Conexión

Lección
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Conexión
Estudiamos la propiedad topológica que nos va a permitir obtener una versión general para
espacios métricos del teorema del valor intermedio que conocemos para funciones reales de
variable real.
10.1.
Motivación
El citado teorema del valor intermedio afirma que la imagen por una función continua de un
intervalo es un intervalo. Es natural preguntarse qué condición debe cumplir un espacio métrico
E para poder asegurar que la imagen de toda función continua de E en R es un intervalo.
Para encontrar esta condición, supongamos que f : E → R es continua, pero su imagen
no es un intervalo. Por la caracterización de los intervalos, existen α, β ∈ f (E) , con α < β , y
λ ∈ ] α , β [ tal que λ ∈
/ f (E) . Consideramos entonces los conjuntos
U = {x ∈ E : f (x) < λ}
y
V = {x ∈ E : f (x) > λ}
Como f es continua, U y V son subconjuntos abiertos de E , ya que son las imágenes inversas
por f de dos semirrectas abiertas de R . Por ser α ∈ f (E) , existe a ∈ E tal que f (a) = α < λ
luego a ∈ U y U 6= 0/ . Análogamente, de β ∈ f (E) deducimos que V 6= 0/ . Además, como
λ∈
/ f (E) , para todo x ∈ E se tiene que, o bien f (x) < λ y x ∈ U , o bien f (x) > λ y x ∈ V ,
así que E = U ∪V . Finalmente, es evidente que U ∩V = 0/ . En resumen, si existe una función
continua f : E → R tal que f (E) no es un intervalo, entonces E se puede expresar como unión
de dos subconjuntos abiertos, no vacíos y disjuntos.
Recíprocamente, supongamos que E = U ∪ V , donde U y V son abiertos, no vacíos y
disjuntos. Podemos entonces definir f (u) = 1 para todo x ∈ U y f (v) = 0 para todo v ∈ V ,
obteniendo una función f : E → R . Es obvio que f U y f V son continuas, pues son funciones
constantes, pero U y V son abiertos, luego del carácter local de la continuidad deducimos que
f es continua, pero obviamente f (E) = {0 , 1} no es un intervalo. Si consideramos el conjunto
{0 , 1} como subespacio métrico de R , con lo que en {0 , 1} tenemos la distancia discreta,
podemos ver f como una función continua de E en {0 , 1} que no es constante.
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10. Conexión
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Queda muy clara la condición necesaria y suficiente que debe cumplir un espacio métrico
E para poder asegurar que la imagen de toda función continua de E en R es un intervalo, o lo
que es lo mismo, para que toda función continua de E en {0 , 1} sea constante.
10.2.
Espacios métricos conexos
Ha quedado motivada la siguiente definición:
Decimos que un espacio métrico E es conexo, cuando no se puede expresar como unión de
dos subconjuntos abiertos, no vacíos y disjuntos. Esta condición negativa, se puede reformular
para convertirla en una implicación. Decir que dos subconjuntos abiertos de E , digamos U y
V , no pueden cumplir las cuatro condiciones U ∪V = E , U ∩V = 0/ , U 6= 0/ y V 6= 0/ , equivale
obviamente a decir que, si U y V cumplen algunas de esas condiciones, no pueden cumplir las
restantes. Esto deja varias posibilidades entre las que destacamos la más habitual:
U = U ◦ , V = V ◦ , U ∪V = E , U ∩V = 0/
=⇒
U = 0/ o V = 0/
A su vez, esta implicación puede expresarse de forma que sólo aparezca uno de los conjuntos,
digamos U. Las condiciones U ∪V = E y U ∩V = 0/ equivalen a V = E \U , y entonces, decir
que V es abierto equivale a decir que U es cerrado. En cuanto a la conclusión, es claro que
V = 0/ equivale a U = E . Por tanto, la implicación anterior equivale a
U ⊂E, U◦ =U = U
=⇒
U = 0/ o U = E
Así pues, un espacio métrico E es conexo si, y sólo si, 0/ y E son los únicos subconjuntos de E
que son a la vez abiertos y cerrados. Resaltamos que la conexión es claramente una propiedad
topológica, se expresa en términos de conjuntos abiertos y se define de la misma forma para
espacios topológicos cualesquiera.
Recogemos en un enunciado la caracterización de los espacios métricos conexos que hemos
usado como motivación.
Para un espacio métrico E , las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) E es conexo.
(ii) La imagen de toda función continua de E en R es un intervalo.
(iii) Toda función continua de E en {0, 1} es constante.
