1 Introducción 2 Autovalores y autovectores.

Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 4) Hoja
1
Escuela Técnica Superior de Ingenierı́a Civil e Industrial (Esp. en Hidrologı́a)
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a.
Tema 4: Diagonalización de matrices.
1
Curso 2008-09
Introducción
En este tema analizaremos el concepto de matriz diagonalizable, y su aplicación al álgebra matricial
2
Autovalores y autovectores.
Sea A ∈ Mn (R), una matriz cuadrada. Decimos que λ ∈ R es un autovalor o valor propio de A si existe
un vector columna v 6= 0 tal que A · v = λv. El vector v se llama autovector o vector propio asociado al
autovalor λ. El conjunto de todos los autovectores asociados a un mismo autovalor se llama autoespacio o
subespacio propio, y se denota por V (λ).
• Ejemplo.
1. λ = 1 es autovalor de la matriz A =
A·v =
2
1
1
2
2
1
, con autovector asociado v =
1
2
1
−1
=
1
−1
1
−1
= v.
Pero v no es el único autovector asociado a λ = 1. Si t ∈ R, el vector vt =
autovector asociado al mismo autovalor:
2
A · vt =
1
1
2
t
−t
=
De hecho, el autoespacio correspondiente a λ = 1 es
1
V (1) = t
,
−1

t
−t
. En efecto:
t
−t
también es un
= vt .
t∈R .

1
2
0
2
0 . Calculemos los correspondientes autovectores. Si
2. λ = −1 es autovector de A =  0
−2 −2 −1


x
v =  y , debe verificarse que
z





1
2
0
x
x
2
0   y  = −  y  = −v
A·v = 0
−2 −2 −1
z
z
es decir

 2x + 2y = 0
3y = 0

−2x − 2y = 0
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2
Resolviendo el sistema se obtiene
 que
 x = y = 0, pero no hay ninguna condición para z. Por tanto, los
0
autovectores son de la forma  0 . Es decir,
z
  

0


V (−1) = z  0  , z ∈ R .


1
El conjunto de autovalores de la matriz A se llama espectro de A y se denota por σ(A).
En lo que sigue aprenderemos la técnica necesaria para averiguar si una matriz cuadrada posee, y en su caso
cuántos, autovalores, ası́ como su correspondiente cálculo.
Comenzamos haciendo notar que el hecho de que una matriz A ∈ Mn (R) posea autovalores y autovectores
depende de la existencia de soluciones para la igualdad Av = λv. Pero esta igualdad es equivalente a
(A − λI)v = 0, es decir

 


0
v1
(a11 − λ)
a12
···
a1n

  v2   0 
a21
(a22 − λ) · · ·
a2n

 

A=

 ···  =  ··· 
···
···
···
···
0
vn
an1
an2
· · · (ann − λ)
Este sistema es homogéneo, por lo que para que tenga solución distinta de la trivial (v 6= 0) es necesario y
suficiente que el determinante de la matriz del sistema sea cero
(a11 − λ)
a12
···
a1n
a
(a
−
λ)
·
·
·
a
21
22
2n
=0
A=
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
an1
an2
· · · (ann − λ) El desarrollo del determinante anterior genera un polinomio en λ de grado n, el cual se denota por
p(λ) = det(A−λI), y se denomina polinomio caracterı́stico de la matriz A. Por lo tanto una matriz cuadrada
de orden n tiene n autovalores que coinciden con los ceros de su polinomio caracterı́stico, siempre y cuando
admitamos que puedan ser complejos y los contemos teniendo en cuenta su multiplicidad.
• Ejemplos. Obtener los autovalores y autovectores de las matrices siguientes.
2 1
2−λ
1
1. A =
. A − λI =
, por lo que el polinomio caracterı́stico será
1 2
1
2−λ
2−λ
1 = (2 − λ)2 − 1 = λ2 − 4λ + 3
p(λ) = 1
2−λ Los autovalores son las soluciones de λ2 − 4λ + 3 = 0, es decir λ = 1 y λ = 3, lo que implica que el espectro
de A es σ(A) = {1, 3}. Pasemos ahora a calcular los autovectores.
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3
λ=1
Los autovectores v =
x
y
son soluciones del sistema
2
1
1
2
x
y
x
y
1
−1
=
o lo que es lo mismo
x+y =0
x+y =0
de donde obtenemos que y = −x, por lo tanto V (1) = x
, x∈R .
λ=3
Al igual que antes, los autovectores v =
es decir
2
1
x
y
son soluciones del sistema
1
2
x
y
=3
x
y
−x + y = 0
x−y =0
1
luego y = x, por lo que V (3) = x
, x∈R .
1




1
2
0
1−λ
2
0
2
0 . A − λI = 
0 2−λ
0 
2. A =  0
−2 −2 −1
−2
−2 −1 − λ
1−λ
2
0 0 2−λ
0 = (2 − λ)(1 − λ)(−1 − λ) = −(λ − 2)(λ − 1)(λ + 1)
p(λ) = −2
−2 −1 − λ lo que implica que el espectro de A es σ(A) = {−1, 1, 2}. Pasemos ahora a calcular los autovectores.
λ = −1
  
0

Ya vimos en los primeros ejemplos del tema que V (−1) = z  0  ,

1
z∈R


.

