CAPM y componentes principales

Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
CAPM y componentes principales
Mogens Bladt
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Capital Asset Pricing Model
I
Portafolio de mercado: el portafolio que consiste de la
totalidad de todos los valores.
I
Imposible de calcular en practica; usar proxy como un indice
de bolsa o varios indices de bolsa.
I
Considere N valores o portafolios.
I
Rendimiento libre de riesgo: Rf .
I
Rendimiento en exceso del valor i a tiempo t esta definido por
Zi,t = Ri,t − Rf donde Rf es el rendimiento del valor libre de
riesgo.
I
Rm,t el rendimiento del portafolio del mercado y
Zm,t = Rm,t − Rf el rendimiento en exceso (de Rf ).
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Capital Asset Pricing Model
I
La teorı́a de CAPM dice que
IE(Ri ) = Rf + βim (IE(Rm ) − Rf )
I
Esto es lo mismo que
IE(Zi ) = IE(Ri − Rf ) = βim IE(Zm ).
I
Aqui
βim =
cov(Ri , Rm )
cov(Zi , Zm )
=
.
Var(Rm )
Var(Zm )
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Capital Asset Pricing Model
I
Pongamos Zt = (Z1,t , ...., ZN,t )0 .
I
Se modela
Zt = α + βZm,t + t .
I
α parámetro que debe de ser zero si el modelo es valido
(vector N × 1).
I
β pendientes (vector N × 1).
I
vector de errores en la regressión.
I
Aquı́: IE(t ) = 0, Var(t ) = IE(t 0t ) = Σ.
I
2 y cov(Z
IE(Zm,t ) = µm , Var(Zm,t ) = σm
m,t , t ) = 0.
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
I
I
I
Este es una regressión no totalmente estandar: una regression
multivariada donde hay una variable explicativo y univariada.
Las estimadores de máxima verosimilitud, sin embargo, son
faciles de derivar.
Los estimadores son
PT
(Zt − µ̂)(Zm,t − µ̂m )
α̂ = µ̂ − β µ̂m,t , β̂ = t=1
.
PT
2
t=1 (Zm,t − µ̂m )
I
Σ̂ =
T
1 X
(Zt − αt − βZm,t )(Zt − αt − βZm,t )0
T
t=1
I
µ̂ =
T
T
1 X
1 X
Zt , µ̂m =
Zm,t .
T
T
t=1
Mogens Bladt
t=1
CAPM y componentes principales
Close.Walmart
Close.CocaCola
Nov
Jan
Mar
Index
May
Mogens Bladt
Jul
Sep
18 20 22 24 26
22
Close.Telmex
26
30
Close.Att
44 46 48 50 19 20 21 22
7
8
9
28
32
22
26
60
65
Close.exxon
24
70 20
28 75
Close.MICROSOFT
25.5 55
Close.Chrysler
24
Close.DELL
10 24.5
23 20
Close.Ford
21
Close.INTEL
19
85
25
30
Close.GM
80
Close.IBM
1300
32
36
40
Close.McDonalds
1200
Close.SP500index
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Ejemplo
Portfolio
CAPM y componentes principales
Nov
Jan
Mar
Index
May
Jul
Sep
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Capital Asset Pricing Model
Ejemplo
I
Datos consisten en 13 series de diferentes sectores y un indice
(S&P500).
I
Checamos los supuestos del modelo CAPM con los valores
individuales.
I
Según el CAPM los plots de los rendimientos netas de una
valor contra el indice de bolsa deberia caer más o menos en
una linea recta que paso por zero.
I
Observamos que el CAPM no aplica para valores individuales.
I
Construimos un portafolio de los 13 valores. Checamos si este
portafolio cumple con el CAPM. (Sesión práctica, R).
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Ejemplo
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1.02
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1.01
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1.00
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0.98
0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
IBMreturns
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Ejemplo
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1.02
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1.01
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0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
WALreturns
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Ejemplo
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1.02
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1.00
0.99
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1.00
1.05
1.10
GMreturns
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Ejemplo
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1.02
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1.01
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1.00
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0.98
1.00
1.02
1.04
ATTreturns
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Ejemplo
0.02
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0.01
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0.00
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−0.02
SPreturns
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●
−0.02
●
−0.01
0.00
0.01
0.02
Preturns
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Arbitrage Pricing Theory
I
La teorı́a de APT (Ross, 1976) supone que el rendimiento del
valor i, Ri satisface
Ri = ai + b0i F + i
donde
I
IE(i |F) = 0 y IE(2i ) = σi2 ≤ σ 2 < ∞.
I
ai es la intersección del modelo.
I
F es un vector de dimensión p < N de factores comunes.
I
bi es un vector de ponderadores (sensitividades) de los
factores.
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CAPM y componentes principales
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Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Arbitrage Pricing Theory
I
Si escribimos el modelo en notación vectorial–matricial:
R = a + BF + ,
I
donde
B es la matrı́z cuyo filas son b0i , a = (a1 , ..., aN )0 , y
= (1 , ..., N )0 .
I

