TEMA 3 ACTUACIONES DE PUNTO

TEMA 3 ACTUACIONES DE PUNTO
En este curso se analizan las actuaciones de punto de aviones con turborreactor o turbofán. En el
estudio de las actuaciones de punto (static performance) se considera el problema casi estacionario,
esto es, se desprecian las aceleraciones tangencial y normal, y se estudian las ecuaciones dinámicas,
que para el vuelo en un plano vertical con ε = 0 se reducen a
T (h, V, π) − D(h, V, L) − W sin γ = 0
L − W cos γ = 0
(3.1)
En estas ecuaciones hay 6 variables, por lo que dadas 4 de ellas, las otras 2 quedan definidas por las
ecuaciones.
3.1 Actuaciones en vuelo horizontal
En el caso de vuelo horizontal (h = const) se tiene γ = 0, por lo que las ecuaciones que permiten
estudiar las actuaciones de punto se reducen a
T (h, V, π) − D(h, V, L) = 0
L−W =0
(3.2)
En este caso se tiene n = 1. Sustituyendo la 2a en la 1a se tiene
T (h, V, π) − D(h, V, W ) = 0
(3.3)
En esta ecuación hay 4 variables, por lo que dadas 3 de ellas, la otra queda definida por la ecuación.
Por ejemplo, V = V (h, W, π). En este caso la ecuación define 2 velocidades de vuelo (ver figura 3.1):
los puntos de intersección de las curvas T (V ) y D(V ), para h, W y π dados.
Las actuaciones de punto que se van a estudiar son el techo teórico y la velocidad máxima.
El techo teórico (Vinh lo llama propulsive ceiling) es la altitud máxima a la que es posible el
vuelo horizontal, para W y π fijos, en concreto para πmax . Se verifica que el techo es la altitud a la
cual el empuje disponible máximo es igual al empuje necesario mı́nimo (esto es, igual a la resistencia
aerodinámica mı́nima).
La velocidad máxima es la máxima de las velocidades máximas que se tienen a cada altitud.
Figura 3.1: Velocidad de vuelo
31
El techo teórico y la velocidad máxima son los elementos más relevantes del diagrama h − V o
envolvente de vuelo (ver figura 3.2).
Figura 3.2: Envolvente de vuelo
En lo sucesivo se considera el modelo ISJ, y se definen las variables adimensionales u = V /VR
√
(
)1
4
2W
k
y z = T /TR , siendo la velocidad de referencia VR =
, y el empuje de referencia
ρS CD0
W
.
TR =
Emax
3.1.1 Velocidad de vuelo
La ecuación T = D en variables adimensionales es
(
)
1
1
2
z−
u + 2 =0
2
u
de donde se obtienen las 2 velocidades de vuelo (ver figura 3.3)
√
√
u1 = z + z 2 − 1
√
√
u2 = z − z 2 − 1
(3.4)
(3.5)
Figura 3.3: Velocidad de vuelo adimensional
La ecuación L = W =
1 2
ρV SCL define el coeficiente de sustentación, y por tanto el ángulo de
2
32
ataque. Se tiene
CL =
1
CL
u2 opt
(3.6)
3.1.2 Techo teórico
En variables adimensionales el techo teórico viene definido por z = 1, y la velocidad que se tiene
en el techo por u = 1. El techo H se define en función de la densidad
altitud ρH .
( a)dicha
x
∗ E
ρ
Tmax
max
∗
∗
Para πmax se tiene el empuje máximo adimensional zmax = zmax
,
siendo
z
=
.
max
ρ∗
W
Haciendo zmax = 1 se tiene el siguiente resultado:
)1/0,7
(
1
∗
, y el techo está en la troposfera.
Si zmax
< 1, entonces ρH = ρ∗
∗
zmax
1
∗
Si zmax
> 1, entonces ρH = ρ∗ ∗ , y el techo está en la estratosfera.
zmax
∗
∗
Para que el techo sea grande, interesa que zmax
sea grande, esto es, interesa que Tmax
y Emax sean
grandes y que W sea pequeño.