Repasamos la demostración, pues ya la hemos hecho antes.
(i) ⇒ (ii) . Sea f : E → R una función continua. Para probar que f (E) es un intervalo, tomamos
α, β ∈ f (E) tales que α < β , y a, b ∈ E tales que f (a) = α y f (b) = β . Fijado λ ∈ ] α , β [ ,
debemos probar que λ ∈ f (E) . Para ello consideramos los conjuntos abiertos
U = f −1 ] − ∞ , λ [
y
V = f −1 ] λ , +∞ [
Tenemos U 6= 0/ porque a ∈ U , y V 6= 0/ porque b ∈ V . También es evidente que U ∩ V = 0/ .
Por ser E conexo, no podrá ser E = U ∪V , luego existe x ∈ E \ (U ∪V ) . Entonces x ∈
/ U, luego
f (x) > λ , y x ∈
/ V , luego f (x) 6 λ . Por tanto, λ = f (x) ∈ f (E) como queríamos.
10. Conexión
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(ii) ⇒ (iii) . Toda función continua f : E → {0, 1} es también una función continua de E en
R , luego f (E) es un intervalo contenido en {0, 1} . Entonces, f (E) = {0} o bien f (E) = {1} ,
así que f es constante.
(iii) ⇒ (i) . Si U es un subconjunto abierto y cerrado de E , podemos considerar la función
característica χ U : E → {0, 1} definida por
χ U (x) = 1 ∀ x ∈ U
y
χ U (x) = 0 ∀ x ∈ E \U
Puesto que U y E \U son abiertos y f es constante en cada uno de esos conjuntos, el carácter
local de la continuidad nos dice que f es continua. Por tanto, f es constante, lo que claramente
implica que U = E o U = 0/ .
Lógicamente, decimos que un subconjunto A de un espacio métrico E es conexo, cuando A
es un espacio métrico conexo con la distancia inducida por la de E . Es importante resaltar que
entonces, en la definición de espacio métrico conexo debemos obviamente usar subconjuntos
abiertos de A, que no tienen por qué ser abiertos de E .
El teorema del valor intermedio nos dice que todo intervalo es un subconjunto conexo de R ,
pues verifica la afirmación (ii) del enunciado anterior. Recíprocamente, si A es un subconjunto
conexo de R , la inclusión f : A → R , dada por f (x) = x para todo x ∈ A , es continua, luego
f (A) = A es un intervalo. Tenemos así una caracterización topológica de los intervalos:
Un subconjunto de R es conexo si, y sólo si, es un intervalo.
Queda claro ahora que el siguiente resultado es la generalización, para funciones continuas
entre espacios métricos cualesquiera, del teorema del valor intermedio:
Teorema. Sean E y F espacios métricos y f : E → F una función continua. Si E es
conexo, entonces f (E) es un subconjunto conexo de F.
Demostración. Para toda función continua
g : f (E) → R tenemos que g ◦ f es continua,
luego de ser E conexo deducimos que g ◦ f (E) es un intervalo. Así pues, la imagen de toda
función continua de f (E) en R es un intervalo, luego f (E) es conexo.
Alternativamente, podemos usar directamente la definición de espacio métrico conexo. Si U
es un subconjunto abierto y cerrado de f (E), tenemos que f −1 (U) es un subconjunto abierto y
cerrado de E, luego de ser E conexo deducimos que, o bien f −1 (U) = E y U = f (E), o bien
f −1 (U) = 0/ y U = 0/ .
10.3.
Conjuntos convexos
A poco que se piense, comprobar en la práctica que un espacio métrico es conexo no es fácil.
Por ejemplo, sabemos que R es conexo, pero no está nada claro que RN lo sea, para N > 1 .
Si queremos sacar provecho de la versión recién probada del teorema del valor intermedio,
debemos disponer de condiciones suficientes para que un espacio métrico sea conexo, que sean
fáciles de comprobar. Para conseguirlas, empezamos caracterizando de nuevo la conexión:
10. Conexión
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Un espacio métrico E es conexo si, y sólo si, para cualesquiera dos puntos x, y ∈ E existe
un conjunto conexo Cx , y ⊂ E , tal que x, y ∈ Cx , y .
Obviamente, si E es conexo, basta tomar Cx , y = E para cualesquiera x, y ∈ E . Para probar
el recíproco, que es lo interesante, suponemos que E no es conexo y escribimos E = U ∪ V
donde U y V son abiertos no vacíos disjuntos. Tomados u ∈ U y v ∈ V existe un subconjunto
conexo de E, que denotaremos simplemente por C , tal que x, y ∈ C . Entonces U ∩C y V ∩C
son subconjuntos abiertos de C , no son vacíos, porque u ∈ U ∩C y v ∈ V ∩C , es evidente que
(U ∩ C) ∩ (V ∩ C) = 0/ , y también tenemos C = (E ∩ C) = (U ∪ V ) ∩ C = (U ∩ C) ∪ (V ∩ C) .
