CAP´ITULO 5 Probabilidad 5.1´Algebra de sucesos

CAPÍTULO
5
Probabilidad
5.1
Álgebra de sucesos
5.1.1
Fenómenos determinı́sticos y aleatorios
En la naturaleza se producen dos tipos de fenómenos:
Determinı́sticos: Son los fenómenos que siempre que se efectúen en las mismas condiciones su resultado es
el mismo. Antes de efectuarlos siempre se sabe el resultado final.
• Si se lanza una misma piedra desde una altura determinada la velocidad de llegada al suelo, en las
mismas condiciones, es siempre la misma.
• Un reloj que funcione correctamente, si marca una cierta hora, dentro de 60′ marcará la siguiente
hora.
Aleatorios: Son los fenómenos que aunque se efectúen en las mismas condiciones no se puede predecir el
resultado final.
• Si se lanza un dado perfecto desde una altura determinada. Hasta que no se efectúe el experimento
no podemos decir qué cara nos saldrá.
• El extraer una carta de un mazo es también un fenómeno aleatorio, no podemos saber qué carta
saldrá.
El cálculo de probabilidades estudia los sucesos aleatorios, que dependen del azar. Al observar un gran
número de fenómenos aleatorios, se observan ciertas leyes, de cierta forma estables, son las llamadas leyes
estadı́sticas.
5.1.2
Espacio muestral
5.1 Definición Recibe el nombre de espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles indescomponibles que pueden darse al efectuar un experimento aleatorio. Se denota con la letra E.
El conjunto E puede ser: finito, infinito numerable o infinito.
Ejemplo
1.
Experimento lanzar un dado y anotar la cara que sale:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Es un espacio muestral finito.
45
Probabilidad
2.
5.1 Álgebra de sucesos
Experimento lanzar una moneda hasta que salga cara.
E = {1a , 2a , 3a , 4a , 5a , 6a , · · · }
Es un espacio muestral infinito numerable.
3.
Espera ante un semáforo en rojo, sabiendo que permanece cerrado 60′′
E = [0, 60]
segundos
Es un espacio muestral infinito
5.2 Definición Se llama cardinal de un conjunto al número de elementos de dicho conjunto. Se denota
por Card(E).
5.1.3
Espacio de sucesos
5.3 Definición Se llama suceso aleatorio de un experimento aleatorio a todo subconjunto del espacio muestral E.
Ejemplo
Consideramos el lanzamiento del dado:
1.
El suceso salir par: A = {2, 4, 6}.
2.
El suceso salir múltiplo de 3: B = {3, 6}.
3.
El suceso menor o igual que 4: C = {1, 2, 3, 4}.
5.4 Definición Se llama espacio de sucesos al conjunto formado por todos los sucesos de un experimento
aletorio. Es el conjunto de las partes de E. Se denota por P(E). El número de subconjuntos, sucesos, es igual
a 2Card(E)
Ejemplo
1.
Lanzamos una moneda al aire:
• E = {c, x} =⇒ Card(E) = 2
• El número de sucesos es 22 = 4. A saber:
P(E) = {∅, {c}, {x}, {c, x}}
2.
Consideramos el lanzamiento del dado entonces Card(E) = 6 por lo tanto el número posible de sucesos
que se pueden dar es 26 = 64.
5.5 Definición Se llama suceso elemental a los subconjuntos unitarios del espacio muestral.
Ejemplo
Salir múltiplo de 5 en el lanzamiento de un dado es un suceso elemental: A = {5}.
5.6 Definición Se llama suceso compuesto a los subconjuntos formados por más de un elemento del espacio
muestral.
Ejemplo
Salir múltiplo de 3 en el lanzamiento de un dado es un suceso compuesto: {3, 6}
5.7 Definición Se llama suceso seguro al suceso formado por todos los resultados posibles. Se denota por
E. Es el suceso que siempre se realiza.
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ESTADÍSTICA
Probabilidad
5.1 Álgebra de sucesos
Ejemplo
Salir mayor que 0 en el lanzamiento de un dado.
5.8 Definición Se llama suceso imposible al suceso que nunca se realiza. Es el subconjunto ∅ del espacio
de sucesos. Se denota como suceso ∅.
Ejemplo
Salir mayor que 6 en el lanzamiento de un dado.
5.9 Definición Se dice que el suceso A está contenido en el suceso B, A ⊂ B, si siempre que se efectúa el
suceso A también se efectúa el B.
Ejemplo
Sea A = {Salir múltiplo de 4} y B = {par} en el lanzamiento de un dado entonces A ⊂ B.
5.10 Definición Se dice que dos sucesos A y B son iguales, A = B, si A ⊂ B y B ⊂ A
5.1.4
Operaciones con sucesos
5.1.4.1
Unión de sucesos
5.11 Definición Dados dos sucesos A y B llamamos unión de A y B, se denota por A ∪ B, al suceso en que
se dan A ó B
Ejemplo
Sea A = {Salir múltiplo de 3} = {3, 6} y B = {par} = {2, 4, 6} entonces
A ∪ B = {2, 3, 4, 6}
5.1.4.2
Intersección de sucesos
5.12 Definición Dados dos sucesos A y B llamamos intersección de A y B, se denota por A ∩ B, al suceso
en que se dan simultánemente A y B
Ejemplo
Sea A = {Salir múltiplo de 3} = {3, 6} y B = {par} = {2, 4, 6} entonces
A ∩ B = {6}
5.1.4.3
Sucesos incompatibles
5.13 Definición Dos sucesos A y B son incompatibles si su intersección es el suceso imposible.
A incompatible con
5.1.4.4
B ⇐⇒ A ∩ B = ∅
Suceso contrario
5.14 Definición Dado el suceso A llamamos suceso contrario de A , se denota por Ac , al suceso que se
realiza si y sólo si no se realiza el suceso A.
