Criterio de existencia de la factorización LU
1. Objetivo. Estudiar las condiciones de existencia de la factorización LU de una matriz
cuadrada invertible.
2. Requisitos:
Matrices elementales y su relación con operaciones elementales.
Matriz inversa, propiedades de multiplicación de matrices.
Propiedades del determinante.
3. ¿Por qué son tan importantes matrices triangulares?. Las matrices triangulares
(superiores o inferiores) son más simples en varios sentidos que las matrices en general.
Por ejemplo, los siguientes problemas estándares del álgebra lineal se resuelven muy fácil
cuando A es una matriz triangular:
construcción de la matriz inversa A−1 ;
solución de una sistema de ecuaciones lineales Ax = b;
cálculo del determinante de A.
4. Definición (factorización LU ). Una factorización LU de una matriz A ∈ Matn (F)
es un par de matrices (L, U ), donde L, U ∈ Matn (F), U es triangular superior, L es
triangular inferior y todos los elementos diagonales de L son iguales a 1.
5. Ejercicio. Sea A ∈ Matn (F) una matriz invertible. Supongamos que A admite una
factorización LU : A = LU . Demuestre que todos los elementos diagonales de U son
distintos de cero.
6. Tarea adicional (unicidad de la factorización LU ). Sea A ∈ Matn (F) una matriz
invertible. Demuestre que si A admite una factorización LU , entonces tal factorización es
única.
7. Proposición (criterio de existencia de la factorización LU con elementos
diagonales no nulos). Sea A ∈ Matn (F). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) A admite una factorización LU con elementos diagonales de U distintos de cero.
(b) son invertibles todas las “matrices de esquina” de la matriz A, i.e. las matrices
A{1,...,k},{1,...,k}
(1 ≤ k ≤ n);
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(c) son distintos de cero todos los “menores de esquina” de A, i.e. los menores
{1, . . . , k}
MA
(1 ≤ k ≤ n);
{1, . . . , k}
(d) la matriz A se puede reducir a una matriz triangular superior con elementos diagonales no nulos al aplicar sólo operaciones elementales de tipo Ri + = λRj con
i > j.
Demostración. (a)⇒(b). Supongamos que A = LU con los elementos diagonales de U no
nulos. Consideremos un elemento arbitrario de la matriz “cortada” A{1,...,k},{1,...,k} , i.e. un
elemento Ai,j con 1 ≤ i, j ≤ k:
n
X
Ai,j =
Li,s Us,j .
s=1
Si s > k, entonces s > j y Us,j = 0. Por lo tanto,
Ai,j =
k
X
Li,s Us,j .
s=1
Esto significa que la matriz cortada A{1,...,k},{1,...,k} es igual al producto de las matrices
cortadas
L{1,...,k},{1,...,k} y U{1,...,k},{1,...,k} .
(1)
Pero estas matrices son triangulares, y sus elementos diagonales son distintos de cero. Por
eso las matrices (1) son invertibles, y su producto A{1,...,k},{1,...,k} también es invertible.
(b)⇔(c). Sabemos que una matriz cuadrada es invertible ⇐⇒ su determinante es
no nulo. Aplicando este hecho a las matrices A{1,...,k},{1,...,k} obtenemos que las condiciones
(b) y (c) son equivalentes.
(c)⇒(d). Supongamos, que es posible reducir en sobredicha manera las primeras k filas
de A a la forma triangular con elementos diagonales no nulos y demostremos que esto es
posible hacer con las primeras k + 1 filas.
Sea B la matriz A con las primeras k filas reducidas. Usando que los elementos Bi,i ,
1 ≤ i ≤ k, son distintos de cero, podemos eliminar los elementos Bk+1,j , 1 ≤ j ≤ k, al
aplicar las operaciones de tipo Rk+1 + = λRi , 1 ≤ i ≤ k. Obtenemos una matriz C.
Como las
operaciones detipo Ri + = λRj con 1 ≤ j < i ≤ k + 1 no cambiaron el
{1, . . . , k + 1}
menor MA
, tenemos que
{1, . . . , k + 1}
{1, . . . , k + 1}
{1, . . . , k + 1}
MC
= MA
6= 0.
{1, . . . , k + 1}
{1, . . . , k + 1}
Pero la submatriz C{1,...,k+1},{1,...,k+1} es triangular superior, y su menor es igual al producto
C1,1 · C2,2 · · · · · Ck+1,k+1 .
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Por eso Ck+1,k+1 6= 0.
Aplicando este razonamiento n veces vemos que es posible convertir A en una matriz triangular superior con elementos diagonales no nulos al aplicar operaciones de tipo
Ri + = λRj , j < i.
(d)⇒(a). A se puede convertir en la matriz U al aplicar unas operaciones elementales
de tipo Ri + = λRj con j < i. Es decir,
U = Es · · · · · E1 A,
donde E1 , . . . , Es son matrices elementales que corresponden a las operaciones Ri + = λRj ,
j < i. Estas matrices son triangulares inferiores con elementos diagonales iguales a 1. Por
eso la matriz
L := E1−1 · · · · · Es−1
también es del mismo tipo. Obviamente A = LU .
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