Por tanto C no es conexo, lo cual es una contradicción.
Así pues, podemos decir que un espacio métrico E es conexo cuando cualesquiera dos
puntos de E están conectados, en el sentido de que existe un subconjunto conexo de E que
los contiene. Es bien fácil adivinar cómo podemos conectar dos puntos de un espacio normado,
basta usar el segmento que los une.
Un subconjunto E de un espacio vectorial X es convexo cuando, para cualesquiera dos
puntos de E, el segmento que los une está contenido en E, es decir:
x, y ∈ E =⇒
(1 − t) x + t y : t ∈ [ 0 , 1 ] ⊂ E
Resaltamos que la convexidad es una propiedad puramente algebraica, tiene sentido en cualquier
espacio vectorial. Es claro que un subconjunto de R esconvexo si, y sólo si, es un intervalo,
pues para cualesquiera x, y ∈ R con x < y , se tiene que (1 − t) x + t y : t ∈ [ 0 , 1 ] = [ x, y ] .
Tenemos pues una caracterización algebraica de los intervalos y, para un subconjunto de R , ser
convexo equivale a ser conexo. En todo espacio normado se tiene una implicación:
Todo subconjunto convexo de un espacio normado es conexo.
Sea E un subconjunto convexo de un espacio normado y fijemos x, y ∈ E . Consideramos la
función f : [ 0 , 1 ] → E dada por f (t) = (1 − t) x + t y para todo t ∈ [ 0 , 1 ] y observamos que
f es continua. De hecho, para s,t ∈ [ 0 , 1 ] se tiene claramente
k f (s) − f (t) k = k (t − s)(x − y) k = |t − s | k x − y k
Como [ 0 , 1 ] es conexo y f es continua, deducimos que la imagen de f es un subconjunto
conexo de E, que claramente contiene a los puntos f (0) = x y f (1) = y . Puesto que x e y eran
puntos arbitrarios de E, el resultado anterior nos dice que E es conexo.
Por ejemplo, vemos que el propio espacio normado X es conexo, e igual le ocurre a cualquier
bola en X , abierta o cerrada, que siempre es un conjunto convexo. En efecto, si a ∈ X y r ∈ R+ ,
para cualesquiera x, y ∈ B(a, r) y t ∈ [ 0, 1 ] se tiene
k (1 − t) x + t y − a k = k (1 − t)(x − a) + t(y − a) k
6 (1 − t) k x − a k + t k y − a k < (1 − t) r + t r = r
Para una bola cerrada el razonamiento es análogo. Por supuesto, todo lo dicho para un espacio
normado, se aplica en particular a RN con cualquier norma.
10. Conexión
10.4.
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Conexión por arcos
Si se analiza el último resultado, la convexidad de E sólo se utiliza para conseguir que,
dados dos puntos x, y ∈ E, exista una función continua f : [ 0, 1 ] → E tal que f (0) = x y
f (1) = y . En general, la imagen de una tal función no tiene por qué ser un segmento, pero
puede interpretarse como una curva o arco que une dichos puntos. Ello sugiere la siguiente
definición, que tiene sentido para cualquier espacio métrico.
Se dice que un espacio métrico E es conexo por arcos, cuando para cualesquiera x, y ∈ E
existe una función continua f : [ 0 , 1 ] → E , tal que f (0) = x y f (1) = y . Como la imagen de
f es un subconjunto conexo de E que contiene los puntos x e y , deducimos que
Todo espacio métrico conexo por arcos es conexo.
Resaltamos que la conexión por arcos también es una propiedad topológica, pues si sustituimos
la distancia de E por otra equivalente, las funciones continuas de [ 0 , 1 ] en E siguen siendo las
mismas que teníamos para la distancia de partida.
Aunque no vamos a probarlo, conviene saber que el recíproco del último resultado no es
cierto. De hecho, existe un subconjunto de R2 que es conexo, pero no es conexo por arcos, y
lo mismo ocurre en todo espacio normado de dimensión mayor que 1. Por tanto, para espacios
métricos tenemos dos generalizaciones distintas de la noción de intervalo: conexión por arcos y
conexión. La primera implica la segunda pero en general el recíproco no es cierto.