Ejemplo
Sea A = {Salir múltiplo de 3} = {3, 6} entonces Ac = {1, 2, 4, 5}.
5.1 Proposición Dos sucesos contrarios son siempre incompatibles pero no al revés.
La demostración es trivial con las definiciones.
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Probabilidad
5.1.4.5
5.2 Propiedades de las operaciones
Diferencia de sucesos
Dados dos sucesos A y B llamamos suceso A menos B, se denota A \ B, al suceso formado por los elementos
de A que no pertenecen a B.
A \ B = A ∩ Bc
5.2
Propiedades de las operaciones
• Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A
• Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• ∀A suceso se verifica: A ∪ E = E y A ∪ ∅ = A
• ∀A suceso se verifica: A ∩ E = A y A ∩ ∅ = ∅
• ∀A suceso se verifica: A ∪ Ac = E y A ∩ Ac = ∅
• El contrario del contrario de un suceso es el mismo suceso: (Ac )c = A
• Idempotencia: A ∪ A = A ∩ A = A
• Absorción: A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A
• Leyes de Morgan
5.3
1.
El contrario de la unión de dos sucesos es igual a la intersección de los contrarios.
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
2.
El contrario de la intersección de dos sucesos es igual a la unión de los contrarios.
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
Álgebra de sucesos
5.15 Definición Consideremos un subconjunto del espacio de sucesos, S ⊆ P(E), con las operaciones unión,
intersección y contrario, diremos que es un álgebra de sucesos si verifica los axiomas:
Axioma 1 S =
6 ∅. Debe tener, al menos, un suceso.
Axioma 2 ∀A, B ∈ S entonces A ∪ B ∈ S
Axioma 3 ∀A ∈ S entonces Ac ∈ S
Si el espacio muestral es infinito, el axioma 2, se debe generalizar para infinitos sucesos:
∀A1 , A2 , · · · , An ∈ S =⇒
n
[
Ai ∈ S
i=1
5.3.1
1.
Consecuencias de la definición
Si A, B ∈ S entonces A ∩ B ∈ S
Demostración
A∈S
Ax.3
B∈S
Ax.3
=⇒
=⇒
Aplicando las leyes de Morgan:
2.
Si A, B ∈ S entonces A \ B ∈ S
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
c
Ac ∈ S  Ax.2 c
Ax.3
=⇒ A ∪ B c ∈ S =⇒ Ac ∪ B c ∈ S
Bc ∈ S 
c
Ac ∪ B c = A ∩ B ∈ S
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ESTADÍSTICA
Probabilidad
5.4 Espacio probabilı́stico
Demostración
Por definición: A \ B = A ∩ B c


A∈S
B∈S
3.
Bc ∈ S 
Ax.3
=⇒
=⇒ A ∩ B c ∈ S
Conse.1
∅ ∈ S. El suceso imposible pertenece al álgebra de sucesos.
Demostración
Ax.3
A ∈ S =⇒ Ac ∈ S y aplicando la primera consecuencia: A ∩ Ac = ∅ ∈ S
4.
E ∈ S. El suceso seguro pertenece al álgebra de sucesos.
Demostración
Es trivial aplicando la propiedad anterior y el axioma 3.
5.4
Espacio probabilı́stico
En los experimentos aleatorios donde el espacio muestral es finito, consideraremos, sin perder rigor, que S =
P(E).
5.4.1
Definición axiomática de la probabilidad
5.16 Definición Sea E un espacio muestral finito y S un álgebra de sucesos. Se llama probabilidad a una
aplicación:
P : S@ >>
>R
verificando los siguientes axiomas de definición:
Axioma 1 ∀A ∈ S su P (A) ≥ 0.
Axioma 2 ∀A, B ∈ S y A ∩ B = ∅ entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Axioma 3 El suceso seguro tiene de probabilidad uno: P (E) = 1.
El Axioma 2, se puede generalizar a n-sucesos incompatibles dos a dos:
Sean ∀A1 , A2 , · · · , An ∈ S incompatibles dos a dos, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j entonces:
P(
n
[
Ai ) =
i=1
n
X
P (Ai )
i=1
La definición axiomática es debida al matemático ruso Kolmogoroff.
5.4.2
1.
Consecuencias de la definición
Si A ∈ S entonces P (Ac ) = 1 − P (A).
Demostración
Aplicando las propiedades de las operaciones con sucesos:
Ax.2
A ∩ Ac = ∅
=⇒
P (A ∪ Ac ) = P (A) + p(Ac )
A ∪ Ac = E
Por lo tanto:
2.
Ax.3
=⇒
P (A ∪ Ac ) = P (E) = 1
P (A) + P (Ac ) = 1 =⇒ P (Ac ) = 1 − P (A)
La probabilidad del suceso imposible es cero: P (∅) = 0
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ESTADÍSTICA
Probabilidad
5.4 Espacio probabilı́stico
Demostración
P (∅) = 1 − P (∅c ) = 1 − P (E) = 1 − 1 = 0
3.
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B)
Demostración
A
El suceso:
B
A = A ∩ E = A ∩ (B ∪ B c ) =
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) = (A ∩ B) ∪ (A \ B)
y los sucesos A ∩ B y A \ B son incompatibles, por lo que aplicando el
Axioma 2:
P (A) = P ((A ∩ B) ∪ (A \ B)) = P (A ∩ B) + P (A \ B)
despejando
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B)
A \B
A∩B
4.
Si B ⊂ A entonces P (B) ≤ P (A)
Demostración
Si B ⊂ A entonces B ∩ A = B por lo tanto:
Ax.1
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B) = P (A) − P (B) y P (A \ B) ≥ 0 =⇒ P (B) ≤ P (A)
Consecuencia inmediata de las dos últimas propiedades:
0 ≤ P (A) ≤ 1 ∀A ∈ S
La demostración es inmediata.
5.