( )1/2
ρ0
La velocidad en el techo viene dada por VH = VR = VR0
, que toma distintos valores según
ρH
√
(
)
2W
k 1/4
que el techo esté en la troposfera o en la estratosfera, siendo VR0 =
:
ρ0 S CD0
(
Troposfera ⇒ VH
Estratosfera ⇒ VH
ρ0 ∗
= VR0
(z
)1/x
ρ∗ max
)1/2
(
ρ0 ∗
z
= VR0
ρ∗ max
)1/2
(3.7)
3.1.3 Velocidad máxima
A cada altitud la velocidad máxima es u1 (la mayor de las dos posibles). Se tiene pues V1 (ρ) =
( )1/2
[
]1/2
√
ρ0
2
VR u1 (ρ) = VR0
u1 (ρ), siendo, para z = zmax , u1 (ρ) = zmax (ρ) + zmax
(ρ) − 1
. La
ρ
altitud a la cual se tiene la velocidad máxima de las máximas se define en función de la densidad a
dicha altitud ρM .
(
)
V1 2
d
1
La ecuación
= 0 tiene como solución zmax = √
que sólo es válida en la troposfera
2
dρ VR0
1
−
x
(
)
V1 2
(x < 1). Por otro lado, en la estratosfera
es una función creciente con ρ (decreciente con la
V R0
altitud) por lo que su máximo se tiene en la tropopausa. Por tanto, se tiene el siguiente resultado:
(
)1/x
1
1
∗
∗
√
≈1.4, entonces ρM = ρ
, y está en la troposfera, siendo
Si zmax < √
∗
1 − x2
zmax
1 − x2
x =0.7.
1
∗
>√
Si zmax
≈1.4, entonces ρM = ρ∗ , esto es, está en la tropopausa, siendo x =0.7.
1 − x2
33
]1/2 ( ρ )1/2
0
La velocidad máxima viene dada por VM = VR0 zmax (ρM ) +
−1
, que
ρM
toma distintos valores según que la velocidad máxima tenga lugar en la troposfera o en la tropopausa:
[
)1/x ]1/2
1 + x ρ0 ( ∗ √
2
Troposfera ⇒ VM = VR0 √
z
1
−
x
max
1 − x2 ρ∗
(3.8)
[ (
)]1/2
√
ρ0
2
∗
∗
Estratosfera ⇒ VM = VR0 ∗ zmax
+ zmax
−1
ρ
[
√
2
zmax
(ρM )
3.1.4 Envolvente de vuelo
De forma cualitativa se pueden definir los tres casos siguientes de envolvente de vuelo, según el
∗
valor del parámetro zmax
:
∗
Si zmax >1.4, el techo está en la estratosfera y la velocidad máxima en la tropopausa.
∗
Si 1 < zmax
<1.4, el techo está en la estratosfera y la velocidad máxima en la troposfera.
∗
Si zmax < 1, el techo y la velocidad máxima están en la troposfera.
La envolvente de vuelo teórica que se acaba de estudiar está sujeta, entre otras, a limitaciones por
entrada en pérdida y por compresibilidad (ver figuras 3.4 y 3.5).
Figura 3.4: Velocidades lı́mite
Figura 3.5: Envolvente de vuelo: limitación por pérdida y por compresibilidad
34
3.2 Actuaciones en planeo
En la práctica los aviones comerciales descienden con los motores al ralentı́ (idle rating), esto es,
con un empuje mı́nimo. En este curso se va a estudiar el descenso con empuje nulo (T = 0), es decir,
el vuelo de planeo.
