Criterio de existencia de la factorización LU

Criterio de existencia de la factorización LU
1. Objetivo. Estudiar las condiciones de existencia de la factorización LU de una matriz
cuadrada invertible.
2. Requisitos:
Matrices elementales y su relación con operaciones elementales.
Matriz inversa, propiedades de multiplicación de matrices.
Propiedades del determinante.
3. ¿Por qué son tan importantes matrices triangulares?. Las matrices triangulares
(superiores o inferiores) son más simples en varios sentidos que las matrices en general.
Por ejemplo, los siguientes problemas estándares del álgebra lineal se resuelven muy fácil
cuando A es una matriz triangular:
construcción de la matriz inversa A−1 ;
solución de una sistema de ecuaciones lineales Ax = b;
cálculo del determinante de A.
4. Definición (factorización LU ). Una factorización LU de una matriz A ∈ Matn (F)
es un par de matrices (L, U ), donde L, U ∈ Matn (F), U es triangular superior, L es
triangular inferior y todos los elementos diagonales de L son iguales a 1.
5. Ejercicio. Sea A ∈ Matn (F) una matriz invertible. Supongamos que A admite una
factorización LU : A = LU . Demuestre que todos los elementos diagonales de U son
distintos de cero.
6. Tarea adicional (unicidad de la factorización LU ). Sea A ∈ Matn (F) una matriz
invertible. Demuestre que si A admite una factorización LU , entonces tal factorización es
única.
7. Proposición (criterio de existencia de la factorización LU con elementos
diagonales no nulos). Sea A ∈ Matn (F). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) A admite una factorización LU con elementos diagonales de U distintos de cero.
(b) son invertibles todas las “matrices de esquina” de la matriz A, i.e. las matrices
A{1,...,k},{1,...,k}
(1 ≤ k ≤ n);
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(c) son distintos de cero todos los “menores de esquina” de A, i.e. los menores
{1, . . . , k}
MA
(1 ≤ k ≤ n);
{1, . . . , k}
(d) la matriz A se puede reducir a una matriz triangular superior con elementos diagonales no nulos al aplicar sólo operaciones elementales de tipo Ri + = λRj con
i > j.
Demostración. (a)⇒(b). Supongamos que A = LU con los elementos diagonales de U no
nulos. Consideremos un elemento arbitrario de la matriz “cortada” A{1,...,k},{1,...,k} , i.e. un
elemento Ai,j con 1 ≤ i, j ≤ k:
n
X
Ai,j =
Li,s Us,j .
s=1
Si s > k, entonces s > j y Us,j = 0. Por lo tanto,
Ai,j =
k
X
Li,s Us,j .
s=1
Esto significa que la matriz cortada A{1,...,k},{1,...,k} es igual al producto de las matrices
cortadas
L{1,...,k},{1,...,k} y U{1,...,k},{1,...,k} .
(1)
Pero estas matrices son triangulares, y sus elementos diagonales son distintos de cero. Por
eso las matrices (1) son invertibles, y su producto A{1,...,k},{1,...,k} también es invertible.
(b)⇔(c). Sabemos que una matriz cuadrada es invertible ⇐⇒ su determinante es
no nulo. Aplicando este hecho a las matrices A{1,...,k},{1,...,k} obtenemos que las condiciones
(b) y (c) son equivalentes.
(c)⇒(d). Supongamos, que es posible reducir en sobredicha manera las primeras k filas
de A a la forma triangular con elementos diagonales no nulos y demostremos que esto es
posible hacer con las primeras k + 1 filas.
Sea B la matriz A con las primeras k filas reducidas. Usando que los elementos Bi,i ,
1 ≤ i ≤ k, son distintos de cero, podemos eliminar los elementos Bk+1,j , 1 ≤ j ≤ k, al
aplicar las operaciones de tipo Rk+1 + = λRi , 1 ≤ i ≤ k. Obtenemos una matriz C.
Como las
operaciones detipo Ri + = λRj con 1 ≤ j < i ≤ k + 1 no cambiaron el
{1, . . . , k + 1}
menor MA
, tenemos que
{1, . . . , k + 1}
{1, . . . , k + 1}
{1, . . . , k + 1}
MC
= MA
6= 0.
{1, . . . , k + 1}
{1, . . . , k + 1}
Pero la submatriz C{1,...,k+1},{1,...,k+1} es triangular superior, y su menor es igual al producto
C1,1 · C2,2 · · · · · Ck+1,k+1 .
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Por eso Ck+1,k+1 6= 0.
Aplicando este razonamiento n veces vemos que es posible convertir A en una matriz triangular superior con elementos diagonales no nulos al aplicar operaciones de tipo
Ri + = λRj , j < i.
(d)⇒(a). A se puede convertir en la matriz U al aplicar unas operaciones elementales
de tipo Ri + = λRj con j < i. Es decir,
U = Es · · · · · E1 A,
donde E1 , . . . , Es son matrices elementales que corresponden a las operaciones Ri + = λRj ,
j < i. Estas matrices son triangulares inferiores con elementos diagonales iguales a 1. Por
eso la matriz
L := E1−1 · · · · · Es−1
también es del mismo tipo. Obviamente A = LU .
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