Generalización del Axioma 2:
∀A, B ∈ S entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Demostración
A
B
El suceso A ∪ B = B ∪ (A \ B) y los sucesos B y A \ B son incompatibles,
aplicando el Ax.2:
P (A ∪ B) = P (B) + P (A \ B) = P (B) + P (A) − P (A ∩ B)
A \B
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ESTADÍSTICA
Probabilidad
5.4.3
5.5 Determinación de la probabilidad
Espacio probabilı́stico
5.17 Definición A la terna (E, S, P ) formada por el espacio muestral, el álgebra de sucesos y la función
probabilidad definida sobre S, recibe el nombre de espacio probabilı́stico.
5.4.4
Espacio finito de probabilidad
Sea E un espacio muestral finito asociado a un determinado experimento aleatorio, E = {a1 , a2 , a3 , · · · , an , },
cada comportamiento elemental es un suceso.
Un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada suceso ai ∈ E un número real pi , llamado
probabilidad de ai que verifica:
• pi ≥ 0
•
n
X
∀ai ∈ E
pi = 1
i=1
Estas dos condiciones son equivalentes a los axiomas de definición de probabilidad.
Ejemplo
Consideremos el experimento aleatorio lanzar un dado. El espacio muestral es finito E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Es
posible que las probabilidades de obtener las caras del dado sean las siguientes?
P (1) = 0, 1
P (2) = 0, 3
P (3) = 0, 1
P (4) = 0, 2
P (5) = 0, 3
P (6) = 0, 1
Es evidente que se trata de un espacio finito de probabilidad, por lo tanto debe verificar las dos condiciones:
• pi ≥ 0
•
n
X
∀ai ∈ E . Efectivamente todas las probabilidades son positivas.
pi = 1.
i=1
n
X
pi = 0, 1 + 0, 3 + 0, 1 + 0, 2 + 0, 3 + 0, 1 = 1, 1
i=1
Por lo tanto no es un espacio finito de probabilidad.
Ejemplo
En una competición de tenis hay cuatro jugadores A, B, C, D las probabilidades de ganar el torneo son las
siguientes:
• El jugador A tiene el doble de probabilidad que el B.
• El jugador B tiene el triple de probabilidad que el C.
• El jugador C tiene la mitad de probabilidad que el D.
1.
Hallar las probabilidades que tienen de ganar cada uno de los jugadores.
2.
Hallar la probabilidad que el torneo lo gane el jugador A o el B.
5.5
Determinación de la probabilidad
La definición axiomática de la probabilidad resuelve el concepto matemático. En la parte práctica debemos
determinar la probabilidad de un suceso cuantitativamente.
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ESTADÍSTICA
Probabilidad
5.5.1
5.6 Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes
Regla de Laplace
La probabilidad de un suceso es el cociente entre los casos favorables y el número de casos posibles.
p(A) =
Número de casos favorables
Número de casos posibles
Para poder aplicar la definición de Laplace todos los sucesos deben ser equiprobables. No es válida la
definición en el caso de sucesos compuestos.
En la práctica se usa la definición de Laplace siempre que sean equiprobables.
Contraejemplo:
Si tiramos dos dados y consideramos la suma de los puntos, el espacio muestral es finito :E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11},
pero estos sucesos elementales no son equiprobables. Calcular sus probabilidades.
5.5.2
Concepción frecuencial u objetivista. Definición de Von Misses
5.18 Definición Se llama frecuencia absoluta de un suceso al número n′ de veces que se verifica en n
pruebas.
n′
≤1
0 ≤ n′ ≤ n =⇒ 0 ≤
n
5.19 Definición Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre la frecuencia absoluta y el
número de veces que se realiza el experimento.
h(A) =
n′
n
y 0 ≤ h(A) ≤ 1
Verifica los axiomas de la definición axiomática de probabilidad.
5.20 Definición Se llama probabilidad de un suceso A al lı́mite de la frecuencia relativa cuando el número
de pruebas efectuadas tiende a infinito.
n′
p(A) = lı́m
n→+∞ n
Para poder aplicar esta definición el experimento debe realizarse un gran número de veces para obtener,
aproximadamente, la probabilidad del suceso. Con la ayuda de un ordenador se pueden efectuar simulaciones
de experimentos aleatorios y calcular su probabilidad por la definición de Von Misses.
5.6
5.6.1
Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes
Probabilidad condicionada
La probabilidad condicionada aparece cuando la realización de un suceso depende de la realización de otro
suceso.
Ejemplo
Se extrae una carta de una baraja y se deposita en la mesa. Hallar la probabilidad que al extraer una nueva
carta esta sea una espada.
La realización del segundo suceso está condicionada por el suceso si en la primera extracción ha salido o
no, una espada.
Vamos a considerar un espacio probabilı́stico: (E, S, P )
5.21 Definición Sean dos sucesos A y B con P (B) > 0, llamamos probabilidad de A condicionada
al suceso B y lo escribiremos P (A|B) al cociente entre la probabilidad de la intersección de A y B y la
probabilidad del suceso B.
P (A ∩ B)
P (A|B) =
P (B)
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ESTADÍSTICA
Probabilidad
5.6 Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes
La probabilidad condicionada P (A|B) nos da la probabilidad relativa
del suceso A respecto del espacio reducido B La definición debe verificar
los axiomas de la definición de probabilidad. Consideramos la aplicación:
P ( |B) :
S
−→
A
7→
B
A∩B
A
R
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
Axioma 1 ∀A ∈ S su P (A|B) ≥ 0.
En efecto: P (A ∩ B) ≥ 0 por definición de probabilidad.
P (B) > 0 por hipótesis.