Si se define el ángulo de planeo (en inglés, glide angle) γd = −γ, las ecuaciones que permiten
estudiar las actuaciones de punto en planeo son
D(h, V, L) − W sin γd = 0
L − W cos γd = 0
(3.9)
En esta ecuación hay 5 variables, por lo que dadas 3 de ellas, las otras 2 quedan definidas por las
ecuaciones. Por ejemplo, γd = γd (h, W, V ) y L = L(h, W, V ). En general se tiene n = cos γd .
Además se tiene la ecuación que define la velocidad de descenso (en inglés, rate of descent)
Vd = V sin γd
(3.10)
3.2.1 Ángulo de planeo y velocidad de descenso
En lo sucesivo se hace la hipótesis simplificadora γd ¿ 1. Se tienen las siguientes expresiones para
el ángulo de planeo y la velocidad de descenso
D(h, V, W )
W
D(h, V, W )V
Vd =
W
γd =
(3.11)
El ángulo de planeo mı́nimo es aquel que minimiza la resistencia aerodinámica (D). La velocidad de
descenso mı́nima es la que minimiza el producto DV .
Se considera a continuación el modelo ISJ. En variables adimensionales (u = V /VR ), se tienen los
siguientes resultados
(
)
1
1
2
γd =
u + 2
2Emax
u
(
)
(3.12)
1
1
Vd
=
u3 +
VR
2Emax
u
3.2.2 Optimización
Ángulo de planeo mı́nimo
La velocidad adimensional que define el ángulo de planeo mı́nimo es u|(γd )min = 1 y por tanto
(γd )min =
1
Emax
que no depende de la altitud.
La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar un planeo con (γd )min , es
√
(
)
2W
k 1/4
V |(γd )min = VR =
ρS CD0
35
(3.13)
(3.14)
que disminuye al disminuir la altitud (ver esquema en la figura 3.6). Con esta ley de velocidades se
obtiene el planeo conocido como flattest glide.
También se tiene
√
(
)
k 1/4
2W
Ve |(γd )min = VR0 =
(3.15)
ρ0 S C D 0
que es independiente de la altitud.
Para tener (γd )min pequeño interesa que Emax sea grande. En los veleros puede llegar a ser Emax =
50.
1
La ecuación L = W = ρV 2 SCL define el coeficiente de sustentación, y por tanto el ángulo de
2
ataque. Se tiene
CL |(γd )min = CLopt
(3.16)
Figura 3.6: Ángulo de planeo y velocidad de descenso en planeo (h1 > h2 > h3 )
Velocidad de descenso mı́nima
La velocidad adimensional que define la velocidad de descenso mı́nima es u|(γd )min = 3−1/4 y por
tanto
√
(
)
2
2W
k 1/4
2
VR = 3/4
(Vd )min = 3/4
(3.17)
3 Emax
3 Emax ρS CD0
que disminuye al disminuir la altitud.
La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar un planeo con (Vd )min , es
√
(
)
2W
k 1/4
−1/4
−1/4
V |(Vd )min = 3
VR = 3
ρS CD0
(3.18)
que disminuye al disminuir la altitud (ver esquema en la figura 3.6). Con esta ley de velocidades se
obtiene el planeo conocido como slowest sink.
36
√
También se tiene
Ve |(Vd )min = 3
−1/4
−1/4
VR 0 = 3
2W
ρ0 S
(
k
CD 0
)1/4
(3.19)
que es independiente de la altitud.
W
Para tener (Vd )min pequeña interesa que la carga alar
sea pequeña, que Emax sea grande y que
S
1
k sea pequeño (o bien, tomando k ∼ , que el alargamiento Λ sea grande). En los veleros puede llegar
Λ
a ser Λ = 25.
El ángulo de ataque correspondiente es mayor que el que corresponde a ángulo de planeo mı́nimo,
y viene definido por
√
CL |(Vd )min = 3CLopt
(3.20)
3.3 Actuaciones en subida
Las ecuaciones que permiten estudiar las actuaciones de punto en subida son las ecuaciones (3.1)
T (h, V, π) − D(h, V, L) − W sin γ = 0
L − W cos γ = 0
(3.21)
En esta ecuación hay 6 variables, por lo que dadas 4 de ellas, las otras 2 quedan definidas por las
ecuaciones. Por ejemplo, γ = γ(h, W, V, π) y L = L(h, W, V, π). En general se tiene n = cos γ.
