Teorema de Riemann sobre la reordenación de series

Reordenado una serie condicionalmente convergente, en forma que la nueva
ordenación tenga otra suma.
Cuando reordenamos los términos de una serie absolutamente convergente, esto no
solamente no altera la convergencia, sino que la serie reordenada tiene el mismo límite
que la original.
No ocurre lo mismo con las series que convergen condicionalmente. Riemann probó
que dada cualquier serie convergente condicionalmente, y dado cualquier L con
−∞ ≤ L ≤ +∞ , siempre es posible encontrar una reordenación de sus términos de
modo tal que la nueva serie tenga por límite a L .
Una demostración de esto se puede encontrar en cualquier texto de análisis matemático.
Acá se ofrece un pequeño ejemplo, tomado de Piskunov.
Como sabemos, la serie alternada
1−
1
1 1 1
1
+ − + −
+"
2
3 4 5
6
( )
*
converge , pero no lo hace así la serie de sus valores absolutos.
Poniendo
Sn = 1 −
1
1 1
1
+ − + " + (−1) n ,
2
3 4
n
sabemos que existe un real tal que
l í m Sn = S
(1)
n→∞
Hagamos ahora un reordenamiento de los términos de (*) , haciendo que luego de un
término positivo vengan dos negativos, de la siguiente forma:
1 
1
1
 1 1  1 1 1  1 1
 1
−
−
1− −  +  − −  +  − −
 +"+ 
 2 4   3 6 8   5 10 12 
 2k − 1 4k − 2 4k

 +"

Veremos que esta serie tiene un límite finito, pero distinto del de la serie original.
Llamando Tn a las sumas parciales así construidas, estudiaremos primeramente T3 k :
1
De hecho, esta sucesión tiende a ln 2
1
1   1 1 1
1
1 

 1
−  +"+ 
−
−
T3 k =  1 − −  +  −
 =
2
4   3 6 8
4k 

 2k − 1 4k − 2
1   1
1  1
1 
1
1 
1

− +
−
−
 − +
 +"+ 
 =
4   6
8   10
12 
2
 4k − 2 4k 
1
2 
1 
1
1  

 1 1
1
 1
−
1 −  +  −  +  −  +" + 
 =
2 
6

 3 4
5
 2k − 1 2k  
1
1
1 1
1
1
1
1 
1
+
− +
−
+"+
−
1 −
 = S2k
2
2
3 4
5
6
2k − 1 2k 
2
En fin,
T3 k =
1
S2k
2
Tenemos entonces
l í m T3 k = l í m
k →∞
k→ ∞
1
1
S2k = S
2
2
Además
1 
1

l í m T3 k +1 = l í m  T3 k +
 = l í m T3 k = S
2k + 1 
2
k→ ∞
k →∞ 
k →∞
y también
1
1 
1

−
l í m T3 k + 2 = l í m  T3 k +
 = l í m T3 k = S
2k + 1 4k + 2 
2
k→ ∞
k →∞ 
k →∞
En fin, las tres subsucesiones tienen todas el mismo límite. Observando que estas tres
subsucesiones completan toda la sucesión Tk , deducimos que la sucesión entera tiene
también el mismo límite.
l í m Tk =
k →∞
1
S
2