Tiene ahora interés recordar que, cuando en un espacio normado hemos probado que todo
subconjunto convexo es conexo, de hecho hemos obtenido la conexión por arcos:
Todo subconjunto convexo de un espacio normado es conexo por arcos.
Así pues, para subconjuntos de un espacio normado, disponemos de tres generalizaciones
de la noción de intervalo: convexidad, conexión por arcos y conexión. Cada una de ellas implica
la siguiente. Ya hemos comentado que la tercera no implica la segunda. En cualquier espacio
normado de dimensión mayor que 1, vamos a dar ahora un ejemplo de un conjunto conexo por
arcos, y en particular conexo, que no es convexo.
Si X es un espacio normado de dimensión mayor que 1 , entonces X \ {0} es conexo por
arcos.
Sean x, y ∈ X \ {0} y supongamos primeramente que x e y son linealmente independientes.
Entonces definimos f : [ 0 , 1 ] → X \ {0} por f (t) = (1 − t) x + t y 6= 0 para todo t ∈ [ 0 , 1 ] ,
obteniendo como sabemos una función continua que verifica f (0) = x y f (1) = y .
Cuando x e y son linealmente dependientes, como la dimensión de X es mayor que 1,
existe z ∈ X que es linealmente independiente de x , luego también de y . Por tanto, existen
dos funciones continuas f1 , f2 : [ 0 , 1 ] → X \ {0} tales que f1 (0) = x , f1 (1) = z = f2 (0) y
f2 (1) = y . Definimos entonces f : [ 0 , 1 ] → X \ {0} por
f (t) = f1 (2t) ∀t ∈ [ 0 , 1/2 ]
y
f (t) = f2 (2t − 1) ∀t ∈ ] 1/2 , 1 ]
10. Conexión
62
Es claro que f (0) = x y f (1) = y , luego bastará probar que f es continua. El carácter local
de la continuidad nos dice claramente que f es continua en [ 0 , 1/2 [ y en ] 1/2 , 1 ] .
Para probar que f es continua en el punto 1/2 , anotamos que f (1/2) = f1 (1) = z = f2 (0)
y fijamos ε > 0 . Por ser f1 continua en 1 y f2 continua en 0 , existen δ1 , δ2 ∈ ] 0, 1 [ tales que
k f1 (s) − z k < ε ∀ s ∈ ] 1 − δ1 , 1 ]
y
k f2 (s) − z k < ε ∀ s ∈ [ 0 , δ2 [
Tomando δ = mı́n{ δ1 /2 , δ2 /2 } comprobaremos que
|t − (1/2) | < δ =⇒ k f (t) − z k < ε
Para ello basta distinguir los dos casos que pueden darse:
(1/2) − δ < t 6 1/2 ⇒ 1 − δ1 < 2t 6 1 ⇒ k f (t) − z k = k f1 (2t) − z k < ε
1/2 < t < (1/2) + δ ⇒ 0 < 2t − 1 < δ2 ⇒ k f (t) − z k = k f2 (2t − 1) − z k < ε
donde hemos usado s = 2t o s = 2t − 1 , según el caso.
10.5.
Ejercicios
1. Sea F un conjunto no vacío con la distancia discreta. Probar que si E es un espacio
métrico conexo, toda función continua de E en F es constante.
2. Probar que, en todo espacio métrico, el cierre de un conjunto conexo es conexo.
3. Sea E un espacio métrico tal que, para cualesquiera x, y ∈ E , existen un intervalo J y
una función continua g : J → E , tales que x, y ∈ g(J) . Probar que E es conexo por arcos.
4. Sean C y D subconjuntos de un espacio métrico, tales que C ∩ D 6= 0/ . Probar que, si C y
D son conexos, entonces C ∪ D es conexo, mientras que si C y D son conexos por arcos,
entonces C ∪ D es conexo por arcos.
5. Probar que el conjunto A = (x, y) ∈ R2 : x y > 0 es conexo por arcos. Probar también
que A ◦ no es conexo.
6. Sea X un espacio normado. Probar que para cualesquiera x, y ∈ X \ {0} se tiene
x
y
2kx − yk
−
kxk kyk 6
kxk
Deducir que la función ϕ : X \ {0} → R , dada por ϕ(x) = 1/k x k para todo x ∈ X \ {0} ,
es continua.
7. Probar que, si X es un espacio normado de dimensión
mayor que 1 , para
cualesquiera
a ∈ X y r ∈ R+ , se tiene que la esfera S(a, r) = x ∈ X : k x − a k = r es un conjunto
conexo por arcos.