λ=1

1−1

0
−2
2
2−1
−2

  
0
x
0
0  y  =  0 
−1 − 1
z
0
las soluciones del último sistema son de la forma y = 0,


2y = 0
y=0

−2z − 2y − 2z = 0
 


1


z = −x, por lo que V (1) = x  0  , x ∈ R .


−1
⇒
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4
λ=2


−x + 2y = 0
0=0

−2x − 2y − 3z = 0
 


2


por lo que V (2) = y  1  , y ∈ R .


−2
⇒
x = 2y,
z = −2y
3. Hacemos notar que una matriz cuadrada con elementos reales puede tener autovalores complejos (nosotros
no estudiaremos estos casos).
0 1
−λ
1
A=
⇒ A − λI =
−1 0
−1 −λ
−λ
p(λ) = −1
3
1 = λ2 + 1 = 0
−λ ⇒
λ = ±i.
Diagonalización.
En esta sección nos ocuparemos de buscar, cuando sea posible, para una matriz cuadrada A dada, otra
matriz diagonal del mismo orden que comparta con la matriz de partida ciertas propiedades. Comencemos
definiendo el concepto de matrices equivalentes.
Dos matrices cuadradas A, B ∈ Mn (R) se dicen equivalentes si existe una matriz cuadrada P ∈ Mn (R)
con det P 6= 0 y tal que
A = P · B · P −1
Nótese que dos matrices equivalentes tienen el mismo determinante. |A| = |P BP −1 | = |P ||B||P −1 | = |B|.
Diremos que una matriz cuadrada A es diagonalizable, si es equivalente a una matriz diagonal. Es decir,
existen dos matrices una de ellas diagonal, y que denotamos por D, y otra con determinante distinto de cero,
y que denotamos por P , ambas de igual oreden que A; verificándose que
A = P · D · P −1
La matriz P recibe el nombre de matriz de paso, y no es única.
2 1
• Ejemplo. La matriz A =
es diagonalizable, ya que es equivalente a la matriz diagonal
1 2
1 0
1 1
D=
con matriz de paso P =
.
0 3
−1 1

 1
1
−
2
2


, y además
En efecto, P −1 = 


1
1
2
2
 1
1 
−
2
2 
1 1
1 0 
2 1

=
P DP −1 =

−1 1
0 3  1
1 2
1
2
2
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5
Es conveniente tener una herramienta que nos permita averiguar si una matriz dada es o no diagonalizable,
y en caso afirmativo poder calcular las correspondientes matrices D y P .
Proposición. Una matriz cuadrada, de orden n, A es diagonalizable si es posible encontrar n autovectores
linealmente independientes asociados a A. Además estos autovectores colocados por columnas constituyen la
matriz de paso P , y la matriz diagonal D está compuesta por los autovalores de A. Este hecho está garantizado
cuando todos los autovalores de A sean reales y distintos.


1
2
0
2
0 . Vimos que σ(A) = {1, −1, 2}, y por tanto A es diagonalizable, con
• Ejemplo. A =  0
−2 −2 −1




1
0 0
1 0
2
1 
D =  0 −1 0  ,
P = 0 0
0
0 2
−1 1 −2
.


1 −2 0
0 1 , y además
En efecto, se tiene P −1 =  1
0
1 0



 

1 0
2
1
0 0
1 −2 0
1
2
0
1   0 −1 0   1
0 1 = 0
2
0 =A
P DP −1 =  0 0
−1 1 −2
0
0 2
0
1 0
−2 −2 −1
También podemos tomar como

−1 0
 0 1
0 0
matriz diagonal D



1 0
0
0
0 ,
0 ,  0 2
0 0 −1
2

−1
 0
0
0
2
0

0
0 ,
1
etc.
pero en cada caso hemos de variar las columnas de P de forma que el orden en que aparecen los autovalores
en D coincida con el orden de los correspondientes autovectores en P . Las matrices P correspondientes a las
anteriores serı́an
 




1
2 0
0
2
1
0
1
2
 0
1 0 ,  0
1
0  , etc.
0
1   0
−1 −2 1
1 −2 −1
1 −1 −2
Cuando la matriz A tenga autovalores con multiplicidad mayor que 1 tendremos que comprobar que cada
autovalor aporta igual número de autovectores linealmente independientes como su multiplicidad.