 
R1
a1
 R 2   a2

 
 ...  =  ...
RN
aN
 
b11 b12
  b21 b22
+
  ...
...
bN1 bN2
Mogens Bladt

... b1p
F1
 F2
... b2p 

... ...   ...
... bNp
Fp
 

1
  2 
+

  ...  .
N
CAPM y componentes principales
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Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Arbitrage Pricing Theory
I
I
Se supone que cov(F, ) = IE ((F − IE(F))0 ) = 0.
Si ΓF es la matrı́z de covarianza de F y Γ la matrı́ de
covarianza de entonces
cov(R) = BΓF B0 + Γ .
I
I
Nota: Γ es diagonal.
Ahora suponemos que tenemos datos
R1 , ..., Rn
I
que representan los rendimientos de unos factores de riesgo
(como e.g. rendimientos de valores).
A cada tiempo t tenemos una observación Rt y se supone que
este vector se puede expresar como un modelo de factores con
factores Ft y errores t .
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
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Componentes principales
Componentes principales en la practica
Arbitrage Pricing Theory
I
I
I
I
I
La calibración (o estimación) del modelo depende si los
factores son observables o no–obsewrvables (lantentes).
Observable: por ejemplo Ft = Ft de dimension uno
(solamente un factor), F1 , ..., Fn datos de un indice de bolsa
(Dow Jones, S& P500, Nasdaq etc.) y bfRt datos de unos
portafolios o valores.
Latente: aqui los factores son estimados usando los mismos
datos R1 , ..., Rn . Hay dos maneras distintos: componetes
principales y analisis de factores clásico.
Vamos a concentrarnos en el método de componentes
principales.
Cuando los factores son observables básicamente tenemos el
problema de una regressión.
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
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CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Arbitrage Pricing Theory
I
I
I
I
I
Independientemente si tenemos factores observables o
latentes, la razón por el uso de modelos de factores en el
manejo de riesgo es la reducción de dimensión.
Supongamos que tenemos 100 valores en un portafolio.
Queremos describir el movimiento de los valores en conjunto
para fines de predicción y para calcular VaR o ES.
Este es una serie de tiempo en dimensión 100 lo cual es no es
manejable (la matrı́z de Cov tienen 10,000 entradas).
El otro extremo es considerar solamente el valor del portafolio
a cada tiempo; series de tiempo en dimensión 1.
Con un modelo de factores tratamos de explicar el
movimiento total de los 100 valores en terminos de unos
(pocos) factores. Por ejemplo indices de bolsas o unos tantos
valores en nuestra portafolio.
Mogens Bladt
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Componentes principales
Componentes principales en la practica
Componentes principales
I
I
I
La idea con el analisis componentes principales (PCA) es de
reducir la dimensionalidad de datos altamente correlacionados.
En PCA no estimamos ningun modelo pero hacemos una
rotación de los datos. Es meramente exploratorio o descriptivo
la tecnica.
Deomposición espectral es la base: para A matrı́z N × N
simétrica se puede escribir
A = ΓΛΓ0
I
donde Λ = diag(λ1 , .., λN ) con λi siendo los eigenvalores de
A.
Se recuerda que los eigenvalores se calcula a traves:
det(A − λI) = 0.
Mogens Bladt
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Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Componentes principales
I
Se puede suponer que λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λN .
I
Γ son matrices N × N con columnas que son los eigenvectores
normalizados (de longitud 1).
I
Se recuerda que v es un eigenvector para A si existe un
número (eigenvalor) tal que Av = λv.
I
Las matrices Γ son ortogonales: ΓΓ0 = Γ0 Γ = I, i.e. Γ−1 = Γ0 .
I
Ahora suponemos que R tiene medio IE(R) = µ y covarianza
cov(R) = Σ.
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Componentes principales
Componentes principales en la practica
Componentes principales
I
La transformada de componentes principales esta dado por