Además se tiene la ecuación que define la velocidad de subida (en inglés, rate of climb)
Vc = V sin γ
(3.22)
3.3.1 Ángulo de subida y velocidad de subida
En lo sucesivo se hace la hipótesis simplificadora γ ¿ 1; en este caso se tiene n = 1. Las expresiones
para el ángulo de subida y la velocidad de subida se reducen a
T (h, V, π) − D(h, V, W )
W
T (h, V, π) − D(h, V, W )
Vc = V
W
γ=
V
T
yz=
se tiene
VR
TR
[
(
)]
1
1
1
z−
u2 + 2
γ=
Emax
2
u
[
(
)]
Vc
1
1
1
2
u z−
u + 2
=
VR
Emax
2
u
(3.23)
En función de las variables adimensionales u =
(3.24)
Recuérdese que para el modelo ISJ se tiene
z = z0 (
ρ x
ρ
T0 (π)Emax
) , cE = cE0 ( )y , z0 =
, cE0 = const
ρ0
ρ0
W
37
(3.25)
3.3.2 Optimización
Ángulo de subida máximo
La velocidad adimensional que define el ángulo de subida máximo es u|(γ)max = 1 y por tanto
γmax =
z−1
Emax
(3.26)
que disminuye al aumentar la altitud (ver esquema en la figura 3.7). Nótese que cuando z → 1 se tiene
γmax → 0; en el techo se tiene γmax = 0 (ver figura 3.8). Para tener γmax grande interesan T /W y
Emax grandes.
La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar una subida con γmax , es
√
(
)
2W
k 1/4
V |γmax = VR =
(3.27)
ρS CD0
que aumenta al aumentar la altitud (ver figura 3.7). Con esta ley de velocidades se obtiene la subida
conocida como steepest climb.
También se tiene
√
(
)
2W
k 1/4
Ve |(γ)max = VR0 =
(3.28)
ρ0 S C D 0
que es independiente de la altitud.
1
La ecuación L = W = ρV 2 SCL define el coeficiente de sustentación, y por tanto el ángulo de
2
ataque. Se tiene
CL |(γ)max = CLopt
(3.29)
Figura 3.7: Ángulo de subida y velocidad de subida (h1 < h2 < h3 )
38
Figura 3.8: Ángulo de subida y velocidad de subida máximos
Velocidad de subida máxima
(
La velocidad adimensional que define la velocidad de subida máxima es u|(Vc )max =
z+
√
z2 + 3
3
)1/2
y por tanto
(Vc )max
VR
=
Emax
(
z+
√
z2 + 3
3
)1/2
)
√
2(
2z − z 2 + 3
3
(3.30)
que disminuye al aumentar la altitud (ver esquema en la figura 3.7). Nótese que cuando z → 1 se tiene
(Vc )max → 0; en el techo se tiene (Vc )max = 0 (ver figura 3.8). Para tener (Vc )max grande interesan
T /W , Emax y W/S grandes.
La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar una subida con (Vc )max , es
(
V |(Vc )max = VR
z+
√
z2 + 3
3
)1/2
(3.31)
que aumenta al aumentar la altitud (ver figura 3.7). Con esta ley de velocidades se obtiene la subida
conocida como fastest climb. Se verifica V |(Vc )max > V |γmax (ver figura 3.9).
El ángulo de ataque correspondiente es menor que el que corresponde a ángulo de subida máximo,
y viene definido por
CL |(Vc )max =
3
√
CLopt
z + z2 + 3
39
(3.32)
Figura 3.9: Velocidades correspondientes a ángulo de subida y velocidad de subida máximos
40