Por lo tanto P (A|B) =
P (A ∩ B)
≥0
P (B)
Axioma 2 ∀A1 , A2 ∈ S y A1 ∩ A2 = ∅ entonces P ((A1 ∪ A2 )|B) = P (A1 |B) + P (A2 |B)
En efecto:
P ((A1 ∪ A2 )|B)
=
(A1 ∪ A2 ) ∩ B
=
P ((A1 ∪ A2 ) ∩ B)
P (B)
(A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B)
(A1 ∩ B) ∩ (A2 ∩ B)
=
A1 ∩ A2 ∩ B = ∅ ∩ B = ∅
P ((A1 ∪ A2 )|B) =
P [(A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B)] Ax.2 P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B)
=
=
P (B)
P (B)
P (A1 |B) + P (A2 |B)
Axioma 3 El suceso seguro tiene de probabilidad uno: P (E|B) = 1.
En efecto:
P (B)
def P (E ∩ B)
P (E|B) =
=
=1
P (B)
P (B)
El Ax.2 se generaliza para n sucesos: Sean A1 , A2 , · · · , An sucesos incompatibles dos a dos entonces:
P(
n
[
i=1
Ai |B) =
n
X
P (Ai |B)
i=1
Consecuencia
Por definición:
P (A|B) =
P (A ∩ B)
=⇒ P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B)
P (B)
P (B|A) =
P (B ∩ A)
=⇒ P (A ∩ B) = P (B|A) · P (A)
P (A)
Si P (A) > 0 entonces:
Por lo tanto:
P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A)
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- 53 -
(5.1)
ESTADÍSTICA
Probabilidad
5.6 Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes
5.1 Teorema De la multiplicación para la probabilidad condicionada: Generalizando por inducción el
resultado anterior obtendrı́amos:
Dados A1 , A2 , ..., An un conjunto de sucesos,entonces:
P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 ) · P (A2 |A1 ) · P (A3 |A1 ∩ A2 ) · P (A4 |A1 ∩ A2 ∩ A3 ) · · · P (An |A1 ∩ A2 ∩ ...An−1 )
5.22 Definición A un proceso en el que tengamos una sucesión finita de experimentos, en los cuales cada
experimento tenga un número finito de resultados se le denomina proceso estocástico finito que se resuelve
mediante diagramas en árbol y como aplicación del teorema anterior.
Ejemplo
1.
Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados y sumar las caras obtenidas. Si la suma de
las caras es 6, hallar la probabilidad de que en uno de los dados salga un 2.
El espacio muestral está formado por V R62 = 62 = 36 casos posibles.Sean:
• A = {suma igual a 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
• B = {en uno de los dados salga 2} =
{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), }
• A ∩ B = {(2, 4), (4, 2)}
P (A ∩ B)
P (B)
5 y P (A ∩ B) = 2
Aplicando la regla de Laplace: P (A) = 36
36
Por definición de probabilidad condicionada:P (B|A) =
2
2
P (B|A) = 36 =
5
5
36
2.
Un señor pasa por delante de la casa de una familia que tiene dos hijos, ve jugando a uno de ellos y es
varón. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro hijo sea también varón?
• En el caso de que no sepa si el niño que ha visto es el mayor o el pequeño.
• Sabiendo que ha visto al pequeño.
El espacio muestral: E = {(v, v), (v, h), (h, v), (h, h)} siendo el primer elemento del par el hermano pequeño. Las probabilidades de los sucesos son 14 en todos los casos.
Consideremos los sucesos:
A
=
B
=
C
=
A∩B
=
{Los dos son varones} = {(v, v)} =⇒ P (A) =
1
4
3
4
2
1
{Hijo pequeño es varón} = {(v, v), (v, h)} =⇒ P (C) = =
4
2
1
A ∩ C = {(v, v)} =⇒ P (A ∩ B) =
4
{Un hijo es varón} = {(v, v), (v, h), (h, v)} =⇒ P (B) =
Aplicando la definición de probabilidad condicionada:
1/4
P (A ∩ B)
=
= 31
P (B)
3/4
1/4
P (A ∩ C)
=
= 12
• P (A|C) =
P (C)
2/4
• P (A|B) =
5.6.1.1
Sucesos independientes
5.23 Definición Dos sucesos A y B son independientes si P (A|B) = P (A) ó P (B|A) = P (B).
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- 54 -
ESTADÍSTICA
Probabilidad
5.6 Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes
Consecuencias
Teniendo en cuenta (5.1) dos sucesos son independientes si P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Ejercicios
1.
Demostrar que si los sucesos A y B son independientes entonces también lo son:
(a) A y B c .
(b) Ac y B.
(c) Ac y B c .
2.
Si los sucesos A y B son incompatibles entonces son independientes si, al menos, uno de ellos tiene
probabilidad nula.
5.6.2
5.6.2.1
Teorema de Bayes
Teorema de la probabilidad total
5.24 Definición Una familia de sucesos A1 , A2 , · · · , An del espacio E es un sistema completo de sucesos
si verifican:
1.
La unión de todos los sucesos es el espacio muestral:
n
[
Ai = E
i=1
2.
Son incompatibles dos a dos:
Ai ∩ Aj = ∅ i 6= j
3.
Tiene probabilidad estrictamente positiva:
P (Ai ) > 0
∀i = 1, · · · , n
A3
A2
A1
A9
A8
A4
A6
A5
A7
Teorema de la probabilidad total
5.2 Teorema Sea un espacio completo de sucesos entonces la probabilidad de un suceso B, que puede tener
lugar simultáneamente con uno o más de los sucesos Ai es igual:
P (B) =
n
X
P (B|Ai ) · P (Ai )
i=1
2øBACHILLERATO
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ESTADÍSTICA
Probabilidad
5.6 Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes
Demostración
El suceso B = B ∩ E y los sucesos B ∩ Ai y B ∩ Aj son incompatibles siempre que i 6= j. En efecto:
(B ∩ Ai ) ∩ (B ∩ Aj ) = (B ∩ (Ai ∩ Aj ))
P (B)
P (B ∩ E) = P (B ∩
=
Ax.2
=
n
X
P (B ∩ Ai )
!
n
[
=
i=1
=
distr.
Ai ) = P
i=1
P rob.cond.