0 1 1
• Ejemplos. A =  1 0 1 . Es fácil comprobar que σ(A) = {−1, −1, 2}, es decir que λ = −1
1 1 0
es un autovalor de multiplicidad 2, con lo que A será diagonalizable en caso deque este
pueda
 autovalor


1
0
aportar dos autovectores linealmente independientes. Si tenemos en cuenta que  0  y  1  son
−1
 −1
1
autovectores, liealmente independientes asociados a λ = −1, bastará con tomar el autovector  1  asociado
1


1
0 1
1 1  y tener como matriz diagonal equivalente con A,
a λ = 2, para formar la matriz de paso P =  0
−1 −1 1


−1
0 0
D =  0 −1 0 .
0
0 2
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6
Es muy
importante hacer notar que no toda matriz es diagonalizable. Sirva como ejemplo la matriz
1 1
, que tiene a λ = 1 como autovalor, de multiplicidad 2, el cual no puede aportar dos autovectores
0 1
linealmente independientes.
4
Potencias de matrices
El cálculo de potencias de una matriz cuadrada puede convertirse en algo pesado y largo deefectuar. Este

a 0 0
no es el caso cuando se trata de matrices diagonales. Si tomamos, por ejemplo, la matriz D =  0 b 0 ,
0 0 c
tenemos entonces que


  2

a 0 0
a 0 0
a
0 0
D2 =  0 b 0   0 b 0  =  0 b2 0 
0 0 c
0 0 c
0 0 c2
al igual que
a2
3
2

0
D =D D=
0


0
a 0
0  0 b
c2
0 0
0
b2
0
y de hecho se puede demostrar que en general, si n ∈ N:
 n
a
0
Dn =  0 bn
0
0
  3
0
a
0 = 0
c
0

0
0 
c3
0
b3
0

0
0 
cn
Vamos a aprovechar la sencillez en el cálculo de potencias de matrices diagonales, para simplificar el cálculo
de potencias de matrices diagonalizables.
Sea A = P DP −1 . Entonces A2 = (P DP −1 )(P DP −1 ) = P D2 P −1 , y A3 = A2 A = (P D2 P −1 )(P DP −1 ), y
en general An = P Dn P −1 .
• Ejemplo. Volavamos nuevamente a la matriz A =
A = P DP −1 =
1
−1
0
3n
1
1
2
1
1
0
1
2
0
3
. Sabemos que
 1
 2


1
2
−
1 
2 


1
2
y por tanto
An =
1
−1
1
1
1
0
 1
 2


1
2
−
1   3n + 1
2  
2
=
  n
1
3 −1
2
2
Por ejemplo:
4
A =
41
40
40
41
−
3n − 1 
2



n
3 +1
2
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4.1
7
Aplicaciones de la diagonalización.
Tenemos una viga que está inicialmente deteriorada en un 25%. Mediante un proceso catalı́tico, se consigue
que mensualmente se recupere un 40% de la zona deteriorada, aunque se sigue deteriorando un 20% de la zona
sana. ¿Cuál es la situación a los 3 meses? ¿Y al cabo de mucho tiempo?.
Llamemos xn , yn a la cantidad de zona sana y deteriorada, respectivamente, en el mes n (de forma que
xn + yn = total de la viga). Entonces:
xn+1 = 0.8xn + 0.4yn
yn+1 = 0.2xn + 0.6yn
siendo x1 = 0.75L, y1 = 0.25L, y L es el total de la viga (longitud, masa, volumen o lo que queramos). Usando
notación matricial, podemos escribir
xn+1
0.8 0.4
xn
4 2
xn
=
= 0.2
yn+1
0.2 0.6
yn
1 3
yn
Si denotamos v n =
xn
yn
4
, A=
1
2
3
, podemos escribir que:
v n+1 = (0.2)n An v 1
Por tanto, necesitamos conocer las potencias de A, y para ello vamos a diagonalizar.
4−λ
2 = λ2 − 7λ + 10 = 0 ⇒ λ = 2 ó λ = 5
1 3−λ luego σ(A) = {2, 5}.
λ=2
2
1
x
y
0
=
0
1
luego podemos tomar como autovector
.
−1
λ=5
2
1
2
x
0
=
−2
y
0
2
el autovector elegido puede ser
.
1
Es decir D =
n
2
0
A =
−1
1
0
5
1
−1
y P =
2
1
2n
0
1
−1
2
1
0
n
5
⇒
2x + 2y = 0
x+y =0
⇒
⇒ y = −x
−x + 2y = 0
x − 2y = 0
⇒ x = 2y
. Teniendo en cuenta que P −1
 1
 3


