Ejercicios resueltos de Intervalos de confianza

Matemáticas CCSS II
1
Muestreo
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
MAJ04
1. En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una
variable normal de media 10 minutos y desviación típica 2 minutos. Se toman muestras
aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. Se pide:
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes
no supere los 9 minutos?
(b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64
clientes? Especificar sus parámetros.
Solución:
(a) Las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media  y desviación típica ,

 
 .
N(. ), se distribuye según una normal N   ,
n

En nuestro caso, para n = 25 y N(10, 2), las muestras se distribuyen según la N(10, 2/5)
Con esto,
9  10 

P  X  9  = P Z 
 = P(Z < –2,5) = 1 – P(Z < 2,5) = 1  0,9938 = 0,0062
2/5 

(b) Como hemos indicado anteriormente, la distribución de medias muestrales de tamaño 64

2 
se distribuye según la normal N 10,
  N(10, 0,25).
64 

Esto es, una normal de media 10 y desviación típica 0,25.
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Matemáticas CCSS II
2
Muestreo
MAS05
2. La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una
distribución normal de media 34,5 horas y desviación típica 6,9 horas. Se toma una muestra
aleatoria simple de 36 teléfonos móviles.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté
comprendida entre 32 y 33,5 horas.
(b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?
Solución:
La media de las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media  y desviación

 
típica , N(. ), se distribuye según una normal N   ,
 .
n

En nuestro caso ( = 34,5,  = 6,9, n = 36), se distribuirán según la normal

6,9 
X  34,5
N  34,5,
  N 34,5, 1,15 , que se tipifica haciendo Z 
1,15
36 

Con esto,
(a)
(b)
33,5  34,5 
 32  34,5
Z
P(32  X  33,5) = P 
 = P(2.17 < Z < –0,87) =
1,15
 1,15

= P(Z < 0,87)  P(Z < 2,17) = 1  0,8078  (1  0,9850) = 0,1772
38  34,5 

P( X  38) = P  Z 
 = P(Z > 3,04) = 1  0,9988 = 0,0012
1,15 

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Matemáticas CCSS II
3
Muestreo
MAJ06
3. En cierta población humana, la media muestral X de una característica se distribuye
mediante una distribución normal. La probabilidad de que X sea menor o igual que 75 es
0,58 y la de que X sea mayor que 80 es 0,04. Hallar la media y la desviación típica de X .
(Tamaño muestral n = 100).
Solución:
Las muestras de media X y desviación típica  se distribuyen según la normal de media X y
desviación típica

, siendo  la desviación típica de la población y n el tamaño muestral.
n
Esta distribución se tipifica mediante el cambio Z 
Z
XX
/ n
, que para n = 100 es
XX
.
 / 10
Con esto, a partir de los datos, y con ayuda de la tabla normal, se tiene:

75  X
P( X < 75) = 0,58  P Z 
 / 10


80  X
P( X > 80) = 0,04  P Z 
 / 10


75  X
  0,58 
 0,20
 / 10


80  X
  0,04 
 1,75
 / 10

Resolviendo el sistema
750  10 X  0,20
10 X  0,20  750
75  X
80  X

 0,20 ;
 1,75  
 / 10
 / 10
 800  10 X  1,75
10 X  1,75  800
se obtiene: X = 74,35 y  = 32,26.
Por tanto la desviación típica de la variable X es 3,226.
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Matemáticas CCSS II
4
Muestreo
MAJ07
4. La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es una variable
aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 35 años y desviación
típica de 5 años. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha isla. Sea X la
media muestral de la edad de casamiento.
(a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X ?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la muestra esté
comprendida entre 36 y 37 años?
Solución:
La población se distribuye como una normal de media  = 35 y desviación típica  = 5.
a) Las muestras de una población N(, ) se distribuyen según la normal de media X =  y
desviación típica  X 

