1 Números naturales. Divisibilidad

Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 1
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Números naturales. Divisibilidad
1. El sistema de numeración
Nuestro sistema de numeración es decimal porque 10 unidades del mismo orden forman una unidad del
orden inmediatamente superior.
1 decena = 1 D = 10 unidades = 10 U
1 centena = 1 C = 10 decenas = 100 unidades
1 millar = 1 UM = 10 centenas = 100 decenas = 1000 unidades
1 decena de millar = 1 DM = 10 millares = 10 000 unidades
Nuestro sistema de numeración utiliza 10 cifras.
Nuestro sistema de numeración es posicional, ya que el valor de una cifra en un número depende del
lugar que ocupa la cifra en dicho número.
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Sistema de numeración romano
El sistema de numeración romano tiene siete símbolos.
Romano
Decimal
I
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1000
Este sistema no es posicional: sus cifras tienen siempre el mismo valor, aunque se sumen o resten dependiendo de su colocación.
2. Los números naturales como códigos
Mediante los números naturales podemos formular códigos que expresen cualquier tipo de información.
• Los códigos postales
• Los prefijos telefónicos de provincias
• Matrículas de los coches
• Las cuentas bancarias
3. Propiedades de las operaciones con números naturales
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Propiedades de la suma y de la multiplicación
Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos o factores no varía el resultado.
Propiedad asociativa: Al sumar o multiplicar tres o más números, el resultado es independiente de cómo agrupemos de dos en dos los sumandos o factores.
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: El producto de un número por la suma de
dos o más números es igual a la suma de los productos del número por cada sumando.
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Simplificación de la diferencia
Si a los dos términos de una diferencia se les suma o resta el mismo número, la diferencia no varía.
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Teorema de la división
En una división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto: D = d · c + r
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4. Múltiplos y divisores de un número
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Múltiplos de un número
Un número es múltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier número natural.
Para calcular los múltiplos de un número, se multiplica ese número por los números naturales.
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Divisores de un número
Un número es divisor o factor de otro cuando la división del segundo entre el primero es exacta.
5. Criterios de divisibilidad
• Un número es divisible por 2 si termina en cifra par.
• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3.
• Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
• Un número es divisible por 10 si termina en 0.
• Un número es divisible por 4 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras o si termina en 00.
• Un número es divisible por 25 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras o si termina en 00.
• Un número es divisible por 100 si termina en 00.
• Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• Para saber si un número es divisible por 11:
1.º Sumamos por separado las cifras que ocupan los lugares pares y las que ocupan los lugares
impares.
2.º Calculamos la diferencia entre las dos sumas anteriores.
3.º Si esa diferencia es 0 o múltiplo de 11, el número inicial es divisible por 11.
6. Números primos y compuestos
Un número es primo cuando tiene solo dos divisores: el propio número y el 1.
Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores.
El número 1 no es primo ni compuesto, ya que tiene un único divisor: él mismo.
7. Descomposición de un número en factores primos
La descomposición de un número en factores primos es la expresión del número como un producto
de factores primos.
Para descomponer un número en factores primos:
1.º Dividimos el número por un factor primo. Resulta cómodo empezar por los más pequeños.
2.º Dividimos el cociente obtenido por otro factor primo, y se repite el procedimiento.
3.º Terminamos cuando el último cociente es 1.
El número es igual al producto de los factores primos por los que hemos ido dividiendo.
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8. Máximo común divisor de varios números
El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. De forma abreviada, se escribe m.c.d.
9. Mínimo común múltiplo de varios números
El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes distinto de cero.
De forma abreviada, se escribe m.c.m.
10. Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. por descomposición factorial
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
1.º Escribimos cada número como producto de factores primos.
2.º El máximo común divisor es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor
exponente.
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:
1.º Escribimos cada número como producto de factores primos.
2.º El mínimo común múltiplo es igual al producto de los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
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