1
3
−
2   2n + 2.5n
3  
3
=
 
1
5n − 2n
3
3
2 
3 
, tendremos

1
3
n
n 
2.5 − 2.2
 1
 3
=

1
3
−
−
3
5n + 2.2n
3



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8
Por lo tanto
xn+1
yn+1
 2n + 2.5n

3
= (0.2)n 

n
5 − 2n
3
−
2.5n − 2.2n 
 2n

( 3 0.25 + 23 5n )L
 0.75L
3


= (0.2)n 
 0.25L
1 n
0.25 n
5n + 2.2n
( 3 5 − 3 2 )L
3
Es decir
n
xn+1 = (0.2)n ( 23 0.25 + 23 5n )L
yn+1 = (0.2)n ( 13 5n −
Dado que 0.2 =
0.25 n
3 2 )L
1
5
xn+1 =
2 n 0.25
5
3
yn+1 = ( 13 −
0.25
3
+
2
3
L
2 n
L
5
Al sustituir n = 2 en las últimas igualdades, se obtiene que a los tres meses la cantidad deteriorada de la
viga es y3 = 0.32L, es decir, un 32%. Mientras que para saber la situación después de 10 meses, bastará con
sustituir n = 9; obteniéndose y10 = 0.3333L, es decir, un 33.33%.
Si queremos conjeturar qué va a ocurrir a largo plazo, debemos hacer tender n → ∞, con lo que
lim xn+1 =
n→∞
2
L ;
3
lim yn+1 =
n→∞
1
L
3
Luego, concluimos que con el paso del tiempo como mucho podremmos recuperar las dos terceras partes de
la viga.
5
Ejercicios.
1. Determinar los autovalores y los correspondientes autovectores de las siguientes matrices
3 4
4 2
1 1
1 2
(a)
(b)
(c)
(d)
5 2
1 5
1 1
3 2






1 1 2
4
1 1
1 0 −4
5 4 
4 
(f)  0 2 2 
(g)  2
(e)  0 5
−4 4
3
−1 1 3
−1 −1 0






2 2 1
0 −2 −2
4
6
6
1
2 
3
2  .
(h)  1 3 1 
(i)  −1
(j)  1
1 2 2
−1 −1
2
−1 −5 −2
2. En el ejercicio anterior, diagonalizar en los casos en que sea posible.
3. Hallar los autovalores y autovectores de la matriz

0 1
 2 1

 0 0
0 0
4. Dada la matriz A =
−7 −6
12 10
5
6
0
1

9
8 
 .
3 
−2
, calcular la potencia enésima An (diagonalizar).
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5. Hallar la potencia enésima de la matriz
a
1
1
a
9
, siendo a un número real.
6. Dada la matriz A,

1
 0
1
0
1
0

1
0  ,
1
1
0
1
3
calcular sus autovalores, autovectores y An .
7. Dada la matriz
A=
,
(a) Calcular los autovalores de A, A2 y A3 . ¿Qué relación hay entre ellos?
(b) Calcular los autovalores de 2A y −3A. ¿Qué observas?
8. El teorema de Cayley-Hamilton dice que toda matriz cuadrada A satisface su propia ecuación caracterı́stica. Comprobarlo en el caso particular de la matriz
3 4
A=
.
1 2
Calcular A2 , A3 y A4 utilizando dicho resultado.
9. Sea p(λ) el polinomio caracterı́stico de la matriz

1
A= 2
1

−1 −2
4
2  .
1
4
Demostrar que p(A) = 0.
10. La interacción entre las lechuzas y las ratas, en un bosque, se puede modelizar mediante la ecuación en
diferencias

1
1

 Lk+1 = Lk + Rk

2
4


5
1
 R
k+1 = − Lk + Rk
2
4
donde Lk es la cantidad de lechuzas en el mes k y Rk la cantidad de ratas (en miles) en el mes k. Calcular
la población de lechuzas y ratas en cada mes k ≥ 1, sabiendo que L1 = 15 y R1 = 14.
11. Un método para estimar los autovalores de una matriz es el siguiente: elegimos un vector inicial v0 ,
de forma que la mayor de sus componentes (en valor absoluto) sea 1. Calculamos Av0 , y tomamos µ0
como la mayor de las componentes de Av0 (en valor absoluto). Ponemos v1 = (1/µ0 )Av0 , y repetimos el
procedimiento. Con ello construimos sucesiones {µk } y {vk }. Se puede probar entonces que µk tiende al
mayor autovalor de A, mientras que vk tiende a un autovector asociado.
Usar este algoritmo para calcular (usando MAPLE por ejemplo) el mayor autovalor de las matrices:
6 5
8 5
A=
y
B=
,
1 2
6 7
tomando
v0 =
0
1
.