Cálculo Integral para primeros cursos universitarios

Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida
191
Ejercicios propuestos para el cálculo de áreas
1)
Calcular el área de la figura limitada por la parábola
y=
x2
, las rectas
4
verticales x = 1, x = 3 y el eje OX.
Solución: A =
2)
Calcular el área de la figura limitada entre la curva
las rectas verticales x = 1, x = 3 y el eje OX.
13
6
y = x (x − 2)( x − 4) ,
Solución: A =
3)
7
2
Calcular el área de la región limitada por la parábola y = 4 x − x 2 y el eje
OX.
Solución: A =
32
3
4)
Calcular el área de la región limitada por la curva de ecuación
y = x 3 − 6 x 2 + 8 x y el eje OX.
Solución: A = 8
5)
Calcular el área de la figura limitada entre la curva x = − y 2 − y + 2 , las
ordenadas y = −1, y = 0 y el eje OY.
Solución: A =
6)
Calcular el área de la figura limitada por la curva
OY.
13
6
x = y 2 + 4 y y el eje
Solución: A =
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32
3
192
7)
Introducción al cálculo integral
y 2 = 4x ,
Calcular el área de la figura limitada por las parábolas
x2 = 4y .
Solución: A =
8)
Calcular el área comprendida entre las parábolas
16
3
y = 6x − x 2 ,
y = x2 − 2x .
Solución: A =
9)
Calcular el área de la superficie limitada por la parábola
OX y las rectas x = 0, x = 1.
y 2 = 2 x , el eje
Solución: A =
10) Calcular el área de un círculo de centro el origen y radio R.
Solución:
11) Calcular el área de la región limitada por la hipérbola
recta x = 2a.
(
64
3
2
2
3
A = πR 2
x2 y 2
−
= 1 y la
a2 b2
(
Solución: A = ab 2 3 + Log 2 − 3
))
12) Calcular el área de la superficie limitada por la curva de ecuación
y = x 2 − 5 x + 6 y el eje OX, cuando y es negativo.
Solución: A =
1
6
13) Calcular el área de la superficie comprendida entre la curva de ecuación
y = x 2 y la recta de ecuación y = 2x.
Solución: A =
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4
3
Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida
14) Hallar el área de la región limitada por las funciones
g(x) = x .
193
f (x ) = 2 − x 2 y
Solución: A =
15) Calcular el área de la región limitada por la parábolas
9
2
x = −2y 2 ,
x = 1 − 3y 2 .
Solución: A =
4
3
16) Las curvas de las funciones seno y coseno se intersecan infinitas veces,
dando lugar a regiones de igual área. Calcular el área de una de dichas
regiones.
Solución: A = 2 2
17) Calcular el área de la región limitada por las gráficas
y = x −1 .
x = 3 − y2 ,
Solución: A =
9
2
18) Hallar el área de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x 2 y el eje
OX.
Solución: A =
32
3
19) Hallar el área del dominio limitado por una semionda de la sinusoide
y = senx y el eje OX.
Solución: A = 2
20) Calcular el área de la figura comprendida entre la parábola y = 2 x − x 2 y
la recta y = − x .
Solución: A =
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9
2
194
Introducción al cálculo integral
21) Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas
y=
x2
y la recta y = 2 x .
2
y = x2 ,
Solución: A = 4
22) Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x 3 , la recta y = 8 y el
eje OY.
Solución: A = 12
23) Hallar el área del dominio comprendido entre las parábolas
y 2 = 2 px ,
x 2 = 2 py .
Solución: A =
24) Hallar el área total de la figura limitada por las curvas
y = x.
4 2
p
3
y = x3 , y = 2x ,
Solución: A =
3
2
25) Calcular el área de la figura limitada por la curva y 3 = x , la recta y = 1 y
la vertical x = 8.
Solución: A =
26) Hallar el área de la figura limitada por la catenaria
y=
17
4
a xa
(e + e − x a ) ,
2
los ejes OX, OY y la recta x = a.
Solución: A =
27) Calcular el área de la figura limitada por las curvas
recta x = 1.
(
)
a2 2
e −1
2e
y = e x , y = e − x y la
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Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida
195
1
−2
e
Solución: A = e +
28) Calcular el área del recinto formado por los puntos (x , y) que verifican:
x 2 + y 2 ≤ 36 , y 2 ≥ 9 x .
Solución: A = 24 π − 3 3
29) Calcular el área limitada por las curvas x 2 + y 2 = 9 , ( x − 3) + y 2 = 9 .
2
Solución: A = 6π −
9
3
2
30) Calcular el área en el primer cuadrante limitada por las curvas
x2 + y2 = 3, y =
1 2
1
x , x = y2 .
2
2
Solución: A =
31) Calcular el área encerrada por la curva
2 3
2
1 