"
esp.comp.
n
X
B∩∅=∅
!
n
[
"
(B ∩ Ai )
i=1
=
P (B|Ai ) · P (Ai )
i=1
• Los sucesos Ai son las causas o condiciones.
• Las P (Ai ) son las probabilidades a priori de las causas.
• Las P (B|Ai ) es la probabilidad que se verifique el suceso B si ha ocurrido Ai .
• Las P (Ai |B) son las probabilidades a posteriori de las causas una vez que se ha efectuado el suceso B
5.6.2.2
Teorema de Bayes
Con las mismas hipótesis del teorema de la probabilidad total.
5.3 Teorema Las probabilidades a posteriori de los sucesos Ak una vez efectuado el suceso B son iguales a:
P (Ak |B) =
P (B|Ak ) · P (Ak )
n
X
P (B|Ai ) · P (Ai )
i=1
A2
A3
A1
A9
A8
A4
A6
A7
A5
Suceso B
Figura 5.1: Teorema de Bayes
Demostración
Es una consecuencia inmediata de la definición de probabilidad condicionada y del teorema de la probabilidad
total.
pr.cond. P (Ak ∩ B) P r.tot. P (B|Ak ) · P (Ak )
P (Ak |B) =
=
n
X
P (B)
P (B|Ai ) · P (Ai )
i=1
El teorema de Bayes se aplica cuando se quiere determinar en qué medida la realización del suceso B, confirma
o rechaza, ciertas hipótesis.
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ESTADÍSTICA
Probabilidad
5.6 Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes
Ejemplo
Un psicólogo industrial conoce, por experiencias anteriores, que el 90 % de las personas que inician un determinado entrenamiento técnico terminan con éxito. La proporción de personas en entrenamiento y con experiencia
previa es del 10 % de entre las personas que completaron con éxito su entrenamiento y del 25 % de entre aquellos
que no terminaron con éxito el entrenamiento.
1.
Probabilidad de que una persona con experiencia anterior supere el entrenamiento con éxito.
2.
¿La experiencia previa influye en el éxito del entrenamiento?
Sean los sucesos:
A: Una persona supera con éxito el entrenamiento.
Ac : Una persona no supera con éxito el entrenamiento.
B: Una persona posee experiencia previa.
Las probabilidades de los sucesos son:
P (A) = 0, 9
1.
P (Ac ) = 0, 1
P (B|A) = 0, 1
P (B|Ac ) = 0, 25
Es una probabilidad a posteriori, aplicando el teorema de Bayes:
P (A|B) =
P (B|A)
0, 1 · 0, 9
0, 09
=
=
= 0, 78
P (B)
0, 1 · 0, 9 + 0, 25 · 0, 1
0, 115
Es decir un 78 %
2.
La P (A) > P (A|B) por lo tanto el tener experiencia previa no influye en el éxito del entrenamiento.
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ESTADÍSTICA
Problemas de probabilidad
1.
Hallar el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:
(a) Lanzamos dos monedas al aire.
(b) Lanzamos tres dados.
(c) Extraemos tres bolas de una bolsa que contiene 3 bolas blancas y 2 negras.
i. Con reposición de la bola.
2.
ii. Sin reponer la bola extraı́da.
Sea el espacio muestral E y dos sucesos A y B de E. Supongamos que P (A) = 1/4; P (B) = 2/5 y
P (A ∩ B) = 3/10. Calcular:
(a) P (A) + P (B)
(b) P (A ∪ B)
(c) P (A ∩ B c )
3.
Dadas P (A) = P (B) = P (C) = 1/3, P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 1/9 y P (A ∩ B ∩ C) = 1/27,
calcular la probabilidad:
(a) De efectuarse al menos uno de los tres sucesos.
(b) De efectuarse uno y sólo uno, de los tres sucesos.
(c) Si X = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) calcular P (X).
4.
En una ciudad se publican tres periódicos de la mañana que resignaremos por A, B, C. Las probabilidades
de leer los periódicos son:
P (A) = P (B) = 0.10, P (C) = 0.05, P (A ∩ B) = 0.02, P (A ∩ C) = 0.005
P (B ∩ C) = 0.003, P (A ∩ B ∩ C) = 0.0001
Determinar la probabilidad de no leer ningún periódico.
5.
Tenemos un dado cargado tal que la probabilidad de salir un número cuando se lanza es proporcional a
dicho número. Sea A el suceso salir par, B el suceso salir número primo, C el suceso salir impar. Calcular:
(a) Probabilidad de cada suceso elemental.
(b) Probabilidad de los sucesos A, B y C.
(c) Probabilidad de que:
i. Salga un número par o primo.
ii. Salga un número impar primo.
iii. Suceda A pero no B.
58
Problemas de probabilidad
Probabilidad
6.
La probabilidad de un alumno de aprobar las matemáticas de C.O.U. es 0,52, la de aprobar fı́sica es 0,43
y la de aprobar las dos asignaturas es 0,35. Calcular:
(a) Probabilidad de aprobar alguna de las dos asignaturas.
(b) Probabilidad de aprobar sólo las matemáticas.
(c) Probabilidad de suspender las dos asignaturas.
7.
De los 10 alumnos de una clase tres tienen los ojos azules. Si se eligen al azar dos alumnos, hallar la
probabilidad de:
(a) Los dos tengan ojos azules.
(b) Ninguno tenga ojos azules.
(c) Al menos uno tenga los ojos azules.
8.
Diez alumnos: A, B, C, · · · están en una clase , si se elige un comité de tres alumnos, al azar, hallar la
probabilidad:
(a) El alumno A pertenezca al comité.
(b) Los alumnos A y B pertenezcan al comité.
(c) Los alumnos A o B pertenezcan al comité.
9.
Una clase consta de 6 alumnas y 10 alumnos. Si se elige, al azar, tres de ellos, hallar la probabilidad:
(a) Seleccionar tres alumnos.
