Series de tiempo
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Introducción Series de tiempo Estadı́stica Miguel Ángel Chong R. [email protected] 29 de enero del 2013 Miguel Chong Series de tiempo Introducción Una primera definición de serie de tiempo es: un conjunto de observaciones de cierto fenómeno registradas secuencialmente en el tiempo. Estas observaciones serán denotadas por {xt1 , xt2 , . . . , xtn } = {xti : i ∈ T } = {xti }i ∈T donde la notación, xti , es el valor de la variable x en el instante ti . Y T es un conjunto de ı́ndices que puede ser un intervalo o T = N, T = Z ó T = R. Si el conjunto de ı́ndices T es numerable, diremos que la serie es a tiempo discreto, mientras que si el conjunto de ı́ndices es un conjunto no numerable (por ejemplo T = R), dirémos que la serie de tiempo es continua. A lo largo del curso trabajarémos con procesos a tiempo discreto. Miguel Chong Series de tiempo Introducción Cuando tomamos cualquier par de ı́ndices consecutivos del conjunto, ti +1 , ti ∈ T y su diferencia es una constante, ti +1 − ti = k, se dice que la serie es equiespaciada. En adelante trabajarémos con el supuesto de que tenemos series de tiempo discreta, equiespaciadas en cuyo caso asumiremos sin perdida de generalidad que: {xt1 , xt2 , . . . , xtn } = {x1 , x2 , . . . , xn } = {xi }ni=1 . Miguel Chong Series de tiempo Introducción Objetivo de este curso en primer lugar será Descripción Con la información que nos da una serie de tiempo observada usaremos métodos descriptivos y gráficos para saber como está conformada la serie y ver si existen datos atı́picos. Explicación En este paso buscaremos un modelo del cual podamos decir que nuestra serie observada es una realización de ese modelo. Predicción Una vez que podamos asumir que nuestra serie observada es una realización de un modelo buscaremos hacer predicción de valores futuros a partir de los datos del presente y el pasado. Miguel Chong Series de tiempo Introducción Ejemplos de Series de tiempo Series económicas: Precios de divisas, tasas, ı́ndice de precios Series Fı́sicas: Meteorológica, temperatura, energia solar Series de telecomunicacion: Análisis y procesamiento de señales Miguel Chong Series de tiempo Introducción 0 7000 9000 USAccDeaths 100 50 uspop 150 11000 200 El primer paso en el análisis de series de tiempo, consiste en graficar la serie. A continuación graficaremos las siguientes series 1800 1850 1900 1950 1973 1975 1977 1979 Time 10 0 5 JohnsonJohnson 100 50 0 sunspot.year 150 15 Time 1700 1800 1900 Time Miguel Chong 1960 1965 1970 Time Series de tiempo 1975 1980 Introducción 1 2 3 4 5 uspop Esta serie de tiempo muestra los censos de la población de los E.U. realizados cada 10 años, de 1790 a 1970. Esta serie parece tener un tener un tendencia al menos cuadrática. No parece tener una parte estacional (cı́clica). USAccDeaths Representa el total de muertes accidentales mensuales entre los años 1973 a 1978. Esta serie parece tener un comportamiento estacional cada año (un periodo de 12) sunspot.year Muestra el número anual de manchas solares de 1700 a 1988. Esta serie muestra un comportamiento estacional, pero aquı́ no claro el periodo en el cual se repide el cı́clo como en la serie anterior. JohnsonJohnson son las ganancias trimestrales de la compañı́a Johnson & Johnson de 1960-80. Esta serie tiene tanto una parte cı́clica (con periodo 3) y como una tendencia no lineal. AirPassengers captura el total mensual de los pasajeros de lı́neas aéreas internacionales de 1949 a 1960. Como en la serie anterior podemos ver que esta serie tiene tendencia no lineal y una parte cı́clica de periodo 12. Miguel Chong Series de tiempo 400 300 200 100 AirPassengers 500 600 Introducción 1950 1952 1954 Miguel Chong 1956 1958 Time Series de tiempo 1960 Introducción La inspeción gráfica puede sugerir la posibilidad de representar los datos como una realización de un proceso que puede tener todas o alguna de las siguientes componentes: Xt = f (mt , st , Yt ) = ( mt + st + Yt mt · st · Yt modelo aditivo , modelo multiplicativo donde mt es la componente de tendencia, st es el componente estacional de periodo d, donde st = st+d = st+2d = . . . Yt es el componente aleatorio. Es claro que un modelo multiplicativo Xt = mt · st · Yt lo podemos llevar a un modelo multiplicativo, siempre que Xt > 0, al tomar logaritmo, Xt0 = log (Xt ) = log (mt · st · Yt ) = log (mt ) + log (st ) + log (Yt ) = mt0 + st0 + Yt0 . Este tipo de trasnformaciones son utiles para linealizar los datos y reducir la varianza de la serie de tiempo. Un ejemplo de esto son las series, JohnsonJohnson y AirPassengers. Miguel Chong Series de tiempo