n
Por tanto, X = 35 y  X 
, siendo n el tamaño muestral.
5
100

1
1
2
. Luego, la varianza será  X  
4
2
b) Esta distribución se tipifica mediante el cambio Z 
XX
/ n
. Para este caso, Z 
X  35
.
1/ 2
Con esto, con ayuda de la tabla normal, se tiene:
37  35 
 36  35
P(36 < X < 37) = P
Z
 = P(2 < Z < 4) = P(Z < 4)  P(Z < 2) =
1/ 2 
 1/ 2
= 1  0,9772 = 0,0228.
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Matemáticas CCSS II
5
Muestreo
INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL
MAS04
5. Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos
88
90
90
86
87
88
91
92
89
Hallar un intervalo de confianza al 95 % para la media de la población, sabiendo que el peso
de las tarrinas tiene una distribución normal con una desviación típica de 1,8 gramos.
Solución:


 
, x  Z / 2
 , siendo x la
El intervalo de confianza para la población es  x  Z / 2
n
n

media muestral,  la desviación típica, n el tamaño muestral y Z / 2 el valor correspondiente
en la tabla normal para una confianza 1  .
88  90  90  86  87  88  91  92  89
 89
9
Por tanto, como  = 1,8, n = 9 y Z / 2 = 1,96, el intervalo de confianza será:
La media muestral es x 

1,8
1,8 
 89  1,96· , 89  1,96·  = (87,824, 90,176)
9
9

MAS06
6. La duración de la batería de cierto modelo de teléfono móvil se puede aproximar por una
distribución normal con una desviación típica de 5 meses. Se toma una muestra aleatoria
simple de 10 baterías y se obtienen las siguientes duraciones (en mese):
33, 34, 26, 37, 30, 39, 26, 31, 36, 19
Hallar un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de ese modelo de batería.
Solución:
El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n de
media x y desviación típica  es:


 
 x  Z / 2
, x  Z / 2

n
n

siendo Z / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1  .
33  34  26  37  30  39  26  31  36  19
 31,1;  = 5; el tamaño
En este caso: x 
10
muestral es n = 10; y Z / 2 = 1,96.
Por tanto, el intervalo de confianza para la media es

5
5 
 31,1  1,96·
, 31,1  1,96·
 = (31,1  3,1, 31,1 + 3,1) = (28, 34,2)
10
10 

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Matemáticas CCSS II
6
Muestreo
MAJ05
7. En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros lee al año, obteniéndose una
media de 5 libros.. Se sabe que la población tiene una distribución normal con desviación
típica 2.
(a) Hallar un intervalo de confianza al 80 % para la media poblacional..
(b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0,25 con un
nivel de confianza del 95 %, ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario
entrevistar?
Solución:
(a) El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n
de media x y desviación típica  es:


 
 x  Z / 2
, x  Z / 2

n
n

siendo Z / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1  .
Para x = 5,  = 2, n = 10000 y, para el 80 % de confianza, Z / 2 = 1,28.

2
2 
 5  1,28·
, 5  1,28·
 = (5  0,0256, 5 + 0,0256) =
10000
10000 

= (4,9744, 5,0256)
(b) El error admitido, E, viene dado por E  Z / 2
Para una confianza del 95%, Z / 2
1,96
2
n
 0,25 

.
n
= 1,96, y E < 0,25 se tendrá:
n  15,68  n  15,682 = 245,8
El tamaño muestral mínimo debe ser de 246 personas.
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Matemáticas CCSS II
7
Muestreo
MAS07
8. Se supone que la recaudación diaria de los comercios de un barrio determinado es una
variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de desviación típica
328 euros. Se ha extraído una muestra de 100 comercios de dicho barrio, obteniéndose que la
recaudación diaria media asciende a 1248 euros. Calcular:
(a) El intervalo de confianza para la recaudación media con un nivel de confianza del 99 %.
(b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 95 %,
un error en la estimación de la recaudación diaria media menor de 127 euros.
Solución:
a) El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n
de media x y desviación típica  es:


 
 x  Z / 2
, x  Z / 2

n
n

siendo Z / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1  .
En este caso x = 1248,  = 328, n = 100; y Z / 2 = 2,575.
Por tanto, el intervalo de confianza para la media es