(b) Seleccionar exactamente dos alumnos.
(c) Seleccionar, al menos, un alumno.
(d) Seleccionar exactamente dos alumnas.
10.
De 120 estudiantes, 60 estudian francés, 50 estudian inglés y 20 cursan los dos idiomas. Si se elige un
estudiante al azar, hallar la probabilidad de que el estudiante:
(a) Estudie francés o inglés.
(b) Estudie francés pero no inglés.
(c) No estudie ninguno de los idiomas.
11.
Tres chicos y tres chicas se sientan en el cine en una misma fila de 6 asientos. Hallar la probabilidad:
(a) Las tres chicas se sienten juntas.
(b) Se sienten alternativamente.
12.
En un examen un alumno sólo se ha estudiado 15 temas de los 25 que contiene el cuestionario. El
examen consiste en contestar dos temas, extraı́dos al azar, del total de temas del cuestionario. Hallar la
probabilidad:
(a) El alumno sepa ,exactamente, uno de los temas.
(b) El alumno sepa los dos temas.
(c) El alumno sepa, al menos, uno de los temas.
13.
Con las letras de la palabra CATALA se forman todas las palabras posibles, con o sin significado, y se
introducen en una bolsa. Se extrae una de ellas al azar: Hallar las siguientes probabilidades:
(a) La palabra escogida presente las tres vocales juntas.
(b) La palabra escogida presente las vocales y las consonantes alternadas.
(c) Si la palabra elegida tiene las vocales y las consonantes alternadas, cual es la probabilidad que sea
la palabra CATALA.
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ESTADÍSTICA
Problemas de probabilidad
Probabilidad
14.
Hallar la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
(a) Salir dos caras y una cruz en el lanzamiento de tres monedas.
(b) Extraer un rey o un as al sacar una carta de una baraja de 40 cartas.
(c) La suma de los dos dados en un lanzamiento sea nueve.
(d) Dos ases en la extracción de dos cartas de una baraja de 40 cartas.
15.
Se distribuyen tres bolas indistinguibles en dos urnas A y B.
(a) Describir el espacio muestral asociado al experimento aleatorio.
(b) Hallar la probabilidad que la urna A contenga exactamente 0, 1, 2 ó 3 bolas.
16.
Resolver el problema
15 si las bolas son distintas.
17.
Un alumnos prepara un examen estudiando 15 de los 25 temas de los cuales consta el temario. El examen
se realiza por sorteo extrayendo dos temas y el alumno debe elegir uno y sólo uno de ellos. Hallar la
probabilidad que el alumno pueda efectuar el examen.
18.
Un dominó normal consta de 28 fichas: cero-cero, cero-uno, cero-dos, . . ., seis-seis. Siete de estas fichas
son dobles: cero-cero, uno-uno, . . ., seis-seis. Calcular la probabilidad de encontrar algún doble al tomar
cuatro fichas al azar del dominó.
19.
Cada pregunta de un examen tipo test tiene dos respuestas alternativas de las que sólo una es correcta.
Un alumno contesta al azar un examen de este tipo que consta de tres preguntas,
(a) Construir el espacio muestral a esta experiencia.
(b) Calcular P (B), P (A ∩ B), P (C), P (A ∪ C), siendo los sucesos;
A = El alumno contesta correctamente la primera pregunta
B = El alumno contesta correctamente dos de las tres preguntas
C = El alumno contesta correctamente las tres preguntas
20.
Una urna contiene tres bolas rojas, dos blancas y una azul, y otra urna contiene dos bolas rojas, dos
blancas y una amarilla. Se extrae, al azar, una bola de cada urna y se anota el color: Hallar:
(a) El espacio muestral asociado al experimento aleatorio.
(b) Escribir a partir de los elementos del espacio muestral los siguientes sucesos:
A = {Las dos bolas son rojas}
B = {Las dos bolas son del mismo color}
(c) Calcular P (A), P (B), P (A ∪ B) y P (A ∩ B)
21.
Se elige al azar uno de los primeros 50 números naturales.
(a) Hallar la probabilidad de que el número extraı́do sea cuadrado perfecto.
(b) Sabiendo que el número extraı́do es múltiplo de 3, ¿cuál es la probabilidad de que sea cuadrado
perfecto?
22.
Tenemos dos urnas con la siguiente composición:
Urna A: 4 bolas rojas y 6 blancas.
Urna B: 7 bolas rojas y 3 blancas.
Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae
una bola de la segunda. Hallar la probabilidad de que las dos bolas extraı́das sean del mismo color.
23.
Se ha comprobado que el 48 % de los alumnos de C.O.U. son aficionados a la música y a la pintura, y que
60 % de los aficionados a la pintura también son aficionados a la música. Si se elige al azar un alumno de
C.O.U., ¿qué probabilidad hay de que no sea aficionado a la pintura?
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ESTADÍSTICA
Problemas de probabilidad
Probabilidad
24.
En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color?
25.
De un grupo de 25 personas, se sabe que ocho fuman sólo cigarrillos rubios, seis fuman sólo negros y hay,
además, cinco que fuman indistintamente ambos tipos de cigarrillos. Se pide:
(a) ¿Cuál será la probabilidad de elegir a una persona de este grupo que no fume?
(b) ¿Y que al menos uno de ellos fume rubio o negro?
26.
Tenemos cinco pares distintos de guantes. Mezclamos bien los diez guantes. Elegimos al azar dos de ellos.
¿Cuál es la probabilidad de que ambos formen pareja?
27.
La ruleta de un casino consta de 40 casillas, numeradas del 1 al 40. Los números acabados en 1, 2, 3, 4 ó
5 son rojos, y el resto negros. Puesta en marcha la ruleta, se consideran los sucesos siguientes:
A =el resultado es un número de la primera decena
B =el resultado es un número par
C =el resultado es un número rojo
Hallar:
(a) La probabilidad P (C \ A).
