Espacios conexos

CAPı́TULO 10
Espacios conexos
Tema 1.
Definición y primeros ejemplos
Definición 10.1.1. Diremos que un e.t. (X, T ) es conexo si no existen abier∅
tos no vacı́os A, B ∈ T tales que A, B 6= ∅, A ∪ B = X. Diremos que K ⊂ X es
conexo si (K, TK ) es conexo.
Observaciones 10.1.2.
1. Utilizando la terminologı́a de recubrimientos podrı́amos decir que un espacio topológico es conexo si no se puede recubrir por abiertos propios
disjuntos.
2. Dado que la definición de conexión sólo involucra los conceptos de recubrimiento, de abierto y de conjuntos disjuntos, que obviamente se preservan
por homeomorfismo, se comprueba que la propiedad de conexión es una
propiedad topológica (ver Proposición 10.1.5).
Proposición 10.1.3. Sea (X, T ) un e.t. Entonces las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
(1) X es conexo.
(2)
(3)
(4)
(5)
∅
No existen cerrados no vacı́os A, B ∈ CT tales que A, B 6= ∅, A ∪ B = X.
T ∩ CT = {∅, X}.
∀M ⊂ X propio, se tiene que Fr(M ) 6= ∅.
No existe ninguna aplicación continua y suprayectiva entre (X, T ) y ({0, 1}, T d ),
donde Td es la topologı́a discreta.
Ejemplos 10.1.4. Los espacios
1.
2.
3.
4.
5.
X1
X2
X3
X4
X5
= (0, 1) ∪ (2, 3),
= (0, t) ∪ (t, 1),
= [0, 1) ∪ (2, 3], y
= [0, t) ∪ (t, 1],
= [0, 1] ∪ [2, 3]
113
114
10. ESPACIOS CONEXOS
no son conexos, mientras que R sı́ es conexo. En particular, la conexión no es
propiedad hereditaria.
Proposición 10.1.5. Sean X e Y espacios topológicos. Sea K conexo y f :
X → Y una aplicación continua, entonces f (K) ⊂ Y es conexo. En particular,
conexión es una propiedad topológica.
Ejemplos 10.1.6.
1.
2.
3.
4.
5.
X = (0, 1) es conexo (en particular, todo intervalo abierto es conexo).
La circunferencia es conexa.
(0, 1) no es homeomorfo a (0, 1) ∪ (2, 3).
[0, 1) no es homeomorfo a (0, 1).
[0, 1] no es homeomorfo a la circunferencia.
Proposición 10.1.7. Sea A ⊂ X un subconjunto conexo de un espacio topológico y sea E ⊂ X tal que A ⊂ E ⊂ A. Entonces E es conexo.
Ejemplos 10.1.8. Mostraremos más ejemplos de conexión:
1.
2.
3.
4.
A ⊂ R es conexo si y sólo si es un intervalo (por ejemplo, Q no es conexo).
X 6= ∅ discreto es conexo si y sólo si #X = 1.
Si X es indiscreto, entonces es conexo.
Si X es infinito cofinito, entonces es conexo.
Ejercicio 10.1. Consideremos X espacio topológico localmente compacto,
Hausdorff y no compacto. Consideremos X ∗ su compactificación de Alexandroff
(ver Teorema 8.5.2). Demuestra que si X es conexo entonces X ∗ es conexo. Comprueba con un ejemplo que el recı́proco no es cierto.
Observación 10.1.9. Si A ⊂ X es un subconjunto conexo de X, y U es un
abierto-cerrado de X: si A ∩ U 6= ∅, entonces A ⊂ U . El motivo es que si A 6⊂ U ,
entonces ∅ 6= A ∩ U ( A es un abierto-cerrado propio de A, lo cual contradice que
A es conexo.
Veremos cómo se comporta la conexión con respecto a la unión, producto y
suma de espacios topológicos.
Proposición 10.1.10. Sean X e Y e.t’s (no vacı́os), entonces:
1. Si Xλ ⊂ X (λ ∈ Λ 6= ∅) es una familia de subconjuntos conexos no vacı́os
S
de X, entonces λ∈Λ Xλ ⊂ X es conexo si se cumple una de las propiedades
siguientes:
T
(a) λ∈Λ Xλ 6= ∅.
(b) Λ = N y Xn ∩ Xn+1 6= ∅, ∀n ∈ N.
TEMA 1. DEFINICIÓN Y PRIMEROS EJEMPLOS
115
(c) Λ = {0, 1, ..., k} y Xn ∩ Xn+1 6= ∅, ∀n ∈ Λ \ {k}.
2. X × Y es conexo si y sólo si X e Y lo son.
3. Sea f : X → Y una identificación. Si Y es conexo y además f −1 (y) es conexo
∀y ∈ Y , se tiene que X es conexo.
Ejemplo 10.1.11. Por la Proposición 10.1.10(2), sabemos que Rn es conexo.
