s−1 (λ ' 100 nm) y n = 2.69 × 1025 m−3 χe = 2.64 × 10−4 Materia condensada z z z El campo responsable de la polarización de una molécula en un medio denso no es el campo ~0 macroscópico aplicado E A este campo se le denomina campo local o ~ campo molecular E loc ~ es dividir el dieléctrico La forma de calcular E loc en dos regiones: una esfera de radio alrededor del punto donde queremos calcular el campo y el resto del dieléctrico (que puede tratarse como un continuo). Finalmente se aplica el principio de superposición. El campo de polarización en un medio polarizado ! Ã vale P~ ~ = n~ ~+ P p = nα E El campo local puede descomponerse en las siguientes contribuciones (figura): ~ loc = E ~c + E ~d + E ~s + E ~i E Ec = V /d ~ s (0) = E ~ d = −P~ /ε0 E 1 4πε0 Z Campo macroscópico Por tanto, la polarizabilidad atómica vale, en función de la susceptibilidad: α= +1 cos2 θd cos θ = −1 1 ~ P 3ε0 El condensador con un dieléctrico 3ε0 nα/ε0 1 − nα/3ε0 Z Campo local de Lorentz ~ loc = E ~ + 1 P~ E 3ε0 ~ =E ~c + E ~d E D = σf = De la relación entre P y E podemos deducir el valor de la susceptibilidad macroscópica χe = ~ σb~rd3~r 1 2πa3 P = r3 4πε0 a3 V = C= condensadores Q A Qd εA Q κε0 A = V d el condensador “plano” ε0 χe 3ε0 κ − 1 = n 1 + χe /3 n κ+2 Ecuación de Clausius-Mossotti El campo en el dieléctrico Tensión o carga constante 4 Propiedades dieléctricas de algunos aislantes Material Condiciones de contorno ~ D Constante dieléctrica Tensión dieléctrica κ Emax 106 V/m Aire 1.00059 3 Poliestireno 2.5 20 Lucita 2.8 20 Plexiglás 3.4 40 Teflón 2.1 60 Mylar 3.1 Papel 3.7 Cuarzo fundido 3.8 a 4.1 Pyrex 4a6 Agua 80 Titanato de estroncio 332 ε1 A ε2 I ~ · dS ~=q D δ/2 δ/2 (Dn1 − Dn2 )A + ε1 8 Z Sδ l ε2 δ/2 δ/2 I ε1 ε2 ~ · dS ~ = σf A + D Dn1 − Dn2 = σf 16 14 A δ/2 δ/2 Z ρd3~r δSδ ~ E ε1 l ε2 ~ · d~l = (Et1 − Et2 )l + E Z Γδ ~ · d~l = 0 E δ/2 δ/2 Et1 = Et2 5