(b) La probabilidad de que el número sea de la primera decena, sabiendo que es rojo.
(c) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Y los sucesos A y C?
28.
Luis y Antonio se reúnen con otras tres personas. Entre las cinco se reparten al azar cinco billetes de
100, 500, 1000, 2000, 5000 ptas. Hallar la probabilidad de que Luis y Antonio tengan billetes cuyos valores
sea uno el doble que el otro.
29.
En 30 placas iguales figuran 30 números de dos cifras desde el 11 hasta el 40. Las placas están entremezcladas formando un paquete. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una placa con un número múltiplo de 3
ó de 2?
30.
Se tiene una bolsa con 10 bolas rojas y 6 negras, de las que se extraen dos bolas. Hallar la probabilidad
de que las dos bolas sean negras.
(a) Con devolución.
(b) Sin devolución.
31.
En una loterı́a los billetes están numerados consecutivamente desde el 0000 al 9999. Calcular la probabilidad de que obtenga el primer premio alguno de los números que sólo tengan tres cifras distintas, tales
como: 0094, 0210, 3283, etc.
32.
Una baraja de 52 cartas se reparte entre 4 jugadores, ?qué probabilidad tiene un jugador de obtener 1,
2, 3, 4 y 5 ases.
33.
Utilizando las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5 se marcan tantas bolas como sea posible con números de tres cifras
diferentes y que no empiecen por 0. Calcular la probabilidad de que al elegir una bola al azar su número
sea inferior a 300.
34.
Una urna contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules, de igual diámetro e idéntico tacto. Se extraen
sucesivamente tres bolas. Hallar las siguientes probabilidades :
(a) La primera roja, la segunda blanca y la tercera azul.
(b) Las tres de colores diferentes.
Efectuar el ejercicio sin devolución de las bolas extraı́das y con devolución.
35.
A un congreso asisten 100 cientı́ficos. De ellos, 80 hablan inglés y 40 francés.. ¿Cuál es la probabilidad de
que dos congresistas elegidos al azar necesiten intérprete?
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ESTADÍSTICA
Problemas de probabilidad
Probabilidad
36.
En cierta facultad el 25 % de los estudiantes suspenden Matemáticas, el 15 % la Quı́mica y 10 % suspenden
ambas. Se elige, al azar, un estudiante:
(a) Si suspende quı́mica, ¿cuál es la probabilidad de que también suspenda Matemáticas?
(b) Si suspende Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe Quı́mica?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que suspenda Matemáticas o Quı́mica?
37.
Un tramposo juega con un matemático. El juego consiste en extraer una carta de una baraja de 52 cartas
y en acertar si es un As o no lo es.
• El tramposo, que tiene marcadas las figuras y los ases, adopta la siguiente estrategia: si la carta no
está marcada, dirá que no es un As con la seguridad de que acierta. Si está marcada, dirá que es un
As.
• El matemático se limitará a decir siempre que no es un As.
Calcular la probabilidad de acertar que tiene cada uno.
38.
El tramposo observa que pierde y cambia de táctica: si sale una carta marcada lanza una moneda dos
veces y si salen dos caras dirá que es un As y en caso contrario, dirá que no lo es. El matemático mantiene
la misma estrategia. Estudiar las probabilidades de acertar de cada uno de ellos.
39.
En la Facultad de Barcelona el 25 % de los hombres y el 10 % de las mujeres son estudiantes de Matemáticas. Las mujeres constituyen el 60 % de los hombres. Si se selecciona un estudiante y resulta cursar
Matemáticas, hallar la probabilidad de que sea mujer.
40.
En cierto paı́s, donde la enfermedad E es endémica, se sabe que el 12 % de la población padece dicha
enfermedad. Se dispone de una prueba para detectarla, pero no es totalmente fiable, ya que da positiva
en el 90 % de los casos de personas enfermas y también da positivo en el 5 % de las personas sanas. ¿Cuál
es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha dado positiva?
41.
Una caja contiene tres monedas, una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la tercera moneda está
cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza.
Hallar la probabilidad de que salga cara.
42.
Tenemos tres urnas con las siguientes composiciones:
• La urna A contiene tres bolas rojas y cinco blancas.
• La urna B contiene dos bolas rojas y una blanca.
• La urna C contiene dos bolas rojas y tres blancas.
Se selecciona al azar una urna y se extrae una bola.
(a) Hallar la probabilidad de que la bola extraı́da sea roja.
(b) Si la bola extraı́da ha resultado ser roja, hallar la probabilidad que proceda de la urna A.
43.
Una caja A contiene nueve cartas numeradas del 1 al 9 y una caja B contiene cinco cartas numeradas
del 1 al 5. Elegimos una caja al azar y se extrae una carta. Si el número de la carta es par, hallar la
probabilidad de que la carta proceda de la caja A.
44.
En un hospital ingresan enfermos con la afección A en un 12 %, con la afección B en un 8 %, y con
las restantes enfermedades el 80 %. La probabilidad de curación total de la enfermedad A es 0, 8, la de
enfermedad B es 0, 6 y la de las restantes enfermedades es 0, 9. ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo
que haya sido dado de alta hubiera padecido la enfermedad A?
45.
Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se extrae una bola y se reemplaza por una del otro color.
Se extrae una segunda bola, hallar la probabilidad de que la segunda bola sea roja.
46.
Tenemos dos urnas con las siguientes composiciones:
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ESTADÍSTICA
Problemas de probabilidad
Probabilidad
• La urna A contiene tres bolas rojas y dos blancas.
• La urna B contiene dos bolas rojas y cinco blanca.
Se selecciona al azar una urna , se extrae una bola y se coloca en la otra urna, después se extrae una bola
de la segunda urna. Hallar la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.
47.
Una caja contiene tres monedas, dos de ellas corrientes y una de dos caras. Se selecciona al azar una
moneda y se lanza dos veces. Si aparece ambas veces cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea
la de dos caras?