+  arcsen
− arcsen
3
2
3
3 
y=
semiplano y ≥ 0 .
− xLog x
(x
2
)
+1
2
, el eje OX, en el
Solución: A =
32) Calcular el área comprendida entre la curva y =
Log 2
4
a3
y el eje OX.
x 2 + a2
Solución: A = a 2 π
33) Calcular el área comprendida entre la curva y 2 =
x2
y sus asíntotas.
1− x2
Solución: A = 4
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196
Introducción al cálculo integral
34) Tomando un punto M (x 0 , y0 ) en el primer cuadrante que pertenezca a la
elipse
x2 y 2
+
= 1 , con a > b, demostrar que el sector de la elipse
a2 b2
limitado por el semieje mayor y el segmento que va desde el centro
geométrico de la elipse hasta el punto M tiene área igual a
A=
x
y
ab
ab
arccos 0 =
arcsen 0 .
2
a
2
b
35) Hallar el valor del parámetro a para que el recinto limitado por el eje OX y
la curva y = cos x , cuando x varía en el intervalo [0, π 2] , quede dividido
en dos partes con la misma área por la curva y = asenx .
Solución: a =
3
4
36) Calcular el área de la elipse dada por sus ecuaciones paramétricas
 x = acost
.

 y = bsent
Solución: A = abπ
37) Calcular el área comprendida entre el eje OX y un arco de la cicloide
 x = a (t − sen t )
.

 y = a(1 − cost )
Solución: A = 3πa 2
 x = acos 3 t
38) Hallar el área de la figura limitada por la hipocicloide 
.
3
 y = asen t
Solución: A =
3 2
πa
8
39) Hallar el área encerrada por la rosa de tres pétalos ρ = acos3θ .
Solución: A =
1 2
πa
4
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Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida
197
40) Hallar el área del dominio limitado por un bucle de la curva ρ = asen 2θ .
Solución: A =
1 2
πa
8
41) Hallar el área del dominio limitado por la curva ρ = acosθ .
Solución: A =
1 2
πa
4
42) Hallar el área del dominio limitado por la curva ρ = acos2θ .
Solución: A =
1 2
πa
2
43) Hallar el área del dominio limitado por la curva ρ = cos3θ .
Solución: A =
π
4
44) Hallar el área del dominio limitado por la curva ρ = acos4θ .
Solución: A =
45) Calcular
el
área
ρ = a(1 − cosθ) .
total
del
dominio
limitado
por
la
cardioide
Solución: A =
46) Calcular
el
área
ρ = a(1 + cosθ ) .
total
del
dominio
limitado
por
la
1 2
πa
2
3 2
πa
2
cardioide
Solución: A =
3 2
πa
2
47) Calcular el área encerrada por la curva ρ = 2 + cosθ .
Solución: A =
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9π
2
198
Introducción al cálculo integral
ρ = 1 + cosθ y el círculo
48) Calcular el área común entre la cardioide
ρ = 3cosθ .
Solución: A =
5π
4
49) Calcular el área encerrada entre las curvas ρ = 3senθ , ρ = 1 + cosθ .
Solución: A =
(
3
π− 3
4
)
ρ = 1 + cosθ ,
50) Calcular el área encerrada entre las dos cardioides
ρ = 1 − cos θ .
Solución: A =
3π − 8
2
Ejercicios propuestos para el cálculo de longitudes de curva
1)
Calcular la longitud del arco de curva y = 2 x x , entre x = 0, x = 2.
Solución: L =
( 19 − 1)
3
ex − 1
, entre x = 2, x = 4.
ex + 1
e8 − 1
Solución: L = −2 + Log 4
e −1
2)
Calcular la longitud del arco de curva y = Log
3)
Calcular la longitud del arco de parábola
x = 1.
y = 2 x , desde x = 0 hasta
Solución: L =
4)
2
27
Calcular la longitud del arco de la curva
(
2 + Log 1 + 2
)
y = Logx , desde x = 3 hasta
x= 8.
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