Ahora, como Sn es la compactificación de Alexandroff de Rn (ver Ejemplo 8.5.5)
entonces, por el Ejemplo 10.1, se tiene que Sn es conexo.
Ejercicio 10.2. Sea f : X → Y una aplicación continua y sea X e.t. conexo.
Demuestra que el grafo de f , es decir, el conjunto Γf := {(x, f (x)) | x ∈ X} ⊂
X × Y , es conexo.
Siguiendo con el razonamiento utilizado en el Ejemplo 10.1.6(3) parece natural
preguntarse si A3 := (0, 1)∪(2, 3)∪(4, 5) es o no homeomorfo a A2 := (0, 1)∪(2, 3).
La respuesta parece intuitivamente negativa a pesar de que ambos conjuntos son
no conexos. El motivo: A2 es unión disjunta de dos intervalos (espacios conexos)
mientras que A3 es unión disjunta de tres intervalos, claro que A1 := (0, 1) =
(0, 21 ] ∪ ( 21 , 1) también es unión disjunta de dos intervalos, y en cambio no es homeomorfo a A2 . En lo que sigue refinaremos esa idea de descomponer un conjunto
en “trozos” disjuntos y conexos de manera adecuada.
Sea X un espacio topológico. Consideremos en X la siguiente relación:
x ∼ y ⇔ ∃K ⊂ X conexo tal que x, y ∈ K.
Ejercicio 10.3. Demuestra que “∼” es una relación de equivalencia.
Lema 10.1.12. Sea K una clase de equivalencia de la relación “∼”. Entonces,
(1) Si B es conexo y K ∩ B 6= ∅, entonces B ⊂ K (Observación 10.1.9).
(2) K es conexo.
Definición 10.1.13. Las componentes conexas de X son las clases de equivalencia de esta relación.
Ejemplo 10.1.14. Por el Ejemplo 10.1.8(1), las componentes conexas de (0, 1)∪
(2, 3) son los intervalos (0, 1) y (2, 3). Es más, veamos que dos puntos x, y de X ⊂ R
están en la misma componente conexa de X si y sólo si [x, y] ⊂ X (suponemos
que x < y).
Propiedades 10.1.15 (Componentes conexas). Sea (X, T ) e.t. conexo, entonces se tiene que
(1) X es unión disjunta de sus componentes conexas.
116
10. ESPACIOS CONEXOS
(2) Sea x ∈ X y sea Kx la componente conexa que contiene a x, entonces Kx es
el mayor conexo que contiene a x (por la relación de orden ⊂). 1
(3) Si A ⊂ X es un conexo no vacı́o, entonces existe una única componente conexa
K tal que A ⊂ K.
(4) Las componentes conexas son cerrados.
(5) Sea KX el espacio cociente de X por la relación “∼”. Entonces KX admite
una estructura de e.t. cociente y cumple que si X ≈ Y entonces KX ≈ KY .
En particular, el cardinal de KX es un invariante de X por homeomorfismo.
(6) X es conexo si y sólo si posee una sola componente conexa.
(7) Si ∅ 6= A ⊂ X es un abierto-cerrado conexo, entonces A es una componente
conexa.
(8) Si ∅ 6= A ⊂ X es un abierto-cerrado, entonces A es unión de componentes
conexas de X.
Definición 10.1.16. Diremos que un espacio (X, T ) es totalmente desconectado si cada punto de X constituye una componente conexa.
Ejemplo 10.1.17. Un ejemplo sencillo de espacio totalmente desconectado es
el de los espacios topológicos discretos. En (X, Td ) todo punto es abierto-cerrado
y conexo, y por lo tanto (Propiedad 10.1.15(7)) componente conexa. Ası́ pues,
(X, Td ) es totalmente desconectado.
Ejemplo 10.1.18. Otros ejemplos de espacios totalmente desconectados son
(Q, Tu |Q ) y el discontinuo de Cantor, C. En ambos casos, utilizando el Ejemplo 10.1.14 y el hecho de que ningún intervalo no unipuntual está contenido ni
en Q ni en C (Propiedad 8.1.20(5)). obtenemos que únicamente los puntos son
conexos, y por tanto componentes conexas.
Ejemplo 10.1.19. Sea X := n1 n∈N como subespacio de R. Como X hereda
la topologı́a discreta (Ejercicio 2.25), entonces el Ejemplo 10.1.17 implica que X
es totalmente desconectado.
Ahora, consideremos Y := X ∪ {0} de nuevo como subespacio de R. Obsérvese
que el punto 0 no es aislado, y por tanto {0} no es abierto en Y , ası́ pues Y no es
un espacio discreto. En cambio, {0} no está en ninguna componente de las de X
ya que ({0, n1 } no es conexo) entonces Y también es totalmente desconectado.
Ejemplo 10.1.20. Por los razonamientos utilizados en los ejemplos anteriores
es inmediato probar que X ⊂ R es totamente desconectado si y sólo si X no
contiene ningún intervalo (no unipuntual).
1Es
decir, si A ⊂ X es conexo y contiene a x, entonces A ⊂ Kx .