48.
A y B juegan 12 partidas de ajedrez de las que A gana 6, B gana 4 y 2 terminan en tablas. Posteriormente
determinan jugar un torneo a tres partidas. Calcular la probabilidad de que:
(a) B gane, al menos, una partida.
(b) Ganen cada uno una partida alternativamente.
49.
¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco si sólo se pueden lanzar tres torpedos y la probabilidad
de hacer blanco con cada uno de ellos es 0.20?
50.
Se han lanzado unos dados y se han obtenido cuatro puntos. Obtener la probabilidad de haber jugado
con cuatro dados.
51.
A un almacén llega la producción de tres fábricas. La producción de la primera constituye el 20 %, la
de la segunda el 46 % y la de la tercera el 34 %. Se sabe que el tanto por ciento de pieza defectuosa es
del 3 %, 2 % y 1 % respectivamente. Hallar la probabilidad de que una pieza , tomada al azar, sea de la
primera fábrica si ha resultado defectuosa.
52.
En un juego de dado hemos apostado por el ”2”. Se tira el dado y antes de ver lo que ha salido, nos dicen
que ha salido par. Hallar la probabilidad de ganar.
53.
En una encuesta sobre el divorcio han sido consultadas 1000 personas , con los resultados siguientes:
Por sexo
Por edad
Hombres
Mujeres
Menos de 25
de 25 a 50
más de 50
A fav.divorcio
198
243
200
180
61
En cont.divorcio
125
126
50
111
90
Según circunst.
147
161
100
159
49
(a) Elegimos al azar una de las personas consultadas:
i. ¿ Cuál es la probabilidad de que esté a favor del divorcio?
ii. ¿ Cuál es la probabilidad de que tenga menos de 25 años?
iii. Si está a favor del divorcio, ¿ cuál es la probabilidad de que sea mujer?
(b) Elegimos al azar dos personas:
i. ¿ Cuál es la probabilidad de que sean de distinto sexo?
ii. ¿ Cuál es la probabilidad que las dos tengan menos de 50 años?
iii. Si las dos están a favor del divorcio, ¿ cuál es la probabilidad que sean, precisamente, dos
mujeres?
54.
Una urna se ha llenado tirando una moneda dos veces e introduciendo una bola blanca por cada cara y
una bola negra por cada cruz. Se extrae una bola, que es blanca. Hallar la probabilidad de qué la otra
bola también lo sea.
55.
Un jugador tira un dado, le sale 6 y gana. Hallar la probabilidad de que haya hecho trampa. (Suponer
que el 50 % de los jugadores son unos tramposos).
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- 63 -
ESTADÍSTICA
Problemas de probabilidad
Probabilidad
56.
Un problema fue propuesto a tres alumnos, A, B y C, resolviéndolo correctamente dos de ellos. Se sabe
que las probabilidades de resolver correctamente un problema del mismo tipo que el propuesto es: 0, 4
para A, 0, 6 para B y 0, 2 para C.
(a) Hallar la probabilidad que el alumno A haya resuelto el problema.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno C haya sido el que no ha resuelto el problema?
57.
En un sistema de alarma la probabilidad de que se produzca peligro es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es del 0.95. La probabilidad de que funcione la alarma sin haber peligro
es 0.03. Hallar:
(a) Probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no exista peligro.
(b) Probabilidad de que exista peligro y la alarma no funcione.
(c) Probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma , exista peligro.
58.
En una Universidad en que sólo hay estudiantes de Arquitectura, Ciencias y Letras, terminan la carrera el
5 % de Arquitectura, el 10 % de Ciencias y el 20 % de Letras. Se sabe que el 20 % estudian Arquitectura,
el 30 % Ciencias y 50 % Letras. Elegimos al azar un estudiante:
(a) Probabilidad que sea de Arquitectura y haya terminado la carrera.
(b) Si nos dice que ha terminado la carrera, probabilidad que sea de Arquitectura.
59.
En una bolsa hay 5 bolas, sacamos 3 y las tres son blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que las 5 sean
blancas?
60.
Una baraja española de 48 cartas se ha dividido en dos partes: pares e impares. Lanzamos un dado y
extraemos una carta del grupo de las pares ó de las impares, según que salga 6 ó no. Si resulta ser una
figura, hallar la probabilidad de que sea un caballo (11).
61.
En una ciudad de 100.000 habitantes se sabe que de sus habitantes:
• El 67 % son aficionados al Barça.
• El 23 % son propietarios de coche.
• EL 41 % son fumadores.
• El 72 % de los que tienen coche son del Barça.
• El 27 % de los fumadores tienen coche.
• El 37 % de los partidarios del Barça, fuman.
• El 70 % de los fumadores que tienen coche son del Barça.
Calcular cuántos habitantes ni son del Barça ni tienen coche ni fuman.
62.
Disponemos de dos monedas, una correcta y otra de dos caras, y una urna con 10 bolas, 4 blancas y 6
negras. Extraemos, simultáneamente dos bolas de la urna, si son del mismo color elegimos la moneda
correcta y en caso contrario la moneda trucada y la lanzamos al aire. Hallar la probabilidad:
(a) Que las dos bolas sean del mismo color.
(b) Obtener cara en el lanzamiento de la moneda.
(c) Si el resultado del lanzamiento de la moneda ha sido cruz, hallar la probabilidad de que las dos bolas
elegidas sean de distinto color.
63.
Para detectar la presencia de una cierta enfermedad en un individuo perteneciente a una población
determinada se emplea un análisis tal que la probabilidad de que de positivo si el individuo analizado
tiene realmente la enfermedad es 0.96. Se sabe que el 2 % de los individuos de dicha población padecen
la enfermedad. Por otro lado se ha llegado a establecer que realizando el análisis sobre los individuos de
la población darı́a positivo el 2.5 % de los casos.
2øBACHILLERATO
- 64 -
ESTADÍSTICA