328
328 
1248  2,575·
, 1248  2,575·
 =
100
100 

= (1248  84,46, 1248 + 84,46) = (1163,54, 1332,46)
b) El error admitido, E, viene dado por E  Z / 2

n
.
En nuestro caso, para una confianza del 95 %, Z / 2 = 1,96,  = 328 y E < 127, se tendrá:
1,96
328
n
 127 
n
1,96·328
 5,06  n > 25,6
127
El tamaño muestral debe ser 26 o más comercios.
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Matemáticas CCSS II
8
Muestreo
RMJ04
9. Se quiere conocer la permanencia media de los pacientes de un hospital, con el fin de
estudiar una posible ampliación del mismo. Se tienen datos referidos a la estancias, expresada
en días, de 800 pacientes, obteniéndose los siguientes resultados: x = 8,1 días; s = 9 días. Se
pide obtener un intervalo de confianza del 95 % para la estancia media.
Solución:
El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n de

s
s 
media x y desviación típica s es  x  Z / 2
, x  Z / 2
 , siendo Z / 2 el valor
n
n

correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1  .
Para x = 8,1, s = 9, n = 800 y, para el 95 % de confianza, Z / 2 = 1,96, se tiene:

10
10 
100  2,58·
, 100  2,58·
 = (8,1  0,6, 8,1 + 0,6) = ( 7,5, 8,7)
25
25 

La estancia media está entre 7,5 y 8,7 días.
RMJ05
10. Una muestra aleatoria simple de 25 estudiantes responde a un test de inteligencia,
obteniendo una media de 100 puntos. Se sabe por experiencia que la variable “inteligencia de
todos los estudiantes” es normal con una desviación típica igual a 10, pero se desconoce la
media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia media de todos los estudiantes,
con un nivel de confianza de 0,99?
Solución:
El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n de
media x y desviación típica s es:

s
s 
 x  Z / 2
, x  Z / 2

n
n

siendo Z / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1  .
Para x = 100, s = 10, n = 25 y, para el 99 % de confianza, Z / 2 = 2,58, se tiene:

10
10 
100  2,58·
, 100  2,58·
 = (100  5,16, 100 + 5,16) = ( 94,84, 105,16)
25
25 

La inteligencia media estará entre 94,84 y 105,16 puntos.
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9
Muestreo
NAS04
11. Una muestra aleatoria de tamaño 100, extraída de una población normal de varianza 81,
presenta una media muestral igual a 150.
i) Calcular un intervalo de confianza del 90 % para la media poblacional. (3 puntos)
ii) Calcular un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional y compararlo con el
anterior. (4 puntos)
iii) Si se quiere tener una confianza del 95 % de que su estimación se encuentra a una
distancia máxima de 1,2 de la verdadera media poblacional, ¿cuántas observaciones
adicionales deben tomarse? (3 puntos)
Solución:
El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n de
media x y desviación típica  es:


 
 x  Z / 2
, x  Z / 2

n
n

siendo Z / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1  .
i) Para x = 150, 2 = 81   = 9, n = 100 y, para el 90 % de confianza, Z / 2 = 1,645, se
tendrá:

9
9 
150  1,645·
, 150  1,645·
 = (148,52, 151,48)
100
100 

ii) Para una confianza del 95 %, Z / 2 = 1,96, luego, el intervalo de confianza será:

9
9 
150  1,96·
, 150  1,96·
 = (148,24, 151,76)
100
100 

El intervalo se hace más amplio, pues si se desea más confianza (más seguridad de acierto sin
variar el tamaño muestral), debe precisarse menos.
iii) La distancia máxima, el error máximo admitido, viene dado por E  Z / 2

n
.
Para una confianza del 95%, Z / 2 = 1,96; si desea que la distancia máxima sea menor que
1,2, E < 1,2, se tendrá:
9
 1,2  n  14,7  n > 216
n
El valor mínimo de n debe ser de 217; por tanto, deben tomarse 117 elementos más.
1,96
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10
Muestreo
IBJ05
12. Un agricultor quiere estimar el peso medio de las naranjas que produce, con un error
menor de 10 g, empleando una muestra de 81 naranjas. Sabiendo que la desviación típica
poblacional es de 36 g, ¿cuál será el máximo nivel de confianza con que realizará la
estimación?
Solución:

, siendo  la desviación típica poblacional, n
n
el tamaño muestral y Z / 2 el valor en la tabla normal para una confianza de 1  .
En nuestro caso, E < 10, n = 81 y  = 36, siendo  desconocida.
El error admitido viene dado por E  Z / 2
Se tiene:
10·9
 2,5
36
81
Para Z / 2 < 2,5, se tiene que 1  /2 < 0,9938   < 0,0124  1   < 0,9876. Por tanto,
la confianza máxima es del 98,76 %.
Z / 2
36
 10  Z / 2 
ANJ05
13. En una población una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y
desviación típica 2.
a) Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestral
igual a 50. Calcule un intervalo, con un 97 % de confianza, para la media d la población.
b) Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que la
amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, 1.
Solución:
a) El intervalo de confianza, para las muestras de tamaño muestral n de media x , es:


 
 x  Z / 2
, x  Z / 2

n
n

donde  es la desviación típica poblacional y Z / 2 el valor correspondiente en la tabla normal
para una confianza de 1  .
En este caso: x = 50,  = 2, Z / 2 = 2,17 y n = 400. El intervalo será:

2
2 
 50  2,17
, 50  2,17
 = (49,783, 50,217)
400
400 

b) La amplitud del intervalo es 2 · Z  / 2
2,17
2
n

1

2

n
. Si se quiere que sea menor que 1:
n  4·2,17  8,68  n > 75,34.
El tamaño mínimo de la muestra debe ser 76.
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11
Muestreo
ARS05
14. Se ha obtenido que el intervalo de confianza correspondiente al 95 % de una variable es
(6,66, 8,34). Calcule la media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para obtener el
intervalo sabiendo que la desviación típica es igual a 3. Explique cada uno de los pasos
realizados.
Solución:
El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n de
media x y desviación típica  es:


 
 x  Z / 2
, x  Z / 2

n
n

siendo Z / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1  .
En este caso se sabe que  = 3 y Z / 2 = 1,96 (95 % de confianza: 1   = 0,95).
Por tanto:

3
3 
 x  1,96
, x  1,96
 = (6,66, 8,34)
n
n


 x  1,96
Luego 
 x  1,96


3
n
3
 6,66
 6,66  1,96
 8,34
n
1,96·3
n
 7  n = 49
0,84
Si n = 49, como x  1,96
3
49
3
n
 8,34  1,96
3
n
 1,96
3
n
 0,84 
 6,66  x  7,5
NOTA: La media se podría haber calculado sin conocer n, pues al ser el intervalo de
confianza simétrico respecto de la media, esta es la media aritmética de los extremos de ese
6,66  8,34
 7,5 .
intervalo: x 
2
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12
Muestreo
CNJ05
15. Se quiere estimar el sueldo medio de un trabajador de transporte público. Se toma para
ello una muestra de 625 de estos trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1480
euros. Si la desviación típica es igual a 250 euros:
a) Con un nivel de confianza del 90 %, determina el intervalo de confianza para el sueldo
medio de un trabajador del transporte público.
b) Si se quiere que el error máximo de la estimación sea de 10 euros, hallar el tamaño de la
muestra que se debe tomar considerando un nivel de confianza del 99 %.
Solución:
a) El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n
y de media x , es:


 
 x  Z / 2
, x  Z / 2

n
n

siendo  la desviación típica poblacional y Z / 2 el valor correspondiente en la tabla normal
para una confianza de 1  .
Para x = 1480,  = 250, n = 625 y, para el 90 % de confianza, Z / 2 = 1,645, este intervalo
es:

250
250 
1480  1,645·
, 1480  1,645·
 =
625
625 

= (1480  16,45, 1480 + 16,45) = (1463,55, 1496,45)
b) El error viene dado por E = Z  / 2

