Diagonalización de matrices

Diagonalización de matrices
Estructura del tema.
• Introducción • Autovalores y autovectores de una matriz cuadrada • Polinomio y ecuación
caracterı́stica. Cálculo de autovalores • Diagonalización de matrices. Caracterización
0.1.
Introducción
Definición 0.1.1. Dos matrices cuadradas A y B del mismo orden se dice que son semejantes si
existe una matriz regular P de modo que B = P −1 AP .
En este tema dada una matriz cuadrada queremos encontrar, de entre todas sus matrices semejantes, la más “sencilla” posible, siendo las matrices más sencillas las diagonales.
Definición 0.1.2. Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si es semejante a una
matriz diagonal D. Es decir, si existe una matriz regular P de modo que D = P −1 AP . Esta matriz
P se conoce como matriz de paso.
No todas las matrices cuadradas son diagonalizables. De hecho, el objetivo de este tema es
determinar cuando una matriz cuadrada es diagonalizable. Además, si la respuesta es afirmativa
buscaremos un método para hallar la matriz diagonal a la que es semejante y la matriz de paso.
NOTA: A lo largo de este tema trabajaremos siempre con matrices cuadradas.
0.2.
Autovalores y autovectores de una matriz cuadrada
Dada una matriz cuadrada A de orden n, pueden existir vectores v ∈ Rn no nulos y escalares
λ tales que Av = λv. Estos elementos, los vectores y los escalares, serán fundamentales en el
desarrollo del tema.
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Definición 0.2.1. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que un escalar λ ∈ R es un
autovalor de A (o valor propio) si existe un vector v ∈ Rn no nulo de modo que Av = λv.
Todo vector no nulo que satisfaga esta relación se denomina autovector de A (o vector propio)
asociado al valor propio λ.
Obsérvese que la condición v 6= 0 es necesaria para evitar el caso trivial: cualquier número real
λ verifica la condición A0 = λ0. Por tanto v = 0 no es ningún autovector. Por el contrario, los
autovalores si pueden tomar el valor 0.
Los autovalores y autovectores tienen las siguientes propiedades básicas:
Propiedades:
1. Todo autovector está asociado a un único autovalor.
2. Un autovalor tiene asociado infinitos autovectores. De hecho, se puede demostrar que el
conjunto de los autovectores asociados a un mismo autovalor λ junto con el vector nulo 0
tiene estructura de subespacio vectorial.
3. Si A es una matriz de orden n, existen a lo sumo n autovalores distintos de A.
Teniendo en cuenta la segunda propiedad, podemos dar la siguiente definición:
Definición 0.2.2. Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea λ un valor propio de A. El conjunto
de todos los vectores propios v asociados a un mismo valor propio λ junto con el vector nulo v = 0
se denomina subespacio propio de A asociado a λ y se denota como Eλ , es decir:
Eλ = {v ∈ K n : Av = λv}.
De las propiedades anteriores y de las definiciones de autovalores y autovectores se deducen los
siguientes resultados,
Proposición 0.2.3. Cada subespacio propio Eλ tiene estructura de subespacio vectorial de Rn y
dim(Eλ ) = n − rg(A − λI).
Proposición 0.2.4. Si λ1 y λ2 son dos autovalores distintos de A, entonces Eλ1 ∩ Eλ2 = {0}. En
particular, autovectores asociados a autovalores distintos son siempre linealmente independientes.
0.3.
Polinomio y ecuación caracterı́stica. Cálculo de autovalores
Pretendemos ahora aprender a calcular los autovalores y los autovectores de una matriz cuadrada.
Por definición un escalar λ es un autovalor de A si y sólo si existe un vector no nulo v de modo
que
Av = λv.
0.4 Matrices diagonalizables. Caracterización
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Es decir, si se verifica
Av − λv = (A − λI)v = 0.
(1)
Observemos que (1) no es más que un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, y estamos diciendo
que λ es un autovalor de A si y sólo si el sistema es compatible indeterminado. A su vez esto
ocurrirá si y sólo si rg(A − λI) < n, y como se trata de una matriz cuadrada es equivalente a que
det(A − λI) = 0.
Resumiendo, λ es un autovalor de A si y sólo si det(A − λI) = 0. Por tanto, el procedimiento a
seguir para hallar los autovalores de una matriz cuadrada de orden n, A, es considerar λ como un
parámetro arbitrario y calcular
det(A − λI).
El determinante anterior es un polinomio de orden n en la variable λ, y sus raı́ces serán los autovalores de A.
Definición 0.3.1. La matriz A − λI se llama matriz caracterı́stica de A. El polinomio pA (λ) =
det(A − λI) se conoce como polinomio caracterı́stico de A. Si λ es un autovalor de A, entonces se llama multiplicidad algebraica de λ a la multiplicidad de λ como raı́z del polinomio
caracterı́stico.
Una vez calculados los autovalores de A estamos en condiciones de hallar sus subespacios propios
y por tanto sus autovectores. Sea λ un autovalor de A, el subespacio propio asociado a λ, Eλ , es el
conjunto de todas las soluciones del sistema compatible indeterminado (1). La dimensión de Eλ se
conoce como multiplicidad geométrica de λ.
Es importante destacar que para cualquier autovalor λ siempre se verifica que
1 ≤ multiplicidad geométrica de λ ≤ multiplicidad algebraica de λ.
0.4.
(2)
Matrices diagonalizables. Caracterización
Una vez presentados todas las herramientas necesarias, estamos en condiciones de presentar el
resultado principal del tema,
Proposición 0.4.1. Una matriz A cuadrada de orden n es diagonalizable si y sólo si tiene n
autovectores linealmente independientes. En este caso, la matriz diagonal D a la que es semejante
es aquella cuyos elementos diagonales son los autovalores correspondientes. Por último, la matriz
de paso P es la matriz cuyas columnas son los autovectores. En particular, si A tiene n autovalores
distintos, entonces es diagonalizable.
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