Y = Γ0 (R − µ) .
I
R − µ esta centralizando los datos; Γ0 esta rotando los datos.
I
El i–esima componente principal esta definido por
Yi = γ 0i (R − µ)
donde γ i es el eigenvector de Σ que corresponde al eigenvalor
λi . Recuerden que son ordenados.
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Componentes principales
Componentes principales en la practica
Componentes principales
I
IE(Y) = IE (γ 0i (R − µ)) = 0.
I
cov(Y) = cov(Y, Y)
= cov(Γ (R − µ) , Γ (R − µ))
= IE [Γ (R − µ)] [Γ (R − µ)]0
= ΓIE (R − µ) (R − µ)0 Γ0
= ΓΣΓ0
= ΓΓ0 ΛΓΓ0
= Λ.
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Componentes principales
Componentes principales en la practica
Componentes principales
I
I
I
Entonces los componentes principales Y1 , ..., YN son
no–correlacionadas, y Var(Yi ) = λi , i.e. los eigenvalores son
sus varianzas.
Los componentes principales son ordenados en orden
decreciente de las varianzas.
Se puede demostrar que el primer componente principal
satisface
Var(γ 01 R) = max{Var(a0 R)|a0 a = 1}.
I
Para el componente principal número j, es el portafolio que
maximiza la varianza entre todas las portafolios que son
ortogonales (i.e. no–correlacionadas) con los primeros j − 1
portafolios.
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Componentes principales en la practica
Componentes principales
I
También tenemos
N
X
Var(Yj ) =
j=1
I
trace(Σ) =
datos.
I
La fracción
N
X
λj = trace(Λ) = trace(Σ) =
j=1
P
j
N
X
Var(Rj ).
j=1
λj es una medida de la variabilidad total en los
Pk
j=1 λj
PN
j=1 λj
se interpreta como la proporción de la variabilidad explicado
por los primeros k componentes principales.
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Componentes principales
Componentes principales en la practica
Componentes principales en la practica
I
Supomgamos que R1 , ..., Rn tienen la mismas distribución y
matrı́z de covarianza Σ no conocido.
I
Nota que no se supone independencia.
I
Es práctica común de estimar la matrı́z de covarianza por
n
SR =
0
1X
Rt − R̄ Rt − R̄
n
t=1
donde
n
R̄ =
1X
Rt .
n
t=1
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Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Componentes principales en la practica
I
Aplicamos la descomposición espectral a la matrı́z SR .
I
SR = GLG0 .
Aqui
L = diag(l1 , ...., ln ),
donde l1 ≥ l2 ≥ ... ≥ lN son los eigenvalores ordenados y G la
matrı́z cuyo columnas consiste en los eigenvectores
normalizadas.
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Componentes principales
Componentes principales en la practica
Componentes principales en la practica
I
Definimos nuevos datos, los componentes principales
empiricos, Yi,t , dado por
Yi,t = g0i Rt − R̄ .
I
Los datos
Yt = (Y1,t , ..., YN,t ) = G0 Rt − R̄
son rotaciones de los datos originales y centrados.
I
Los datos rotados no tienen correlación entre sus
componentes y tiene matrı́z de covarianza L = diag(l1 , ..., lN ).
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Componentes principales
Componentes principales en la practica
Componentes principales en la practica
I
Componentes principales como factores.
I
Y = Γ0 (R − µ) =⇒ R = µ + ΓY.
I
Supongamos que es razonable pensar que k < N de los
componentes principales explicarı́a la mayor parte de la
variación total.
I
Partimos Y0 = (Y01 Y02 ) donde Y1 es de dimensión k y Y2 de
dimensión N − k.
I
Partimos la matrı́z Γ en dos de la misma forma:
0 Y1
Γ1
=
R − R̄ .
0
Y2
Γ2
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales
Contenido
CAPM
Arbitrage Pricing Theory
Componentes principales
Componentes principales en la practica
Componentes principales en la practica
I
Este es lo mismo como
R = µ + (Γ1 Γ2 )
I
Y1
Y2
= µ + Γ1 Y1 + Γ2 Y2 .
La regressión correspondiente es
R = µ + Γ1 Y1 + Γ2 Y2 + .
I
Γ2 Y2 se supone es pequeño y se agrega al termino de error .
De este forma obtenemos un modelo de la forma
I
R = µ + Γ1 Y1 + ˜.
Mogens Bladt
CAPM y componentes principales