.
n
Si se desea que sea menor que 10, para el 99 % ( Z / 2 = 2,575) y  = 250, se tendrá:
250
2,575·
 10  n  (2,575·25) 2  4144,14
n
El tamaño mínimo de n = 4145.
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13
Muestreo
IBS05
16. De una muestra aleatoria de 2100 personas de una población hay 630 que leen un
determinado diario. Calcular el intervalo de confianza para la proporción poblacional para un
nivel de confianza del 99 %
Solución:
La proporción de la muestra es pˆ 
630
= 0,30
2100
El intervalo de confianza para la proporción de la población es:

 p  Z / 2



pq 
, p  Z / 2
n

pq 

n 


siendo p̂ la proporción de la muestra, q  1  p ; n, el tamaño muestral y Z / 2 el valor
correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1  .

En nuestro caso, para el 99 % de confianza (significación 0,01), Z / 2 = 2,575; p̂ = 0,30, q =
0,70, y n = 2100. Luego, el intervalo de confianza será:

0,30·0,70
0,30·0,70 
 0,30  2,575
=
,
0,30

2,575


2100
2100


= (0,30  0,02575, 0,30 + 0,02575)  (0,274, 0,326)
NOTA: Si se desea ser más exigente, los parámetros p y q podrían suponerse iguales, p = q =
0,50. Así se obtendría:

0,50·0,50
0,50·0,50 
 0,30  2,575
  (0,272, 0,328)
,
0,30

2,575


2100
2100


José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
Matemáticas CCSS II
14
Muestreo
EXS05
17. En una ciudad residen 1250 familias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 20 % de
ellas y se les preguntó si disponían de gas ciudad en su vivienda. Sabiendo que todas las
familias seleccionadas respondieron y que se obtuvo un total de 75 respuestas afirmativas, se
pide:
a) ¿Qué estimación puntual podríamos dar para el porcentaje de familias de esa ciudad que
disponen de gas ciudad en su vivienda?.
b) ¿Qué error máximo cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza
del 95 %?
Justificar las respuestas.
Solución:
El tamaño muestral fue de 1250 · 0,20 = 250 familias.
La proporción de familias con gas natural en la muestra es
75
 0,30 , el 30 %.
250
a) Puede afirmarse que el porcentaje de familias con gas natural es del 30 %.
pq
, siendo:
n
p la proporción de familias con gas natural y q = 1  p  p = 0,30, q = 0,70
n el tamaño muestral  n = 250
Z / 2 el valor de la variable normal correspondiente a una confianza 1    Z / 2 =
1,96
b) El error admitido E, viene dado por E  Z / 2
0,30·0,70
 1,96·0,029  0,057
250
Se puede cometer un error máximo del 5,7 %. Esto es, el porcentaje de familias con gas
natural pertenece al intervalo (30  5,7, 30 + 5,7): estará entre el 24,3 % y el 35,7 %
Por tanto, E  1,96
Si somos más exigentes y suponemos que al desconocer la proporción de la población hay
que tomar p = q = 0,5, el error que se asume es,
0,50·0,50
E  1,96
 1,96·0,0316  0,062
250
Cometeríamos un error máximo del 6,2 %.
José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
Matemáticas CCSS II
15
Muestreo
EXJ05
18. En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el departamento de
personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el departamento de contabilidad y 100 en
el departamento de atención al cliente. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere
seleccionar una muestra de 180 trabajadores.
a) ¿Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selección de la muestra si queremos que
incluya a trabajadores de los cuatro departamentos mencionados?
b) ¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento atendiendo
a un criterio de proporcionalidad?
Justificar las respuestas
Solución:
a) Podría hacerse un muestreo aleatorio estratificado, eligiendo de cada grupo de trabajadores
un número proporcional a su tamaño.
b) Hay que repartir proporcionalmente 180 entre 150, 450, 200 y 100, que son el número de
trabajadores de los departamentos de personal, ventas, contabilidad y atención al cliente,
respectivamente.
El total, el número de trabajadores de la empresa es 900; como el tamaño muestral es 180
habrá que elegir 1 trabajador de cada 5. Por tanto, se elegirán:
30 del departamento de personal
90 del departamento de ventas
40 del departamento de contabilidad y
20 del departamento de atención al cliente.
José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)