Series de tiempo Estadı́stica Miguel Ángel Chong R. [email protected] 12 de febrero del 2013 Miguel Chong Series de tiempo Método 2 Suavizamineto de la media vı́a un promedios moviles. Sea q un entero no negativo y considederemos el promedio movil de dos lados como m̂t = q X aj Xt+j , para t ∈ {q + 1, q + 2, . . . , n − q} , j=−q donde q X aj = 1. j=−q Un caso particular de este tipo de ajuste de la tendencia es si suponemos 1 , es decir que aj = 2q+1 q 1 X Xt+j , t ∈ {q + 1, q + 2, . . . , n − q} . m̂t = 2q + 1 −q Notemos que hay 2q + 1 sumandos, por lo tanto, Miguel Chong Series de tiempo Pq 1 −q 2q+1 = 1. Antes de describir el último método introduzcamos los operadores retraso y diferencia. El operador retraso, denotado por B, actua sobre el tiempo de la siguiente manera BXt = Xt−1 B 2 Xt = B (BXt ) = BXt−1 = Xt−2 .. . B j Xt = Xt−j . Definamos a B 0 Xt = Xt . Miguel Chong Series de tiempo A partir del operador retraso definimos el operador diferencia como ∇Xt = (1 − B) Xt = Xt − Xt−1 . Miguel Chong Series de tiempo Notemos que el operador diferencia lo podemos manipular como si fuera un polinomio común y corriente es decir ∇2 Xt = (1 − B) (1 − B) Xt = 1 − 2B + B 2 Xt = Xt − 2Xt−1 + Xt−2 . Y por lo tanto si deseamos diferenciar Xt la serie j veces tenemos que ∇j Xt = (1 − B)j Xt j X j (−1)k B k Xt = k k=0 n X j = (−1)k Xt−k . k k=0 Miguel Chong Series de tiempo Método 3 Cuando la serie de tiempo Xt tiene una tendencia lineal, mt = at + b, entonces al aplicar un el operador diferencia ∇ obtenemos ∇mt = a. De la misma forma, si nosotros tenemos una serie de tiempo Xt = mt + Yt donde la tendenca es polinomial de grado k, mt = k X aj t j , j=0 entonces al aplicar el operador diferencia a la tendencia tenemos que ∇k mt = k!ak y por lo tanto tenemos que ∇k Xt = k!ak + ∇k Yt . Lo que pretendemos ahora es quitar la tendencia y la parte estacional en un modelo general Xt = mt + st + Yt donde E [Yt ] = 0, st = st+d y Pd j=1 sj Miguel Chong =0 Series de tiempo Método S1 Para ilustrar este método usemos la serie de muertes accidentales USAccDeaths, y cambiemos la notación de la serie de tiempo {x1 , x2 , . . . , xn } por los sub ı́ndices xj ,k , donde j ∈ {1, 2, . . . , 6} representa los años y k = {1, . . . , 12} representa los meses y claramente el periodo es d = 12 Para este método calculemos la tendencia anual que cambia suavemente como m̂j = 12 1 X 12 k=1 xj ,k . Mientras que la parte estacional la calcularemos como ŝk = 6 1 X 6 j =1 xj ,k − m̂j . Por último, calculamos la parte aleatoria como Ŷj ,k = xj ,k − m̂j − ŝk , para j ∈ {1, 2, . . . , 6} y k = {1, . . . , 12} Lo que pretendemos ahora es quitar la tendenciay la parte estacional Xt = mt + st + Yt donde E [Yt ] = 0, st = st+d y Pd j =1 sj = 0 Miguel Chong Series de tiempo Método S2 Supongamos que tenemos una serie observada {x1 , . . . , xn }, 1. Primero vamos a identificar el periodo de la parte estacional, si la serie es mensual y cada año se repite un tipo de comportamiento tenemos que d = 12, si es una serie cuatrimestral entonces d = 3. Además supongamos que la serie {x1 , . . . , xn } tiene k ciclos, es decir que n = kd. 2. Vamos a estimar la tendencia de la serie {x1 , . . . , xn } vı́a un promedio movil. (a) Si d es par entonce la ventana del promedio hacia atras y hacia delante la determinamos por d = 2q 0.5xt−q + xt−q+1 + . . . + xt+q−1 + 0.5xt+q m̂t = , q + 1 < t ≤ n − q. d (b) Si d es impar, la ventana hacia atras y hacia delante la determinamos por d = 2q + 1 y la tendencia la calculamos como xt−q + . . . + xt + . . . + xt+q , q + 1 < t ≤ n − q. m̂t = d 3. A la serie original le quitamos la parte de la tendencia zt = xt − m̂t , para q + 1 < t ≤ n − q. Miguel Chong Series de tiempo Continuación del método S2 4. Con la serie auxiliar zt vamos a crear un ciclo promedio que estimará de la parte estacional, es decir, calcularemos, wk con k ∈ {1, . . . , d}, igual que como lo hicimos en el método S1, zq+1 zq+2 zq+3 ... zq+1+d zq+2+d zq+3+d zq+4+d ... zq+1+2d zq+2+2d zq+3+2d zq+4+2d ... zq+1+3d .. .. .. .. . . . . zn−q−d+1 zn−q−d+2 zn−q−d+3 . . . zn−q ↓promedio ↓promedio ↓promedio ↓promedio w1 w2 w3 wd Miguel Chong Series de tiempo Continuación del método S2 6. Para que se cumpla con la condición de que d X ŝk = 0, ajustamos el k=1 ciclo obtenido en la serie {wj }12 j=1 de la siguiente forma ŝk = wk − d X i =1 d wi , k ∈ {1, . . . , d} Ojo si la serie es anual entonces ŝ1 representa el ciclo promedio en julio, ŝ7 representa el ciclo promedio en enero, entonces conviene reordenar el arreglo de la siguente forma Vecciclo = (ŝ7 , ŝ8 , . . . , ŝ12 , ŝ1 , ŝ2 , . . . , ŝ6 ). 7. Ahora vamos a repetir elvector Vecciclo , tantos ciclos tengamos St = Vecciclo , . . . , Vecciclo . {z } | k veces 8. Podemos calcular la parte aleatoria como yt = zt − St , para q + 1 < t ≤ n − q. Miguel Chong Series de tiempo Continuación del método S2 Miguel Chong Series de tiempo Método S3 El método de diferenciación puede ser adaptado cuando existe una parte ciclica de periodo d. Introduzcamos la siguiente notación ∇d Xt = 1 − B d Xt = Xt − Xt−d Ahora aplicando ∇d a Xt = mt + st + Yt tenemos que ∇d X t = 1 − B d X t = (mt + st + Yt ) − (mt−d + st−d + Yt−d ) = (mt − mt−d ) + (Yt − Yt−d ) . para ∇d Xt notamos que (mt − mt−d ) es el componente de tendencia y (Yt−d − Yt−d ) es el componente aleatorio. Entonces podemos eliminar la tendencia usando algúna podencia del operador diferencia simple ∇. Miguel Chong Series de tiempo