definiciones topologigas

Matemáticas Aplicadas
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DEFINICIONES TOPOLOGIGAS
Bola Abierta en C
Se llama bola abierta en C de un punto z0 , al conjunto de números complejos
denido por:
Br (z0 ) = {z ∈ C | d(z, z0 ) = |z − z0 | < r}
Bola Abierta Reducida
Consta de los mismos puntos que denen a la bola abierta, salvo que el punto
z0 no pertenece al conjunto, por tanto:
B̄r (z0 ) = {z ∈ C | 0 < d(z, z0 ) = |z − z0 | < r}
Punto Interior de un Conjunto
Un punto es interior a un conjunto, si existe al menos una bola bierta centrada
en él contenida totalmente en ese conjunto.
Punto Exterior de un Conjunto
Un punto es exterior de un conjunto, si existe al menos una bola abierta con
centro en él, que no contiene ningún punto de ese conjunto.
Punto Frontera de un Conjunto
Si un punto no es un punto interior, ni punto exterior de un conjunto, entonces
es un punto frontera de ese conjunto. La totalidad de los puntos frontera de
un conjunto se le llama la frontera de ese conjunto.
También, un punto es frontera de un conjunto, si toda bola abierta centrada
en ese punto contiene al menos un punto que pertenece al conjunto y un
punto que no pertenece al conjunto.
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Luis Villamizar
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Conjunto Abierto
Un conjunto se denomina conjunto abierto si no contiene a ninguno de sus
puntos frontera, es decir, el conjunto es abierto si y sólo si todos sus puntos
son interiores.
Punto de Acumulación
Un punto es un punto de acumulación de un conjunto, si toda bola abierta
centrada en él, contiene al menos un punto de ese conjunto distinto de él.
Conjunto Cerrado
Un conjunto es un conjunto cerrado, si contiene a todos sus puntos frontera.
También, puede decirse que es cerrado si todos sus puntos de acumulación le
pertenecen.
Conjunto Complementario
Se dene el complementario de un conjunto, como el conjunto de puntos que
no le pertenecen, es decir:
AC = C − A
A ∪ AC = C
A ∩ AC = ∅
Conjunto Acotado
Un conjunto es un conjunto acotado, si existe un número real positivo r tal
que todo punto de ese conjunto satisface la expresión |z| < r, ∀z ∈ A.
Conjunto Conexo
Un conjunto se dice conexo, si cada par de puntos en él se pueden unir por
una linea poligonal, consistente en un número nito de segmentos sucesivos
que esten totalmente contenidos en ese conjunto.
A veces se habla de conjunto simplemente conexo y multiplemente conexo,
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en general en un conjunto simplemente conexo toda curva cerrada contenida
en él, encierrra solo puntos que pertenecen al conjunto.
Dominio
Se dene como un conjunto abierto y conexo.
Región
Se llama región a la unión de un dominio y posiblemente con algunos, ninguno
o todos sus puntos frontera.
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